กระบวนการบวกในทฤษฎีความน่าจะเป็นคือกระบวนการสุ่มแบบcadlag ที่ต่อเนื่องในความน่าจะเป็น โดยมีส่วนเพิ่ม ที่เป็นอิสระ กระบวนการบวกเป็นการวางนัยทั่วไปของกระบวนการ Lévy (กระบวนการ Lévy คือ กระบวนการบวกที่มีส่วนเพิ่มคงที่) ตัวอย่างของกระบวนการบวกที่ไม่ใช่กระบวนการ Lévy คือการเคลื่อนที่แบบบราวน์ที่มีการเลื่อนแบบขึ้นอยู่กับเวลา^{[ 1 ]} กระบวนการบวกได้รับการแนะนำโดยPaul Lévyในปี 1937 ^{[ 2 ]}

มีการประยุกต์ใช้กระบวนการบวกในด้านการเงินเชิงปริมาณ^{[ 3 ]} (ตระกูลกระบวนการนี้สามารถจับคุณลักษณะที่สำคัญของความผันผวนโดยนัยได้ ) และใน การ ประมวลผลภาพดิจิทัล^{[ 4 ]}

กระบวนการแบบบวก (Additive process) เป็นการขยายความของกระบวนการเลวี (Lévy process) ที่ได้มาจากการผ่อนคลายสมมติฐานเรื่องส่วนเพิ่มที่คงที่ ด้วยคุณลักษณะนี้ กระบวนการแบบบวกจึงสามารถอธิบายปรากฏการณ์ที่ซับซ้อนกว่ากระบวนการเลวีได้

กระบวนการสุ่ม บนที่ เกือบแน่นอนว่าเป็นกระบวนการบวก ถ้าเป็นไปตามสมมติฐานต่อไปนี้: ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle X_{0}=0}$

1. มีการเพิ่มขึ้นแบบอิสระ
2. มีความต่อเนื่องในความน่าจะเป็น^{[ 1 ]}

กระบวนการสุ่ม จะมีส่วนเพิ่มที่ ^เป็นอิสระก็ต่อเมื่อ ตัวแปรสุ่ม ใดๆ เป็นอิสระจากตัวแปรสุ่ม[ ^{5 ]}${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle 0\leq p<r\leq s<t}$${\displaystyle X_{t}-X_{s}}$${\displaystyle X_{r}-X_{p}}$

กระบวนการสุ่มจะต่อเนื่องในความน่าจะเป็นก็ต่อเมื่อ สำหรับทุก ๆ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle t>0}$

${\displaystyle \lim _{s\to t^{-}}\Pr \left({\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}\geq \varepsilon \right)=0.}$^{[ 5 ]}

มีความเชื่อมโยงอย่างแน่นแฟ้นระหว่างกระบวนการบวกและการแจกแจงที่แบ่งได้ไม่จำกัดกระบวนการบวก ณ เวลามีการแจกแจงที่แบ่งได้ไม่จำกัดซึ่งมีลักษณะเฉพาะด้วยสามตัวสร้างคือ^เวกเตอร์ในคือเมทริกซ์ในและ คือการวัดบนโดยที่ และ^{[ 6} ]${\displaystyle t}$${\displaystyle (\gamma _{t},A_{t},\nu _{t})}$${\displaystyle \gamma _{t}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle A_{t}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d\times d}}$${\displaystyle \nu _{t}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \nu _{t}(\{0\})=0}$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}(1\wedge x^{2})\nu _{t}(dx)<\infty }$

${\displaystyle \gamma _{t}}$เรียกว่าเทอมการเคลื่อนตัว เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม และ มาตรวัดเลวี สามารถเขียนฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของกระบวนการบวกได้อย่างชัดเจนโดยใช้สูตรเลวี-คินชิน : ${\displaystyle A_{t}}$${\displaystyle \nu _{t}}$

${\displaystyle \varphi _{X}(u)(t):=\operatorname {E} \left[e^{iu'X_{t}}\right]=\exp \left(u'\gamma _{t}i-{\frac {1}{2}}u'A_{t}u+\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left(e^{iu'x}-1-iu'x\mathbf {I} _{|x|<1}\right)\,\nu _{t}(dx)\right),}$

โดยที่เป็นเวกเตอร์ในและ เป็นฟังก์ชันตัว ^บ่งชี้ของเซต[ ^{7 ]}${\displaystyle u}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$${\displaystyle C}$

ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของกระบวนการ Lèvy มีโครงสร้างเดียวกันแต่มีเวกเตอร์ในและเมทริกซ์บวกแน่นอนใน และ เป็นการวัดบน^{[ 8 ]}${\displaystyle \gamma _{t}=t\gamma ,\nu _{t}=t\nu }$${\displaystyle A_{t}=At}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d\times d}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

ผลลัพธ์ต่อไปนี้ เมื่อรวมกับสูตรของ Lévy–Khintchineจะแสดงลักษณะเฉพาะของกระบวนการเติมสาร

ให้เป็นกระบวนการบวกบน แล้วการแจกแจงที่แบ่งได้ไม่จำกัดของกระบวนการนี้ จะเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

1. สำหรับทุกค่าจะเป็นเมทริกซ์บวกกำหนด (positive definite matrix)${\displaystyle t}$${\displaystyle A_{t}}$
2. ${\displaystyle \gamma _{0}=0,A_{0}=0,\nu _{0}=0}$และสำหรับทุก ๆที่เป็นเช่นนั้นเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน และสำหรับทุกๆใน${\displaystyle s,t}$${\displaystyle s<t}$${\displaystyle A_{t}-A_{s}}$${\displaystyle \nu _{t}(B)\geq \nu _{s}(B)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbb {R} ^{d})}$
3. ถ้า และทุกๆใน, .${\displaystyle s\to t}$${\displaystyle \gamma _{s}\to \gamma _{t},A_{s}\to A_{t}}$${\displaystyle \nu _{s}(B)\to \nu _{t}(B)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle 0\not \in B}$

ในทางกลับกัน สำหรับตระกูลของการแจกแจงที่แบ่งได้ไม่จำกัดจำนวนครั้งซึ่งมีลักษณะเฉพาะด้วยสามตัวสร้างที่ตรง ตามเงื่อนไข 1, 2 และ 3 จะมีกระบวนการบวก ที่มีการแจกแจงนี้^{[ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle (\gamma _{t},A_{t},\nu _{t})}$${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$

กลุ่มของกระบวนการบวกที่มีการแจกแจงแบบโลจิสติกทั่วไปฟังก์ชันลักษณะเฉพาะที่มี 5 พารามิเตอร์คือ

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{iuX_{t}}\right]=\left({\frac {B(\alpha _{t}+i\sigma _{t}u,\beta _{t}-i\sigma u)}{B(\alpha _{t},\beta _{t})}}\right)^{\delta _{t}}e^{i\mu _{t}u}\;\;.}$

กระบวนการโลจิสติกแบบบวกมีสองกรณีย่อย ได้แก่ กระบวนการโลจิสติกแบบบวกสมมาตรที่มีการแจกแจงโลจิสติก มาตรฐาน ( , , ) และกระบวนการโลจิสติกแบบบวกกำลังคู่ควบของดากัมที่มีการแจกแจงดากัม ( , , ) ${\displaystyle \alpha _{t}=1}$${\displaystyle \beta _{t}=1}$${\displaystyle \delta _{t}=1}$${\displaystyle \alpha _{t}=1}$${\displaystyle \beta _{t}=1-\sigma (t)}$${\displaystyle \alpha _{t}=1}$

ฟังก์ชันสามารถเลือกได้เสมอในกระบวนการบวกซึ่งเป็นมาร์ติงเกล^{[ 11 ]}${\displaystyle \mu _{t}}$

การขยายกระบวนการเสถียรแบบ Lévy normal tempered; กระบวนการเสถียรแบบ Lévy normal tempered ที่รู้จักกันดีบางส่วนมีการกระจายแบบ normal-inverse Gaussianและการกระจายแบบ variance-gammaกระบวนการเสถียรแบบเพิ่ม normal tempered ^{[ 12 ]}มีฟังก์ชันลักษณะเฉพาะเดียวกันกับกระบวนการเสถียรแบบ Lévy normal tempered แต่มีพารามิเตอร์ที่ขึ้นอยู่กับเวลา(ระดับความผันผวน) (ความแปรปรวนของการกระโดด) และ(เชื่อมโยงกับความเบี่ยงเบน): ${\displaystyle \sigma _{t}}$${\displaystyle k_{t}}$${\displaystyle \eta _{t}}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{iuX_{t}}\right]={\cal {L}}_{t}\left(iu\left({\frac {1}{2}}+\eta _{t}\right)\sigma _{t}^{2}+{\frac {u^{2}\sigma _{t}^{2}}{2}};\;k_{t},\;\alpha \right)e^{iu\varphi _{t}t},}$

