ในการเงินเชิงปริมาณแบบจำลองแลตติส [ ^{1 ] เป็น}วิธีการเชิงตัวเลข ในการประเมินมูลค่าอนุพันธ์ในสถานการณ์ที่ต้องการ แบบจำลอง เวลาแบบไม่ต่อเนื่องสำหรับออปชั่น หุ้นที่จ่ายเงินปันผล การประยุกต์ใช้ทั่วไปจะสอดคล้องกับการกำหนดราคาของออปชั่นแบบอเมริกันซึ่งอนุญาตให้ตัดสินใจใช้สิทธิได้เมื่อปิดตลาดในวันใดก็ได้จนถึงวันครบกำหนด ในทางกลับกัน แบบจำลองต่อเนื่อง เช่น แบบจำลองBlack–Scholes มาตรฐาน จะอนุญาตให้ประเมินมูลค่าเฉพาะออปชั่นแบบยุโรป เท่านั้น ซึ่งการใช้สิทธิจะจำกัดอยู่ที่วันครบกำหนดของออปชั่นสำหรับอนุพันธ์อัตราดอกเบี้ย แล ตติส ยังมีประโยชน์เพิ่มเติมตรงที่สามารถแก้ไขปัญหาหลายอย่างที่พบในแบบจำลองต่อเนื่อง เช่นการดึงไปสู่ราคาพาร์ [ ^{2 ] วิธี}นี้ยังใช้สำหรับการประเมินมูลค่าออปชั่นแปลกใหม่ บางประเภท เนื่องจากมีการพึ่งพาเส้นทางในผลตอบแทนวิธีการ Monte Carlo แบบดั้งเดิมสำหรับการกำหนดราคาออปชั่นไม่สามารถคำนึงถึงการตัดสินใจที่เหมาะสมที่สุดในการยุติอนุพันธ์โดยการใช้สิทธิก่อนกำหนด^{[ 3 ]}แต่ปัจจุบันมีวิธีการบางอย่างที่สามารถแก้ปัญหานี้ได้แล้ว

โดยทั่วไป วิธีการคือการแบ่งช่วงเวลาระหว่างปัจจุบันกับวันหมดอายุของออปชั่นออกเป็นNช่วงเวลาย่อย ณ เวลาnแบบจำลองจะมีผลลัพธ์จำนวนจำกัด ณ เวลาn  + 1 ซึ่งการเปลี่ยนแปลงที่เป็นไปได้ทั้งหมดในสถานะของโลกระหว่างnและn  + 1 จะถูกบันทึกไว้ในแต่ละสาขา กระบวนการนี้จะทำซ้ำไปเรื่อยๆ จนกว่าจะได้แผนที่เส้นทางที่เป็นไปได้ทั้งหมดระหว่างn = 0 และn = Nจากนั้นจะประมาณค่าความน่าจะเป็นสำหรับทุก เส้นทางจาก nไปยังn  + 1 ผลลัพธ์และความน่าจะเป็นจะไหลย้อนกลับไปตามโครงสร้างต้นไม้จนกว่าจะคำนวณมูลค่าที่เหมาะสมของออปชั่นในปัจจุบันได้

สำหรับ ออปชั่น หุ้นและสินค้าโภคภัณฑ์ของยุโรป การประยุกต์ใช้เป็นดังนี้ ขั้นตอนแรกคือการติดตามวิวัฒนาการของตัวแปรอ้างอิงหลักของออปชั่น โดยเริ่มจากราคาสปอต ในปัจจุบัน เพื่อให้กระบวนการ นี้ สอดคล้องกับความผันผวน โดยปกติจะถือว่าการเคลื่อนที่แบบบราวน์แบบลอการิทมิกปกติ ที่มีความผันผวนคงที่ ^{[ 4 ]}ขั้นตอนต่อไปคือการประเมินมูลค่าออปชั่นแบบวนซ้ำ โดยย้อนกลับจากขั้นตอนเวลาสุดท้าย ซึ่งเรามีมูลค่าการใช้สิทธิ ที่แต่ละโหนด และใช้การประเมินมูลค่าแบบไร้ความเสี่ยงที่แต่ละโหนดก่อนหน้า โดยที่มูลค่าออปชั่นคือ มูลค่าปัจจุบันถ่วงน้ำหนักตามความน่าจะเป็นของโหนดขึ้นและลงในขั้นตอนเวลาต่อมา ดู รายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่แบบจำลอง การกำหนดราคาออปชั่นแบบทวินาม § วิธีการรวมถึงการกำหนดราคาอย่างมีเหตุผล § การประเมินมูลค่าแบบไร้ความเสี่ยงสำหรับตรรกะและการได้มาซึ่งสูตร

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น แนวทางแบบแลตติสมีประโยชน์อย่างยิ่งในการประเมินมูลค่าออปชั่นแบบอเมริกันซึ่งสามารถจำลองการเลือกว่าจะใช้สิทธิ์ออปชั่นก่อนกำหนดหรือถือออปชั่นไว้ได้ในแต่ละชุดเวลา/ราคาที่กำหนดไว้ นอกจากนี้ยังใช้ได้กับออปชั่นแบบเบอร์มูดา ด้วย ด้วยเหตุผลที่คล้ายกันออปชั่นจริงและออปชั่นหุ้นของพนักงานมักถูกจำลองโดยใช้กรอบงานแลตติส แม้ว่าจะมีการปรับเปลี่ยนสมมติฐานก็ตาม ในแต่ละกรณีเหล่านี้ ขั้นตอนที่สามคือการพิจารณาว่าควรใช้สิทธิ์ออปชั่นหรือถือไว้ จากนั้นจึงนำค่านี้ไปใช้ที่โหนดที่เกี่ยวข้องออปชั่นแปลกใหม่ บางอย่าง เช่นออปชั่นแบบมีเงื่อนไข ก็สามารถจำลองได้ง่ายเช่นกัน สำหรับออปชั่ นที่ขึ้นอยู่กับเส้นทางอื่นๆการจำลองจะเป็นวิธีที่เหมาะสมกว่า (แม้ว่าจะมีการพัฒนาวิธีการแบบต้นไม้แล้วก็ตาม ^{[ 5 ] [ 6 ]} )

