การแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติ
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น พารามิเตอร์เหมือนกันแต่พารามิเตอร์ต่างกัน${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$
ฟังก์ชันการกระจายสะสม ${\displaystyle \mu =0}$
สัญกรณ์	${\displaystyle \operatorname {Lognormal} \left(\mu ,\,\sigma ^{2}\right)}$
พารามิเตอร์	${\displaystyle \mu \in (-\infty ,+\infty )}$(ลอการิทึมของตำแหน่ง ) ${\displaystyle \sigma >0}$(ลอการิทึมของมาตราส่วน )
สนับสนุน	${\displaystyle x\in (0,+\infty )}$
พีดี	${\displaystyle {\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {\left(\ln x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
ซีดีเอฟ	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]\\[1ex]&=\Phi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}\end{aligned}}}$
ควอนไทล์	${\displaystyle {\begin{aligned}&\exp \left(\mu +{\sqrt {2\sigma ^{2}}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)\right)\\[1ex]&=\exp(\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p))\end{aligned}}}$
หมายถึง	${\displaystyle \exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)}$
ค่ามัธยฐาน	${\displaystyle \exp(\mu )}$
โหมด	${\displaystyle \exp \left(\mu -\sigma ^{2}\right)}$
ความแปรปรวน	${\displaystyle \left[\exp(\sigma ^{2})-1\right]\exp \left(2\mu +\sigma ^{2}\right)}$
ความเบี่ยงเบน	${\displaystyle \left[\exp \left(\sigma ^{2}\right)+2\right]{\sqrt {\exp(\sigma ^{2})-1}}}$
ความโค้งส่วนเกิน	${\displaystyle \exp \left(4\sigma ^{2}\right)+2\exp \left(3\sigma ^{2}\right)+3\exp \left(2\sigma ^{2}\right)-6}$
เอนโทรปี	${\displaystyle \log _{2}\left({\sqrt {2\pi e}}\,\sigma e^{\mu }\right)}$
เอ็มจีเอฟ	กำหนดไว้เฉพาะสำหรับตัวเลขที่มี ส่วนจริง ไม่เป็นบวกเท่านั้นโปรดดูรายละเอียดในเนื้อหา
ซีเอฟ	การแสดงผลนั้นลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ แต่ก็เพียงพอสำหรับวัตถุประสงค์เชิงตัวเลขส่วนใหญ่${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\left(it\right)}^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$
ข้อมูลของฟิชเชอร์	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{2}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}}$
วิธีโมเมนต์	${\displaystyle \mu =\ln \operatorname {E} [X]-{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\operatorname {Var} [X]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}+1\right),}$ ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\ln \left({\frac {\operatorname {Var} [X]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}+1\right)}}}$

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น การแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติ (หรือลอการิทมิกนอร์มอล ) คือการแจกแจงความน่าจะ เป็นแบบต่อเนื่อง ของตัวแปรสุ่มที่มีลอการิทึมเป็นการแจกแจง แบบปกติ ดังนั้น ถ้าตัวแปรสุ่มXมีการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติY = ln X ก็ จะมีการแจกแจงแบบปกติ เช่นกัน ^{[ 2 ] [ 3 ]}หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าYมีการแจกแจงแบบปกติฟังก์ชันเลขชี้กำลังของY , X = exp( Y )ก็จะมีการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติ ตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติจะมีค่าเป็นจำนวนจริงบวกเท่านั้น เป็นแบบจำลองที่สะดวกและมีประโยชน์สำหรับการวัดในวิทยาศาสตร์ที่แม่นยำและวิศวกรรมศาสตร์รวมถึงการแพทย์เศรษฐศาสตร์และหัวข้ออื่นๆ (เช่น พลังงาน ความเข้มข้น ความยาว ราคาของเครื่องมือทางการเงิน และตัวชี้วัดอื่นๆ)

บางครั้งการแจกแจงนี้เรียกว่าการแจกแจงของกัลตันหรือการแจกแจงของกัลตันตามชื่อของฟรานซิส กัลตัน [ ^{4 ] การ}แจกแจงแบบลอการิทมิกปกติยังเกี่ยวข้องกับชื่ออื่นๆ เช่นแมคอัลลิสเตอร์กิบรัตและคอบบ์-ดักลาส^{[ 4 ]}

กระบวนการลอการิทมิกปกติเป็นการรับรู้ทางสถิติของผล คูณ ของตัวแปรสุ่มอิสระจำนวน มาก ซึ่งแต่ละตัวเป็นบวก สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดยพิจารณาทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางในโดเมนลอการิทมิก (บางครั้งเรียกว่ากฎของ Gibrat ) การแจกแจงลอการิทมิกปกติเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นเอนโทรปีสูงสุดสำหรับตัวแปรสุ่มXซึ่งค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของln Xได้รับการระบุ^{[ 5 ]}

ให้เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานและให้และเป็นจำนวนจริงสองจำนวนโดยที่ แล้ว การแจกแจงของตัวแปรสุ่ม คือ${\displaystyle Z}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma >0}$

$${\displaystyle X=e^{\mu +\sigma Z}}$$

เรียกว่าการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติ (log-normal distribution) ที่มีพารามิเตอร์และซึ่งเป็นค่าคาดหวัง (หรือค่าเฉลี่ย ) และส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานของ ลอการิทึมธรรมชาติของตัวแปรไม่ใช่ค่าคาดหวังและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวมันเอง ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \ln X}$${\displaystyle X}$

