การแทรกสอดฟังก์ชันฐานรัศมี (RBF)เป็นวิธีการขั้นสูงในทฤษฎีการประมาณค่าสำหรับการสร้างตัวแทรกสอด ที่มี ความแม่นยำสูงของข้อมูลที่ไม่มีโครงสร้างซึ่งอาจอยู่ในพื้นที่มิติสูง ตัวแทรกสอดมีรูปแบบเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของฟังก์ชันฐานรัศมี^{[ 1 ] [ 2 ]}การแทรกสอด RBF เป็นวิธีการที่ไม่ต้องใช้ตาข่ายหมายความว่าโหนด (จุดในโดเมน) ไม่จำเป็นต้องอยู่บนตารางที่มีโครงสร้าง และไม่จำเป็นต้องสร้างตาข่ายมักจะมีความแม่นยำเชิงสเปกตรัม^{[ 3 ]}และเสถียรสำหรับจำนวนโหนดจำนวนมากแม้ในมิติสูง

วิธีการประมาณค่าแบบสอดแทรกหลายวิธีสามารถใช้เป็นพื้นฐานทางทฤษฎีของอัลกอริธึมสำหรับการประมาณค่าตัวดำเนินการเชิงเส้นได้และการประมาณค่าแบบ RBF ก็เช่นกัน การประมาณค่าแบบ RBF ถูกนำมาใช้เพื่อประมาณค่าตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ตัวดำเนินการเชิงปริพันธ์ และ ตัวดำเนินการ เชิง อนุพันธ์บนพื้นผิว

ให้และเป็นจุด 15 จุดที่เว้นระยะห่างเท่าๆ กันบนช่วงเราจะสร้างโดยที่เป็นฟังก์ชันฐานรัศมีและเลือกให้( ทำการประมาณค่าในช่วงที่จุดที่เลือก) ในสัญกรณ์เมทริกซ์ สามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle f(x)=\exp(x\cos(3\pi x))}$${\displaystyle x_{k}={\frac {k}{14}},k=0,1,\dots ,14}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle s(x)=\sum \limits _{k=0}^{14}w_{k}\varphi (\|x-x_{k}\|)}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle w_{k},k=0,1,\dots ,14}$${\displaystyle s(x_{k})=f(x_{k}),k=0,1,\dots ,14}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varphi (\|x_{0}-x_{0}\|)&\varphi (\|x_{1}-x_{0}\|)&\dots &\varphi (\|x_{14}-x_{0}\|)\\\varphi (\|x_{0}-x_{1}\|)&\varphi (\|x_{1}-x_{1}\|)&\dots &\varphi (\|x_{14}-x_{1}\|)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\varphi (\|x_{0}-x_{14}\|)&\varphi (\|x_{1}-x_{14}\|)&\dots &\varphi (\|x_{14}-x_{14}\|)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{0}\\w_{1}\\\vdots \\w_{14}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}f(x_{0})\\f(x_{1})\\\vdots \\f(x_{14})\end{bmatrix}}.}$$

เมื่อเลือกฟังก์ชันเกาส์เซียนที่มีพารามิเตอร์รูปร่างเป็นเราสามารถแก้สมการเมทริกซ์เพื่อหาค่าน้ำหนักและพล็อตฟังก์ชันการประมาณค่าได้ เมื่อพล็อตฟังก์ชันการประมาณค่าด้านล่าง เราจะเห็นว่ามันดูเหมือนกันทุกที่ยกเว้นบริเวณใกล้ขอบด้านซ้าย (ตัวอย่างของปรากฏการณ์รันเก ) ซึ่งยังคงเป็นการประมาณค่าที่ใกล้เคียงมาก กล่าวคือ ข้อผิดพลาดสูงสุดอยู่ที่ประมาณ ${\displaystyle \varphi (r)=\exp(-(\varepsilon r)^{2})}$${\displaystyle \varepsilon =3}$${\displaystyle \|f-s\|_{\infty }\approx 0.0267414}$${\displaystyle x=0.0220012}$

ฟังก์ชันที่สุ่มตัวอย่างที่จุดสม่ำเสมอ 15 จุดระหว่าง 0 ถึง 1 ถูกประมาณค่าโดยใช้ Gaussian RBF ที่มีพารามิเตอร์รูปร่างเท่ากับ.${\displaystyle f(x)=\exp(x\cos(3\pi x))}$${\displaystyle \varepsilon =3}$

ค่าความคลาดเคลื่อนของการประมาณค่าในช่วง (interpolation error) สำหรับกราฟทางด้านซ้าย${\displaystyle s(x)-f(x)}$

ทฤษฎีบท Mairhuber–Curtis กล่าวว่า สำหรับเซตเปิด ใดๆ ในโดยที่และฟังก์ชันที่เป็นอิสระเชิงเส้นบนจะมีเซตของจุดในโดเมนอยู่ ซึ่งเมทริกซ์การแทรกสอดคือ ${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1})&f_{2}(x_{1})&\dots &f_{n}(x_{1})\\f_{1}(x_{2})&f_{2}(x_{2})&\dots &f_{n}(x_{2})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}(x_{n})&f_{2}(x_{n})&\dots &f_{n}(x_{n})\end{bmatrix}}}$$