แบบจำลองแลตติซที่ง่ายที่สุดคือแบบจำลองการกำหนดราคาออปชั่นแบบทวินาม [ ^{7 ] วิธี}มาตรฐาน ("แบบแคนอนิก" ^{[ 8 ]} ) คือวิธีที่เสนอโดยCox , RossและRubinstein (CRR) ในปี 1979 ดูแผนภาพสำหรับสูตร มีการพัฒนาวิธีการอื่น ๆ อีกกว่า 20 วิธี^{[ 9 ]}โดยแต่ละวิธี "ได้มาภายใต้สมมติฐานที่หลากหลาย" เกี่ยวกับการพัฒนาราคาของสินทรัพย์อ้างอิง^{[ 4 ]}ในขีดจำกัดเมื่อจำนวนขั้นตอนเวลาเพิ่มขึ้น วิธีเหล่านี้จะลู่เข้าสู่การแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติและด้วยเหตุนี้จึงสร้างราคาออปชั่น "เดียวกัน" กับ Black-Scholes: เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ วิธีเหล่านี้จะพยายามให้สอดคล้องกับโมเมนต์กลางโมเมนต์ดิบและ/หรือโมเมนต์ลอการิทมิก ของสินทรัพย์อ้างอิง ในแต่ละขั้นตอนเวลาตามที่วัดแบบไม่ต่อเนื่องการปรับปรุงเพิ่มเติมได้รับการออกแบบเพื่อให้เกิดความเสถียรเมื่อเทียบกับ Black-Scholes เมื่อจำนวนขั้นตอนเวลาเปลี่ยนแปลง ในความเป็นจริงแล้ว แบบจำลองล่าสุดได้รับการออกแบบโดยคำนึงถึงการบรรจบกันโดยตรงของ Black-Scholes ^{[ 9 ]}

รูปแบบหนึ่งของแบบจำลองทวินามคือแบบจำลองไตรนาม^{[ 10 ] [ 11 ]}ซึ่งพัฒนาโดยPhelim Boyleในปี 1986 ในแบบจำลองนี้ ราคาหุ้นอาจคงที่ตลอดช่วงเวลา และการประเมินมูลค่าออปชั่นจะขึ้นอยู่กับมูลค่าของหุ้นที่โหนดขึ้น ลง และตรงกลางในช่วงเวลาต่อมา เช่นเดียวกับแบบจำลองทวินาม มีวิธีการที่คล้ายกัน (แม้ว่าจะน้อยกว่า) อยู่หลายวิธี แบบจำลองไตรนามถือว่า^{[ 12 ]}ให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำกว่าแบบจำลองทวินามเมื่อจำลองช่วงเวลาน้อยลง ดังนั้นจึงใช้เมื่อความเร็วในการคำนวณหรือทรัพยากรอาจเป็นปัญหา สำหรับออปชั่นแบบธรรมดาเมื่อจำนวนขั้นตอนเพิ่มขึ้น ผลลัพธ์จะลู่เข้าอย่างรวดเร็ว และแบบจำลองทวินามจึงเป็นที่นิยมมากกว่าเนื่องจากการใช้งานที่ง่ายกว่า สำหรับออปชั่นแบบพิเศษ แบบจำลองไตรนาม (หรือการปรับเปลี่ยน) บางครั้งมีความเสถียรและแม่นยำกว่า โดยไม่คำนึงถึงขนาดของขั้นตอน

สำหรับสินทรัพย์อ้างอิง หลายรายการ เช่น ตัวเลือก RainbowและBasketสามารถสร้าง"โครงสร้างแลตติสแบบพหุนาม" ^{[ 13 ]} ได้ สินทรัพย์อ้างอิงแต่ละรายการจะมีต้นไม้ของตัวเอง และค่าตัวเลือกต่อโหนดจะเป็นฟังก์ชันของโหนดที่สอดคล้องกันในต้นไม้อ้างอิงทั้งหมด ในกรณีที่มีสินทรัพย์สองรายการ ต้นไม้ดังกล่าวจะถูกเรียกว่า " พีระมิด แบบทวินาม " ^{[ 13 ]} มีความซับซ้อนเพิ่มเติมอีกสองประการ^{[ 14 ]} ประการแรก จำนวนโหนดจะเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณตามจำนวนสินทรัพย์อ้างอิง ประการที่สอง ในผลิตภัณฑ์เหล่านี้ ความสัมพันธ์ระหว่างสินทรัพย์มีบทบาทสำคัญ และความสัมพันธ์เหล่านี้จะต้องรวมอยู่ในแบบจำลองด้วย

