ใน สาขา คณิตศาสตร์ของการวิเคราะห์เชิงตัวเลขการแทรกสอดเป็นประเภทหนึ่งของการประมาณค่าซึ่งเป็นวิธีการสร้าง (ค้นหา) จุดข้อมูล ใหม่ โดยอาศัยช่วงของชุดจุดข้อมูลที่ทราบแบบ ไม่ต่อเนื่อง ^{[ 1 ] [ 2 ]}

ในสาขาวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์มักจะมีข้อมูลจำนวนหนึ่งที่ได้มาจากการสุ่มตัวอย่างหรือการทดลองซึ่งแสดงถึงค่าของฟังก์ชันสำหรับค่าตัวแปรอิสระ จำนวนจำกัด จึงมักจำเป็นต้องใช้วิธีการประมาณค่าในช่วง (interpolation ) กล่าวคือ การประมาณค่าของฟังก์ชันนั้นสำหรับค่าตัวแปรอิสระที่อยู่ระหว่างค่าเหล่านั้น

ปัญหาที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดอีกประการหนึ่งคือการประมาณค่าฟังก์ชันที่ซับซ้อนด้วยฟังก์ชันที่เรียบง่าย สมมติว่าเรารู้สูตรของฟังก์ชันที่กำหนด แต่สูตรนั้นซับซ้อนเกินกว่าจะคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ เราสามารถใช้จุดข้อมูลเพียงไม่กี่จุดจากฟังก์ชันเดิมมาประมาณค่าเพื่อสร้างฟังก์ชันที่เรียบง่ายกว่า ซึ่งยังคงใกล้เคียงกับฟังก์ชันเดิมมากพอสมควร ประโยชน์ที่ได้รับจากความเรียบง่ายอาจชดเชยความสูญเสียจากข้อผิดพลาดในการประมาณค่า และให้ประสิทธิภาพที่ดีกว่าในกระบวนการคำนวณ

ตัวอย่างเช่น เราจะใช้จุดจากสมการเพื่อสาธิตวิธีการประมาณค่าแบบต่างๆ ${\displaystyle f(x)=sin(x)}$

	${\displaystyle x}$		${\displaystyle f(x)}$
	0		0
	1		0	.	8415
	2		0	.	9093
	3		0	.	1411
	4		−0	.	7568
	5		−0	.	9589
	6		−0	.	2794

การประมาณค่าในช่วง (Interpolation) เป็นวิธีการประมาณค่าฟังก์ชัน ณ จุดกึ่งกลางต่างๆ เช่น${\displaystyle x=2.5.}$

เราจะอธิบายวิธีการประมาณค่าในช่วงบางวิธี ซึ่งแตกต่างกันในคุณสมบัติต่างๆ เช่น ความแม่นยำ ต้นทุน จำนวนจุดข้อมูลที่ต้องการ และความเรียบเนียนของฟังก์ชัน ประมาณค่า ในช่วงที่ได้

วิธีการประมาณค่าแบบง่ายที่สุดคือการหาค่าข้อมูลที่ใกล้ที่สุดและกำหนดค่าเดียวกันให้ ในปัญหาที่ไม่ซับซ้อน วิธีนี้ไม่น่าจะถูกนำมาใช้ เนื่องจาก วิธีการประมาณค่า เชิงเส้น (ดูด้านล่าง) ก็ง่ายพอๆ กัน แต่ในการประมาณค่าแบบหลายตัวแปรใน มิติสูง วิธีนี้อาจเป็นตัวเลือกที่เหมาะสมเนื่องจากความเร็วและความเรียบง่าย

หนึ่งในวิธีการที่ง่ายที่สุดคือการประมาณค่าเชิงเส้น (บางครั้งเรียกว่า lerp) พิจารณาตัวอย่างข้างต้นของการประมาณค่าf (2.5) เนื่องจาก 2.5 อยู่กึ่งกลางระหว่าง 2 และ 3 จึงสมเหตุสมผลที่จะเลือกf (2.5) ที่อยู่กึ่งกลางระหว่างf (2) = 0.9093 และf (3) = 0.1411 ซึ่งจะได้ค่า 0.5252