ความสัมพันธ์นี้เป็นจริงไม่ว่าฐานของฟังก์ชันลอการิทึมหรือฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเป็นแบบใดก็ตาม: ถ้ามีการแจกแจงแบบปกติ แล้ว ก็จะมีการแจกแจงแบบปกติเช่น กัน สำหรับจำนวนบวกสองจำนวนใดๆ ในทำนองเดียวกัน ถ้ามีการแจกแจงแบบลอการิทึมปกติ แล้ว ก็จะมีการแจกแจงแบบปกติเช่นกันโดยที่${\displaystyle \log _{a}X}$${\displaystyle \log _{b}X}$${\displaystyle a,b\neq 1}$${\displaystyle e^{Y}}$${\displaystyle a^{Y}}$${\displaystyle 0<a\neq 1}$

เพื่อให้ได้การแจกแจงที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน ตามที่ต้องการ จะต้องใช้และ${\displaystyle \mu _{X}}$${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$${\displaystyle \mu =\ln {\frac {\mu _{X}^{2}}{\sqrt {\mu _{X}^{2}+\sigma _{X}^{2}}}}}$${\displaystyle \sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\sigma _{X}^{2}}{\mu _{X}^{2}}}\right)}$

อีกทางเลือกหนึ่งคือ สามารถใช้พารามิเตอร์แบบ "การคูณ" หรือ "เรขาคณิต" ได้ พารามิเตอร์เหล่านี้มีการตีความที่ตรงไปตรงมามากกว่า กล่าว คือ คือค่ามัธยฐานของการกระจาย และมีประโยชน์สำหรับการกำหนดช่วง "การกระจายย่อย" ดังที่กล่าวไว้ด้านล่าง ${\displaystyle \mu ^{*}=e^{\mu }}$${\displaystyle \sigma ^{*}=e^{\sigma }}$${\displaystyle \mu ^{*}}$${\displaystyle \sigma ^{*}}$

ตัวแปรสุ่มบวกมีการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติ (เช่น)ถ้าลอการิทึมธรรมชาติของมีการแจกแจงแบบปกติโดยมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน:${\displaystyle X}$${\textstyle X\sim \operatorname {Lognormal} \left(\mu ,\sigma ^{2}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

$${\displaystyle \ln X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$$

ให้และเป็นฟังก์ชันการกระจายความน่าจะเป็นสะสมและฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของการกระจายปกติมาตรฐานตามลำดับ แล้วเราจะได้ว่า^{[ 2 ] [ 4 ]}ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของการกระจายลอการิทมิกปกติกำหนดโดย: ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {d}{dx}}\Pr \nolimits _{X}\left[X\leq x\right]\\[6pt]&={\frac {d}{dx}}\Pr \nolimits _{X}\left[\ln X\leq \ln x\right]\\[6pt]&={\frac {d}{dx}}\Phi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}\\[6pt]&=\varphi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)\\[6pt]&=\varphi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}{\frac {1}{\sigma x}}\\[6pt]&={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)~.\end{aligned}}}$$

ฟังก์ชันการกระจายสะสมคือ

$${\displaystyle F_{X}(x)=\Phi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}}$$

โดยที่คือฟังก์ชันการกระจายสะสมของการกระจายปกติมาตรฐาน (เช่น)${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \operatorname {\mathcal {N}} (0,1)}$

สิ่งนี้อาจแสดงได้ดังนี้: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$$

โดยที่erfc คือฟังก์ชันข้อผิดพลาดเสริม

ถ้าเป็นการแจกแจงปกติแบบหลายตัวแปรแล้วจะมีการแจกแจงลอการิทมิกปกติแบบหลายตัวแปร^{[ 6 ] [ 7 ]}มีการใช้เลขชี้กำลังกับเวกเตอร์สุ่มแบบทีละองค์ประกอบ ค่าเฉลี่ยของคือ ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}$${\displaystyle Y_{i}=\exp(X_{i})}$${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$

$${\displaystyle \operatorname {E} [{\boldsymbol {Y}}]_{i}=e^{\mu _{i}+{\frac {1}{2}}\Sigma _{ii}},}$$

และเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม ของมัน คือ

$${\displaystyle \operatorname {Var} [{\boldsymbol {Y}}]_{ij}=e^{\mu _{i}+\mu _{j}+{\frac {1}{2}}(\Sigma _{ii}+\Sigma _{jj})}\left(e^{\Sigma _{ij}}-1\right).}$$

เนื่องจากการแจกแจงลอการิทมิกปกติแบบหลายตัวแปรไม่เป็นที่นิยมใช้กันอย่างแพร่หลาย ส่วนที่เหลือของบทความนี้จึงกล่าวถึงเฉพาะการแจกแจงแบบตัวแปรเดียวเท่านั้น

โมเมนต์ทั้งหมดของการกระจายแบบลอการิทมิกปกติมีอยู่จริง และ

$${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}\,.}$$

อย่างไรก็ตาม การแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติไม่ได้ถูกกำหนดโดยโมเมนต์ของมัน^{[ 8 ]}ซึ่งหมายความว่ามันไม่สามารถมีฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ที่กำหนดไว้ในบริเวณใกล้เคียงศูนย์ได้^{[ 9 ]}อันที่จริง ค่าที่คาดหวังไม่ได้ถูกกำหนดสำหรับค่าบวกใดๆ ของอาร์กิวเมนต์เนื่องจากอินทิกรัลที่กำหนดนั้นลู่เข้า ${\displaystyle \operatorname {E} [e^{tX}]}$${\displaystyle t}$

ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ ถูกกำหนดสำหรับค่าจริงของtแต่ไม่ได้ถูกกำหนดสำหรับค่าเชิงซ้อนใดๆ ของtที่มีส่วนจินตนาการเป็นลบ ดังนั้นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะจึงไม่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ที่จุดกำเนิด ผลที่ตามมาคือ ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติไม่สามารถแสดงเป็นอนุกรมลู่เข้าอนันต์ได้^{[ 10 ]} โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อนุกรมเทย์เลอร์อย่างเป็นทางการของมันจะลู่เข้า: ${\displaystyle \operatorname {E} [e^{itX}]}$

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\left(it\right)}^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}\,.}$$

อย่างไรก็ตาม มีการแสดงอนุกรมที่แตกต่างกันทางเลือกจำนวนหนึ่ง^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

สูตรปิดสำหรับฟังก์ชันลักษณะเฉพาะภายในโดเมนของการลู่เข้ายังไม่เป็นที่รู้จัก มีสูตรการประมาณที่ค่อนข้างง่ายในรูปแบบปิด และกำหนดโดย^{[ 14 ]}${\displaystyle \varphi (t)}$${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \varphi (t)\approx {\frac {\exp \left(-{\frac {W^{2}(-it\sigma ^{2}e^{\mu })+2W(-it\sigma ^{2}e^{\mu })}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sqrt {1+W{\left(-it\sigma ^{2}e^{\mu }\right)}}}}}$$

โดยที่คือฟังก์ชัน Lambert Wการประมาณนี้ได้มาจากการใช้วิธีการเชิงอะซิมโทติก แต่ยังคงมีความแม่นยำตลอดทั้งโดเมนการลู่เข้าของ ${\displaystyle W}$${\displaystyle \varphi }$

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตหรือค่าเฉลี่ยคูณของการแจกแจงลอการิทมิกปกติคือซึ่งเท่ากับค่ามัธยฐานค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเรขาคณิตหรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคูณคือ^{[ 15 ] [ 16 ]}${\displaystyle \operatorname {GM} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}}$${\displaystyle \operatorname {GSD} [X]=e^{\sigma }=\sigma ^{*}}$

โดยการเปรียบเทียบกับสถิติทางเลขคณิต เราสามารถกำหนดความแปรปรวนทางเรขาคณิตได้และมีการเสนอสัมประสิทธิ์ความแปรผันทางเรขาคณิต [ ^{15 ] คำ} ศัพท์นี้มีจุดประสงค์เพื่อให้ คล้ายคลึงกับสัมประสิทธิ์ความแปรผัน เพื่ออธิบายความแปรผันแบบทวีคูณในข้อมูลลอการิทึมปกติ แต่คำจำกัดความของ GCV นี้ไม่มีพื้นฐานทางทฤษฎีในฐานะการประมาณค่าของตัวมันเอง (ดูเพิ่มเติมที่สัมประสิทธิ์ความแปรผัน ) ${\displaystyle \operatorname {GVar} [X]=e^{\sigma ^{2}}}$${\displaystyle \operatorname {GCV} [X]=e^{\sigma }-1}$${\displaystyle \operatorname {CV} }$

โปรดทราบว่าค่าเฉลี่ยเรขาคณิตมีค่าน้อยกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต นี่เป็นผลมาจากความไม่เท่าเทียมกันของ AM–GMและเป็นผลสืบเนื่องมาจากลอการิทึมเป็นฟังก์ชันเว้าในความเป็นจริง^{[ 17 ]}

$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}=e^{\mu }\cdot {\sqrt {e^{\sigma ^{2}}}}=\operatorname {GM} [X]\cdot {\sqrt {\operatorname {GVar} [X]}}.}$$

ในด้านการเงิน คำนี้บางครั้งถูกตีความว่าเป็นการแก้ไขความนูนจากมุมมองของแคลคูลัสเชิงสุ่มนี่คือคำแก้ไขเดียวกันกับในทฤษฎีบทของอิโตะสำหรับการเคลื่อนที่แบบบราวน์เชิงเรขาคณิต ${\displaystyle e^{-\sigma ^{2}/2}}$

สำหรับจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนnใด ๆ โมเมนต์ ลำดับ ที่nของตัวแปรX ที่กระจายแบบลอการิทมิกปกติ จะได้รับจาก^{[ 4 ]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +{\frac {1}{2}}n^{2}\sigma ^{2}}.}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่ากำลังสองที่คาดหวัง ความแปรปรวนเลขคณิต และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเลขคณิตของตัวแปร Xที่กระจายแบบลอการิทึมปกติจะได้รับดังนี้: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {E} [X^{2}]&=e^{2\mu +2\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {Var} [X]&=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}={\left(\operatorname {E} [X]\right)}^{2}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)\\[2pt]&=e^{2\mu +\sigma ^{2}}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right),\\[4pt]\operatorname {SD} [X]&={\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}=\operatorname {E} [X]{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}\\[2pt]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}},\end{aligned}}}$$

สัมประสิทธิ์ความแปรผันทาง เลขคณิตคืออัตราส่วนสำหรับการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติจะมีค่าเท่ากับ^{[ 3 ]} บางครั้งการประมาณค่านี้เรียกว่า "สัมประสิทธิ์ความแปรผันทางเรขาคณิต" (GCV) ^{[ 18 ] [ 19 ]}เนื่องจากการใช้ความแปรปรวนทางเรขาคณิต ตรงกันข้ามกับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานทางเลขคณิต สัมประสิทธิ์ความแปรผันทางเลขคณิตจะไม่ขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ยทางเลขคณิต ${\displaystyle \operatorname {CV} [X]}$${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {SD} [X]}{\operatorname {E} [X]}}}$$${\displaystyle \operatorname {CV} [X]={\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}.}$$