ค่าต่างๆ ของกรีกสามารถประมาณได้โดยตรงบนแลตทิซโดยที่ความไวจะถูกคำนวณโดยใช้ความแตกต่างแบบจำกัด [ ^{15 ] เดลต้า}และแกมมาซึ่งเป็นความไวของมูลค่าออปชั่นเทียบกับราคา จะถูกประมาณโดยพิจารณาจากความแตกต่างระหว่างราคาออปชั่น – กับจุดที่เกี่ยวข้อง – ในช่วงเวลาเดียวกันธีตาความไวต่อเวลา ก็จะถูกประมาณเช่นกันโดยพิจารณาจากราคาออปชั่นที่โหนดแรกในต้นไม้และราคาออปชั่นสำหรับจุดเดียวกันในช่วงเวลาต่อมา (ช่วงเวลาที่สองสำหรับพหุนามสามพจน์ ช่วงเวลาที่สามสำหรับพหุนามสองพจน์ ขึ้นอยู่กับวิธีการ หาก "ปัจจัยลง" ไม่ใช่ส่วนกลับของ "ปัจจัยขึ้น" วิธีนี้จะไม่แม่นยำ) สำหรับโรความไวต่ออัตราดอกเบี้ย และเวก้าความไวต่อความผันผวนของอินพุต การวัดจะเป็นแบบทางอ้อม เนื่องจากต้องคำนวณค่าอีกครั้งบนแลตทิซใหม่ที่สร้างขึ้นโดยมีการเปลี่ยนแปลงอินพุตเหล่านี้เล็กน้อย – และความไวในที่นี้ก็จะถูกส่งคืนผ่านความแตกต่างแบบจำกัดเช่นกัน ดูเพิ่มเติมที่Fugitซึ่งเป็นเวลาโดยประมาณในการใช้สิทธิสำหรับออปชั่นที่ไม่ใช่แบบยุโรป ซึ่งโดยทั่วไปจะคำนวณโดยใช้โครงสร้างแบบแลตติซ

นับตั้งแต่เกิดวิกฤตการณ์ทางการเงินในปี 1987และโดยเฉพาะอย่างยิ่งตั้งแต่เกิดวิกฤตการณ์ทางการเงินในปี 2008 เป็นต้นมา การนำเอาลักษณะโค้ง / พื้นผิวของความผันผวน (volatility smile / surface) มาใช้ ในแบบจำลองการกำหนดราคาจึงมีความสำคัญมากขึ้น เนื่องจากแบบจำลองนี้ยอมรับข้อเท็จจริงที่ว่าการกระจายตัวของการเปลี่ยนแปลงราคาพื้นฐานนั้นแสดงโครงสร้างระยะเวลาและไม่เป็นไปตามการกระจายแบบปกติ ซึ่งแตกต่างจากที่แบบจำลอง Black-Scholes สมมติไว้ (ดูเศรษฐศาสตร์การเงิน § การกำหนดราคาอนุพันธ์และการประเมินมูลค่าออปชั่น § หลังวิกฤต ) โดยทั่วไปแล้ว ธนาคารจะใช้แบบจำลองความผันผวนแบบสุ่มหรือแบบเฉพาะที่ (stochastic or local volatility models) ในการทำเช่นนั้นในกรอบงาน Lattice สามารถสร้างต้นไม้โดยนัย ( implied trees ) ได้ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเป็นการแบ่งส่วนย่อยของแบบจำลองดังกล่าว ในที่นี้ ต้นไม้จะถูกแก้ปัญหาเพื่อให้สามารถจำลองราคาตลาดที่เลือก (ทั้งหมด) ได้สำเร็จ ในราคาใช้สิทธิและวันหมดอายุต่างๆ ดังนั้น ต้นไม้เหล่านี้จึง "รับประกันว่าออปชั่นมาตรฐานยุโรปทั้งหมด (ที่มีราคาใช้สิทธิและวันหมดอายุตรงกับโหนดของต้นไม้) จะมีค่าทางทฤษฎีที่ตรงกับราคาตลาด" ^{[ 16 ]}เมื่อใช้แลตทิซที่ปรับเทียบแล้ว เราสามารถกำหนดราคาออปชั่นด้วยชุดค่าใช้สิทธิ/อายุครบกำหนดที่ไม่ได้เสนอราคาในตลาดได้ โดยที่ราคาเหล่านี้จะสอดคล้องกับรูปแบบความผันผวนที่สังเกตได้ สำหรับการจัดการความเสี่ยง ค่ากรีกที่ส่งคืนจะสะท้อนถึงความไวได้อย่างเหมาะสมยิ่งขึ้น