โดยทั่วไป การประมาณค่าเชิงเส้นจะใช้จุดข้อมูลสองจุด เช่น ( x _{_a} , ya </sub> ) และ ( x _{_b} , y_{_b}) โดยค่าประมาณจะกำหนดโดย:

${\displaystyle y=y_{a}+\left(y_{b}-y_{a}\right){\frac {x-x_{a}}{x_{b}-x_{a}}}{\text{ at the point }}\left(x,y\right)}$

${\displaystyle {\frac {y-y_{a}}{y_{b}-y_{a}}}={\frac {x-x_{a}}{x_{b}-x_{a}}}}$

${\displaystyle {\frac {y-y_{a}}{x-x_{a}}}={\frac {y_{b}-y_{a}}{x_{b}-x_{a}}}}$

สมการก่อนหน้านี้ระบุว่า ความชันของเส้นตรงใหม่ระหว่างและจะเท่ากับความชันของเส้นตรงระหว่างและ${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$

การประมาณ ค่า เชิงเส้นนั้นรวดเร็วและง่าย แต่ไม่แม่นยำมากนัก ข้อเสียอีกประการหนึ่งคือ ค่าประมาณนั้นไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดx _k

การประมาณค่าความคลาดเคลื่อนต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าการประมาณค่าเชิงเส้นไม่แม่นยำมากนัก ให้g เป็นฟังก์ชันที่เราต้องการประมาณค่า และสมมติว่าxอยู่ระหว่างx _aและx _bและgเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์อันดับสองได้อย่างต่อเนื่อง ดังนั้น ความคลาดเคลื่อนของการประมาณค่าเชิงเส้นคือ

${\displaystyle |f(x)-g(x)|\leq C(x_{b}-x_{a})^{2}\quad {\text{where}}\quad C={\frac {1}{8}}\max _{r\in [x_{a},x_{b}]}|g''(r)|.}$

กล่าวคือ ข้อผิดพลาดจะแปรผันตรงกับกำลังสองของระยะห่างระหว่างจุดข้อมูล ส่วนวิธีการอื่นๆ บางวิธี รวมถึงการประมาณค่าแบบพหุนามและการประมาณค่าแบบสปลายน์ (ซึ่งจะกล่าวถึงต่อไป) ข้อผิดพลาดจะแปรผันตรงกับกำลังที่สูงกว่าของระยะห่างระหว่างจุดข้อมูล วิธีการเหล่านี้ยังให้ค่าประมาณที่เรียบเนียนกว่าด้วย

การประมาณค่าแบบพหุนามเป็นการขยายความของการประมาณค่าแบบเชิงเส้น โปรดสังเกตว่าตัวประมาณค่าเชิงเส้นเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นในที่นี้เราจะแทนที่ตัวประมาณค่านี้ด้วยพหุนาม ที่มี ดีกรีสูงกว่า

ลองพิจารณาปัญหาที่ให้มาข้างต้นอีกครั้ง พหุนามดีกรีหกต่อไปนี้ผ่านจุดทั้งเจ็ดจุด:

${\displaystyle f(x)=-0.0001521x^{6}-0.003130x^{5}+0.07321x^{4}-0.3577x^{3}+0.2255x^{2}+0.9038x.}$

เมื่อแทนค่าx = 2.5 เราจะพบว่าf (2.5) = ~0.59678

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเรามี จุดข้อมูล nจุด จะมีพหุนามเพียงตัวเดียวที่มีดีกรีไม่เกินn −1 ที่ลากผ่านจุดข้อมูลทั้งหมด ข้อผิดพลาดในการประมาณค่าจะแปรผันตรงกับระยะห่างระหว่างจุดข้อมูลยกกำลังnยิ่งไปกว่านั้น ตัวประมาณค่าเป็นพหุนามและสามารถหาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง ดังนั้น เราจะเห็นว่าการประมาณค่าด้วยพหุนามสามารถแก้ปัญหาต่างๆ ของการประมาณค่าเชิงเส้นได้เป็นส่วนใหญ่