เป็นเอกพจน์^{[ 4 ]}​

นี่หมายความว่าหากต้องการอัลกอริทึมการแทรกสอดทั่วไป จะต้องเลือกฟังก์ชันพื้นฐานให้ขึ้นอยู่กับจุดแทรกสอด ในปี 1971 Rolland Hardy ได้พัฒนาวิธีการแทรกสอดข้อมูลที่กระจัดกระจายโดยใช้ตัวแทรกสอดในรูปแบบนี่คือการแทรกสอดโดยใช้ฐานของฟังก์ชันมัลติควอดริกที่เลื่อน ซึ่งปัจจุบันมักเขียนเป็นและเป็นตัวอย่างแรกของการแทรกสอดฟังก์ชันฐานรัศมี^{[ 5 ]}ได้มีการแสดงให้เห็นแล้วว่าเมทริกซ์การแทรกสอดที่ได้จะไม่เป็นเมทริกซ์เอกฐานเสมอ ซึ่งไม่ขัดกับทฤษฎีบท Mairhuber–Curtis เนื่องจากฟังก์ชันพื้นฐานขึ้นอยู่กับจุดแทรกสอด การเลือกเคอร์เนลรัศมีที่ทำให้เมทริกซ์การแทรกสอดไม่เป็นเมทริกซ์เอกฐานคือคำจำกัดความของฟังก์ชันบวกแน่นอนอย่างเคร่งครัดฟังก์ชันดังกล่าว รวมถึงGaussian , inverse quadratic และ inverse multiquadric มักถูกใช้เป็นฟังก์ชันฐานรัศมีด้วยเหตุผลนี้^{[ 6 ]}${\displaystyle s(\mathbf {x} )=\sum \limits _{k=1}^{N}{\sqrt {\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{k}\|^{2}+C}}}$${\displaystyle \varphi (r)={\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}}}}$

ฟังก์ชันฐานรัศมีจำนวนมากมีพารามิเตอร์ที่ควบคุมความเรียบหรือความแหลมคมสัมพัทธ์ พารามิเตอร์นี้มักแสดงด้วยสัญลักษณ์โดยฟังก์ชันจะเรียบขึ้นเรื่อยๆ เมื่อตัวอย่างเช่น Rolland Hardy ใช้สูตรสำหรับมัลติควอดริก^{[ 7 ] [ 1 ]}อย่างไรก็ตาม ปัจจุบันใช้สูตรแทน สูตรเหล่านี้เทียบเท่ากันจนถึงตัวประกอบมาตราส่วน ตัวประกอบนี้ไม่มีนัยสำคัญเนื่องจากเวกเตอร์ฐาน มี ช่วงเดียวกันและน้ำหนักการแทรกสอดจะชดเชย ตามธรรมเนียม ฟังก์ชันฐานจะถูกปรับขนาดเพื่อให้ ดังที่เห็นในกราฟของฟังก์ชันเกาส์เซียนและฟังก์ชันบัมพ์ ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon \to 0}$${\displaystyle \varphi (r)={\sqrt {r^{2}+C}}}$${\displaystyle \varphi (r)={\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}}}}$${\displaystyle \varphi (0)=1}$

• 
  ฟังก์ชันเกาส์เซียนสำหรับตัวเลือกต่างๆ${\displaystyle \varepsilon }$
• 
  กราฟแสดงฟังก์ชันความนูน ที่ปรับขนาดแล้ว โดยมีตัวเลือกพารามิเตอร์รูปร่างหลายแบบ

ผลที่ตามมาจากการเลือกนี้คือ เมทริกซ์การประมาณค่าจะเข้าใกล้เมทริกซ์เอกลักษณ์ซึ่งนำไปสู่ความเสถียรเมื่อแก้ระบบเมทริกซ์ ค่าประมาณที่ได้โดยทั่วไปจะเป็นค่าประมาณที่ไม่ดีนักสำหรับฟังก์ชัน เนื่องจากจะมีค่าใกล้ศูนย์ทุกที่ ยกเว้นบริเวณจุดประมาณค่าซึ่งจะมีค่าสูงสุดอย่างรวดเร็ว – ซึ่งเรียกว่า "ค่าประมาณแบบเตียงตะปู" (ดังที่เห็นในภาพด้านขวา) ${\displaystyle \varepsilon \to \infty }$

ในทางตรงกันข้าม ค่า สภาพของเมทริกซ์การ ประมาณค่าจะลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ ซึ่งนำไปสู่ภาวะไม่เสถียรของระบบ ในทางปฏิบัติ เราจะเลือกพารามิเตอร์รูปร่างเพื่อให้เมทริกซ์การประมาณค่าอยู่ใน "ขอบของภาวะไม่เสถียร" (เช่น มีค่าสภาพประมาณสำหรับ เลขทศลอย แบบความแม่นยำสองเท่า ) ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$${\displaystyle 10^{12}}$

บางครั้งอาจมีปัจจัยอื่นๆ ที่ต้องพิจารณาเมื่อเลือกพารามิเตอร์รูปร่าง ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน bump มีขอบเขตจำกัด (มีค่าเป็นศูนย์ทุกที่ยกเว้นเมื่อ) ซึ่งนำไปสู่เมทริกซ์การประมาณค่า แบบเบาบาง$${\displaystyle \varphi (r)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-(\varepsilon r)^{2}}}\right)&{\mbox{ for }}r<{\frac {1}{\varepsilon }}\\0&{\mbox{ otherwise}}\end{cases}}}$$${\displaystyle r<{\tfrac {1}{\varepsilon }}}$

ฟังก์ชันฐานรัศมีบางประเภท เช่นสปลายโพลีฮาร์มอนิกไม่มีพารามิเตอร์รูปร่าง

• คริกิง
• ฟังก์ชันฐานรัศมี