มีทั้งต้นไม้ทวินามโดยนัยซึ่งมักจะ เป็น Rubinstein IBTs (R-IBT) ^{[ 17 ]}และต้นไม้ไตรนามโดยนัยซึ่งมักจะ เป็น Derman -Kani- Chriss ^{[ 16 ]} (DKC; แทนที่ DK-IBT ^{[ 18 ]} ) แบบแรกสร้างได้ง่ายกว่า แต่สอดคล้องกับระยะเวลาครบกำหนดเพียงระยะเดียวเท่านั้น ส่วนแบบหลังจะสอดคล้องกับ แต่ในขณะเดียวกันก็ต้องการราคาที่ทราบ (หรือประมาณค่า ) ในทุกช่วงเวลาและทุกโหนด สำหรับการสร้าง R-IBT ขั้นตอนแรกคือการกู้คืน "ความน่าจะเป็นที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงโดยนัยของราคาสปอต" จากนั้นโดยสมมติฐานว่าเส้นทางทั้งหมดที่นำไปสู่โหนดปลายทางเดียวกันมีความน่าจะเป็นที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงเท่ากัน "ความน่าจะเป็นของเส้นทาง" จะถูกกำหนดให้กับแต่ละโหนดปลายทาง หลังจากนั้น "มันง่ายเหมือนหนึ่ง สอง สาม" และการเรียกซ้ำแบบย้อนกลับสามขั้นตอนช่วยให้สามารถกู้คืนความน่าจะเป็นของโหนดสำหรับแต่ละขั้นตอนเวลาได้ จากนั้นการประเมินมูลค่าออปชั่นจะดำเนินการตามมาตรฐาน โดยใช้ความน่าจะเป็นเหล่านี้แทนค่าข้างต้น สำหรับ DKC ขั้นตอนแรกคือการกู้คืนราคาสถานะที่สอดคล้องกับแต่ละโหนดในต้นไม้ เพื่อให้สอดคล้องกับราคาออปชั่นที่สังเกตได้ (เช่น กับพื้นผิวความผันผวน) หลังจากนั้นจะพบความน่าจะเป็นขึ้น ลง และตรงกลางสำหรับแต่ละโหนด โดยที่: ผลรวมของสิ่งเหล่านี้เท่ากับ 1; ราคาสปอตที่อยู่ติดกันในแต่ละขั้นตอนเวลาจะพัฒนาไปอย่างเป็นกลางต่อความเสี่ยง โดยรวมผลตอบแทนจากเงินปันผล ; ราคาสถานะจะ "เติบโต" ในทำนองเดียวกันที่อัตราปลอดความเสี่ยง^{[ 19 ]} (วิธีแก้ปัญหานี้เป็นแบบวนซ้ำต่อขั้นตอนเวลา แทนที่จะเป็นแบบพร้อมกัน) สำหรับ R-IBT การประเมินมูลค่าออปชั่นจะดำเนินการโดยการเรียกซ้ำแบบย้อนกลับมาตรฐาน ${\displaystyle p}$

อีกทางเลือกหนึ่งคือ อาจใช้ต้นไม้ทวินาม Edgeworth ^{[ 20 ]} เนื่องจากต้นไม้เหล่านี้อนุญาตให้นักวิเคราะห์ระบุ ค่าความเบี่ยงเบนและความโค้งในผลตอบแทนราคาสปอต (ดูชุด Edgeworth ) ในที่นี้ ออปชั่นที่มีราคาใช้สิทธิต่างกันจะให้ค่าความผันผวนโดยนัยที่แตกต่างกัน และต้นไม้สามารถปรับเทียบให้เข้ากับรอยยิ้มของความผันผวนได้ โดยการเลือกค่าพารามิเตอร์อย่างชาญฉลาด^{[ 21 ]}สำหรับการกำหนดราคาออปชั่นแบบอเมริกัน การประเมินมูลค่าจะขึ้นอยู่กับ R-IBT เมื่อรวมกับการกระจายอายุครบกำหนดที่ปรับเทียบแล้ว วิธีการของ Edgeworth มีข้อจำกัดเกี่ยวกับชุดของคู่ค่าความเบี่ยงเบนและความโค้งที่มีการกระจายที่ถูกต้องต้นไม้ทวินาม Johnsonรุ่น ใหม่กว่า ^{[ 22 ]} จึงใช้การกระจาย "ตระกูล" ของ Johnsonเนื่องจากสามารถรองรับคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ต้นไม้ Edgeworth (หรือ Johnson) ยังมีประโยชน์สำหรับการใช้งานอื่นๆ ที่พฤติกรรมของสินทรัพย์อ้างอิงเบี่ยงเบน (อย่างเห็นได้ชัด) จากปกติ ตัวอย่างเช่น ต้นไม้เหล่านี้สามารถนำไปใช้กับตัวเลือกแบบหลายตัวเลือกได้ เช่น ตัวเลือกตะกร้าสามารถกำหนดราคาได้โดยใช้ "การกระจายโดยประมาณ" ^{[ 23 ]} ซึ่งให้โหนดปลาย รวมถึงค่าเบี่ยงเบนและค่าความโค้ง ซึ่งต้นไม้จะถูกสร้างขึ้น

สำหรับการสร้างแบบจำลองCVA / XVAผ่านโครงข่าย โปรดดูด้านล่าง

โดยทั่วไปแล้ว Lattices จะถูกใช้ในการประเมินมูลค่าของตัวเลือกพันธบัตร , swaptionsและอนุพันธ์อัตราดอกเบี้ย อื่นๆ ^{[ 24 ] [ 25 ]}ในกรณีเหล่านี้ การประเมินมูลค่าส่วนใหญ่จะเป็นดังที่กล่าวมาข้างต้น แต่ต้องมีขั้นตอนเพิ่มเติมอีกหนึ่งขั้นตอน คือ การสร้างต้นไม้ของอัตราดอกเบี้ย ซึ่งราคาของสินทรัพย์อ้างอิงจะอิงตามต้นไม้ดังกล่าว ขั้นตอนต่อไปก็แตกต่างกันเช่นกัน: ราคาของสินทรัพย์อ้างอิงในที่นี้จะถูกสร้างขึ้นผ่าน "การเหนี่ยวนำย้อนกลับ" กล่าวคือ ไหลย้อนกลับจากวันครบกำหนด โดยสะสมมูลค่าปัจจุบันของกระแสเงินสดที่กำหนดไว้ในแต่ละโหนด แทนที่จะไหลไปข้างหน้าจากวันที่ประเมินมูลค่าดังที่กล่าวมาข้างต้น ขั้นตอนสุดท้าย การประเมินมูลค่าตัวเลือก จะดำเนินการตามมาตรฐาน ดูภาพประกอบด้านบน และคำอธิบายเพิ่มเติมด้านข้าง