อย่างไรก็ตาม การประมาณค่าแบบพหุนามก็มีข้อเสียอยู่บ้าง การคำนวณพหุนามที่ใช้ในการประมาณค่ามีค่าใช้จ่ายทางด้านการคำนวณสูง (ดูความซับซ้อนในการคำนวณ ) เมื่อเทียบกับการประมาณค่าแบบเชิงเส้น นอกจากนี้ การประมาณค่าแบบพหุนามอาจแสดงลักษณะการแกว่งตัว โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่จุดปลาย (ดูปรากฏการณ์ของรันเก )

การประมาณค่าแบบพหุนามสามารถประมาณค่าสูงสุดและต่ำสุดเฉพาะที่ซึ่งอยู่นอกช่วงของตัวอย่างได้ ซึ่งแตกต่างจากการประมาณค่าแบบเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น ค่าประมาณข้างต้นมีค่าสูงสุดเฉพาะที่ที่x ≈ 1.566, f ( x ) ≈ 1.003 และค่าต่ำสุดเฉพาะที่ที่x ≈ 4.708, f ( x ) ≈ −1.003 อย่างไรก็ตาม ค่าสูงสุดและต่ำสุดเหล่านี้อาจเกินช่วงทางทฤษฎีของฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่เป็นบวกเสมออาจมีค่าประมาณที่เป็นลบ และฟังก์ชันผกผันจึงมีเส้นกำกับแนวตั้งปลอม

โดยทั่วไปแล้ว รูปทรงของเส้นโค้งที่ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับค่าตัวแปรอิสระที่สูงมากหรือต่ำมาก อาจขัดแย้งกับสามัญสำนึก กล่าวคือ ขัดแย้งกับสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับระบบการทดลองที่สร้างจุดข้อมูลเหล่านั้น ข้อเสียเหล่านี้สามารถลดลงได้โดยการใช้การประมาณค่าแบบสปลายน์ หรือจำกัดการพิจารณาเฉพาะพหุนามเชบิเชฟ

การประมาณค่าเชิงเส้น (Linear interpolation) ใช้ฟังก์ชันเชิงเส้นสำหรับแต่ละช่วง [ x _k , x _k+1 ] ส่วนการประมาณค่าแบบสปลาย (Spline interpolation) ใช้พหุนามดีกรีต่ำในแต่ละช่วง และเลือกส่วนของพหุนามให้เชื่อมต่อกันอย่างราบรื่น ฟังก์ชันที่ได้เรียกว่าสปลาย

ตัวอย่างเช่นสปลายลูกบาศก์ธรรมชาติเป็น สปลายลูกบาศก์ แบบแบ่งส่วนและสามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้อย่างต่อเนื่อง นอกจากนี้ อนุพันธ์อันดับสองของมันเป็นศูนย์ที่จุดปลาย สปลายลูกบาศก์ธรรมชาติที่ประมาณค่าจุดในตารางด้านบนมีค่าดังนี้

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-0.1522x^{3}+0.9937x,&{\text{if }}x\in [0,1],\\-0.01258x^{3}-0.4189x^{2}+1.4126x-0.1396,&{\text{if }}x\in [1,2],\\0.1403x^{3}-1.3359x^{2}+3.2467x-1.3623,&{\text{if }}x\in [2,3],\\0.1579x^{3}-1.4945x^{2}+3.7225x-1.8381,&{\text{if }}x\in [3,4],\\0.05375x^{3}-0.2450x^{2}-1.2756x+4.8259,&{\text{if }}x\in [4,5],\\-0.1871x^{3}+3.3673x^{2}-19.3370x+34.9282,&{\text{if }}x\in [5,6].\end{cases}}}$

