คณิตศาสตร์การเงินหรือที่รู้จักกันในชื่อการเงินเชิงปริมาณและคณิตศาสตร์การเงินเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ประยุกต์ ที่เกี่ยวข้องกับการ สร้าง แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในสาขาการเงิน

โดยทั่วไปแล้ว การเงินมีสองสาขาแยกกันที่ต้องใช้เทคนิคเชิงปริมาณขั้นสูง ได้แก่ การกำหนดราคา อนุพันธ์ในด้านหนึ่ง และ การบริหาร ความเสี่ยงและการจัดการพอร์ตโฟลิโอในอีกด้านหนึ่ง^{[ 1 ]} การเงินเชิงคณิตศาสตร์ทับซ้อนกับสาขาการเงินเชิงคำนวณและวิศวกรรมการเงิน อย่างมาก สาขาหลังเน้นที่การประยุกต์ใช้และการสร้างแบบจำลอง โดยมักใช้แบบจำลองสินทรัพย์สุ่ม ในขณะที่สาขาแรกเน้นที่การสร้างเครื่องมือในการนำแบบจำลองไปใช้ นอกเหนือจากการวิเคราะห์แล้ว การลงทุนเชิงปริมาณก็มีความเกี่ยวข้องเช่นกันโดยอาศัยแบบจำลองทางสถิติและเชิงตัวเลข (และล่าสุดคือการเรียนรู้ของเครื่อง ) แทนการวิเคราะห์พื้นฐาน แบบดั้งเดิม เมื่อจัดการพอร์ตโฟลิโอ

วิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสLouis Bachelierซึ่งได้รับการปกป้องในปี 1900 ถือเป็นงานวิชาการชิ้นแรกเกี่ยวกับคณิตศาสตร์การเงิน แต่คณิตศาสตร์การเงินเพิ่งเกิดขึ้นเป็นสาขาวิชาในช่วงทศวรรษ 1970 ตามผลงานของFischer Black , Myron ScholesและRobert Mertonเกี่ยวกับทฤษฎีการกำหนดราคาออปชั่นการลงทุนทางคณิตศาสตร์มีต้นกำเนิดมาจากการวิจัยของนักคณิตศาสตร์Edward Thorpซึ่งใช้วิธีทางสถิติในการคิดค้นการนับไพ่ในเกมแบล็กแจ็ก เป็นครั้งแรก จากนั้นจึงนำหลักการดังกล่าวไปประยุกต์ใช้กับการลงทุนแบบเป็นระบบในปัจจุบัน^{[ 2 ]}

หัวข้อนี้มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับสาขาวิชาเศรษฐศาสตร์การเงินซึ่งเกี่ยวข้องกับทฤษฎีพื้นฐานส่วนใหญ่ที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์การเงิน ในขณะที่นักเศรษฐศาสตร์ที่ได้รับการฝึกฝนจะใช้แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์ ที่ซับซ้อน ซึ่งสร้างขึ้นจากความสัมพันธ์เชิงประจักษ์ที่สังเกตได้ ในทางตรงกันข้าม การวิเคราะห์ทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์จะอนุมานและขยาย แบบจำลอง ทางคณิตศาสตร์หรือเชิงตัวเลขโดยไม่จำเป็นต้องสร้างความเชื่อมโยงกับทฤษฎีการเงิน โดยใช้ราคาตลาดที่สังเกตได้เป็นข้อมูลป้อนเข้า ดู: การประเมินมูลค่าของออปชั่น ; การสร้างแบบจำลองทางการเงิน ; การ กำหนดราคาสินทรัพย์ทฤษฎีบทพื้นฐานของการกำหนดราคาโดยปราศจากการเก็งกำไรเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทสำคัญในคณิตศาสตร์การเงิน ในขณะที่สมการและสูตรของBlack–Scholesเป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่สำคัญ^{[ 3 ]}

