แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นในบริบทของอนุพันธ์อัตราดอกเบี้ยคือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายวิวัฒนาการของอัตราดอกเบี้ย ในอนาคต โดยอธิบายวิวัฒนาการของอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น ในอนาคต ซึ่งมักเขียนว่า. ${\displaystyle r_{t}\,}$

ภายใต้แบบจำลองอัตราระยะสั้นตัวแปรสถานะสุ่ม ถือเป็นอัตราสปอตทันที[ ^{1 ] ดังนั้น}อัตราระยะสั้น คือ อัตราดอกเบี้ย ( แบบทบต้นต่อเนื่อง คิดเป็นรายปี) ที่หน่วยงานสามารถกู้ยืมเงินได้ในระยะเวลาสั้นมากนับจากเวลาการระบุอัตราระยะสั้นปัจจุบันไม่ได้ระบุเส้นโค้งผลตอบแทน ทั้งหมด อย่างไรก็ตามข้อโต้แย้งเรื่องการไม่มีการเก็งกำไรแสดงให้เห็นว่า ภายใต้เงื่อนไขทางเทคนิคที่ค่อนข้างผ่อนคลาย หากเราจำลองวิวัฒนาการของเป็นกระบวนการสุ่ม ภาย ใต้มาตรการที่เป็นกลางต่อความเสี่ยงราคา ณ เวลาของพันธบัตรศูนย์คูปองที่ครบกำหนด ณ เวลาโดยมีผลตอบแทน 1 จะกำหนดโดย ${\displaystyle r_{t}\,}$${\displaystyle t}$${\displaystyle r_{t}\,}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle t}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle P(t,T)=\operatorname {E} ^{Q}\left[\left.\exp {\left(-\int _{t}^{T}r_{s}\,ds\right)}\right|{\mathcal {F}}_{t}\right],}$

การกรองตามธรรมชาติ สำหรับกระบวนการนี้ อยู่ที่ไหนอัตราดอกเบี้ยที่บ่งบอกโดยพันธบัตรศูนย์คูปองก่อให้เกิดเส้นโค้งผลตอบแทน หรือที่แม่นยำกว่านั้นคือเส้นโค้งศูนย์ดังนั้น การระบุแบบจำลองสำหรับอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นจะระบุราคาพันธบัตรในอนาคต ซึ่งหมายความว่าอัตราดอกเบี้ยล่วงหน้า ทันที จะถูกกำหนดโดยสูตรปกติเช่นกัน ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle f(t,T)=-{\frac {\partial }{\partial T}}\ln(P(t,T)).}$

แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นมักถูกจำแนกเป็นแบบภายในและแบบภายนอก แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นแบบภายใน คือแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นที่โครงสร้างระยะเวลาของอัตราดอกเบี้ย หรือของราคาพันธบัตรไร้ดอกเบี้ยเป็นผลลัพธ์ของแบบจำลอง ดังนั้นจึง "อยู่ภายในแบบจำลอง" (ภายใน) และถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์ของแบบจำลอง แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นแบบภายนอก คือแบบจำลองที่โครงสร้างระยะเวลาดังกล่าวเป็นปัจจัยนำเข้า เนื่องจากแบบจำลองเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันหรือการเปลี่ยนแปลงที่ขึ้นอยู่กับเวลาบางอย่างที่อนุญาตให้ป้อนโครงสร้างระยะเวลาของตลาดที่กำหนด ดังนั้นโครงสร้างระยะเวลาจึงมาจากภายนอก (ภายนอก) ^{[ 2 ]} ผู้เขียนคนอื่นๆ ใช้คำว่า 'สมดุล' และ 'ไม่มีการเก็งกำไร' แทนคำว่า 'ภายใน' และ 'ภายนอก' ^{[ 3 ]}${\displaystyle T\mapsto P(0,T)}$