ในกรณีนี้เราจะได้f (2.5) = 0.5972

เช่นเดียวกับการประมาณค่าแบบพหุนาม การประมาณค่าแบบสปลายน์ทำให้เกิดข้อผิดพลาดน้อยกว่าการประมาณค่าแบบเชิงเส้น ในขณะที่ค่าประมาณจะเรียบเนียนกว่าและประเมินได้ง่ายกว่าพหุนามดีกรีสูงที่ใช้ในการประมาณค่าแบบพหุนาม อย่างไรก็ตาม ลักษณะทั่วโลกของฟังก์ชันพื้นฐานนำไปสู่สภาพที่ไม่ดี ซึ่งสามารถบรรเทาได้อย่างสมบูรณ์โดยการใช้สปลายน์ที่มีขอบเขตจำกัด เช่นที่ใช้ใน Boost.Math และกล่าวถึงใน Kress ^{[ 3 ]}

ขึ้นอยู่กับการแบ่งส่วนย่อยของฟิลด์พื้นฐาน อาจจำเป็นต้องใช้ตัวประมาณค่าที่แตกต่างกัน ในทางตรงกันข้ามกับวิธีการประมาณค่าแบบอื่น ๆ ซึ่งประมาณค่าฟังก์ชันบนจุดเป้าหมาย การประมาณค่าแบบเลียนแบบจะประเมินค่าอินทิกรัลของฟิลด์บนเส้น พื้นที่ หรือปริมาตรเป้าหมาย ขึ้นอยู่กับประเภทของฟิลด์ (สเกลาร์ เวกเตอร์ เวกเตอร์เสมือน หรือสเกลาร์เสมือน)

คุณสมบัติสำคัญของการแทรกสอดแบบเลียนแบบคือเอกลักษณ์ของแคลคูลัสเวกเตอร์เป็นไปตามเงื่อนไข รวมถึงทฤษฎีบทของสโตกส์และทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ส่งผลให้การแทรกสอดแบบเลียนแบบรักษาค่าอินทิกรัลเส้น พื้นที่ และปริมาตรไว้ได้^{[ 4 ]}การรักษาค่าอินทิกรัลเส้นอาจเป็นที่ต้องการเมื่อทำการแทรกสอดสนามไฟฟ้าตัวอย่างเช่น เนื่องจากอินทิกรัลเส้นให้ ค่าความต่าง ศักย์ไฟฟ้าที่จุดปลายของเส้นทางการแทรกสอด^{[ 5 ]}การแทรกสอดแบบเลียนแบบทำให้มั่นใจได้ว่าข้อผิดพลาดในการประมาณค่าอินทิกรัลเส้นของสนามไฟฟ้าจะเท่ากับข้อผิดพลาดที่ได้จากการแทรกสอดศักย์ที่จุดปลายของเส้นทางการแทรกสอด โดยไม่คำนึงถึงความยาวของเส้นทางการแทรกสอด

การแทรกสอด เชิงเส้น เชิงเส้นคู่และเชิงเส้นสามก็ถือว่าเป็นการเลียนแบบเช่นกัน แม้ว่าจะเป็นค่าของฟิลด์ที่ได้รับการอนุรักษ์ไว้ (ไม่ใช่ปริมาณอินทิกรัลของฟิลด์) นอกเหนือจากการแทรกสอดเชิงเส้นแล้ว การแทรกสอดแบบถ่วงน้ำหนักพื้นที่ถือเป็นหนึ่งในวิธีการแทรกสอดแบบเลียนแบบวิธีแรกๆ ที่ได้รับการพัฒนา^{[ 6 ]}