สามารถหา ค่าพารามิเตอร์μและσได้ หากทราบค่าเฉลี่ยเลขคณิตและความแปรปรวนเลขคณิต:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\ln {\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]}}}=\ln {\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}}}},\\[1ex]\sigma ^{2}&=\ln {\frac {\operatorname {E} [X^{2}]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}=\ln \left(1+{\frac {\operatorname {Var} [X]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

การแจกแจงความน่าจะเป็นไม่ได้ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงโดยโมเมนต์E[ X ⁿ ] = e ^{nμ + ⁠1/2n 2 σ 2}สำหรับ n ≥ 1นั่นคือ มีการแจกแจงอื่นๆ ที่มีชุดโมเมนต์เดียวกัน ^{[ 4 ]}ในความเป็นจริง มีการแจกแจงทั้งตระกูลที่มีโมเมนต์เดียวกันกับการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติ ดู^การแจกแจงที่เกี่ยวข้องด้านล่าง

โหมดคือจุดสูงสุดทั่วโลกของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จากการแก้สมการเราจะได้ว่า: ${\displaystyle (\ln f)'=0}$

$${\displaystyle \operatorname {Mode} [X]=e^{\mu -\sigma ^{2}}.}$$

เนื่องจากตัวแปรที่แปลงด้วยลอการิทึมมีการกระจายแบบปกติ และควอนไทล์ยังคงอยู่ภายใต้การแปลงแบบโมโนโทนิก ดังนั้นควอนไทล์ของตัวแปรนั้นคือ ${\displaystyle Y=\ln X}$${\displaystyle X}$

$${\displaystyle q_{X}(\alpha )=\exp \left[\mu +\sigma q_{\Phi }(\alpha )\right]=\mu ^{*}(\sigma ^{*})^{q_{\Phi }(\alpha )},}$$

โดยที่คือควอนไทล์ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน ${\displaystyle q_{\Phi }(\alpha )}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่ามัธยฐานของการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติจะเท่ากับค่าเฉลี่ยคูณ^{[ 20 ]}

$${\displaystyle \operatorname {Med} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}~.}$$

ค่าคาดหวังบางส่วนของตัวแปรสุ่มเทียบกับค่าเกณฑ์ถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$

$${\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }x\,f_{X}(x)\,dx.}$$

หรืออีกวิธีหนึ่ง โดยใช้คำนิยามของค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขสามารถเขียนได้ดังนี้สำหรับตัวแปรสุ่มแบบลอการิทมิกปกติ ค่าคาดหวังบางส่วนจะกำหนดโดย: ${\displaystyle g(k)=\operatorname {E} [X\mid X>k]\Pr(X>k)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}g(k)&=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x)\,dx\\[1ex]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}\,\Phi {\left({\frac {\mu -\ln k}{\sigma }}+\sigma \right)}\end{aligned}}}$$

โดยที่คือฟังก์ชันการกระจายสะสมปกติการพิสูจน์สูตรมีอยู่ในหน้าพูดคุยสูตรค่าคาดหวังบางส่วนมีการประยุกต์ใช้ในด้านประกันภัยและเศรษฐศาสตร์โดยใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยซึ่งนำไปสู่สูตรแบล็ก-โชลส์ ${\displaystyle \Phi }$

ค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของตัวแปรสุ่มแบบลอการิทมิกปกติ—เมื่อเทียบกับค่าเกณฑ์—คือค่าคาดหวังบางส่วนของตัวแปรนั้น หารด้วยความน่าจะเป็นสะสมของการอยู่ในช่วงนั้น: ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X\mid X<k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi {\left[{\frac {\ln k-\mu }{\sigma }}-\sigma \right]}}{\Phi {\left[{\frac {\ln k-\mu }{\sigma }}\right]}}}\\[8pt]\operatorname {E} [X\mid X\geq k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi {\left[{\frac {\mu -\ln k}{\sigma }}+\sigma \right]}}{1-\Phi {\left[{\frac {\ln k-\mu }{\sigma }}\right]}}}\\[8pt]\operatorname {E} [X\mid X\in [k_{1},k_{2}]]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi {\left[{\frac {\ln k_{2}-\mu }{\sigma }}-\sigma \right]}-\Phi {\left[{\frac {\ln k_{1}-\mu }{\sigma }}-\sigma \right]}}{\Phi \left[{\frac {\ln k_{2}-\mu }{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln k_{1}-\mu }{\sigma }}\right]}}\end{aligned}}}$$

นอกเหนือจากลักษณะเฉพาะโดยหรือแล้วยังมีวิธีการมากมายในการกำหนดพารามิเตอร์การแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติProbOntoซึ่งเป็นฐานความรู้และออนโทโลยีของการแจกแจงความน่าจะเป็น^{[ 21 ] [ 22 ]}แสดงรายการรูปแบบดังกล่าวเจ็ดรูปแบบ:${\displaystyle \mu ,\sigma }$${\displaystyle \mu ^{*},\sigma ^{*}}$

