การแจกแจงเมทาล็อกเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่อง ที่มี ความยืดหยุ่น ออกแบบมาเพื่อให้ใช้งานง่ายในทางปฏิบัติ เมื่อรวมกับรูปแบบการแปลงแล้ว ตระกูลการแจกแจงแบบต่อเนื่องเมทาล็อกมีความโดดเด่นเนื่องจากมี คุณสมบัติ ทั้งหมดต่อไปนี้: ความยืดหยุ่นของรูปร่างที่แทบจะไม่มีขีดจำกัด; การเลือกระหว่างการแจกแจงแบบไม่จำกัด แบบกึ่งจำกัด และแบบจำกัด; ความง่ายในการปรับให้เข้ากับข้อมูลด้วยวิธีการกำลังสองน้อยที่สุดเชิงเส้น; สมการฟังก์ชันควอนไทล์ ( CDF ผกผัน ) ที่เรียบง่ายและอยู่ในรูปแบบปิด ซึ่งอำนวยความสะดวกในการจำลอง ; ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (PDF ) ที่เรียบง่ายและอยู่ในรูปแบบปิด ; และการปรับปรุงแบบเบย์เซียนในรูปแบบปิดเมื่อมีข้อมูลใหม่ ยิ่งไปกว่านั้น เช่นเดียวกับอนุกรมเทย์เลอร์การแจกแจงเมทาล็อกอาจมีจำนวนพจน์ใดก็ได้ ขึ้นอยู่กับระดับความยืดหยุ่นของรูปร่างที่ต้องการและความต้องการใช้งานอื่นๆ

โดยทั่วไป การประยุกต์ใช้การแจกแจงเมทาล็อกจะมีประโยชน์ โดยมักเกี่ยวข้องกับการปรับข้อมูลเชิงประจักษ์ ข้อมูลจำลอง หรือ ควอนไทล์ ที่ได้จากผู้เชี่ยวชาญให้เข้ากับการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องที่ราบเรียบ ขอบเขตการประยุกต์ใช้นั้นกว้างขวาง และครอบคลุมถึงเศรษฐศาสตร์ วิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และสาขาอื่นๆ อีกมากมาย การแจกแจงเมทาล็อก หรือที่รู้จักกันในชื่อการแจกแจงคีลิน ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 2016 ^{[ 1 ]}โดยทอม คีลิน^{[ 2 ]}

ประวัติความเป็นมาของการแจกแจงความน่าจะเป็นสามารถมองได้บางส่วนว่าเป็นความก้าวหน้าของการพัฒนาไปสู่ความยืดหยุ่นที่มากขึ้นในรูปร่างและขอบเขตเมื่อปรับให้เข้ากับข้อมูลการแจกแจงปกติได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1756 ^{[ 3 ]}และทฤษฎีบทของเบย์สในปี 1763 ^{[ 4 ]} การแจกแจงปกติเป็นรากฐานสำหรับการพัฒนาสถิติแบบคลาสสิกส่วนใหญ่ ในทางตรงกันข้าม ทฤษฎีบทของเบย์สเป็นรากฐานสำหรับการแสดงความน่าจะเป็นตามสถานะของข้อมูลและความเชื่อเนื่องจากความน่าจะเป็นตามความเชื่อสามารถมีรูปร่างใดก็ได้และอาจมีขอบเขตตามธรรมชาติ จึงจำเป็นต้องมีการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ยืดหยุ่นเพียงพอที่จะรองรับทั้งสองอย่าง ยิ่งไปกว่านั้น ชุดข้อมูลเชิงประจักษ์และการทดลองจำนวนมากแสดงรูปร่างที่ไม่สามารถจับคู่ได้ดีกับการแจกแจงปกติหรือการแจกแจงต่อเนื่องอื่นๆดังนั้นจึงเริ่มมีการค้นหาการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องที่มีรูปร่างและขอบเขตที่ยืดหยุ่น