ทฤษฎีการเชื่อมต่อเชิงฟังก์ชัน (Theory of Functional Connections : TFC) เป็นกรอบทางคณิตศาสตร์ที่พัฒนาขึ้นโดยเฉพาะสำหรับการประมาณค่าเชิงฟังก์ชันเมื่อกำหนดตัวประมาณค่าใดๆ ที่สอดคล้องกับชุดข้อจำกัด TFC จะสร้างฟังก์ชันที่แสดงถึงตระกูลของตัวประมาณค่าทั้งหมดที่สอดคล้องกับข้อจำกัดเหล่านั้น รวมถึงตัวประมาณค่าที่ไม่ต่อเนื่องหรือกำหนดไว้บางส่วน ฟังก์ชันเหล่านี้ระบุพื้นที่ย่อยของฟังก์ชันที่คำตอบของปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบมีข้อจำกัดอยู่ ดังนั้น TFC จึงแปลงปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบมีข้อจำกัดให้เป็นรูปแบบที่เทียบเท่ากันโดยไม่มีข้อจำกัด การแปลงนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีประสิทธิภาพสูงในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ TFC บรรลุเป้าหมายนี้โดยการสร้างฟังก์ชันที่มีข้อจำกัด (ฟังก์ชันของฟังก์ชันอิสระ) ซึ่งสอดคล้องกับข้อจำกัดที่กำหนดโดยธรรมชาติโดยไม่คำนึงถึงการแสดงออกของฟังก์ชันอิสระ วิธีนี้ช่วยลดความซับซ้อนในการแก้สมการประเภทต่างๆ และปรับปรุงประสิทธิภาพและความแม่นยำของวิธีการต่างๆ เช่นเครือข่ายประสาทเทียมที่ใช้ข้อมูลทางฟิสิกส์ (Physics-Informed Neural Networks : PINNs) อย่างมีนัยสำคัญ TFC มีข้อดีเหนือกว่าวิธีการแบบดั้งเดิม เช่นตัวคูณลากรางจ์และวิธีการเชิงสเปกตรัมโดยสามารถจัดการกับข้อจำกัดได้โดยตรงในเชิงวิเคราะห์และหลีกเลี่ยงกระบวนการวนซ้ำ แม้ว่าในปัจจุบันจะไม่สามารถจัดการกับข้อจำกัดที่ไม่เท่ากันได้ก็ตาม

การแทรกสอดเป็นวิธีทั่วไปในการประมาณฟังก์ชัน เมื่อกำหนดฟังก์ชันที่มีเซตของจุดเราสามารถสร้างฟังก์ชันได้เช่นนั้นสำหรับ(นั่นคือแทรกสอดที่จุดเหล่านี้) โดยทั่วไปแล้ว ตัวแทรกสอดไม่จำเป็นต้องเป็นการประมาณที่ดี แต่มีเงื่อนไขที่เป็นที่รู้จักกันดีและมักจะสมเหตุสมผลที่มันจะเป็นเช่นนั้น ตัวอย่างเช่น ถ้า(อนุพันธ์ต่อเนื่องสี่ครั้ง) การแทรกสอดสปลายลูกบาศก์จะมีขอบเขตข้อผิดพลาดที่กำหนดโดย โดยที่และเป็นค่าคงที่^{[ 7 ]}${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in [a,b]}$${\displaystyle s:[a,b]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x_{i})=s(x_{i})}$${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\in C^{4}([a,b])}$${\displaystyle \|f-s\|_{\infty }\leq C\|f^{(4)}\|_{\infty }h^{4}}$${\displaystyle h\max _{i=1,2,\dots ,n-1}|x_{i+1}-x_{i}|}$${\displaystyle C}$

กระบวนการเกาส์เซียนเป็นเครื่องมือการประมาณค่าแบบไม่เชิงเส้นที่มีประสิทธิภาพสูง เครื่องมือการประมาณค่าที่เป็นที่นิยมหลายอย่างนั้นเทียบเท่ากับกระบวนการเกาส์เซียนบางอย่าง กระบวนการเกาส์เซียนไม่เพียงแต่ใช้สำหรับการหาค่าประมาณที่ผ่านจุดข้อมูลที่กำหนดอย่างแม่นยำเท่านั้น แต่ยังใช้สำหรับการถดถอย กล่าวคือ สำหรับการหาเส้นโค้งที่ผ่านข้อมูลที่มีสัญญาณรบกวน ในวงการธรณีสถิติ การถดถอยด้วยกระบวนการเกาส์เซียนยังเป็นที่รู้จักในชื่อคริกิง (Kriging )