• LogNormal1( μ , σ )โดยมีค่าเฉลี่ย , μและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน , σทั้งคู่ในระดับบันทึก^{[ 23 ]}$${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$$
• LogNormal2( μ , υ )ด้วยค่าเฉลี่ยμและความแปรปรวนυทั้งสองในระดับบันทึก$${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {v}})={\frac {1}{x{\sqrt {v}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2v}}\right]}$$
• LogNormal3( m , σ )โดยมีค่ามัธยฐานmอยู่ในมาตราส่วนธรรมชาติ และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานσอยู่ในมาตราส่วนลอการิทึม^{[ 23 ]}$${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\sigma ^{2}}}\right]}$$
• LogNormal4( m , cv)โดยที่ค่ามัธยฐานmและสัมประสิทธิ์ความแปรผันcvต่างก็อยู่ในมาตราส่วนธรรมชาติ$${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {cv}})={\frac {1}{x{\sqrt {\ln(cv^{2}+1)}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln(cv^{2}+1)}}\right]}$$
• LogNormal5( μ , τ )ด้วยค่าเฉลี่ยμและความแม่นยำ τ ทั้งสอง ในระดับบันทึก^{[ 24 ]}$${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\tau }})={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}{\frac {1}{x}}\exp \left[-{\frac {\tau }{2}}(\ln x-\mu )^{2}\right]}$$
• LogNormal6( m , σ _g )โดยมีค่ามัธยฐานmและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเรขาคณิต σ _g ทั้งสอง ค่าอยู่ในมาตราส่วนธรรมชาติ^{[ 25 ]}$${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma _{g}}})={\frac {1}{x{\sqrt {2\pi }}\,\ln \sigma _{g}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln ^{2}(\sigma _{g})}}\right]}$$
• LogNormal7( μ _N , σ _N )โดยมีค่าเฉลี่ยμ _Nและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานσ _Nทั้งสองในระดับธรรมชาติ^{[ 26 ]}$${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu _{N}}},{\boldsymbol {\sigma _{N}}})={\frac {1}{x{\sqrt {2\pi \ln \left(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}\right)}}}}\exp \left[-{\frac {\left(\ln x-\ln {\frac {\mu _{N}}{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}}\right)^{2}}{2\ln \left(1+{\frac {\sigma _{N}^{2}}{\mu _{N}^{2}}}\right)}}\right]}$$

พิจารณาสถานการณ์ที่ต้องการรันโมเดลโดยใช้เครื่องมือออกแบบที่เหมาะสมที่สุดสองแบบที่แตกต่างกัน เช่น PFIM ^{[ 27 ]}และ PopED ^{[ 28 ]}โดยแบบแรกใช้การกำหนดพารามิเตอร์ LN2 ส่วนแบบหลังใช้ LN7 ตามลำดับ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการกำหนดพารามิเตอร์ใหม่ มิฉะนั้นเครื่องมือทั้งสองจะให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน

สำหรับการเปลี่ยนผ่าน สูตรต่อไปนี้เป็นจริงและ. ${\displaystyle \operatorname {LN2} (\mu ,v)\to \operatorname {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})}$${\textstyle \mu _{N}=\exp(\mu +v/2)}$${\textstyle \sigma _{N}=\exp(\mu +v/2){\sqrt {\exp(v)-1}}}$

สำหรับการเปลี่ยนผ่าน สูตรต่อไปนี้เป็นจริงและ. ${\displaystyle \operatorname {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})\to \operatorname {LN2} (\mu ,v)}$${\textstyle \mu =\ln \mu _{N}-{\frac {1}{2}}v}$${\textstyle v=\ln(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2})}$

สูตรการกำหนดพารามิเตอร์ใหม่ที่เหลือทั้งหมดสามารถพบได้ในเอกสารข้อกำหนดบนเว็บไซต์โครงการ^{[ 29 ]}

• การคูณด้วยค่าคงที่: ถ้าเช่นนั้นสำหรับ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle aX\sim \operatorname {Lognormal} (\mu +\ln a,\sigma ^{2})}$${\displaystyle a>0.}$
• ผกผัน: ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Lognormal} (-\mu ,\sigma ^{2}).}$
• อำนาจ: ถ้าเช่นนั้นสำหรับ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle X^{a}\sim \operatorname {Lognormal} (a\mu ,a^{2}\sigma ^{2})}$${\displaystyle a\neq 0.}$

ถ้าตัวแปรอิสระแบบลอการิทมิกปกติสอง ตัว และถูกคูณ [หาร] ผลคูณ [อัตราส่วน] ก็จะเป็นแบบลอการิทมิกปกติเช่นกัน โดยมีพารามิเตอร์[ ]และโดยที่${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2}}$${\displaystyle \mu =\mu _{1}-\mu _{2}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้า ตัวแปรทั้งสอง เป็นอิสระต่อกันและมีการกระจายแบบลอการิทมิกปกติแล้ว${\displaystyle X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})}$${\displaystyle n}$${\textstyle Y=\prod _{j=1}^{n}X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} {\Big (}\sum _{j=1}^{n}\mu _{j},\sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{2}{\Big )}.}$

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตหรือค่าเฉลี่ยคูณของตัวแปรสุ่มบวกที่เป็นอิสระและมีการกระจายเหมือนกันแสดงให้เห็นว่า สำหรับค่า โดยประมาณจะเป็นการกระจายแบบลอการิทมิกปกติที่มีพารามิเตอร์และโดยสมมติว่ามีค่าจำกัด ${\displaystyle n}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\ln X_{i}]}$${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {var} [\ln X_{i}]/n}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

อันที่จริง ตัวแปรสุ่มไม่จำเป็นต้องมีการแจกแจงเหมือนกันทุกประการ เพียงพอแล้วที่การแจกแจงของตัวแปรสุ่มทั้งหมดมีค่าความแปรปรวนจำกัดและเป็นไปตามเงื่อนไขอื่นๆ ของทฤษฎีบทลิมิตกลางในรูป แบบต่างๆ${\displaystyle \ln X_{i}}$

นี่คือสิ่งที่รู้จักกันทั่วไปในชื่อกฎของจิบรอต

ชุดข้อมูลที่เกิดขึ้นจากการกระจายแบบลอการิทมิกปกติจะมีเส้นโค้งลอเรนซ์ สมมาตร (ดูสัมประสิทธิ์ความไม่สมมาตรของลอเรนซ์ ด้วย ) ^{[ 30 ]}