ที่ไหน

${\displaystyle \ln {\cal {L}}_{t}\left(u;\;k_{t},\;\alpha \right):={\begin{cases}\displaystyle {\frac {t}{k_{t}}}\displaystyle {\frac {1-\alpha }{\alpha }}\left\{1-\left(1+{\frac {u\;k_{t}}{1-\alpha }}\right)^{\alpha }\right\}&{\mbox{if }}\;0<\alpha <1\\[4mm]\displaystyle -{\frac {t}{k_{t}}}\ln \left(1+u\;k_{t}\right)&{\mbox{if }}\;\alpha =0\end{cases}}}$

ฟังก์ชันสามารถเลือกได้เสมอในกระบวนการบวกซึ่งเป็น มาร์ติงเกล^{[ 12 ]}${\displaystyle \varphi _{t}}$

กระบวนการบวกที่ไม่ลดลงและมีค่าเป็นบวก โดยมีค่าอยู่ในช่วงเรียกว่า ตัวเสริมบวก (additive subordinator ) ตัวเสริมบวกเป็นเซมิมาติงเกล (เนื่องจากไม่ลดลง) และสามารถเขียนการแปลงลาปลาสใหม่ได้ เสมอ เป็น ${\displaystyle \{S_{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{-uS_{t}}\right]=\exp \left(ub_{t}+\int _{\mathbb {R} ^{d}}(e^{iux}-1)\nu _{t}(dx)\right).}$^{[ 13 ]}

เป็นไปได้ที่จะใช้ตัวเสริมเพิ่มเติมเพื่อเปลี่ยนเวลาของกระบวนการ Lévy เพื่อให้ได้กระบวนการเพิ่มเติมประเภทใหม่^{[ 14 ]}

กระบวนการที่คล้ายคลึงกันแบบ เพิ่มเรียกว่ากระบวนการซาโตะ^{[ 15 ]} สามารถสร้างกระบวนการซาโตะจากกระบวนการเลวีได้ โดยมีกฎเดียวกันของ ${\displaystyle \{Z_{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle Z_{t}}$${\displaystyle t^{h}X_{1}}$

ตัวอย่างหนึ่งคือ SSD แบบแกมมาแปรผัน ซึ่งเป็นกระบวนการซาโตะที่ได้มาจากการเริ่มต้น กระบวนการ แกมมา แปรผัน

ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของความแปรปรวนแกมมา ณ เวลาคือ ${\displaystyle t=1}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{iuX_{1}}\right]=\left({\frac {1}{1-iu\theta \nu +0.5\sigma ^{2}\nu u^{2}}}\right)^{1/\nu },}$

โดยที่และเป็นค่าคงที่บวก ${\displaystyle \theta ,\nu }$${\displaystyle \sigma }$

ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของความแปรปรวนแกมมา SSD คือ

${\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{iuZ_{t}}\right]=\left({\frac {1}{1-iut^{h}\theta \nu +0.5\sigma ^{2}\nu u^{2}t^{2}h}}\right)^{1/\nu }}$^{[ 16 ]}

การจำลองกระบวนการเพิ่มนั้นมีประสิทธิภาพในการคำนวณเนื่องจากความเป็นอิสระของส่วนเพิ่ม ส่วนเพิ่มของกระบวนการเพิ่มสามารถจำลองแยกกันได้ และการจำลองยังสามารถขนานกันได้อีกด้วย^{[ 17 ]}

การจำลองการกระโดดเป็นการขยายไปสู่คลาสของกระบวนการบวกของเทคนิคการจำลองการกระโดดที่พัฒนาขึ้นสำหรับกระบวนการ Lévy วิธีการนี้ขึ้นอยู่กับการตัดการกระโดดเล็กๆ ที่ต่ำกว่าเกณฑ์ที่กำหนดและจำลองการกระโดดอิสระจำนวนจำกัด ยิ่งไปกว่านั้น สามารถใช้การประมาณแบบเกาส์เซียนเพื่อแทนที่การกระโดดเล็กๆ ด้วยเทอมการแพร่กระจาย นอกจากนี้ยังสามารถใช้อัลกอริธึม Zigguratเพื่อเร่งความเร็วในการจำลองการกระโดดได้ อีกด้วย ^{[ 18 ]}