การถ่วงน้ำหนักระยะทางผกผัน (IDW) เป็นวิธีการประมาณค่าเชิงพื้นที่ที่ประมาณค่าโดยอาศัยจุดข้อมูลใกล้เคียง โดยจุดที่อยู่ใกล้กว่าจะมีอิทธิพลมากกว่า^{[ 8 ]}วิธีนี้ใช้กฎกำลังผกผันในการถ่วงน้ำหนัก โดยค่ากำลังที่สูงกว่าจะเน้นผลกระทบในพื้นที่ ในขณะที่ค่าที่ต่ำกว่าจะสร้างพื้นผิวที่เรียบกว่า IDW ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในGIS อุตุนิยมวิทยาและการสร้างแบบจำลองสิ่งแวดล้อมเนื่องจากความเรียบง่าย แต่อาจทำให้เกิดสิ่งผิดปกติในข้อมูลที่กระจุกตัวหรือไม่สม่ำเสมอ^{[ 9 ]}

สามารถสร้างวิธีการประมาณค่าแบบอื่นได้โดยการเลือกกลุ่มของตัวประมาณค่าที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น การประมาณค่าแบบตรรกยะ คือการประมาณค่าโดย ใช้ ฟังก์ชันตรรกยะโดยใช้ตัวประมาณค่าแบบ Padéและการประมาณค่าแบบตรีโกณมิติคือการประมาณค่าโดยใช้พหุนามตรีโกณมิติ โดย ใช้ชุดอนุกรมฟูริเยร์อีกทางเลือกหนึ่งคือการใช้เวฟเล็ต

สูตรการประมาณค่าแบบ Whittaker–Shannonสามารถใช้ได้ในกรณีที่จำนวนจุดข้อมูลเป็นอนันต์ หรือในกรณีที่ฟังก์ชันที่จะประมาณค่ามีขอบเขตจำกัด

บางครั้ง เรารู้ไม่เพียงแต่ค่าของฟังก์ชันที่เราต้องการประมาณค่าในช่วงจุดต่างๆ เท่านั้น แต่ยังรู้ค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นด้วย ซึ่งนำไปสู่ปัญหา การประมาณค่าในช่วงแบบเฮอร์ไมต์ (Hermite interpolation problems)

เมื่อแต่ละจุดข้อมูลเป็นฟังก์ชันในตัวเอง การมองปัญหาการประมาณค่าในช่วงว่าเป็นปัญหา การเคลื่อนที่ แบบบางส่วน ระหว่างแต่ละจุดข้อมูลอาจเป็นประโยชน์ แนวคิดนี้เป็นที่มาของปัญหา การประมาณค่าในช่วงการกระจัดที่ใช้ในทฤษฎีการขนส่ง

การประมาณค่าแบบหลายตัวแปรคือการประมาณค่าฟังก์ชันของตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว วิธีการต่างๆ ได้แก่การประมาณค่าแบบเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด การประมาณค่า แบบทวิเชิงเส้นและการประมาณค่าแบบไบคิวบิกในสองมิติ และการประมาณค่าแบบไตรเชิงเส้นในสามมิติ สามารถนำไปใช้กับข้อมูลแบบกริดหรือแบบกระจายได้ การประมาณค่าแบบเลียนแบบจะขยายไปสู่พื้นที่มิติที่^{[ 10 ] [ 11 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n>3}$

• 
  เพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด
• 
  ไบลิเนียร์
• 
  ไบคิวบิก