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ตระกูล การแจกแจงของ Pearson ^{[ 5 ]}ซึ่งรวมถึงการแจกแจงแบบปกติเบต้ายูนิฟอร์ม แกมมาสตูเดนต์-ทีไคสแควร์ F และอีกห้าแบบ^{[ 6 ]}ได้ปรากฏขึ้นเป็นความก้าวหน้าครั้งสำคัญในด้านความยืดหยุ่นของรูปร่าง ตามมาด้วย การแจกแจงของ Johnson ^{[ 7 ] [ 8 ]}ทั้งสองตระกูลสามารถแสดงโมเมนต์สี่ค่าแรกของข้อมูล ( ค่าเฉลี่ยความแปรปรวนความเบี่ยงเบนและความโค้ง ) ด้วยเส้นโค้งต่อเนื่องที่เรียบ อย่างไรก็ตาม พวกมันไม่มีความสามารถในการจับคู่โมเมนต์ลำดับที่ห้าหรือสูงกว่า ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับค่าความเบี่ยงเบนและความโค้งที่กำหนด จะไม่มีทางเลือกของขอบเขต ตัวอย่างเช่น การจับคู่โมเมนต์สี่ค่าแรกของชุดข้อมูลอาจให้การแจกแจงที่มีขอบเขตล่างเป็นลบ แม้ว่าจะทราบว่าปริมาณที่กล่าวถึงนั้นไม่สามารถเป็นลบได้ก็ตาม สุดท้าย สมการของพวกมันประกอบด้วยปริพันธ์ที่ไม่สามารถคำนวณได้และฟังก์ชันทางสถิติที่ซับซ้อน ดังนั้นการปรับให้เข้ากับข้อมูลจึงมักต้องใช้วิธีการวนซ้ำ

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 21 นักวิเคราะห์การตัดสินใจเริ่มทำงานเพื่อพัฒนาการกระจายความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องที่จะพอดีกับจุดสามจุดที่กำหนดบนฟังก์ชันการกระจายสะสมสำหรับปริมาณที่ไม่แน่นอน (เช่น ที่ได้จากผู้เชี่ยวชาญและควอนไทล์) การกระจายของตระกูล Pearson และ Johnson โดยทั่วไปไม่เพียงพอสำหรับวัตถุประสงค์นี้ นอกจากนี้ นักวิเคราะห์การตัดสินใจยังแสวงหาการกระจายความน่าจะเป็นที่จะกำหนดพารามิเตอร์ได้ง่ายด้วยข้อมูล (เช่น โดยใช้กำลังสองน้อยที่สุดเชิงเส้นหรือเทียบเท่ากับการถดถอยเชิงเส้น หลายตัวแปร ) คลาสของการกระจายแบบกำหนดพารามิเตอร์ควอนไทล์ (QPD) ที่นำเสนอในปี 2011 บรรลุเป้าหมายทั้งสอง แม้ว่าจะเป็นความก้าวหน้าที่สำคัญด้วยเหตุผลนี้ แต่ QPD ที่ใช้ในตอนแรกเพื่อแสดงคลาสของการกระจายนี้ การกระจายแบบ Simple Q-Normal ^{[ 9 ]}มีความยืดหยุ่นของรูปร่างน้อยกว่าตระกูล Pearson และ Johnson และขาดความสามารถในการแสดงการกระจายแบบกึ่งจำกัดและแบบจำกัด หลังจากนั้นไม่นาน Keelin ^{[ 1 ]}ได้พัฒนาตระกูลการแจกแจง metalog ซึ่งเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของคลาส QPD ซึ่งมีความยืดหยุ่นด้านรูปร่างมากกว่าตระกูล Pearson และ Johnson มีตัวเลือกขอบเขต มีสมการแบบปิดที่สามารถปรับให้เข้ากับข้อมูลด้วยกำลังสองน้อยที่สุดเชิงเส้น และมีฟังก์ชันควอนไทล์แบบปิดซึ่ง อำนวยความสะดวกในการจำลอง Monte Carlo${\displaystyle 0.10,0.50}$${\displaystyle 0.90}$

