คำว่าการแจกแจงโลจิสติกทั่วไปใช้เป็นชื่อสำหรับตระกูลการแจกแจงความน่าจะเป็น ที่แตกต่างกันหลายตระกูล ตัวอย่างเช่น Johnson et al. ^{[ 1 ]}ระบุรูปแบบสี่แบบ ซึ่งแสดงไว้ด้านล่าง

ประเภท Iยังถูกเรียกว่า การ แจกแจงแบบสเกว-โลจิสติกประเภท IVครอบคลุมประเภทอื่นๆ และได้มาจากการใช้ การแปลง โลจิตกับ ตัวแปรสุ่ม เบต้าตามธรรมเนียมเดียวกันกับการแจกแจงแบบลอการิทมิกปกติประเภท IV อาจเรียกว่า การแจกแจงแบบโลจิสติก - เบต้า^{[ 2 ]}โดยอ้างอิงถึงฟังก์ชันโลจิสติก มาตรฐาน ซึ่งเป็นส่วนกลับของการแปลงโลจิต

สำหรับตระกูลการแจกแจงอื่นๆ ที่ถูกเรียกว่าการแจกแจงโลจิสติกแบบทั่วไป โปรดดูการแจกแจงล็อกโลจิสติกแบบเลื่อน (shifted log-logistic distribution ) ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของ การแจกแจงล็อกโลจิสติก และการแจกแจงเมตาล็อก (metalog หรือ "meta-logistic")ซึ่งมีความยืดหยุ่นสูงในด้านรูปร่างและขอบเขต และสามารถปรับให้เข้ากับข้อมูลได้ด้วยวิธีการกำลังสองน้อยที่สุดเชิงเส้น (linear least squares)

คำจำกัดความต่อไปนี้ใช้สำหรับเวอร์ชันมาตรฐานของกลุ่มข้อมูล ซึ่งสามารถขยายเป็นรูปแบบเต็มรูปแบบได้ในฐานะกลุ่มข้อมูลตำแหน่ง-มาตราส่วนแต่ละกลุ่มข้อมูลถูกกำหนดโดยใช้ฟังก์ชันการกระจายสะสม ( F ) หรือฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น ( ƒ ) และถูกกำหนดบนช่วง(−∞, +∞ )

${\displaystyle F(x;\alpha )={\frac {1}{(1+e^{-x})^{\alpha }}}\equiv (1+e^{-x})^{-\alpha },\quad \alpha >0.}$

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันคือ:

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\alpha e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{\alpha +1}}},\quad \alpha >0.}$

การแจกแจงประเภทนี้เรียกอีกอย่างว่า "การแจกแจงโลจิสติกแบบเบี่ยงเบน" (skew-logistic distribution)

${\displaystyle F(x;\alpha )=1-{\frac {e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{\alpha }}},\quad \alpha >0.}$

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันคือ:

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\alpha e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{\alpha +1}}},\quad \alpha >0.}$

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {1}{B(\alpha ,\alpha )}}{\frac {e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{2\alpha }}},\quad \alpha >0.}$

ในที่นี้Bคือฟังก์ชันเบต้าฟังก์ชันสร้างโมเมนต์สำหรับประเภทนี้คือ

${\displaystyle M(t)={\frac {\Gamma (\alpha -t)\Gamma (\alpha +t)}{(\Gamma (\alpha ))^{2}}},\quad -\alpha <t<\alpha .}$

ฟังก์ชันการกระจายสะสมที่สอดคล้องกันคือ:

${\displaystyle F(x;\alpha )={\frac {\left(e^{x}+1\right)\Gamma (\alpha )e^{\alpha (-x)}\left(e^{-x}+1\right)^{-2\alpha }\,_{2}{\tilde {F}}_{1}\left(1,1-\alpha ;\alpha +1;-e^{x}\right)}{B(\alpha ,\alpha )}},\quad \alpha >0.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}{\frac {e^{-\beta x}}{(1+e^{-x})^{\alpha +\beta }}},\quad \alpha ,\beta >0\\[4pt]&={\frac {\sigma (x)^{\alpha }\sigma (-x)^{\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}.\end{aligned}}}$