โครงสร้างแลตติซเริ่มต้นสร้างขึ้นโดยการแบ่งย่อยโมเดลอัตราสั้นเช่นHull–WhiteหรือBlack Derman Toyหรือ โมเดลที่อิงตาม อัตราล่วงหน้าเช่นโมเดลตลาด LIBORหรือHJMสำหรับส่วนของทุน อาจใช้ต้นไม้ไตรนามสำหรับโมเดลเหล่านี้ได้เช่นกัน^{[ 26 ]}ซึ่งมักจะเป็นกรณีสำหรับต้นไม้ Hull-White

ภายใต้ HJM ^{[ 27 ]}เงื่อนไขของการไม่มีการเก็งกำไรหมายความว่ามีการวัดความน่าจะเป็นของมาร์ติงเกล อยู่ เช่นเดียวกับข้อจำกัดที่สอดคล้องกันเกี่ยวกับ "สัมประสิทธิ์การเคลื่อนตัว" ของอัตราล่วงหน้า ซึ่งในทางกลับกันเป็นฟังก์ชันของความผันผวนของอัตราล่วงหน้า^{[ 28 ]}การแสดงออกแบบไม่ต่อเนื่องที่ "ง่าย" ^{[ 29 ]}สำหรับการเคลื่อนตัวจะช่วยให้สามารถแสดงอัตราล่วงหน้าในโครงข่ายทวินามได้ สำหรับแบบจำลองที่อิงตามอัตราล่วงหน้าเหล่านี้ ขึ้นอยู่กับสมมติฐานความผันผวน โครงข่ายอาจไม่สามารถรวมกันได้^{[ 30 ] [ 27 ]} (ซึ่งหมายความว่า "การเคลื่อนไหวขึ้น" ตามด้วย "การเคลื่อนไหวลง" จะไม่ให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับ "การเคลื่อนไหวลง" ตามด้วย "การเคลื่อนไหวขึ้น") ในกรณีนี้ บางครั้ง Lattice จะถูกเรียกว่า "พุ่มไม้" และจำนวนโหนดจะเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณตามจำนวนขั้นตอนเวลา นอกจากนี้ยังมีวิธีการสร้างต้นไม้ทวินามแบบรวมใหม่สำหรับแบบจำลองตลาด Libor ^{[ 31 ]}

สำหรับแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นนั้น จะถูกแบ่งย่อยออกไปอีก โดยจะเป็นแบบจำลองที่อิงตามสมดุล ( VasicekและCIR ) หรือ แบบ จำลองที่ปราศจากการเก็งกำไร ( Ho–Leeและ แบบ จำลองต่อมา ) ความแตกต่างนี้เกิดขึ้นเนื่องจากแบบจำลองที่อิงตามสมดุลนั้นเส้นอัตราผลตอบแทนเป็นผลลัพธ์จากแบบจำลอง ในขณะที่แบบจำลองที่ปราศจากการเก็งกำไรนั้น เส้นอัตราผลตอบแทนเป็นปัจจัยนำเข้าของแบบจำลอง^{[ 32 ]}ในกรณีแรก วิธีการคือการ "ปรับเทียบ" พารามิเตอร์ของแบบจำลอง เพื่อให้ราคาพันธบัตรที่สร้างโดยแบบจำลองในรูปแบบต่อเนื่องนั้นสอดคล้องกับราคาตลาดที่สังเกตได้ ดีที่สุด ^{[ 33 ]}จากนั้นจึงสร้างโครงสร้างต้นไม้โดยขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์เหล่านี้ ในกรณีหลัง การปรับเทียบจะทำโดยตรงบนโครงข่าย โดยจะปรับให้เข้ากับทั้งโครงสร้างอัตราดอกเบี้ยระยะเวลาปัจจุบัน (เช่นเส้นอัตราผลตอบแทน ) และโครงสร้างความผันผวน ที่สอดคล้อง กัน ในที่นี้ การปรับเทียบหมายความว่า ต้นไม้แสดงอัตราดอกเบี้ยจะจำลองราคาของพันธบัตรไร้ดอกเบี้ย —และหลักทรัพย์อื่น ๆ ที่อ่อนไหวต่ออัตราดอกเบี้ย—ที่ใช้ในการสร้างเส้นโค้งผลตอบแทนโปรดสังเกตความคล้ายคลึงกับต้นไม้แสดงอัตราดอกเบี้ยโดยนัยสำหรับหุ้นข้างต้น และเปรียบเทียบกับBootstrapping (ด้านการเงิน)สำหรับแบบจำลองที่สมมติว่ามีการกระจายแบบปกติ (เช่น แบบจำลอง Ho-Lee) การปรับเทียบอาจทำได้โดยวิธีวิเคราะห์ ในขณะที่สำหรับ แบบจำลอง ลอการิทึมปกติการปรับเทียบจะทำผ่านอัลกอริทึมการค้นหารากดูตัวอย่างเช่น คำอธิบายในกรอบภายใต้แบบจำลอง Black–Derman– Toy