ตลอดทั้งส่วนนี้ แสดงถึง การเคลื่อนที่แบบบราวน์มาตรฐานภายใต้ มาตรวัดความน่าจะ เป็นที่ปราศจากความเสี่ยงและอนุพันธ์ของมันในกรณีที่แบบจำลองเป็นแบบลอกนอร์มอลตัวแปรหนึ่งจะถือว่าปฏิบัติตามกระบวนการออร์นสไตน์-อูห์เลนเบ็คและอีก ตัวแปรหนึ่งจะถือว่า ปฏิบัติ ตาม${\displaystyle W_{t}\,}$${\displaystyle dW_{t}\,}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle r_{t}\,}$${\displaystyle r_{t}=\exp {X_{t}}\,}$

ต่อไปนี้คือแบบจำลองปัจจัยเดียว ซึ่ง ปัจจัย สุ่ม เพียงตัวเดียว – อัตราดอกเบี้ยระยะสั้น – กำหนดวิวัฒนาการในอนาคตของอัตราดอกเบี้ยทั้งหมด นอกเหนือจากแบบจำลอง Rendleman–Bartter และ Ho–Lee ซึ่งไม่ได้แสดงถึงการกลับสู่ค่าเฉลี่ย ของอัตราดอกเบี้ยแล้ว แบบจำลองเหล่านี้สามารถมองได้ว่าเป็นกรณีเฉพาะของกระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck แบบจำลอง Vasicek, Rendleman–Bartter และ CIR เป็นแบบจำลองภายในและมี พารามิเตอร์อิสระเพียงจำนวนจำกัดดังนั้นจึงไม่สามารถระบุ ค่า พารามิเตอร์ เหล่านี้ ในลักษณะที่แบบจำลองสอดคล้องกับราคาตลาดที่สังเกตได้เพียงไม่กี่ราคา ("การปรับเทียบ") ของพันธบัตรศูนย์คูปองหรือผลิตภัณฑ์เชิงเส้น เช่น ข้อตกลงอัตราดอกเบี้ยล่วงหน้าหรือสวอป โดยทั่วไป หรือจะทำการปรับให้เหมาะสมที่สุดกับผลิตภัณฑ์เชิงเส้นเหล่านี้เพื่อค้นหาพารามิเตอร์ของแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นภายในที่ใกล้เคียงกับราคาตลาดมากที่สุด วิธีนี้ไม่อนุญาตให้ทำการปรับออปชั่น เช่น caps, floors และ swaptions เนื่องจากพารามิเตอร์ถูกนำไปใช้ในการปรับเครื่องมือเชิงเส้นแทน ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขโดยการอนุญาตให้พารามิเตอร์เปลี่ยนแปลงตามเวลาแบบกำหนดได้^{[ 4 ] [ 5 ]}หรือโดยการเพิ่มการเปลี่ยนแปลงแบบกำหนดได้ให้กับแบบจำลองภายใน^{[ 6 ]} ด้วยวิธีนี้ แบบจำลองภายนอก เช่น Ho-Lee และแบบจำลองต่อๆ มา สามารถปรับเทียบกับข้อมูลตลาดได้ ซึ่งหมายความว่าแบบจำลองเหล่านี้สามารถส่งคืนราคาของพันธบัตรที่ประกอบเป็นเส้นโค้งผลตอบแทนได้อย่างแม่นยำ และพารามิเตอร์ที่เหลือสามารถใช้สำหรับการปรับเทียบออปชั่นได้ การดำเนินการมักจะทำผ่านต้นไม้อัตราดอกเบี้ยระยะสั้น ( แบบ ทวินาม ) ^{[ 7 ]}หรือการจำลอง ดูแบบจำลองแลตติส (การเงิน) § อนุพันธ์อัตราดอกเบี้ยและวิธีการมอนเตคาร์โลสำหรับการกำหนดราคาออปชั่นแม้ว่าแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นบางแบบจะมีวิธีแก้ปัญหาแบบปิดสำหรับพันธบัตรคูปองศูนย์ และแม้กระทั่งเพดานหรือพื้น ซึ่งช่วยลดภาระงานการปรับเทียบลงอย่างมาก