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ค่า เฉลี่ยเรขาคณิตและค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการแจกแจงนี้มีความสัมพันธ์กัน^{[ 31 ]}ความสัมพันธ์ดังกล่าวแสดงโดย ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$

$${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}.}$$

การแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติสามารถแบ่งได้ไม่จำกัด [ ^{32 ]}แต่ไม่ใช่การแจกแจงที่เสถียรซึ่งสามารถดึงออกมาได้^{ง่าย[ 33 ]}

• ถ้าเป็นการแจกแจงแบบปกติแล้ว${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle \exp(X)\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2}).}$
• ถ้ามีการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติ แสดงว่าเป็นตัวแปรสุ่มปกติ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle \ln X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$
• ให้เป็นตัวแปรอิสระที่มีการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติ โดยมีพารามิเตอร์และ ที่อาจเปลี่ยนแปลงได้ และ การแจกแจงของไม่มีสูตรสำเร็จรูป แต่สามารถประมาณได้อย่างเหมาะสมโดยการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติอีกแบบหนึ่งที่ส่วนหางด้านขวา^{[ 34 ]}ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นในบริเวณใกล้เคียง 0 ได้รับการกำหนดลักษณะไว้แล้ว^{[ 33 ]}และไม่เหมือนกับการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติใดๆ การประมาณค่าที่ใช้กันทั่วไปเนื่องจาก LF Fenton (แต่ก่อนหน้านี้ได้กล่าวไว้โดย RI Wilkinson และได้รับการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์โดย Marlow ^{[ 35 ]} ) ได้มาจากการจับคู่ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติอีกแบบหนึ่ง: ในกรณีที่ทั้งหมด มี พารามิเตอร์ความแปรปรวนเดียวกันสูตรเหล่านี้จะลดรูปเป็น${\displaystyle X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu }$${\textstyle Y=\sum _{j=1}^{n}X_{j}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[{\frac {\sum _{j}e^{2\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}}\left(e^{\sigma _{j}^{2}}-1\right)}{{\left(\sum _{j}e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\right)}^{2}}}+1\right],\\[1ex]\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum _{j}e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\right]-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle X_{j}}$${\displaystyle \sigma _{j}=\sigma }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right){\frac {\sum _{j}e^{2\mu _{j}}}{{\left(\sum _{j}e^{\mu _{j}}\right)}^{2}}}+1\right],\\[1ex]\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum _{j}e^{\mu _{j}}\right]+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$$

เพื่อการประมาณค่าที่แม่นยำยิ่งขึ้น สามารถใช้วิธี Monte Carloเพื่อประมาณฟังก์ชันการกระจายสะสม pdf และหางด้านขวา ได้ ^{[ 36 ] [ 37 ]} cdf และ pdf ของผลรวมของตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายแบบลอการิทมิกปกติที่สัมพันธ์กันยังสามารถประมาณได้ด้วยการจำลอง Monte Carlo ^{[ 38 ]}

• ถ้ากล่าวกัน ว่ามีการแจกแจง แบบลอการิทมิกปกติสามพารามิเตอร์ ที่มี ช่วงรองรับ^{[ 39 ]} , .${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle X+c}$${\displaystyle x\in (c,+\infty )}$${\displaystyle \operatorname {E} [X+c]=\operatorname {E} [X]+c}$${\displaystyle \operatorname {Var} [X+c]=\operatorname {Var} [X]}$
• การแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติเป็นกรณีพิเศษของการ แจกแจงSU ของจอห์นสันแบบกึ่งจำกัด^{[ 40 ]}
• ถ้าเป็นเช่นนั้น( การจัดจำหน่ายแบบซูซูกิ )${\displaystyle X\mid Y\sim \operatorname {Rayleigh} (Y)}$${\displaystyle Y\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Suzuki} (\mu ,\sigma )}$
• ตัวแทนของลอการิทมิกปกติซึ่งสามารถแสดงอินทิกรัลได้ในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานมากขึ้น^{[ 41 ]}สามารถหาได้จากการกระจายโลจิสติกเพื่อให้ได้ค่าประมาณของCDF นี่คือการกระจายลอจิสติก$${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\left[\left({\frac {e^{\mu }}{x}}\right)^{\pi /(\sigma {\sqrt {3}})}+1\right]^{-1}.}$$
• ในฐานะตัวอย่างของการแจกแจงที่ไม่ถูกกำหนดโดยโมเมนต์อย่างเฉพาะเจาะจงStieltjesแนะนำการแจกแจงที่มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นที่และ. ^{[ 42 ]}สมาชิกในตระกูลนี้แตกต่างจากการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติเพียงแค่ไม่มีปัจจัย. การเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์จะไม่เปลี่ยนแปลงโมเมนต์ เพื่อดูว่าทำไม เราอาจทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรและ ในสูตรโมเมนต์ ; ตัวหลังทำหน้าที่เติมเต็มกำลังสองในเลขชี้กำลังบนและทำให้ปริพันธ์อยู่ในสถานะที่เทอมไซน์เป็นคี่ อย่างเห็นได้ชัด ดังนั้นจึงไม่มีส่วนร่วมสุทธิ ข้อโต้แย้งเดียวกันนี้ใช้ได้กับการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติ อันที่จริง โมเมนต์ทั้งหมดของการแจกแจงเหล่านี้ (จนถึงปัจจัยคงที่) ก็เป็นโมเมนต์ของการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติที่สอดคล้องกันเช่นกัน แต่มีดัชนีที่เลื่อนไปเพื่ออธิบายปัจจัยพิเศษของตัวหลัง การใช้ไซน์ในที่นี้ไม่สำคัญ สามารถแทนที่ด้วยฟังก์ชันคาบคี่อื่นที่มีคาบที่ถูกต้องได้$${\displaystyle f_{a,c}(x)=e^{-1/4c}{\sqrt {c/\pi }}{\bigl (}1+a\sin(2\pi c\ln x){\bigr )}e^{-c(\ln x)^{2}}}$$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle -1<a<1}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \textstyle \mu _{n}=\int _{0}^{\infty }x^{n}f_{a,c}(x)\,dx}$${\displaystyle u=\ln x}$${\displaystyle v=u-{\tfrac {n+1}{2c}}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x^{-1}}$