การแจกแจงเมทาล็อกเป็นการสรุปทั่วไปของการแจกแจงโลจิสติกโดยคำว่า "เมทาล็อก" เป็นคำย่อของ "เมทาล็อกสติก" คีลินเริ่มต้นด้วยฟังก์ชันควอน ไทล์โลจิสติก และแทนที่การขยายอนุกรมกำลังในความน่าจะเป็นสะสมสำหรับพารามิเตอร์และซึ่งควบคุมตำแหน่งและมาตราส่วนตามลำดับ^{[ 10 ]}${\displaystyle x=Q(y)=\mu +s{\mbox{ }}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}}$${\displaystyle y=F(x)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle s}$

${\displaystyle \mu =a_{1}+a_{4}(y-0.5)+a_{5}(y-0.5)^{2}+a_{7}(y-0.5)^{3}+a_{9}(y-0.5)^{4}+\dots }$

${\displaystyle s=a_{2}+a_{3}(y-0.5)+a_{6}(y-0.5)^{2}+a_{8}(y-0.5)^{3}+a_{10}(y-0.5)^{4}+\dots }$

เหตุผลของ Keelin สำหรับการแทนที่นี้มีห้าประการ^{[ 10 ]}ประการแรก ฟังก์ชันควอนไทล์ที่ได้จะมีรูปร่างที่ยืดหยุ่นอย่างมีนัยสำคัญ ซึ่งควบคุมโดยสัมประสิทธิ์ ประการที่สอง จะมีรูปแบบปิดที่เรียบง่ายซึ่งเป็นเชิงเส้นในสัมประสิทธิ์เหล่านี้ ซึ่งหมายความว่าสามารถกำหนดได้ง่ายจากข้อมูลCDF โดย ใช้กำลังสองน้อยที่สุดเชิงเส้นประการที่สาม ฟังก์ชันควอนไทล์ที่ได้จะเรียบ สามารถหาอนุพันธ์ได้ และเป็นเชิงวิเคราะห์ ทำให้มั่นใจได้ว่า จะมีPDFที่เรียบและอยู่ในรูปแบบปิด ประการที่ สี่ การจำลองจะง่ายขึ้นด้วยCDF ผกผัน ในรูปแบบปิดที่ได้ ประการ ที่ห้า เช่นเดียวกับอนุกรมเทย์เลอร์ สามารถใช้ จำนวนเทอมใดก็ได้ขึ้นอยู่กับระดับของรูปร่างที่ยืดหยุ่นที่ต้องการและความต้องการใช้งานอื่นๆ ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle k}$

โปรดทราบว่าดัชนีของสัมประสิทธิ์นั้นเป็นเช่นนั้นและอยู่ในการขยายและอยู่ในการขยาย และดัชนีจะสลับกันหลังจากนั้น ลำดับนี้ถูกเลือกเพื่อให้สองพจน์แรกในฟังก์ชันควอนไทล์เมทาล็อกที่ได้นั้นสอดคล้องกับการแจกแจงโลจิสติกอย่างแม่นยำ การเพิ่มพจน์ที่สามด้วย จะปรับความเบ้ การเพิ่มพจน์ที่สี่ด้วยจะปรับความโค้งเป็นหลัก และการเพิ่มพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์ในภายหลังจะให้การปรับแต่งรูปร่างที่ละเอียดอ่อนยิ่งขึ้น^{[ 10 ] : หน้า 252} ${\displaystyle a}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{4}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle a_{3}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle a_{3}\neq 0}$${\displaystyle a_{4}\neq 0}$

การเขียนฟังก์ชันควอนไทล์โลจิสติกใหม่เพื่อรวมการแทนที่ข้างต้นสำหรับและจะได้ฟังก์ชันควอนไทล์เมทาล็อกสำหรับความน่าจะเป็นสะสม ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle s}$${\displaystyle 0<y<1}$