เราจะแสดงแบบจำลองภายในต่อไปนี้เป็นลำดับแรก

1. แบบจำลอง ของเมอร์ตัน (1973) อธิบายอัตราระยะสั้นได้ดังนี้: โดยที่เป็นการเคลื่อนที่แบบบราวน์หนึ่งมิติภายใต้การวัดมาร์ติงเกลแบบ สปอต ^{[ 8 ]}ในแนวทางนี้ อัตราระยะสั้นเป็นไปตาม การเคลื่อนที่แบบบราว น์เลขคณิต${\displaystyle r_{t}=r_{0}+at+\sigma W_{t}^{*}}$${\displaystyle W_{t}^{*}}$
2. แบบจำลอง Vasicek (1977) จำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นเป็น; มักเขียนเป็น. ^{[ 9 ]}รูปแบบที่สองเป็นรูปแบบที่พบได้บ่อยกว่า และทำให้การตีความพารามิเตอร์ตรงไปตรงมามากขึ้น โดยพารามิเตอร์คือ ความเร็วของการกลับสู่ค่าเฉลี่ย พารามิเตอร์คือ ค่าเฉลี่ยระยะยาว และพารามิเตอร์คือ ความผันผวนทันที ในแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นนี้ จะใช้ กระบวนการ Ornstein–Uhlenbeckสำหรับอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น แบบจำลองนี้อนุญาตให้มีอัตราดอกเบี้ยติดลบได้ เนื่องจากความน่าจะเป็นของการกระจายอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นเป็นแบบเกาส์เซียน นอกจากนี้ แบบจำลองนี้ยังอนุญาตให้มีวิธีแก้ปัญหาแบบปิดสำหรับราคาพันธบัตรและสำหรับตัวเลือกพันธบัตรและ caps/floors และการใช้เทคนิคของ Jamshidianยังสามารถได้สูตรสำหรับ swaptions ได้อีกด้วย^{[ 2 ]}${\displaystyle dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma }$
3. แบบจำลอง Rendleman –Bartter (1980) ^{[ 10 ]}หรือแบบจำลอง Dothan (1978) ^{[ 11 ]}อธิบายอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นได้ดังนี้ในแบบจำลองนี้ อัตราดอกเบี้ยระยะสั้นเป็นไปตามการเคลื่อนที่แบบบราวน์แบบเรขาคณิตแบบจำลองนี้ไม่มีสูตรสำเร็จรูปสำหรับตัวเลือก และไม่มีการกลับคืนสู่ค่าเฉลี่ย นอกจากนี้ยังมีปัญหาของบัญชีธนาคารที่คาดหวังเป็นอนันต์หลังจากช่วงเวลาสั้นๆ ปัญหาเดียวกันนี้จะปรากฏในแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นแบบลอการิทมิกปกติทั้งหมด^{[ 2 ]}${\displaystyle dr_{t}=\theta r_{t}\,dt+\sigma r_{t}\,dW_{t}}$
4. แบบจำลอง Cox –Ingersoll–Ross (1985) สมมติว่ามักจะเขียนว่า ปัจจัยนี้ป้องกัน(โดยทั่วไป) ความเป็นไปได้ของอัตราดอกเบี้ยติดลบ^{[ 12 ]}การตีความพารามิเตอร์ในสูตรที่สองนั้นเหมือนกับในแบบจำลอง Vasicek เงื่อนไข Feller รับประกันอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัด แบบจำลองนี้เป็นไปตามกระบวนการรากที่สองของ Feller และมีอัตราที่ไม่เป็นลบ และอนุญาตให้มีวิธีแก้ปัญหาแบบปิดสำหรับราคาพันธบัตรและสำหรับตัวเลือกพันธบัตรและ caps/floors และการใช้กลอุบายของ Jamshidianยังสามารถได้สูตรสำหรับ swaptions ได้อีกด้วย ทั้งแบบจำลองนี้และแบบจำลอง Vasicek เรียกว่าแบบจำลองเชิงเส้นตรง เนื่องจากสูตรสำหรับอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นแบบต่อเนื่องสำหรับอายุครบกำหนด T ที่เวลา t เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นตรงของ^{[ 2 ]}${\displaystyle dr_{t}=(\theta -\alpha r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma \,dW_{t}}$${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma \,dW_{t}}$${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$${\displaystyle 2ab>\sigma ^{2}}$${\displaystyle r_{t}}$

ต่อไปนี้คือตัวอย่างแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นจากภายนอกจำนวนหนึ่ง