โดยที่Bคือฟังก์ชันเบต้าและคือฟังก์ชันโลจิสติก มาตรฐาน ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์สำหรับประเภทนี้คือ ${\displaystyle \sigma (x)=1/(1+e^{-x})}$

${\displaystyle M(t)={\frac {\Gamma (\beta -t)\Gamma (\alpha +t)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}},\quad -\alpha <t<\beta .}$

ประเภทนี้เรียกอีกอย่างว่า "เบต้าทั่วไปแบบเอกซ์โปเนนเชียลประเภทที่สอง" ^{[ 1 ]}

ฟังก์ชันการกระจายสะสมที่สอดคล้องกันคือ:

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\left(e^{x}+1\right)\Gamma (\alpha )e^{\beta (-x)}\left(e^{-x}+1\right)^{-\alpha -\beta }\,_{2}{\tilde {F}}_{1}\left(1,1-\beta ;\alpha +1;-e^{x}\right)}{B(\alpha ,\beta )}},\quad \alpha ,\beta >0.}$

แบบที่ 4 เป็นรูปแบบการแจกแจงทั่วไปที่สุด การแจกแจงแบบที่ 3 สามารถได้มาจากแบบที่ 4 โดยการกำหนดค่าคงที่การแจกแจงแบบที่ 2 สามารถได้มาจากแบบที่ 4 โดยการกำหนดค่าคงที่(และเปลี่ยนชื่อเป็น) การแจกแจงแบบที่ 1 สามารถได้มาจากแบบที่ 4 โดยการกำหนดค่าคงที่การ กำหนดค่าคงที่ จะให้ การแจกแจงโลจิสติกมาตรฐาน${\displaystyle \beta =\alpha }$${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle \alpha =\beta =1}$

การแจกแจง โลจิสติกทั่วไปประเภท IVหรือการ แจกแจง โลจิสติก-เบต้า^{[ 2 ]}ที่มีพารามิเตอร์สนับสนุนและรูปร่าง มี ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) (ดังที่แสดงข้างต้น ):${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}{\frac {e^{-\beta x}}{(1+e^{-x})^{\alpha +\beta }}}={\frac {\sigma (x)^{\alpha }\sigma (-x)^{\beta }}{B(\alpha ,\beta )}},}$

โดยที่คือฟังก์ชันโลจิสติก มาตรฐาน ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นสำหรับชุดพารามิเตอร์รูปร่างสามชุดที่แตกต่างกันแสดงอยู่ในกราฟ โดยที่การแจกแจงได้รับการปรับขนาดและเลื่อนเพื่อให้มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนเป็นหนึ่ง เพื่อให้ง่ายต่อการเปรียบเทียบรูปร่าง ${\displaystyle \sigma (x)=1/(1+e^{-x})}$

ต่อไปนี้จะใช้สัญลักษณ์นี้เพื่อแสดงถึงการแจกแจงแบบประเภท IV ${\displaystyle B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$

ดังที่ชื่อ logistic-beta บ่งบอก หากเป็นไปตาม logistic-beta ที่มีพารามิเตอร์แล้ว${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle \sigma (x)=1/(1+e^{-x})\sim {\text{Beta}}(\alpha ,\beta )}$

การแจกแจงนี้สามารถหาได้ในรูปของการแจกแจงแกมมาดังต่อไปนี้ ให้และเป็นอิสระต่อกันและให้. จากนั้น. ^{[ 3 ]}${\displaystyle y\sim {\text{Gamma}}(\alpha ,\gamma )}$${\displaystyle z\sim {\text{Gamma}}(\beta ,\gamma )}$${\displaystyle x=\ln y-\ln z}$${\displaystyle x\sim B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$

ถ้าเช่นนั้น ${\displaystyle x\sim B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$${\displaystyle -x\sim B_{\sigma }(\beta ,\alpha )}$

การแจกแจงโลจิสติก-เบต้า ยอมรับการแสดงแบบผสมความแปรปรวน-ค่าเฉลี่ยปกติดังต่อไปนี้: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}{\frac {e^{-\beta x}}{(1+e^{-x})^{\alpha +\beta }}}=\int _{0}^{\infty }N(x;0.5\lambda (\alpha -\beta ),\lambda )p_{\text{Polya}}(\lambda ;\alpha ,\beta )d\lambda }$