ในการหา ค่าประมาณ ความน่าจะเป็นสูงสุดของพารามิเตอร์การแจกแจงลอการิทมิกปกติμและσเราสามารถใช้วิธีการเดียวกันกับการแจกแจงปกติได้โปรดทราบว่า โดยที่คือฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงปกติดังนั้น ฟังก์ชันความน่าจะเป็นลอการิทมิกคือ $${\displaystyle L(\mu ,\sigma )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\varphi _{\mu ,\sigma }(\ln x_{i}),}$$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$$${\displaystyle \ell (\mu ,\sigma \mid x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-\sum _{i}\ln x_{i}+\ell _{N}(\mu ,\sigma \mid \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}).}$$

เนื่องจากพจน์แรกคงที่เมื่อเทียบกับμและσดังนั้นฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบลอการิทึมทั้งสองและจึงมีค่าสูงสุดที่ และ เดียวกันดังนั้นตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดจึงเหมือนกับตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดสำหรับการกระจายแบบปกติสำหรับข้อมูลสังเกตการณ์ ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell _{N}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})}$$${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i}\ln x_{i}}{n}},\qquad {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{i}{\left(\ln x_{i}-{\widehat {\mu }}\right)}^{2}}{n}}.}$$

สำหรับn ที่มี ค่าจำกัด ตัวประมาณค่าสำหรับจะไม่มีอคติ แต่ตัวประมาณค่าสำหรับจะมีอคติ เช่นเดียวกับการแจกแจงแบบปกติ ตัวประมาณค่าที่ไม่มีอคติสำหรับสามารถหาได้โดยการแทนที่ตัวส่วนnด้วยn −1 ในสมการสำหรับ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}}$

จากนี้ MLE สำหรับความคาดหวังของ x คือ: ^{[ 43 ]}${\displaystyle {\widehat {\theta }}_{\text{MLE}}={\widehat {\operatorname {E} [X]}}_{\text{MLE}}=e^{{\hat {\mu }}+{{\hat {\sigma }}^{2}}/{2}}}$

เมื่อ ไม่มีค่าแต่ละค่า แต่ มี ค่าเฉลี่ย และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานs ของตัวอย่าง สามารถใช้ วิธีโมเมนต์ได้ พารามิเตอร์ที่สอดคล้องกันจะถูกกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้ ซึ่งได้มาจากการแก้สมการสำหรับค่าคาดหวังและความแปรปรวนสำหรับและ: ^{[ 44 ]}${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$${\displaystyle \operatorname {Var} [X]}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\ln {\frac {\bar {x}}{\sqrt {1+{\widehat {\sigma }}^{2}/{\bar {x}}^{2}}}},\\[1ex]\sigma ^{2}&=\ln \left(1+{{\widehat {\sigma }}^{2}}/{\bar {x}}^{2}\right).\end{aligned}}}$$

ยังมีตัวประมาณค่าอื่นๆ อีก เช่นตัวประมาณค่า UMVUE ของ Finney ^{[ 45 ]} "ตัวประมาณค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยต่ำสุดโดยประมาณ" "ตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงโดยประมาณ" และ "ตัวประมาณค่ามินิแม็กซ์" ^{[ 46 ]}รวมถึง "ตัวประมาณค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไข" ^{[ 47 ]}และรูปแบบอื่นๆ อีกด้วย^{[ 48 ] [ 49 ]}

วิธีที่มีประสิทธิภาพที่สุดในการหาค่าประมาณช่วงเมื่อวิเคราะห์ข้อมูลที่มีการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติ คือการใช้วิธีการที่เป็นที่รู้จักกันดีซึ่งอิงตามการแจกแจงปกติกับข้อมูลที่แปลงเป็นลอการิทมิกแล้ว จากนั้นจึงแปลงผลลัพธ์กลับหากเหมาะสม

ตัวอย่างพื้นฐานคือช่วงการทำนาย : สำหรับการแจกแจงแบบปกติ ช่วงการทำนายจะครอบคลุมความน่าจะเป็นประมาณสองในสาม (68%) (หรือของตัวอย่างขนาดใหญ่) และครอบคลุม 95% ดังนั้น สำหรับการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติ ${\displaystyle [\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]}$${\displaystyle [\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]}$

• ${\displaystyle [\mu ^{*}/\sigma ^{*},\mu ^{*}\cdot \sigma ^{*}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/\sigma ^{*}]}$ประกอบด้วย 2/3 และ
• ${\displaystyle [\mu ^{*}/(\sigma ^{*})^{2},\mu ^{*}\cdot (\sigma ^{*})^{2}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/(\sigma ^{*})^{2}]}$ช่วงดังกล่าวครอบคลุมความน่าจะเป็น 95% เมื่อใช้พารามิเตอร์ที่ประมาณไว้แล้ว เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่ในช่วงเวลาเหล่านี้ควรจะใกล้เคียงกัน