${\displaystyle M_{k}(y)=\left\{{\begin{array}{ll}a_{1}+a_{2}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}&{\mbox{สำหรับ }}k=2\\a_{1}+a_{2}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}+a_{3}(y-0.5)\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}&{\mbox{สำหรับ }}k=3\\a_{1}+a_{2}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}+a_{3}(y-0.5)\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr ) )}+a_{4}(y-0.5)&{\mbox{สำหรับ }}k=4\\M_{k-1}(y)+a_{k}(y-0.5)^{k-1 \over 2}&{\mbox{สำหรับ k คี่ ≥ 5\\M_{k-1}(y)+a_{k}(y-0.5)^{{k \over 2}-1}\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}&{\mbox{สำหรับ k คู่ ≥ 6\\\end{array}}\right.}$

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันควอนไทล์ของเมทาล็อกสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานได้ดังนี้: โดยที่ฟังก์ชันพื้นฐานของเมทาล็อกคือและแต่ละฟังก์ชันถัดไปจะถูกกำหนดเป็นนิพจน์ที่คูณด้วยในสมการข้างต้น โปรดสังเกตว่าสัมประสิทธิ์คือค่ามัธยฐานเนื่องจากพจน์อื่นๆ ทั้งหมดเท่ากับศูนย์เมื่อกรณีพิเศษของฟังก์ชันควอนไทล์ของเมทาล็อกคือการแจกแจงแบบโลจิสติก ( ) และการแจกแจงแบบเอกรูป ( มิฉะนั้น) ${\displaystyle M_{k}(y)=\sum _{i=1}^{k}a_{i}g_{i}(y)}$${\displaystyle g_{1}(y)=1,{\mbox{ }}g_{2}(y)=\ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )},}$${\displaystyle g_{i}(y)}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle M_{k}(y)}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle y=0.5}$${\displaystyle k=2}$${\displaystyle k\geq 4,a_{1}=0.5,a_{4}=1,a_{i}=0}$

การหาอนุพันธ์เทียบกับจะได้ฟังก์ชันความหนาแน่นควอนไทล์^{[ 11 ]}ส่วนกลับของปริมาณนี้คือฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นที่แสดงเป็น p-PDF ^{[ 12 ]}${\displaystyle x=M_{k}(y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle q(y)=dx/dy}$${\displaystyle (q(y))^{-1}=dy/dx=f(Q(y))}$

${\displaystyle m_{k}(y)=\left\{{\begin{array}{ll}{y(1-y) \over {a_{2}}}&{\mbox{สำหรับ }}k=2\\{\Bigl (}{a_{2} \over {y(1-y)}}+a_{3}{\Bigl (}{y-0.5 \over {y(1-y)}}+\ln {y \over {1-y}}{\Bigr )}{\Bigr )}^{-1}&{\mbox{สำหรับ }}k=3\\{\Bigl (}{a_{2} \over {y(1-y)}}+a_{3}{\Bigl (}{y-0.5 \over {y(1-y)}}+\ln {y \over {1-y}}{\Bigr )}+a_{4}{\Bigr )}^{-1}&{\mbox{สำหรับ }}k=4\\{\Bigl (}{1 \over {m_{k-1}(y)}}+a_{k}{k-1 \over 2}(y-0.5)^{(k-3)/2}{\Bigr )}^{-1}&{\mbox{สำหรับ k คี่ }}k\geq 5\\{\Bigl (}{1 \over {m_{k-1}(y)}}+a_{k}{\Bigl (}{(y-0.5)^{k/2-1} \over {y(1-y)}}+({k \over 2}-1)(y-0.5)^{(k/2-2)}\ln {y \over {1-y}}{\Bigr )}{\Bigr )}^{-1}&{\mbox{สำหรับ k คู่ }}k\geq 6,\\\end{array}}\right.}$

ซึ่งอาจแสดงออกมาในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานได้เช่นกัน ดังนี้

${\displaystyle m_{k}(y)=\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i}{{dg_{i}(y)} \over {dy}}\right)^{-1}}$ที่ไหน.${\displaystyle 0<y<1}$