ปัจจุบันมหาวิทยาลัยหลายแห่งเปิดสอนหลักสูตรปริญญาและงานวิจัยด้านคณิตศาสตร์การเงิน

สาขาการเงินสองสาขาที่ต้องใช้เทคนิคเชิงปริมาณขั้นสูง ได้แก่ การกำหนดราคาอนุพันธ์ และการบริหารความเสี่ยงและการจัดการพอร์ตโฟลิโอ ความแตกต่างหลักประการหนึ่งคือการใช้ความน่าจะเป็นที่แตกต่างกัน เช่น ความน่าจะเป็นแบบไร้ความเสี่ยง (หรือความน่าจะเป็นในการกำหนดราคาโดยการเก็งกำไร) ซึ่งแทนด้วย "Q" และความน่าจะเป็นจริง (หรือความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์ประกันภัย) ซึ่งแทนด้วย "P"

โลกของคิว

เป้าหมาย	"คาดการณ์จากสถานการณ์ปัจจุบัน"
สิ่งแวดล้อม	ความน่าจะเป็นที่ปราศจากความเสี่ยง${\displaystyle \mathbb {Q} }$
กระบวนการ	มาร์ติงเกลแบบต่อเนื่อง
มิติ	ต่ำ
เครื่องมือ	แคลคูลัสของอิโตะ, อนุพันธ์ย่อย
ความท้าทาย	การสอบเทียบ
ธุรกิจ	ฝั่งผู้ขาย

เป้าหมายของการกำหนดราคาอนุพันธ์คือการกำหนดราคาที่ยุติธรรมของหลักทรัพย์ที่กำหนดโดยเทียบกับหลักทรัพย์ที่มีสภาพคล่อง สูงกว่า ซึ่งราคาถูกกำหนดโดยกฎของอุปสงค์และอุปทานความหมายของคำว่า "ยุติธรรม" นั้นขึ้นอยู่กับว่าเรากำลังพิจารณาการซื้อหรือขายหลักทรัพย์นั้น ตัวอย่างของหลักทรัพย์ที่ถูกกำหนดราคา ได้แก่ ออปชั่ นแบบธรรมดาและแบบพิเศษพันธบัตรแปลงสภาพ เป็นต้น

เมื่อกำหนดราคาที่ยุติธรรมได้แล้ว ผู้ค้าฝั่งขายสามารถสร้างตลาดสำหรับหลักทรัพย์ได้ ดังนั้น การกำหนดราคาอนุพันธ์จึงเป็นกระบวนการ "การคาดการณ์" ที่ซับซ้อนเพื่อกำหนดมูลค่าตลาดปัจจุบันของหลักทรัพย์ ซึ่งจะถูกนำไปใช้โดยชุมชนฝั่งขาย การกำหนดราคาอนุพันธ์เชิงปริมาณเริ่มต้นโดยLouis Bachelierในทฤษฎีการเก็งกำไร ("Théorie de la spéculation", ตีพิมพ์ในปี 1900) ด้วยการแนะนำกระบวนการพื้นฐานและมีอิทธิพลมากที่สุด นั่นคือการเคลื่อนที่แบบบราวน์และการประยุกต์ใช้กับการกำหนดราคาออปชั่น^{[ 4 ] [ 5 ]}การเคลื่อนที่แบบบราวน์ได้มาจากการใช้สมการ Langevinและการเดินสุ่มแบบไม่ ต่อเนื่อง ^{[ 6 ]} Bachelier จำลองอนุกรมเวลาของการเปลี่ยนแปลงในลอการิทึมของราคาหุ้นเป็นการเดินสุ่มซึ่งการเปลี่ยนแปลงระยะสั้นมีความแปรปรวน จำกัด ทำให้การเปลี่ยนแปลงระยะยาวเป็นไปตาม การกระจายแบบ เกาส์เซียน^{[ 7 ]}

ทฤษฎียังคงนิ่งอยู่จนกระทั่งFischer BlackและMyron Scholesพร้อมด้วยผลงานสำคัญจากRobert C. Mertonได้นำกระบวนการที่มีอิทธิพลมากเป็นอันดับสอง คือการเคลื่อนที่แบบบราวน์เชิงเรขาคณิต มาประยุกต์ ใช้กับการกำหนดราคาออปชั่นด้วยเหตุนี้ M. Scholes และ R. Merton จึงได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ประจำ ปี 1997 Black ไม่มีสิทธิ์ได้รับรางวัลเนื่องจากเขาเสียชีวิตในปี 1995 ^{[ 8 ]}