โดยใช้หลักการนี้ โปรดสังเกตว่าช่วงความเชื่อมั่นสำหรับคือโดยที่คือค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐาน และqคือควอนไทล์ที่ 97.5% ของการแจกแจงแบบ tที่มี องศาอิสระ n-1การแปลงกลับจะนำไปสู่ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับ(ค่ามัธยฐาน) คือ: โดยที่${\displaystyle \mu }$${\displaystyle [{\widehat {\mu }}\pm q\cdot {\widehat {\mathop {se} }}]}$${\displaystyle \mathop {se} ={\widehat {\sigma }}/{\sqrt {n}}}$${\displaystyle \mu ^{*}=e^{\mu }}$$${\displaystyle [{\widehat {\mu }}^{*}{}^{\times }\!\!/(\operatorname {sem} ^{*})^{q}]}$$${\displaystyle \operatorname {sem} ^{*}=({\widehat {\sigma }}^{*})^{1/{\sqrt {n}}}}$

เอกสารนี้กล่าวถึงตัวเลือกต่างๆ ในการคำนวณช่วงความเชื่อมั่นสำหรับ(ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติ) ซึ่งรวมถึงบูตสแตรปและวิธีการอื่นๆ อีกหลายวิธี^{[ 50 ] [ 51 ]}${\displaystyle \mu }$

วิธีการของ Cox ^{[ a ]}เสนอให้เสียบค่าประมาณเข้าไป$${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i}\ln x_{i}}{n}},\qquad S^{2}={\frac {\sum _{i}\left(\ln x_{i}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}{n-1}}}$$

และใช้ข้อมูลเหล่านั้นในการสร้างช่วงความเชื่อมั่นโดยประมาณด้วยวิธีดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \mathrm {CI} (\operatorname {E} (X)):\exp \left({\hat {\mu }}+{\frac {S^{2}}{2}}\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S^{2}}{n}}+{\frac {S^{4}}{2(n-1)}}}}\right)}$

Olsson 2005 เสนอ "วิธีการ Cox ที่ปรับปรุงแล้ว" โดยแทนที่ด้วยซึ่งดูเหมือนจะให้ผลลัพธ์การครอบคลุมที่ดีกว่าสำหรับขนาดตัวอย่างเล็ก^{[ 50 ] : ส่วนที่ 3.4} ${\displaystyle z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}}$${\displaystyle t_{n-1,1-{\frac {\alpha }{2}}}}$

การเปรียบเทียบการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติสองแบบมักมีความน่าสนใจ ตัวอย่างเช่น การเปรียบเทียบกลุ่มทดลองและกลุ่มควบคุม (เช่น ในการทดสอบ A/B ) เรามีตัวอย่างจากการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติอิสระสองแบบที่มีพารามิเตอร์และโดยมีขนาดตัวอย่างและตามลำดับ ${\displaystyle (\mu _{1},\sigma _{1}^{2})}$${\displaystyle (\mu _{2},\sigma _{2}^{2})}$${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle n_{2}}$

การเปรียบเทียบค่ามัธยฐานของทั้งสองสามารถทำได้ง่ายๆ โดยการหาค่าลอการิทึมของแต่ละค่า จากนั้นสร้างช่วงความเชื่อมั่นแบบตรงไปตรงมา และแปลงกลับไปเป็นมาตราส่วนเลขชี้กำลังอีกครั้ง

$${\displaystyle \mathrm {CI} (e^{\mu _{1}-\mu _{2}}):\exp \left({\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n}}}}\right)}$$

ช่วงความเชื่อมั่นเหล่านี้มักถูกใช้ในระบาดวิทยาเพื่อคำนวณช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความเสี่ยงสัมพัทธ์และอัตราส่วนความน่าจะเป็น^{[ 54 ]}วิธีการทำคือเรามีการแจกแจงแบบปกติโดยประมาณสองแบบ (เช่น p ₁และ p ₂สำหรับ RR) และเราต้องการคำนวณอัตราส่วนของพวกมัน^{[ b ]}

อย่างไรก็ตาม อัตราส่วนของค่าเฉลี่ย (ค่าคาดหวัง) ของกลุ่มตัวอย่างทั้งสองอาจเป็นสิ่งที่น่าสนใจเช่นกัน แต่ต้องใช้ความพยายามเพิ่มเติมในการพัฒนา อัตราส่วนของค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างทั้งสองมีดังนี้:

$${\displaystyle {\frac {\operatorname {E} (X_{1})}{\operatorname {E} (X_{2})}}={\frac {e^{\mu _{1}+\sigma _{1}^{2}/2}}{e^{\mu _{2}+\sigma _{2}^{2}/2}}}=e^{(\mu _{1}-\mu _{2})+{\frac {1}{2}}\left(\sigma _{1}^{2}-\sigma _{2}^{2}\right)}}$$

เมื่อแทนค่าตัวประมาณลงในแต่ละพารามิเตอร์เหล่านี้ จะได้การแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าวิธีการของค็อกซ์ที่กล่าวถึงข้างต้น สามารถนำมาใช้กับกรณีนี้ได้เช่นกัน:

$${\displaystyle \mathrm {CI} \left({\frac {\operatorname {E} (X_{1})}{\operatorname {E} (X_{2})}}={\frac {e^{\mu _{1}+\sigma _{1}^{2}/2}}{e^{\mu _{2}+\sigma _{2}^{2}/2}}}\right):\exp \left(\left({\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}+{\tfrac {1}{2}}S_{1}^{2}-{\tfrac {1}{2}}S_{2}^{2}\right)\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {S_{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {S_{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}}}\right)}$$