1. แบบจำลอง Ho –Lee (1986) จำลองอัตราระยะสั้นเป็น[ ^{13 ] พารามิเตอร์}นี้อนุญาตให้โครงสร้างระยะเวลาเริ่มต้นของอัตราดอกเบี้ยหรือราคาพันธบัตรเป็นอินพุตของแบบจำลอง แบบจำลองนี้เป็นไปตามการเคลื่อนที่แบบบราวน์แบบเลขคณิตอีกครั้งโดยมีพารามิเตอร์การเคลื่อนตัวแบบกำหนดที่ขึ้นอยู่กับเวลา${\displaystyle dr_{t}=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$${\displaystyle \theta _{t}}$
2. แบบจำลอง Hull –White (1990)—หรือที่เรียกว่าแบบจำลอง Vasicek แบบขยาย—ตั้งสมมติฐานว่าในการนำเสนอหลายๆ ครั้ง พารามิเตอร์หนึ่งตัวหรือมากกว่านั้นและไม่ขึ้นอยู่กับเวลา การกระจายของอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นเป็นแบบปกติ และแบบจำลองนี้อนุญาตให้มีอัตราดอกเบี้ยติดลบได้ แบบจำลองที่มีค่าคงที่และเป็นแบบที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุด และอนุญาตให้มีวิธีแก้ปัญหาแบบปิดสำหรับราคาพันธบัตร ตัวเลือกพันธบัตร เพดานและพื้น และ swaptions ผ่านกลอุบายของ Jamshidian แบบจำลองนี้อนุญาตให้มีการปรับเทียบโครงสร้างระยะเวลาเริ่มต้นของอัตราดอกเบี้ยอย่างแม่นยำผ่านฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับเวลาการใช้งานแบบ Latticeสำหรับ Bermudan swaptions และสำหรับผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีสูตรวิเคราะห์มักจะเป็นแบบtrinomial ^{[ 14 ] [ 15 ]}${\displaystyle dr_{t}=(\theta _{t}-\alpha _{t}r_{t})\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$${\displaystyle \theta ,\alpha }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \theta _{t}}$
3. แบบจำลอง Black –Derman–Toy (1990) มีความผันผวนของอัตราระยะสั้นที่ขึ้นอยู่กับเวลาและอื่นๆ แบบจำลองนี้เป็นแบบลอการิทมิกปกติ^{[ 16 ]}แบบจำลองนี้ไม่มีสูตรสำเร็จรูปสำหรับตัวเลือก นอกจากนี้ เช่นเดียวกับแบบจำลองลอการิทมิกปกติทั้งหมด แบบจำลองนี้ประสบปัญหาการระเบิดของบัญชีธนาคารที่คาดหวังในเวลาจำกัด${\textstyle d\ln(r)=[\theta _{t}+{\frac {\sigma '_{t}}{\sigma _{t}}}\ln(r)]dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$${\displaystyle d\ln(r)=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$
4. แบบจำลอง Black–Karasinski (1991) ซึ่งเป็นแบบลอคนอร์มอล มี. ^{[ 17 ]}แบบจำลองนี้อาจมองได้ว่าเป็นการประยุกต์ใช้แบบลอคนอร์มอลของ Hull–White; ^{[ 18 ]}การนำไปใช้ตามโครงตาข่ายของมันก็เป็นแบบไตรนามเช่นกัน (แบบทวินามต้องใช้ขั้นตอนเวลาที่แตกต่างกัน) ^{[ 7 ]}แบบจำลองนี้ไม่มีคำตอบในรูปแบบปิด และแม้แต่การปรับเทียบขั้นพื้นฐานกับโครงสร้างระยะเวลาเริ่มต้นก็ต้องทำด้วยวิธีการเชิงตัวเลขเพื่อสร้างราคาพันธบัตรศูนย์คูปอง แบบจำลองนี้ก็ประสบปัญหาการระเบิดของบัญชีธนาคารที่คาดหวังในเวลาจำกัดเช่นกัน${\displaystyle d\ln(r)=[\theta _{t}-\phi _{t}\ln(r)]\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$
5. แบบจำลอง Kalotay –Williams–Fabozzi (1993) มีอัตราระยะสั้นเป็น ซึ่งเป็นแบบจำลองลอคนอร์มอลที่คล้ายกับแบบจำลอง Ho–Lee และเป็นกรณีพิเศษของแบบจำลอง Black–Derman–Toy ^{[ 19 ]}แนวทางนี้มีความคล้ายคลึงกับ " แบบจำลอง Salomon Brothers ดั้งเดิม " (1987) ^{[ 20 ]}ซึ่งเป็นแบบจำลองลอคนอร์มอลอีกแบบหนึ่งของ Ho-Lee ^{[ 21 ]}${\displaystyle d\ln(r_{t})=\theta _{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$
6. แบบจำลอง CIR++ ซึ่งได้รับการแนะนำและศึกษาอย่างละเอียดโดยBrigoและMercurio ^{[ 6 ]}ในปี 2001 และได้รับการคิดค้นขึ้นก่อนหน้านี้โดย Scott (1995) ^{[ 22 ]}ใช้แบบจำลอง CIR แต่แทนที่จะนำพารามิเตอร์ที่ขึ้นอยู่กับเวลามาใช้ในพลวัต แบบจำลองนี้จะเพิ่มการเปลี่ยนแปลงภายนอกเข้าไป แบบจำลองนี้ถูกกำหนดสูตรเป็น โดยที่เป็นการเปลี่ยนแปลงแบบกำหนดได้ การเปลี่ยนแปลงนี้สามารถใช้เพื่อดูดซับโครงสร้างระยะเวลาของตลาดและทำให้แบบจำลองสอดคล้องกับสิ่งนี้อย่างสมบูรณ์ แบบจำลองนี้ยังคงรักษาความสามารถในการวิเคราะห์ของแบบจำลอง CIR พื้นฐานไว้ ทำให้สามารถหาคำตอบในรูปแบบปิดสำหรับพันธบัตรและผลิตภัณฑ์เชิงเส้นทั้งหมด รวมถึงออปชั่นต่างๆ เช่น caps, floor และ swaptions ผ่านกลอุบายของ Jamshidian แบบจำลองนี้อนุญาตให้รักษาอัตราที่เป็นบวกได้หากการเปลี่ยนแปลงถูกจำกัดให้เป็นบวก หรืออนุญาตให้มีอัตราที่เป็นลบได้หากการเปลี่ยนแปลงได้รับอนุญาตให้เป็นลบ แบบจำลองนี้ถูกนำไปใช้บ่อยครั้งในความเสี่ยงด้านเครดิตเช่นกัน สำหรับ credit default swap และ swaptions ในเวอร์ชันดั้งเดิมนี้หรือแบบกระโดด^{[ 23 ]}${\displaystyle dx_{t}=a(b-x_{t})\,dt+{\sqrt {x_{t}}}\,\sigma \,dW_{t},\ \ r_{t}=x_{t}+\phi (t)}$${\displaystyle \phi }$