โปรดทราบว่า PDF นี้แสดงในรูปของความน่าจะเป็นสะสมแทนที่จะเป็นตัวแปรที่สนใจในการพล็อต PDF (เช่น ดังแสดงในรูปภาพในหน้านี้) เราสามารถเปลี่ยนแปลงค่าพารามิเตอร์ แล้วพล็อตค่าบนแกนแนวนอน และบนแกนแนวตั้งได้ ${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y\in (0,1)}$${\displaystyle x=M_{k}(y)}$${\displaystyle m_{k}(y)}$

จากสมการข้างต้นและการแปลงต่อไปนี้ที่ช่วยให้สามารถเลือกขอบเขตได้ ตระกูลของการแจกแจงเมทาล็อกจึงประกอบด้วยเมทาล็อกแบบไม่มีขอบเขต แบบกึ่งมีขอบเขต และแบบมีขอบเขต รวมถึงกรณีพิเศษของกลุ่มเปอร์เซ็นไทล์สมมาตร (SPT) ด้วย

ตามที่นิยามไว้ข้างต้น การแจกแจงเมทาล็อกไม่มีขอบเขต ยกเว้นในกรณีพิเศษที่ผิดปกติซึ่งสำหรับทุกเทอมที่มีอย่างไรก็ตาม แอปพลิเคชันจำนวนมากต้องการการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ยืดหยุ่นซึ่งมีขอบเขตล่างขอบเขตบนหรือทั้งสองอย่าง เพื่อตอบสนองความต้องการนี้ Keelin ใช้การแปลงเพื่อหาการแจกแจงเมทาล็อกแบบกึ่งมีขอบเขตและมีขอบเขต^{[ 1 ]}การแปลงดังกล่าวอยู่ภายใต้คุณสมบัติทั่วไปของฟังก์ชันควอนไทล์: สำหรับฟังก์ชันควอนไทล์ ใดๆ และฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นก็เป็นฟังก์ชันควอนไทล์เช่น กัน ^{[ 13 ]}ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันควอนไทล์ของการแจกแจงปกติคือ; เนื่องจากลอการิทึมธรรมชาติ , , เป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น ดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันควอนไทล์ของการแจกแจงลอคนอร์มอลในทำนองเดียวกัน การใช้คุณสมบัตินี้กับฟังก์ชันควอนไทล์เมทาล็อกโดยใช้การแปลงด้านล่างจะให้สมาชิกแบบกึ่งมีขอบเขตและมีขอบเขตของตระกูลเมทาล็อก เมื่อพิจารณา ว่ามีการแจกแจงแบบเมทัลล็อก สมาชิกทั้งหมดของตระกูลเมทัลล็อกจะตรงตาม คำจำกัดความของการแจกแจงแบบพารามิเตอร์ควอนไทล์ของ Keelin และ Powley ^{[ 9 ]}และด้วยเหตุนี้จึงมีคุณสมบัติของการแจกแจงดังกล่าว ${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle \ln {\Bigl (}{y \over {1-y}}{\Bigr )}}$${\displaystyle b_{l}}$${\displaystyle b_{u}}$${\displaystyle x=Q(y)}$${\displaystyle z(x),x=z^{-1}(Q(y))}$${\displaystyle x=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(y)}$${\displaystyle z(x)=\ln(x-b_{l})}$${\displaystyle x=b_{l}+e^{\mu +\sigma \Phi ^{-1}(y)}}$${\displaystyle M_{k}(y)}$${\displaystyle z(x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{l|c|c|c|c|c}&&&&&{\mbox{shape}}\\&{\mbox{transformation}}&{\mbox{quantile function}}&{\mbox{PDF}}&{\mbox{where}}&{\mbox{parameters}}\\\hline {\mbox{Metalog (unbounded)}}&z(x)=x&M_{k}(y)&m_{k}(y)&0<y<1&k-2\\\hline {\mbox{Log metalog}}&z(x)=\ln(x-b_{l})&M_{k}^{\log }(y)=b_{l}+e^{M_{k}(y)}&m_{k}^{\log }(y)=m_{k}(y)e^{-M_{k}(y)}&0<y<1&k-1\\{\mbox{(bounded below)}}&&=b_{l}&=0&y=0\\\hline {\mbox{Negative-log metalog}}&z(x)=-\ln(b_{u}-x)&M_{k}^{\operatorname {nlog} }(y)=b_{u}-e^{-M_{k}(y)}&m_{k}^{\operatorname {nlog} }(y)=m_{k}(y)e^{M_{k}(y)}&0<y<1&k-1\\{\mbox{(bounded above)}}&&=b_{u}&=0&y=1\\\hline {\mbox{Logit metalog}}&z(x)=\ln {\Bigl (}{x-b_{l} \over {b_{u}-x}}{\Bigr )}&M_{k}^{\operatorname {logit} }(y)={b_{l}+b_{u}e^{M_{k}(y)} \over {1+e^{M_{k}(y)}}}&m_{k}^{\operatorname {logit} }(y)=m_{k}(y){{\bigl (}1+e^{M_{k}(y)}{\bigr )}^{2} \over {(b_{u}-b_{l})e^{M_{k}(y)}}}&0<y<1&k\\{\mbox{(bounded)}}&&=b_{l}&=0&y=0\\&&=b_{u}&=0&y=1\end{array}}}$