โดยที่เป็นความหนาแน่นปกติที่มีค่าเฉลี่ย, ความแปรปรวน, และเป็นความหนาแน่นของการแจกแจงแบบ Polya ที่มีพารามิเตอร์, ซึ่งกำหนดเป็น ${\displaystyle N(x;\mu ,\lambda )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle p_{\text{Polya}}(\lambda ;\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$${\displaystyle \lambda {\stackrel {d}{=}}\sum _{k=0}^{\infty }2\epsilon _{k}/\{(k+\alpha )(k+\beta )\},\epsilon _{k}{\stackrel {iid}{\sim }}{\text{Exp}}(1)}$

โดยใช้ค่าคาดหวังเชิงลอการิทึมของการแจกแจงแกมมา เราสามารถหาค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนได้ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{E}}[x]&=\psi (\alpha )-\psi (\beta )\\{\text{var}}[x]&=\psi '(\alpha )+\psi '(\beta )\\\end{aligned}}}$

โดยที่คือฟังก์ชันไดแกมมาในขณะที่คืออนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันไดแกมมา หรือที่รู้จักกันในชื่อฟังก์ชันไตรแกมมาหรือฟังก์ชันพหุแกมมา อันดับแรก เนื่องจากเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องเครื่องหมายของค่าเฉลี่ยจึงเหมือนกับเครื่องหมายของเนื่องจากลดลงอย่างต่อเนื่อง พารามิเตอร์รูปร่างจึงสามารถตีความได้ว่าเป็นพารามิเตอร์ความเข้มข้น ดังที่แสดงไว้ด้านล่าง หางด้านซ้ายและด้านขวาจะบางลงตามลำดับเมื่อหรือเพิ่มขึ้น สองพจน์ของความแปรปรวนแสดงถึงส่วนประกอบของความแปรปรวนของส่วนซ้ายและขวาของการกระจาย ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi '=\psi ^{(1)}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \alpha -\beta }$${\displaystyle \psi '}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

ฟังก์ชันก่อกำเนิดคูมูลันต์คือโดยที่ฟังก์ชันก่อกำเนิดโมเมนต์ได้ระบุไว้ข้างต้นแล้วคูมูลันต์ , , คืออนุพันธ์อันดับที่ ของ ซึ่งประเมินค่าที่: ${\displaystyle K(t)=\ln M(t)}$${\displaystyle M(t)}$${\displaystyle \kappa _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K(t)}$${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \kappa _{n}=K^{(n)}(0)=\psi ^{(n-1)}(\alpha )+(-1)^{n}\psi ^{(n-1)}(\beta )}$

โดยที่และคือฟังก์ชันไดแกมมาและโพลีแกมมา ตามลำดับ จากการพิสูจน์ข้างต้น ค่าคุมูลันต์แรกคือค่าเฉลี่ย และค่าคุมูลันต์ที่สองคือค่าความแปรปรวน ${\displaystyle \psi ^{(0)}=\psi }$${\displaystyle \psi ^{(n-1)}}$${\displaystyle \kappa _{1}}$${\displaystyle \kappa _{2}}$

ค่าคุมูลันต์ที่สามคือค่าโมเมนต์กลางที่สามซึ่งเมื่อปรับขนาดด้วยกำลังสามของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน จะได้ค่าความเบ้ : ${\displaystyle \kappa _{3}}$${\displaystyle E[(x-E[x])^{3}]}$

${\displaystyle {\text{skew}}[x]={\frac {\psi ^{(2)}(\alpha )-\psi ^{(2)}(\beta )}{{\sqrt {{\text{var}}[x]}}^{3}}}}$

เครื่องหมาย (และดังนั้นทิศทางซ้ายขวา ) ของความเบี่ยงเบนจะเหมือนกับเครื่องหมายของ. ${\displaystyle \alpha -\beta }$