แนวคิดของการเปลี่ยนแปลงเชิงกำหนดสามารถนำไปใช้กับแบบจำลองอื่นๆ ที่มีคุณสมบัติที่พึงประสงค์ในรูปแบบภายในได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น สามารถนำการเปลี่ยนแปลงไปใช้กับแบบจำลอง Vasicek ได้ แต่เนื่องจากความเป็นเส้นตรงของกระบวนการ Ornstein-Uhlenbeck จึงเทียบเท่ากับการสร้างฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับเวลา และจะสอดคล้องกับแบบจำลอง Hull-White ^{[ 6 ]}${\displaystyle \phi }$${\displaystyle b}$

นอกจากแบบจำลองปัจจัยเดียวข้างต้นแล้ว ยังมีแบบจำลองหลายปัจจัยของอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นอีกด้วย ซึ่งแบบจำลองที่รู้จักกันดีที่สุด ได้แก่ แบบจำลองสองปัจจัยของ LongstaffและSchwartzและแบบจำลองสามปัจจัยของ Chen (เรียกอีกอย่างว่า "แบบจำลองค่าเฉลี่ยสุ่มและความผันผวนสุ่ม") โปรดทราบว่าเพื่อวัตถุประสงค์ในการจัดการความเสี่ยง "เพื่อสร้างการจำลองอัตราดอกเบี้ย ที่สมจริง " แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นหลายปัจจัยเหล่านี้บางครั้งเป็นที่นิยมมากกว่าแบบจำลองปัจจัยเดียว เนื่องจากแบบจำลองเหล่านี้สร้างสถานการณ์ที่โดยทั่วไปแล้ว "สอดคล้องกับการเคลื่อนไหวของเส้นโค้งผลตอบแทนจริง" ได้ดีกว่า^{[ 24 ]}