โครงสร้างความผันผวน—เช่น ระยะห่างระหว่างโหนดในแนวตั้ง—ในที่นี้สะท้อนถึงความผันผวนของอัตราดอกเบี้ยในช่วงไตรมาส หรือช่วงเวลาอื่น ๆ ที่สอดคล้องกับขั้นตอนเวลาของแลตติส (นักวิเคราะห์บางคนใช้ " ความผันผวนที่เกิดขึ้นจริง " กล่าวคือ อัตราดอกเบี้ยที่ใช้ได้ในอดีตสำหรับขั้นตอนเวลานั้น ๆ เพื่อให้สอดคล้องกับตลาด นักวิเคราะห์โดยทั่วไปจึงนิยมใช้ ราคา เพดานอัตราดอกเบี้ยปัจจุบัน และความผันผวนโดยนัยสำหรับ ราคา Black-76 ของแต่ละ แคปเล็ตส่วนประกอบดูเพดานอัตราดอกเบี้ย § ความผันผวนโดยนัย ) เมื่อพิจารณาถึงความเชื่อมโยงเชิงฟังก์ชันกับความผันผวนนี้ โปรดสังเกตความแตกต่าง ที่เกิดขึ้น ในการสร้างเมื่อเทียบกับต้นไม้โดยนัยของหุ้น: สำหรับอัตราดอกเบี้ย ความผันผวนเป็นที่ทราบสำหรับแต่ละขั้นตอนเวลา และค่าโหนด (เช่น อัตราดอกเบี้ย) จะต้องได้รับการแก้ไขสำหรับความน่าจะเป็นที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงที่กำหนดไว้ สำหรับหุ้นนั้น ในทางกลับกัน เราไม่สามารถระบุค่าความผันผวนเพียงค่าเดียวต่อช่วงเวลาได้ กล่าวคือ เรามี "รอยยิ้ม" และโครงสร้างต้นไม้จะถูกสร้างขึ้นโดยการหาค่าความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับค่าที่กำหนดของสินทรัพย์อ้างอิงในแต่ละโหนด

เมื่อปรับเทียบแล้ว โครงข่ายอัตราดอกเบี้ยจะถูกนำไปใช้ในการประเมินมูลค่าของตราสารหนี้และอนุพันธ์ต่างๆ^{[ 27 ]} วิธีการสำหรับตัวเลือกพันธบัตรจะอธิบายไว้ในส่วนอื่น—โปรดทราบว่าวิธีการนี้แก้ไขปัญหาการดึงไปสู่ราคาพาร์ที่เกิดขึ้นภายใต้วิธีการแบบปิด ดูแบบจำลอง Black–Scholes § การประเมินมูลค่าตัวเลือกพันธบัตรสำหรับ swaptions ตรรกะเกือบจะเหมือนกัน โดยแทนที่swapsด้วยพันธบัตรในขั้นตอนที่ 1 และ swaptions ด้วยตัวเลือกพันธบัตรในขั้นตอนที่ 2 สำหรับ caps (และ floors) ขั้นตอนที่ 1 และ 2 จะถูกรวมเข้าด้วยกัน: ที่แต่ละโหนด มูลค่าจะขึ้นอยู่กับโหนดที่เกี่ยวข้องในขั้นตอนต่อมา บวกกับ caplet ( floorlet ) ใดๆ ที่ครบกำหนดในขั้นตอนเวลา ความแตกต่างระหว่างอัตราอ้างอิงและอัตราระยะสั้นที่โหนด (และสะท้อนถึงเศษส่วนจำนวนวันและมูลค่าสมมติที่แลกเปลี่ยนกัน) สำหรับพันธบัตรที่สามารถเรียกคืนและ ขายคืนได้ จะต้องมีขั้นตอนที่สาม: ที่แต่ละโหนดในขั้นตอนเวลา ให้รวมผลกระทบของตัวเลือกที่ฝังอยู่ในราคาพันธบัตรและ/หรือราคาตัวเลือก ณ จุดนั้น ก่อนที่จะก้าวถอยหลังไปหนึ่งขั้นตอนเวลา (และโปรดทราบว่าตัวเลือกเหล่านี้ไม่ได้แยกจากกันโดยสิ้นเชิง ดังนั้นพันธบัตรอาจมีตัวเลือกหลายตัวที่ฝังอยู่^{[ 34 ]}หลักทรัพย์ไฮบริดจะกล่าวถึงด้านล่าง) สำหรับอนุพันธ์อัตราดอกเบี้ยที่แปลกใหม่กว่า อื่นๆ จะมีการปรับเปลี่ยนที่คล้ายกันในขั้นตอนที่ 1 และขั้นตอนต่อๆ ไป สำหรับ "กรีก" ส่วนใหญ่เหมือนกับหุ้น โปรดดูในส่วนถัดไป

แนวทางทางเลือกในการสร้างแบบจำลองออปชั่นพันธบัตร (อเมริกัน) โดยเฉพาะอย่างยิ่งออปชั่นที่ทำสัญญากับผลตอบแทนจนถึงวันครบกำหนด (YTM) จะใช้วิธีการแลตติซหุ้นที่ปรับปรุงแล้ว^{[ 35 ]}ในที่นี้ นักวิเคราะห์จะสร้างต้นไม้ CRR ของ YTM โดยใช้สมมติฐานความผันผวนคงที่ จากนั้นคำนวณราคาพันธบัตรเป็นฟังก์ชันของผลตอบแทนนี้ที่แต่ละโหนด ราคาในที่นี้จึงดึงไปที่พาร์ ขั้นตอนที่สองคือการรวมโครงสร้างระยะเวลาของความผันผวนโดยการสร้างต้นไม้ DKC ที่สอดคล้องกัน (โดยอิงจากทุกขั้นตอนเวลาที่สองในต้นไม้ CRR: เนื่องจาก DKC เป็นแบบไตรนามในขณะที่ CRR เป็นแบบทวินาม) จากนั้นใช้สิ่งนี้สำหรับการประเมินมูลค่าออปชั่น