ค่าฐานนิยม (ค่าสูงสุดของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น) สามารถหาได้โดยการหาจุดที่ค่าลอการิทึมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นมีค่าเป็นศูนย์: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln f(x;\alpha ,\beta )=\alpha \sigma (-x)-\beta \sigma (x)=0}$

สิ่งนี้ทำให้ง่ายขึ้นเป็นดังนั้น: ^{[ 3 ]}${\displaystyle \alpha /\beta =e^{x}}$

${\displaystyle {\text{mode}}[x]=\ln {\frac {\alpha }{\beta }}}$

ในแต่ละหางซ้ายและขวา ซิกมอยด์ตัวหนึ่งในฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) จะอิ่มตัวเป็นหนึ่ง ดังนั้นหางจึงถูกสร้างขึ้นโดยซิกมอยด์อีกตัวหนึ่ง สำหรับค่าลบขนาดใหญ่หางด้านซ้ายของ pdf จะเป็นสัดส่วนกับในขณะที่หางด้านขวา (ค่าบวกขนาดใหญ่) จะเป็นสัดส่วนกับซึ่งหมายความว่าหางถูกควบคุมโดยอิสระโดยและแม้ว่าหางแบบประเภท IV จะหนักกว่าหางของการแจกแจงปกติ ( สำหรับความแปรปรวน) แต่ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของแบบประเภท IV ยังคงมีค่าจำกัดสำหรับทุกค่าของซึ่งแตกต่างจากการแจกแจงโคชีซึ่งไม่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน ในกราฟ log pdf ที่แสดงในที่นี้ หางแบบประเภท IV เป็นเส้นตรง หางของการแจกแจงปกติเป็นแบบกำลังสอง และหางของโคชีเป็นแบบลอการิทึม ${\displaystyle x}$${\displaystyle \sigma (x)^{\alpha }\approx e^{\alpha x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \sigma (-x)^{\beta }\approx e^{-\beta x}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2v}}}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$

${\displaystyle B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$สร้างตระกูลเลขชี้กำลังที่มีพารามิเตอร์ธรรมชาติ และสถิติที่เพียงพอและ. ค่าที่คาดหวังของสถิติที่เพียงพอสามารถหาได้จากการหาอนุพันธ์ของลอการิทึมนอร์มัลไลเซอร์: ^{[ 5 ]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \log \sigma (x)}$${\displaystyle \log \sigma (-x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E[\log \sigma (x)]&={\frac {\partial \log B(\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }}=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\\E[\log \sigma (-x)]&={\frac {\partial \log B(\alpha ,\beta )}{\partial \beta }}=\psi (\beta )-\psi (\alpha +\beta )\\\end{aligned}}}$

เมื่อกำหนดชุดข้อมูลที่สันนิษฐานว่าสร้างขึ้น โดยอิสระและมีการกระจาย เหมือนกัน(IID)แล้ว ค่าประมาณพารามิเตอร์ แบบความน่าจะเป็นสูงสุดคือ: ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\alpha }},{\hat {\beta }}=\arg \max _{\alpha ,\beta }&\;{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log f(x_{i};\alpha ,\beta )\\=\arg \max _{\alpha ,\beta }&\;\alpha {\Bigl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i}\log \sigma (x_{i}){\Bigr )}+\beta {\Bigl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i}\log \sigma (-x_{i}){\Bigr )}-\log B(\alpha ,\beta )\\=\arg \max _{\alpha ,\beta }&\;\alpha \,{\overline {\log \sigma (x)}}+\beta \,{\overline {\log \sigma (-x)}}-\log B(\alpha ,\beta )\end{aligned}}}$

โดยเส้นขีดบนกราฟแสดงถึงค่าเฉลี่ยของสถิติที่เพียงพอ การประมาณค่าด้วยวิธีความน่าจะเป็นสูงสุดขึ้นอยู่กับข้อมูลผ่านทางสถิติเฉลี่ยเหล่านี้เท่านั้น อันที่จริงแล้ว ในการประมาณค่าด้วยวิธีความน่าจะเป็นสูงสุด ค่าที่คาดหวังและค่าเฉลี่ยจะสอดคล้องกัน:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi ({\hat {\alpha }})-\psi ({\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }})&={\overline {\log \sigma (x)}}\\\psi ({\hat {\beta }})-\psi ({\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }})&={\overline {\log \sigma (-x)}}\\\end{aligned}}}$