ขั้นตอนสำคัญถัดไปคือทฤษฎีบทพื้นฐานของการกำหนดราคาสินทรัพย์โดย Harrison และ Pliska (1981) ซึ่งระบุว่าราคาปัจจุบันP ₀ของหลักทรัพย์ที่ได้รับการปรับมาตรฐานอย่างเหมาะสมนั้นปราศจากการเก็งกำไร และยุติธรรมอย่างแท้จริงก็ต่อเมื่อมีกระบวนการสุ่มP _t ที่มี ค่าคาดหวังคงที่ซึ่งอธิบายวิวัฒนาการในอนาคต: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle P_{0}=\mathbf {E} _{0}(P_{t})}$

1

กระบวนการที่สอดคล้องกับ ( 1 ) เรียกว่า " มาร์ติงเกล " มาร์ติงเกลจะไม่ให้รางวัลแก่ความเสี่ยง ดังนั้นความน่าจะเป็นของกระบวนการราคาหลักทรัพย์ปกติจึงเรียกว่า "เป็นกลางต่อความเสี่ยง" และโดยทั่วไปจะใช้ตัวอักษรแบบกระดานดำ " " ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ความสัมพันธ์ ( 1 ) จะต้องเป็นจริงสำหรับทุกช่วงเวลา t: ดังนั้นกระบวนการที่ใช้สำหรับการกำหนดราคาอนุพันธ์จึงถูกกำหนดในเวลาต่อเนื่องตามธรรมชาติ

นักวิเคราะห์เชิงปริมาณ ( quants ) ใน "โลกของ Q" มุ่งเน้นไปที่การกำหนดราคาผลิตภัณฑ์อนุพันธ์ บทบาทของพวกเขาจำเป็นต้องมีความเข้าใจอย่างละเอียดเกี่ยวกับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ใช้สำหรับเครื่องมือทางการเงินเฉพาะด้าน

หลักทรัพย์มีราคาเป็นรายบุคคล ดังนั้นปัญหาในโลก Q จึงมีมิติต่ำ การปรับเทียบเป็นหนึ่งในความท้าทายหลักของโลก Q: เมื่อกระบวนการพารามิเตอร์แบบต่อเนื่องได้รับการปรับเทียบกับชุดหลักทรัพย์ที่ซื้อขายผ่านความสัมพันธ์เช่น ( 1 ) ความสัมพันธ์ที่คล้ายกันจะถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดราคาของอนุพันธ์ใหม่

เครื่องมือเชิงปริมาณหลักที่จำเป็นในการจัดการกระบวนการ Q แบบต่อเนื่องคือแคลคูลัสเชิงสุ่มของ Itôการจำลองและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDEs) ^{[ 10 ]}

โลกของ P

เป้าหมาย	"สร้างแบบจำลองอนาคต"
สิ่งแวดล้อม	ความน่าจะเป็นในโลกแห่งความเป็นจริง${\displaystyle \mathbb {P} }$
กระบวนการ	อนุกรมเวลาไม่ต่อเนื่อง
มิติ	ใหญ่
เครื่องมือ	สถิติหลายตัวแปร
ความท้าทาย	การประมาณค่า
ธุรกิจ	ฝั่งผู้ซื้อ

การบริหารความเสี่ยงและการจัดการพอร์ตโฟลิโอมีเป้าหมายเพื่อสร้างแบบจำลองการกระจายความน่าจะเป็นเชิงสถิติของราคาตลาดของหลักทรัพย์ทั้งหมดในช่วงเวลาการลงทุนในอนาคตที่กำหนด การกระจายความน่าจะเป็น "ที่แท้จริง" ของราคาตลาดนี้โดยทั่วไปจะใช้ตัวอักษร " " แทนด้วย "ความน่าจะเป็น" (P) ซึ่งแตกต่างจากความน่าจะเป็น "ที่ปราศจากความเสี่ยง" (" ") ที่ใช้ในการกำหนดราคาอนุพันธ์ โดยอิงจากการกระจายความน่าจะเป็น P นี้ นักลงทุนจะตัดสินใจว่าจะซื้อหลักทรัพย์ใดเพื่อปรับปรุงผลกำไรและขาดทุนในอนาคตของพอร์ตโฟลิโอของตน ปัจจุบันกระบวนการนี้มีการทำงานแบบอัตโนมัติมากขึ้นเรื่อยๆ ดูหัวข้อ "ภาพรวมทางการเงิน § การลงทุนเชิงปริมาณ"สำหรับรายชื่อบทความที่เกี่ยวข้อง ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