นับตั้งแต่เกิดวิกฤตการณ์ทางการเงินในปี 2551 การกำหนดราคาสวอป ( โดยทั่วไป) จะอยู่ภายใต้ " กรอบหลายเส้นโค้ง " ในขณะที่ก่อนหน้านี้จะอยู่บนเส้นโค้งเดียวที่ "คิดลดด้วยตนเอง" ดูการแลกเปลี่ยนอัตราดอกเบี้ย § การประเมินมูลค่าและการกำหนดราคาที่นี่ ผลตอบแทนจะถูกกำหนดเป็นฟังก์ชันของอัตราอ้างอิงหรืออัตราคาดการณ์ ( LIBOR ) ที่เฉพาะเจาะจงสำหรับระยะเวลาที่เกี่ยวข้อง ในขณะที่การคิดลดจะอยู่ที่อัตรา OISเพื่อรองรับสิ่งนี้ในกรอบแลตติส อัตรา OIS และอัตราอ้างอิงที่เกี่ยวข้องจะถูกจำลองร่วมกันในต้นไม้สามมิติที่สร้างขึ้นเพื่อส่งคืนราคาสวอป OIS และ Libor ที่ป้อนเข้ามา ในขณะเดียวกันก็รักษาความสัมพันธ์ใด ๆ ระหว่างชุดอัตราทั้งสอง^{[ 36 ]} เมื่อขั้นตอนที่ศูนย์สำเร็จแล้ว การประเมินมูลค่าจะดำเนินต่อไปส่วนใหญ่เหมือนก่อนหน้านี้ โดยใช้ขั้นตอนที่ 1 และต่อ ๆ ไป แต่ที่นี่ – คล้ายกับ "พีระมิด" ข้างต้น – ด้วยกระแสเงินสดที่อิงตามต้นไม้ LIBOR และการคิดลดโดยใช้โหนดที่สอดคล้องกันจากต้นไม้ OIS

พัฒนาการที่เกี่ยวข้องคือธนาคารจะทำการปรับมูลค่าเครดิต (CVA) รวมถึงXVA อื่นๆ อีกหลายประเภท เมื่อประเมินมูลค่าของสัญญาอนุพันธ์ที่พวกเขาได้ทำไว้ วัตถุประสงค์ของการปรับมูลค่าเครดิตมีสองประการ ประการแรกคือเพื่อป้องกันความเสี่ยงจากการสูญเสียที่อาจเกิดขึ้นเนื่องจากฝ่ายอื่นไม่สามารถชำระเงินตามสัญญาอนุพันธ์ได้ และประการที่สองคือเพื่อกำหนด (และป้องกันความเสี่ยง) จำนวนเงินทุนที่จำเป็นภายใต้กฎเกณฑ์ความเพียงพอของเงินทุนของธนาคารแม้ว่าโดยปกติจะคำนวณภายใต้กรอบการจำลอง แต่ก็สามารถนำวิธีการแบบต้นไม้มาใช้ได้เช่นกัน ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]} ตัวอย่างเช่น ในกรณีของสวอป^{[ 37 ]}ความเสี่ยงในอนาคตที่อาจเกิดขึ้น (PFE) ที่ธนาคารเผชิญในแต่ละวันคือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักตามความน่าจะเป็นของการชำระเงินชำระบัญชี ที่เป็นบวก และมูลค่าสวอปเหนือโหนดของแลตทิซในวันนั้น ความน่าจะเป็นของแต่ละโหนดเป็นฟังก์ชันของความน่าจะเป็นสะสมขึ้นและลงของต้นไม้ ค่า PFE นี้จะถูกนำมารวมกับ ความน่าจะเป็นในการผิดนัดชำระหนี้และอัตราการฟื้นตัวของคู่สัญญา (ซึ่งเป็นปัจจัยภายนอก) เพื่อคำนวณหาค่าความสูญเสียที่คาดการณ์ไว้ ณ วันนั้น สุดท้าย มูลค่าปัจจุบันรวมของค่าเหล่านี้คือค่า CVA สำหรับคู่สัญญาในตำแหน่งนั้น

หลักทรัพย์ไฮบริดที่รวมคุณสมบัติทั้งแบบหุ้นและพันธบัตรเข้าด้วยกันก็ได้รับการประเมินมูลค่าโดยใช้โครงสร้างต้นไม้ เช่นกัน ^{[ 40 ]}สำหรับพันธบัตรแปลงสภาพ (CBs) แนวทางของ Tsiveriotis และ Fernandes (1998) ^{[ 41 ]}คือการแบ่งมูลค่าของพันธบัตรที่แต่ละโหนดออกเป็นส่วนประกอบ "หุ้น" ซึ่งเกิดขึ้นจากสถานการณ์ที่ CB จะถูกแปลงสภาพ และส่วนประกอบ "หนี้" ซึ่งเกิดขึ้นจากสถานการณ์ที่ CB จะถูกไถ่ถอน ในทำนองเดียวกัน จะมีการสร้างโครงสร้างต้นไม้คู่ขนานขึ้น โดยการคิดลดจะอยู่ที่อัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยงและอัตราดอกเบี้ยปรับความเสี่ยงด้านเครดิตตามลำดับ โดยผลรวมจะเป็นมูลค่าของ CB ^{[ 42 ]}มีวิธีการอื่นๆ ที่รวมโครงสร้างต้นไม้แบบหุ้นเข้ากับโครงสร้างต้นไม้แบบอัตราสั้นในลักษณะเดียวกัน^{[ 43 ]}แนวทางอื่นที่เผยแพร่ครั้งแรกโดยGoldman Sachs (1994) ^{[ 44 ]}ไม่ได้แยกส่วนประกอบออกจากกัน แต่การคิดลดจะอยู่ที่อัตราดอกเบี้ยปลอดความเสี่ยงและอัตราดอกเบี้ยเสี่ยงที่ถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็นของการแปลงสภาพภายในโครงสร้างต้นไม้เดียว ดูพันธบัตรแปลงสภาพ § การประเมินมูลค่า , พันธบัตรแปลงสภาพแบบมีเงื่อนไข