ซึ่งเป็นจุดที่อนุพันธ์ย่อยของค่าสูงสุดข้างต้นมีค่าเป็นศูนย์ด้วยเช่นกัน

ความสัมพันธ์กับการแจกแจงข้อมูลอื่นๆ ได้แก่:

• อัตราส่วนลอการิทึมของตัวแปรแกมมาเป็นประเภท IVดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น
• ถ้าแล้วจะมี การแจกแจง แบบประเภท IVโดยมีพารามิเตอร์และดูการแจกแจงเบต้าไพรม์${\displaystyle y\sim {\text{BetaPrime}}(\alpha ,\beta )}$${\displaystyle x=\ln y}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$
• ถ้าและ โดยที่ถูกใช้เป็นพารามิเตอร์อัตราของการแจกแจงแกมมาที่สอง แล้วจะมีการแจกแจงแกมมาแบบผสมซึ่งเหมือนกับดังนั้น จึงมีการแจกแจงแบบประเภท IV${\displaystyle z\sim {\text{Gamma}}(\beta ,1)}$${\displaystyle y\mid z\sim {\text{Gamma}}(\alpha ,z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\text{BetaPrime}}(\alpha ,\beta )}$${\displaystyle x=\ln y}$
• ถ้าแล้วจะมี การกระจาย แบบประเภท IVโดยมีพารามิเตอร์และดูการกระจายแบบเบต้าฟังก์ชันโลจิตเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันโลจิสติกความสัมพันธ์นี้อธิบายชื่อโลจิสติก-เบต้าสำหรับการกระจายนี้: ถ้าใช้ฟังก์ชันโลจิสติกกับตัวแปรโลจิสติก-เบต้า การกระจายที่แปลงแล้วจะเป็นเบต้า${\displaystyle p\sim {\text{Beta}}(\alpha ,\beta )}$${\displaystyle x={\text{logit}}\,p}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \mathrm {logit} (p)=\log {\frac {p}{1-p}}}$

สำหรับค่าพารามิเตอร์รูปร่างที่มีขนาดใหญ่การกระจายตัวจะมีความ คล้ายคลึงกับการกระจายแบบ เกาส์เซียน มากขึ้น โดยมีรูปแบบดังนี้: ${\displaystyle \alpha ,\beta \gg 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E[x]&\approx \ln {\frac {\alpha }{\beta }}\\{\text{var}}[x]&\approx {\frac {\alpha +\beta }{\alpha \beta }}\end{aligned}}}$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นได้จากกราฟ pdf และ log pdf ที่แสดงไว้ด้านล่างนี้

เนื่องจากการสุ่มตัวอย่างแบบสุ่มจาก1การแจกแจงแกมมาและเบตาสามารถทำได้ง่ายบนแพลตฟอร์มซอฟต์แวร์หลายแห่ง ความสัมพันธ์ข้างต้นกับการแจกแจงเหล่านั้นจึงสามารถนำมาใช้สร้างตัวแปรจากการแจกแจงประเภท IV ได้

สามารถสร้างตระกูลพารามิเตอร์สี่ตัวที่ยืดหยุ่นได้โดยการเพิ่ม พารามิเตอร์ ตำแหน่งและมาตราส่วนวิธีหนึ่งในการทำเช่นนี้คือ ถ้าแล้วให้ โดยที่คือพารามิเตอร์มาตราส่วน และคือพารามิเตอร์ตำแหน่ง ตระกูลพารามิเตอร์สี่ตัวที่ได้มานี้มีความยืดหยุ่นเพิ่มเติมตามที่ต้องการ แต่พารามิเตอร์ใหม่เหล่านี้อาจตีความได้ยากเนื่องจากและยิ่งไปกว่านั้น การประมาณค่า ความน่าจะเป็นสูงสุดด้วยการกำหนดพารามิเตอร์นี้ทำได้ยาก ปัญหาเหล่านี้สามารถแก้ไขได้ดังต่อไปนี้ ${\displaystyle x\sim B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$${\displaystyle y=kx+\delta }$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle \delta \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \delta \neq E[y]}$${\displaystyle k^{2}\neq {\text{var}}[y]}$