• แบบจำลอง Longstaff–Schwartz (1992) สมมติว่าพลวัตของอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นกำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}dX_{t}&=(a_{t}-bX_{t})\,dt+{\sqrt {X_{t}}}\,c_{t}\,dW_{1t},\\[3pt]dY_{t}&=(d_{t}-eY_{t})\,dt+{\sqrt {Y_{t}}}\,f_{t}\,dW_{2t},\end{aligned}}}$

โดยอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle dr_{t}=(\mu X+\theta Y)\,dt+\sigma _{t}{\sqrt {Y}}\,dW_{3t}.}$^{[ 25 ]}

• แบบจำลอง ของเฉิน (1996) ซึ่งมีค่าเฉลี่ยและความผันผวนแบบสุ่มของอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น กำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}dr_{t}&=(\theta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\alpha _{t}&=(\zeta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {\alpha _{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},\\[3pt]d\sigma _{t}&=(\beta _{t}-\sigma _{t})\,dt+{\sqrt {\sigma _{t}}}\,\eta _{t}\,dW_{t}.\end{aligned}}}$^{[ 26 ]}

• แบบจำลอง Hull-White สองปัจจัยหรือ G2++ เป็นแบบจำลองที่ใช้กันเนื่องจากสามารถจัดการได้ง่าย แบบจำลองเหล่านี้ได้รับการสรุปและแสดงให้เห็นว่าเทียบเท่ากันใน Brigo และ Mercurio (2006) แบบจำลองนี้ขึ้นอยู่กับการเพิ่มกระบวนการ Ornstein-Uhlenbeck (Vasicek) สองกระบวนการที่อาจมีความสัมพันธ์กัน บวกกับการเลื่อนเพื่อให้ได้อัตราระยะสั้น แบบจำลองนี้ช่วยให้สามารถปรับเทียบโครงสร้างระยะเวลาได้อย่างแม่นยำ โซลูชันรูปแบบกึ่งปิดสำหรับออปชั่น การควบคุมโครงสร้างระยะเวลาความผันผวนสำหรับอัตราฟอร์เวิร์ดทันทีผ่านพารามิเตอร์ความสัมพันธ์ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับอัตราติดลบ ซึ่งมีความสำคัญมากขึ้นเมื่ออัตราในตลาดการเงินติดลบ^{[ 27 ]}

กรอบการทำงานหลักอีกประการหนึ่งสำหรับการสร้างแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยคือกรอบการทำงาน Heath–Jarrow–Morton (HJM) ซึ่งแตกต่างจากแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นที่กล่าวมาข้างต้น แบบจำลองประเภทนี้โดยทั่วไปไม่ใช่แบบมาร์คอฟ ทำให้แบบจำลอง HJM ทั่วไปนั้นคำนวณได้ยากสำหรับวัตถุประสงค์ส่วนใหญ่ ข้อดีอย่างมากของแบบจำลอง HJM คือให้คำอธิบายเชิงวิเคราะห์ของเส้นโค้งผลตอบแทนทั้งหมด แทนที่จะเป็นเพียงอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น สำหรับบางวัตถุประสงค์ (เช่น การประเมินมูลค่าหลักทรัพย์ค้ำประกันสินเชื่อที่อยู่อาศัย) นี่อาจเป็นการลดความซับซ้อนลงอย่างมาก แบบจำลอง Cox–Ingersoll–Ross และ Hull–White ในมิติเดียวหรือมากกว่านั้นสามารถแสดงได้อย่างตรงไปตรงมาในกรอบการทำงาน HJM แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นอื่นๆ ไม่มีตัวแทน HJM แบบคู่ที่ง่ายๆ