จากการทำงานบุกเบิกของพวกเขามาร์โควิทซ์และชาร์ปร่วมกับเมอร์ตัน มิลเลอร์ ได้รับ รางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ประจำปี 1990 ซึ่งเป็นครั้งแรกที่มีการมอบรางวัลนี้ให้กับผลงานด้านการเงิน

งานการเลือกพอร์ตโฟลิโอของ Markowitz และ Sharpe ได้นำคณิตศาสตร์มาใช้ในการจัดการการลงทุนเมื่อเวลาผ่านไป คณิตศาสตร์ก็มีความซับซ้อนมากขึ้น ด้วยความช่วยเหลือของ Robert Merton และPaul Samuelsonโมเดลหนึ่งช่วงเวลาถูกแทนที่ด้วยโมเดลการเคลื่อนที่แบบบราวน์ ในเวลาต่อเนื่อง และฟังก์ชันอรรถประโยชน์ กำลังสองที่ แฝงอยู่ในการเพิ่มประสิทธิภาพค่าเฉลี่ย-ความแปรปรวนถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชันอรรถประโยชน์แบบเว้าที่เพิ่มขึ้นทั่วไปมากขึ้น^{[ 11 ]}นอกจากนี้ ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา จุดสนใจได้เปลี่ยนไปสู่ความเสี่ยงในการประมาณค่า กล่าวคือ อันตรายของการสันนิษฐานอย่างไม่ถูกต้องว่าการวิเคราะห์อนุกรมเวลาขั้นสูงเพียงอย่างเดียวสามารถให้การประมาณค่าพารามิเตอร์ของตลาดได้อย่างแม่นยำอย่างสมบูรณ์^{[ 12 ]} ดูการจัดการความเสี่ยงทางการเงิน § การจัดการการลงทุน

ความพยายามมากมายได้ทุ่มเทให้กับการศึกษาตลาดการเงินและการเปลี่ยนแปลงราคาตามเวลา ชาร์ลส์ ดาวหนึ่งในผู้ก่อตั้งบริษัทดาวโจนส์แอนด์คอมพานีและวอลล์สตรีทเจอร์นัลได้กล่าวถึงแนวคิดชุดหนึ่งในเรื่องนี้ ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าทฤษฎีดาว (Dow Theory ) นี่คือพื้นฐานของ วิธี การวิเคราะห์ทางเทคนิคที่พยายามทำนายการเปลี่ยนแปลงในอนาคต หลักการหนึ่งของการวิเคราะห์ทางเทคนิคคือแนวโน้มของตลาดบ่งชี้ถึงอนาคต อย่างน้อยก็ในระยะสั้น ข้ออ้างของนักวิเคราะห์ทางเทคนิคถูกโต้แย้งโดยนักวิชาการหลายคน แม้ว่าการศึกษาเชิงประจักษ์จำนวนมากได้ตรวจสอบประสิทธิภาพของการวิเคราะห์ทางเทคนิค แต่ก็ยังไม่มีข้อสรุปที่แน่ชัดเกี่ยวกับประโยชน์ในการพยากรณ์ตลาดการเงิน^{[ 13 ]}

ตลอดหลายปีที่ผ่านมา มีการพัฒนารูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากขึ้นเรื่อยๆ และกลยุทธ์การกำหนดราคาอนุพันธ์ แต่ความน่าเชื่อถือของรูปแบบเหล่านั้นได้รับความเสียหายจากวิกฤตการณ์ทางการเงินในปี 2008