การจำลองกระบวนการ Lévy ผ่านการผกผันฟังก์ชันลักษณะเฉพาะเป็นเทคนิคที่ได้รับการยอมรับอย่างดีในเอกสาร^{[ 19 ]} เทคนิคนี้สามารถขยายไปสู่กระบวนการแบบบวกได้ แนวคิดหลักคือการหาค่าประมาณของฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) โดยการผกผันฟังก์ชันลักษณะเฉพาะความเร็วในการผกผันจะเพิ่มขึ้นโดยการใช้การแปลงฟูริเยร์แบบเร็วเมื่อได้ค่าประมาณของ CDF แล้ว ก็สามารถจำลองการเพิ่มขึ้นของกระบวนการแบบบวกได้โดยการจำลองตัวแปรสุ่มแบบเอกรูป วิธีนี้มีต้นทุนการคำนวณที่คล้ายกับการจำลองการเคลื่อนที่แบบบราวน์ทางเรขาคณิตมาตรฐาน^{[ 20 ]}

กระบวนการ Lévy ใช้ในการจำลองผลตอบแทนลอการิทึมของราคาตลาด น่าเสียดายที่ความคงที่ของส่วนเพิ่มไม่สามารถสร้างข้อมูลตลาดได้อย่างถูกต้อง กระบวนการ Lévy เหมาะสมกับ ราคา ออปชั่นซื้อและออปชั่นขาย ( ความผันผวนโดยนัย ) สำหรับวันหมดอายุเดียว แต่ไม่สามารถเหมาะสมกับราคาออปชั่นที่มีอายุครบกำหนดต่างกัน ( พื้นผิวความผันผวน ) กระบวนการบวกนำเสนอ ความไม่คงที่ แบบกำหนดได้ซึ่งทำให้สามารถเหมาะสมกับวันหมดอายุทั้งหมดได้^{[ 3 ]}

กระบวนการ Sato สี่พารามิเตอร์ (กระบวนการบวกที่คล้ายคลึงกันเอง) สามารถสร้างพื้นผิวความผันผวนได้อย่างถูกต้อง (ข้อผิดพลาด 3% ใน ตลาดหุ้น S&P 500 ) ข้อผิดพลาดในระดับนี้มักจะได้รับจากการใช้แบบจำลองที่มีพารามิเตอร์ 6-10 ตัวเพื่อปรับให้เข้ากับข้อมูลตลาด^{[ 21 ]}กระบวนการที่คล้ายคลึงกันเองอธิบายข้อมูลตลาดได้อย่างถูกต้องเนื่องจากความเบ้ ที่ราบเรียบ และความโค้ง ส่วนเกิน การศึกษาเชิงประจักษ์ได้สังเกตพฤติกรรมนี้ในความเบ้และความโค้งส่วนเกินของตลาด^{[ 22 ]} กระบวนการบางอย่างที่ปรับให้เข้ากับราคาออปชั่นด้วยข้อผิดพลาด 3% ได้แก่ VGSSD, NIGSSD, MXNRSSD ที่ได้มาจากกระบวนการแกมมาความแปรปรวน กระบวนการเกาส์เซียนผกผันปกติ และกระบวนการ Meixner ^{[ 23 ]}

กระบวนการเสถียรแบบเทมเปอร์ปกติแบบเพิ่มนั้นเหมาะสมกับข้อมูลตลาดหุ้นอย่างแม่นยำ (ข้อผิดพลาดต่ำกว่า 0.8% ใน ตลาดหุ้น S&P 500 ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับอายุสั้น ตระกูลของกระบวนการเหล่านี้ยังสร้างความผันผวนโดยนัยของตลาดหุ้นได้อย่างดีเยี่ยม ยิ่งไปกว่านั้น ลักษณะการปรับขนาดกำลังที่น่าสนใจเกิดขึ้นในพารามิเตอร์ที่ปรับเทียบแล้ว^และมีหลักฐานทางสถิติว่า และ[ ^{24 ]}${\displaystyle k_{t}={\bar {k}}t^{\beta }}$${\displaystyle \eta _{t}={\bar {\eta }}t^{\delta }}$${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle \delta =-1/2}$