โปรดจำไว้ว่าค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของคือ: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\mu }}&=\psi (\alpha )-\psi (\beta ),&{\tilde {s}}^{2}&=\psi '(\alpha )+\psi '(\beta )\end{aligned}}}$

ต่อไปให้ขยายกลุ่มข้อมูลโดยเพิ่มพารามิเตอร์ตำแหน่งและพารามิเตอร์มาตราส่วนผ่านการแปลง: ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$${\displaystyle s>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=\mu +{\frac {s}{\tilde {s}}}(x-{\tilde {\mu }})\iff x={\tilde {\mu }}+{\frac {\tilde {s}}{s}}(y-\mu )\end{aligned}}}$

ดังนั้นและจึงสามารถตีความได้แล้ว อาจสังเกตได้ว่า การอนุญาตให้ เป็นได้ทั้งค่าบวกหรือค่าลบนั้น ไม่ได้ทำให้ตระกูลนี้เป็นแบบทั่วไป เนื่องจาก คุณสมบัติ สมมาตร ที่กล่าวไว้ข้างต้น เราจึงใช้สัญลักษณ์สำหรับตระกูลนี้ ${\displaystyle \mu =E[y]}$${\displaystyle s^{2}={\text{var}}[y]}$${\displaystyle s}$${\displaystyle y\sim {\bar {B}}_{\sigma }(\alpha ,\beta ,\mu ,s^{2})}$

ถ้าไฟล์ PDF สำหรับคือแล้วไฟล์ PDF สำหรับคือ: ${\displaystyle x\sim B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )}$${\displaystyle y\sim {\bar {B}}_{\sigma }(\alpha ,\beta ,\mu ,s^{2})}$

${\displaystyle {\bar {f}}(y;\alpha ,\beta ,\mu ,s^{2})={\frac {\tilde {s}}{s}}\,f(x;\alpha ,\beta )}$

โดยที่เข้าใจได้ว่ามีการคำนวณตามรายละเอียดข้างต้น โดยเป็นฟังก์ชันของกราฟ pdf และ log-pdf ด้านบน ซึ่งคำบรรยายใต้ภาพมี(ค่าเฉลี่ย=0, ค่าความแปรปรวน=1)นั้นใช้สำหรับ ${\displaystyle x}$${\displaystyle y,\alpha ,\beta ,\mu ,s}$${\displaystyle {\bar {B}}_{\sigma }(\alpha ,\beta ,0,1)}$

ในส่วนนี้ จะกล่าวถึงการประมาณค่าพารามิเตอร์การแจกแจง โดย ใช้ วิธีความน่าจะเป็นสูงสุด โดยพิจารณา จากชุดข้อมูลที่กำหนดให้ตามลำดับสำหรับตระกูลและ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$${\displaystyle {\bar {B}}_{\sigma }(\alpha ,\beta ,\mu ,s^{2})}$

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้นเป็นตระกูลเลขชี้กำลังที่มีพารามิเตอร์ตามธรรมชาติซึ่งค่าประมาณความน่าจะเป็นสูงสุดจะขึ้นอยู่กับสถิติเพียงพอเฉลี่ยเท่านั้น: ${\displaystyle B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \alpha ,\beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\log \sigma (x)}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i}\log \sigma (x_{i})&&{\text{and}}&{\overline {\log \sigma (-x)}}&={\frac {1}{n}}\sum _{i}\log \sigma (-x_{i})\end{aligned}}}$

เมื่อรวบรวมสถิติเหล่านี้แล้ว ค่าประมาณความน่าจะเป็นสูงสุดจะคำนวณได้ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\alpha }},{\hat {\beta }}=\arg \max _{\alpha ,\beta >0}&\;\alpha \,{\overline {\log \sigma (x)}}+\beta \,{\overline {\log \sigma (-x)}}-\log B(\alpha ,\beta )\end{aligned}}}$