ในขอบเขตของการประมวลผลสัญญาณดิจิทัล คำว่าการแทรกสอด (interpolation) หมายถึงกระบวนการแปลงสัญญาณดิจิทัลที่สุ่มตัวอย่าง (เช่น สัญญาณเสียงที่สุ่มตัวอย่าง) ให้เป็นสัญญาณที่มีอัตราการสุ่มตัวอย่างสูงขึ้น ( Upsampling ) โดยใช้เทคนิคการกรองดิจิทัลต่างๆ (เช่น การคอนโวลูชันกับสัญญาณอิมพัลส์ที่มีความถี่จำกัด) ในแอปพลิเคชันนี้ มีข้อกำหนดเฉพาะที่ว่าเนื้อหาฮาร์มอนิกของสัญญาณดั้งเดิมจะต้องได้รับการรักษาไว้โดยไม่สร้างเนื้อหาฮาร์มอนิกที่ผิดเพี้ยนของสัญญาณดั้งเดิมที่สูงกว่าขีดจำกัด Nyquist ดั้งเดิมของสัญญาณ (นั่นคือ สูงกว่า fs/2 ของอัตราการสุ่มตัวอย่างของสัญญาณดั้งเดิม) การอภิปรายเบื้องต้นและค่อนข้างพื้นฐานเกี่ยวกับเรื่องนี้สามารถพบได้ในหนังสือ Multirate Digital Signal ProcessingของRabiner และ Crochiere ^{[ 12 ]}

คำว่า " การประมาณค่าภายนอกช่วง " (extrapolation)ใช้ในการค้นหาจุดข้อมูลที่อยู่นอกช่วงของจุดข้อมูลที่ทราบแล้ว

ใน ปัญหา การปรับเส้นโค้งให้เข้ากับข้อมูล ข้อจำกัดที่ว่าเส้นโค้งประมาณค่าต้องผ่านจุดข้อมูลอย่างแม่นยำนั้นถูกผ่อนปรนลง เหลือเพียงแค่เส้นโค้งประมาณค่าให้เข้าใกล้จุดข้อมูลมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ (ภายใต้ข้อจำกัดอื่นๆ) ซึ่งต้องอาศัยการกำหนดพารามิเตอร์ของเส้นโค้งประมาณค่าที่เป็นไปได้ และมีวิธีการวัดค่าความคลาดเคลื่อน ในกรณีที่ง่ายที่สุด วิธีนี้จะนำไปสู่การประมาณ ค่าแบบกำลังสองน้อยที่สุด

ทฤษฎีการประมาณค่าศึกษาถึงวิธีการหาค่าประมาณที่ดีที่สุดของฟังก์ชันที่กำหนดโดยใช้ฟังก์ชันอื่นจากกลุ่มที่กำหนดไว้ล่วงหน้า และความแม่นยำของค่าประมาณนั้น ซึ่งแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงขอบเขตว่าฟังก์ชันประมาณค่าแบบสอดแทรกสามารถประมาณค่าฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าได้ดีเพียงใด

ถ้าเราพิจารณาตัวแปรในปริภูมิเชิงทอพอโลยีและฟังก์ชันที่แมปไปยังปริภูมิบานาคปัญหาจะถือเป็น "การสอดแทรกตัวดำเนินการ" ^{[ 13 ]}ผลลัพธ์คลาสสิกเกี่ยวกับการสอดแทรกตัวดำเนินการคือทฤษฎีบท Riesz–Thorinและทฤษฎีบท Marcinkiewiczนอกจากนี้ยังมีผลลัพธ์อื่นๆ อีกมากมายที่ตามมา ${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับการแทรกค่า (Interpolation )

• เครื่องมือออนไลน์สำหรับการประมาณค่าเชิงเส้น ( เก็บ ถาวร เมื่อ 2016-09-18 ที่Wayback Machine) การประมาณค่ากำลังสอง ( เก็บ ถาวร เมื่อ 2016-09-18 ที่Wayback Machine ) การประมาณค่าแบบลูกบาศก์ (เก็บถาวรเมื่อ 2016-08-20 ที่ Wayback Machine) และ การประมาณ ค่าแบบพหุนาม ( เก็บ ถาวร เมื่อ 2016-09-18 ที่Wayback Machine)พร้อมการแสดงภาพและซอร์สโค้ดJavaScript
• บทเรียน Sol - เทคนิคการแทรกค่า (Interpolation Tricks) เก็บถาวรเมื่อ 31 มกราคม 2021 ที่Wayback Machine
• การแทรกสอดเชิงตรรกะแบบแบรีเซนทริกใน Boost.Math
• การประมาณค่าในช่วงโดยใช้การแปลงเชบิเชฟใน Boost.Math