การจัดลำดับ Lévy ใช้ในการสร้างกระบวนการ Lévy ใหม่ (เช่น กระบวนการแกมมาความแปรปรวนและกระบวนการเกาส์เซียนผกผันปกติ) มีการประยุกต์ใช้กระบวนการที่สร้างขึ้นโดยการจัดลำดับ Lévy ในด้านการเงินจำนวนมาก กระบวนการแบบบวกที่สร้างขึ้นโดยการจัดลำดับแบบบวกยังคงรักษาความสามารถในการวิเคราะห์ของกระบวนการที่สร้างขึ้นโดยการจัดลำดับ Lévy แต่สะท้อนโครงสร้างที่ไม่สม่ำเสมอตามเวลาของข้อมูลตลาดได้ดีกว่า^{[ 25 ]}การจัดลำดับแบบบวกถูกนำไปใช้กับตลาดสินค้าโภคภัณฑ์^{[ 26 ]}และตัวเลือก VIX ^{[ 27 ]}

ตัวประมาณค่าที่อิงตามค่าต่ำสุดของกระบวนการบวกสามารถนำไปใช้กับการประมวลผลภาพได้ ตัวประมาณค่าดังกล่าวมีเป้าหมายเพื่อแยกแยะระหว่างสัญญาณจริงและสัญญาณรบกวนในพิกเซลของภาพ^{[ 4 ]}

• Tankov, Peter; Cont, Rama (2003). การสร้างแบบจำลองทางการเงินด้วยกระบวนการกระโดด . Chapman and Hall. ISBN 1584884134.
• Sato, Ken-Ito (1999). กระบวนการ Lévy และการแจกแจงที่แบ่งได้ไม่จำกัด . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 9780521553025.
• Li, Jing; Li, Lingfei; Mendoza-Arriaga, Rafael (2016). "การจัดลำดับย่อยแบบบวกและการประยุกต์ใช้ในด้านการเงิน" Finance and Stochastics . 20 (3): 2– 6. doi : 10.1007/s00780-016-0300-8 . S2CID  254078941 .
• Carr, Peter; Torricelli, Lorenzo (2021). "กระบวนการโลจิสติกส์แบบบวกในการกำหนดราคาออปชั่น". Finance and Stochastics . 25 (3). arXiv : 1909.07139 . doi : 10.1080/14697688.2021.1983200 . S2CID  202577472 .
• Azzone, Michele; Baviera, Roberto (2022). " กระบวนการเสถียรแบบเทมเปอร์ปกติเพิ่มเติมสำหรับ อนุพันธ์ หุ้นและ การปรับขนาดกฎกำลัง" การเงินเชิงปริมาณ22 doi : 10.1007/s00780-021-00461-8 hdl : 11585/851693 S2CID 234657892 
• Azzone, Michele; Baviera, Roberto (2023). "A fast Monte Carlo scheme for additive processes and option pricing" . Computational Management Science . 20 (1) 31. arXiv : 2112.08291 . doi : 10.1007/s10287-023-00463-1 . hdl : 11311/1242978 .
• Eberlein, Ernst; Madan, Dilip B. (2009). "กระบวนการ Sato และการประเมินมูลค่าของผลิตภัณฑ์ที่มีโครงสร้าง" การเงินเชิงปริมาณ9 (1): 27– 42. doi : 10.1080/14697680701861419 . S2CID  16991478 .
• Ballotta, Laura; Kyriakou, Ioannis (2014). "การจำลองมอนเตคาร์โลของกระบวนการ CGMY และการกำหนดราคาออปชั่น" (PDF)วารสารตลาดฟิวเจอร์ส 34 ( 12): 1095– 1121. doi : 10.1002/fut.21647 .
• Carr, Peter; Geman, Hélyette; Madan, Dilip B.; Yor, Marc (2007). "ความสามารถในการแยกส่วนด้วยตนเองและการกำหนดราคาออปชั่น". การเงินเชิงคณิตศาสตร์17 (1): 31– 57. CiteSeerX  10.1.1.348.3383 . doi : 10.1111/j.1467-9965.2007.00293.x . S2CID  452963 .
• Li, Jing; Li, Lingfei; Zhang, Gongqiu (2017). "แบบจำลองการกระโดดบริสุทธิ์สำหรับการกำหนดราคาและการป้องกันความเสี่ยงของอนุพันธ์ VIX" วารสารพลวัตทางเศรษฐกิจและการควบคุม 74 : 28– 55. doi : 10.1016 /j.jedc.2016.11.001 .
• ภัทตะชารยา, PK; บร็อคเวลล์, พีเจ (1976) "กระบวนการเติมขั้นต่ำพร้อมการประยุกต์ใช้เพื่อส่งสัญญาณการประมาณค่าและทฤษฎีการจัดเก็บ " Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie และ Verwandte Gebiete 37 (1): 51– 75. ดอย : 10.1007/ BF00536298 S2CID  121247350 .