โดยการใช้การกำหนดพารามิเตอร์และ อัลกอริธึม การหาค่าเหมาะสมที่สุดเชิงตัวเลขแบบไม่จำกัดเช่นBFGSสามารถนำมาใช้ได้ การวนซ้ำเพื่อหาค่าเหมาะสมที่สุดนั้นรวดเร็ว เนื่องจากไม่ขึ้นอยู่กับขนาดของชุดข้อมูล ${\displaystyle \theta _{1}=\log \alpha }$${\displaystyle \theta _{2}=\log \beta }$

อีกทางเลือกหนึ่งคือการใช้อัลกอริธึม EMที่อิงตามองค์ประกอบ: ถ้าและเนื่องจากคุณสมบัติการผกผันตัวเองของการแจกแจงแกมมาค่าคาดหวังภายหลังและที่จำเป็นสำหรับขั้นตอน Eสามารถคำนวณได้ในรูปแบบปิด การปรับปรุงพารามิเตอร์ ขั้นตอน Mสามารถแก้ไขได้ในลักษณะเดียวกับ การหาค่าความน่าจะเป็นสูงสุดสำหรับการแจกแจงแกมมา ${\displaystyle x-\log(\gamma \delta )\sim B_{\sigma }(\alpha ,\beta )}$${\displaystyle z\sim {\text{Gamma}}(\beta ,\gamma )}$${\displaystyle e^{x}\mid z\sim {\text{Gamma}}(\alpha ,z/\delta )}$${\displaystyle \left\langle z\right\rangle _{P(z\mid x)}}$${\displaystyle \left\langle \log z\right\rangle _{P(z\mid x)}}$

ปัญหาการหาค่าความน่าจะเป็นสูงสุดสำหรับโดยมีฟังก์ชันความหนาแน่น ความน่าจะเป็น คือ: ${\displaystyle {\bar {B}}_{\sigma }(\alpha ,\beta ,\mu ,s^{2})}$${\displaystyle {\bar {f}}}$

${\displaystyle {\hat {\alpha }},{\hat {\beta }},{\hat {\mu }},{\hat {s}}=\arg \max _{\alpha ,\beta ,\mu ,s}\log {\frac {1}{n}}\sum _{i}{\bar {f}}(x_{i};\alpha ,\beta ,\mu ,s^{2})}$

นี่ไม่ใช่ตระกูลฟังก์ชันเลขชี้กำลังอีกต่อไป ดังนั้นการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดในแต่ละรอบจะต้องประมวลผลข้อมูลทั้งหมด นอกจากนี้ การคำนวณอนุพันธ์ย่อย (เช่นที่จำเป็นสำหรับ BFGS) นั้นซับซ้อนกว่ากรณีสองพารามิเตอร์ข้างต้นมาก อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันส่วนประกอบทั้งหมดมีอยู่ในซอฟต์แวร์ที่มีการอนุพันธ์อัตโนมัติอยู่แล้วและเช่นเดียวกัน พารามิเตอร์ที่เป็นบวกสามารถกำหนดเป็นพารามิเตอร์ในรูปของลอการิทึมเพื่อให้ได้ปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดเชิงตัวเลขแบบไม่มี ข้อจำกัด

สำหรับปัญหานี้ การหาค่าเหมาะสมที่สุดเชิงตัวเลขอาจล้มเหลว เว้นแต่จะเลือกพารามิเตอร์ตำแหน่งและมาตราส่วนเริ่มต้นอย่างเหมาะสม อย่างไรก็ตาม ความสามารถในการตีความพารามิเตอร์เหล่านี้ในการกำหนดพารามิเตอร์ที่กล่าวถึงข้างต้นสามารถนำมาใช้เพื่อแก้ไขปัญหานี้ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าเริ่มต้นสำหรับและสามารถตั้งค่าเป็นค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเชิงประจักษ์ของข้อมูลได้ ${\displaystyle {\bar {B}}_{\sigma }}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle s^{2}}$

• การแจกแจงแบบ Champernowneซึ่งเป็นการขยายความอีกรูปแบบหนึ่งของการแจกแจงแบบโลจิสติก