โดยทั่วไปแล้วส่วนของผู้ถือหุ้นสามารถมองได้ว่าเป็นออปชั่นซื้อหุ้นของบริษัท: ^{[ 45 ]}หากมูลค่าของบริษัทน้อยกว่ามูลค่าของหนี้คงค้าง ผู้ถือหุ้นจะเลือกที่จะไม่ชำระหนี้ของบริษัท มิฉะนั้น พวกเขาจะเลือกที่จะชำระหนี้—และไม่ชำระบัญชี (เช่นใช้สิทธิ์ตามออปชั่น ) โมเดลแลตทิซได้รับการพัฒนาสำหรับการวิเคราะห์ส่วนของผู้ถือหุ้นในที่นี้^{[ 46 ] [ 47 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกี่ยวข้องกับบริษัทที่ประสบปัญหา [ ^{48 ] ใน} ทำนองเดียวกัน ในส่วนของการกำหนดราคาหนี้ของบริษัท ความสัมพันธ์ระหว่าง ความรับผิดจำกัดของผู้ถือหุ้นและ กระบวนการล้มละลาย ตามบทที่ 11 ที่อาจเกิดขึ้น ก็ได้รับการจำลองผ่านแลตทิซเช่นกัน^{[ 49 ]}

การคำนวณ "Greeks" สำหรับอนุพันธ์อัตราดอกเบี้ยดำเนินการเช่นเดียวกับหุ้น อย่างไรก็ตาม มีข้อกำหนดเพิ่มเติม โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับหลักทรัพย์ไฮบริด นั่นคือ การประมาณค่าความไวที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงโดยรวมของอัตราดอกเบี้ย สำหรับพันธบัตรที่มีออปชั่นแฝงการคำนวณระยะเวลาและความนูน ตามอัตรา ผลตอบแทน ครบกำหนด มาตรฐานไม่ได้พิจารณาว่าการเปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ยจะเปลี่ยนแปลงกระแสเงินสดเนื่องจากการใช้ออปชั่นอย่างไร เพื่อแก้ไขปัญหานี้ จึง มีการนำระยะเวลา และความนูนที่มีประสิทธิภาพมาใช้ ในที่นี้ คล้ายกับ rho และ vega ข้างต้น ต้นไม้ของอัตราดอกเบี้ยจะถูกสร้างขึ้นใหม่สำหรับการเลื่อนขนานขึ้นและลงของเส้นโค้งอัตราผลตอบแทนและมาตรการเหล่านี้จะคำนวณเป็นตัวเลขโดยพิจารณาจากการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกันในมูลค่าพันธบัตร^{[ 50 ]}

• David F. Babbel (1996). การประเมินมูลค่าตราสารทางการเงินที่อ่อนไหวต่ออัตราดอกเบี้ย (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1). John Wiley & Sons. ISBN 978-1883249151.
• Gerald Buetow; Frank Fabozzi (2000). การประเมินมูลค่าของสัญญาแลกเปลี่ยนอัตราดอกเบี้ยและสัญญาแลกเปลี่ยนอัตราดอกเบี้ย . John Wiley . ISBN 978-1883249892.
• Gerald Buetow & James Sochacki (2001). แบบจำลองโครงสร้างระยะเวลาโดยใช้แผนผังทวินามมูลนิธิวิจัยของ AIMR ( สถาบัน CFA ) ISBN 978-0-943205-53-3.
• เลส เคลวโลว์; คริส สตริคแลนด์ (1998). การนำแบบจำลองอนุพันธ์ไปใช้ . นิวเจอร์ซีย์: ไวลีย์ . ISBN 978-0-471-96651-7.
• Rama Cont, บรรณาธิการ (2010). วิธีการวิเคราะห์โครงสร้างต้นไม้ในด้านการเงิน, สารานุกรมการเงินเชิงปริมาณ (PDF) . Wiley. ISBN 978-0-470-05756-8.
• แฟรงค์ ฟาโบซซี (1998). การประเมินมูลค่าหลักทรัพย์ตราสารหนี้และอนุพันธ์ (ฉบับที่ 3). จอห์น ไวลีย์ . ISBN 978-1-883249-25-0.
• Espen Haug (2006). คู่มือฉบับสมบูรณ์เกี่ยวกับสูตรการกำหนดราคาออปชั่น . นิวยอร์ก: McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-138997-6.
• Richard Rendleman (2002). อนุพันธ์ประยุกต์: ออปชั่น ฟิวเจอร์ส และสวอป (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1). Wiley-Blackwell. ISBN 978-0-631-21590-5.
• มาร์ค รูบินสไตน์ (2000). รูบินสไตน์ว่าด้วยอนุพันธ์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 1). สำนักพิมพ์ริสก์บุ๊คส์ . ISBN 978-1899332533.
• Steven Shreve (2004). แคลคูลัสเชิงสุ่มสำหรับการเงิน 1: แบบจำลองการกำหนดราคาหลักทรัพย์แบบทวินามสปริงเกอร์ISBN 978-0387249681.
• Donald J. Smith (2017). การประเมินมูลค่าในโลกของ CVA, DVA และ FVA: คู่มือเกี่ยวกับหลักทรัพย์หนี้สินและอนุพันธ์อัตราดอกเบี้ย World Scientific. ISBN 978-9813222748.
• จอห์น ฟาน เดอร์ ฮุก และโรเบิร์ต เจ. เอลเลียต (2549) แบบจำลองทวินามในด้านการเงิน สปริงเกอร์. ไอเอสบีเอ็น 978-0-387-25898-0.