กรอบงาน HJM ที่มีแหล่งที่มาของความสุ่มหลายแหล่ง รวมถึงแบบจำลอง Brace–Gatarek–Musielaและแบบจำลองตลาดมักเป็นที่นิยมสำหรับแบบจำลองที่มีมิติสูงกว่า

แบบจำลองที่อิงตามอัตราเงาของฟิชเชอร์-แบล็กจะถูกนำมาใช้เมื่ออัตราดอกเบี้ยเข้าใกล้ ขีดจำกัด ล่าง ศูนย์

• การจัดสรรตราสารหนี้

• Martin Baxter & Andrew Rennie (1996). แคลคูลัสทางการเงิน . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-55289-9.
• Damiano Brigo; Fabio Mercurio (2001). แบบจำลองอัตราดอกเบี้ย – ทฤษฎีและการปฏิบัติ พร้อมด้วย Smile, เงินเฟ้อ และสินเชื่อ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2 ปี 2006). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Gerald Buetow & James Sochacki (2001). แบบจำลองโครงสร้างระยะเวลาโดยใช้แผนผังทวินามมูลนิธิวิจัย AIMR ( สถาบัน CFA ) ISBN 978-0-943205-53-3.
• Andrew JG Cairns (2004). แบบจำลองอัตราดอกเบี้ย – บทนำ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน . ISBN 978-0-691-11894-9.
• Andrew JG Cairns (2004). แบบจำลองอัตราดอกเบี้ย ; บทความในสารานุกรมวิทยาศาสตร์ประกันภัย . John Wiley and Sons . 2004. ISBN 978-0-470-84676-6.
• KC Chan, G. Andrew Karolyi, Francis Longstaffและ Anthony Sanders (1992). การเปรียบเทียบเชิงประจักษ์ของแบบจำลองทางเลือกต่างๆ ของอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น (PDF)วารสารการเงินเล่มที่ XLVII ฉบับที่ 3 กรกฎาคม 1992{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• หลิน เฉิน (1996). พลวัตของอัตราดอกเบี้ย การกำหนดราคาอนุพันธ์ และการจัดการความเสี่ยงสปริงเกอร์ISBN 978-3-540-60814-1.
• Rajna Gibson, François-Serge Lhabitant และ Denis Talay (1999). การสร้างแบบจำลองโครงสร้างระยะเวลาของอัตราดอกเบี้ย: ภาพรวมวารสารความเสี่ยง, 1(3): 37–62, 1999.
• Lane Hughston (2003). อดีต ปัจจุบัน และอนาคตของการสร้างแบบจำลองโครงสร้างระยะเวลา ; บทความในPeter Field (2003). การจัดการความเสี่ยงสมัยใหม่ . Risk Books. ISBN 978-1-906348-30-4.
• เจสสิกา เจมส์ และ นิค เว็บเบอร์ (2000). การสร้างแบบจำลองอัตราดอกเบี้ย . ไวลีย์ ไฟแนนซ์ . ISBN 978-0-471-97523-6.
• Robert Jarrow (2002). การสร้างแบบจำลองหลักทรัพย์รายได้คงที่และตัวเลือกอัตราดอกเบี้ย (ฉบับที่ 2) Stanford Economics and Finance. ISBN 978-0-8047-4438-6.
• Robert Jarrow (2009). "โครงสร้างระยะเวลาของอัตราดอกเบี้ย" . Annual Review of Financial Economics . 1 (1): 69– 96. doi : 10.1146/annurev.financial.050808.114513 .
• FC Park (2004). "การนำแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยไปใช้: คู่มือปฏิบัติ" (PDF) . สิ่งพิมพ์วิจัย CMPR . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 16 สิงหาคม 2553
• Riccardo Rebonato (2002). การกำหนดราคา อนุพันธ์อัตราดอกเบี้ยสมัยใหม่สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตันISBN 978-0-691-08973-7.
• Riccardo Rebonato (2003). "แบบจำลองโครงสร้างระยะเวลา: การทบทวน" (PDF) . เอกสารวิจัยของศูนย์วิจัยเชิงปริมาณ ธนาคารรอยัลแบงก์ออฟสกอตแลนด์