การปฏิบัติทางการเงินเชิงคณิตศาสตร์ในปัจจุบันได้รับการวิพากษ์วิจารณ์จากบุคคลสำคัญในสาขานี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง^Paul WilmottและNassim Nicholas TalebในหนังสือThe Black Swan ของเขา ^{[ 14} ] Taleb อ้างว่าราคาของสินทรัพย์ทางการเงินไม่สามารถอธิบายได้ด้วยแบบจำลองง่ายๆ ที่ใช้อยู่ในปัจจุบัน ทำให้การปฏิบัติในปัจจุบันส่วนใหญ่ไม่เกี่ยวข้องอย่างดีที่สุด และในกรณีที่แย่ที่สุด อาจทำให้เกิดความเข้าใจผิดอย่างอันตราย Wilmott และEmanuel Dermanได้ตีพิมพ์Financial Modelers' Manifestoในเดือนมกราคม 2009 ^{[ 15 ]}ซึ่งกล่าวถึงข้อกังวลที่สำคัญที่สุดบางประการ ปัจจุบันหน่วยงานต่างๆ เช่นInstitute for New Economic Thinkingกำลังพยายามพัฒนาทฤษฎีและวิธีการใหม่ๆ^{[ 16 ]}

โดยทั่วไป การจำลองการเปลี่ยนแปลงโดยใช้การแจกแจงที่มีความแปรปรวนจำกัดนั้น นับวันยิ่งถูกมองว่าไม่เหมาะสม^{[ 17 ]} ในช่วงทศวรรษ 1960 เบอนัวต์ แมนเดลบร็อตค้นพบว่าการเปลี่ยนแปลงของราคาไม่ได้เป็นไปตามการแจกแจงแบบเกาส์เซียนแต่สามารถจำลองได้ดีกว่าโดยการแจกแจงแบบ Lévy alpha- stable [ ^{18 ] ขนาด}ของการเปลี่ยนแปลงหรือความผันผวนขึ้นอยู่กับความยาวของช่วงเวลาโดยยกกำลังมากกว่า 1/2 เล็กน้อย การเปลี่ยนแปลงขึ้นหรือลงขนาดใหญ่มีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นมากกว่าที่คำนวณได้โดยใช้การแจกแจงแบบเกาส์เซียนที่มีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน โดยประมาณ แต่ปัญหาคือมันไม่ได้แก้ปัญหา เพราะทำให้การกำหนดพารามิเตอร์ยากขึ้นมาก และการควบคุมความเสี่ยงมีความน่าเชื่อถือน้อยลง^{[ 14 ]}

ที่สำคัญยิ่งกว่านั้นคือ แม้ว่าแบบจำลองทางการเงินทางคณิตศาสตร์อาจสร้างผลกำไรในระยะสั้นได้ แต่แบบจำลองประเภทนี้มักขัดแย้งกับหลักการสำคัญของเศรษฐศาสตร์มหภาคสมัยใหม่ นั่นคือการวิจารณ์ของลูคัสหรือความคาดหวังเชิงเหตุผลซึ่งระบุว่าความสัมพันธ์ที่สังเกตได้อาจไม่ใช่โครงสร้างตามธรรมชาติ และดังนั้นจึงอาจไม่สามารถนำไปใช้ประโยชน์เพื่อนโยบายสาธารณะหรือเพื่อผลกำไรได้ เว้นแต่เราจะระบุความสัมพันธ์โดยใช้การวิเคราะห์เชิงสาเหตุและเศรษฐศาสตร์เชิง ปริมาณ ^{[ 19 ]} ดังนั้น แบบจำลองทางการเงินทางคณิตศาสตร์จึงไม่ได้รวมองค์ประกอบที่ซับซ้อนของจิตวิทยาของมนุษย์ซึ่งมีความสำคัญต่อการสร้างแบบจำลองการ เคลื่อนไหว ทางเศรษฐศาสตร์มหภาคสมัยใหม่ เช่น ความตื่นตระหนก ที่เกิดขึ้นเองซึ่งกระตุ้นให้เกิดการแห่ถอนเงินจากธนาคาร

• Nicole El Karoui , "อนาคตของคณิตศาสตร์ทางการเงิน" , ParisTech Review , 6 กันยายน 2013
• Harold Markowitz , "การเลือกพอร์ตโฟลิโอ", วารสารการเงิน , 7, 1952, หน้า 77–91
• วิลเลียม เอฟ. ชาร์ป , การลงทุน , เพรนติส-ฮอลล์, 1985
• Pierre Henry Labordere (2017). “Model-Free Hedging A Martingale Optimal Transport Viewpoint”. Chapman & Hall/ CRC.