โปรดทราบว่าจำนวนพารามิเตอร์รูปร่างในตระกูลเมทาล็อกจะเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงตามจำนวนพจน์ดังนั้น เมทาล็อกใดๆ ข้างต้นจึงอาจมีพารามิเตอร์รูปร่างได้หลายตัว ในทางตรงกันข้าม ตระกูลการแจกแจงเพียร์สันและจอห์นสันจำกัดอยู่ที่พารามิเตอร์รูปร่างสองตัวเท่านั้น ${\displaystyle k}$

การแจกแจงเมทาล็อกแบบสามเปอร์เซ็นไทล์สมมาตร (SPT) เป็นกรณีพิเศษสามเทอมของการแจกแจงเมทาล็อกแบบไม่จำกัด แบบกึ่งจำกัด และแบบจำกัด^{[ 14 ]}พารามิเตอร์เหล่านี้กำหนดโดยจุดสามจุดนอกเส้นโค้ง CDFในรูปแบบ, , และโดยที่เมทาล็อก SPT มีประโยชน์เมื่อตัวอย่างเช่น ควอนไทล์ที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็น CDF (เช่น) ได้รับมาจากผู้เชี่ยวชาญและใช้ในการกำหนดพารามิเตอร์การแจกแจงเมทาล็อกสามเทอม ดังที่กล่าวไว้ด้านล่าง คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์บางอย่างจะง่ายขึ้นโดยการกำหนดพารามิเตอร์ SPT ${\displaystyle (k=3)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x_{1},\alpha )}$${\displaystyle (x_{2},0.5)}$${\displaystyle (x_{3},1-\alpha )}$${\displaystyle 0<\alpha <0.5}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$${\displaystyle 0.1,0.5,0.9}$

ตระกูลการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบเมทาล็อกมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

ฟังก์ชันในรูปแบบของหรือการแปลงข้างต้นใดๆ ก็ตามจะเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ PDF ของมันมีค่ามากกว่าศูนย์สำหรับทุก^{[ 9 ]}ซึ่งหมายถึงข้อจำกัดความเป็นไปได้ของเซตของสัมประสิทธิ์ ${\displaystyle M_{k}(y)}$${\displaystyle y\in (0,1).}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=(a_{1},...,a_{k})\in \mathbb {R} ^{k}}$

${\displaystyle m_{k}(y)>0}$สำหรับทุกคน${\displaystyle y\in (0,1)}$

ในการใช้งานจริง โดยทั่วไปแล้วจะต้องตรวจสอบความเป็นไปได้มากกว่าที่จะสันนิษฐาน สำหรับจะรับประกันความเป็นไปได้ สำหรับ(รวมถึงโลหะวิทยา SPT) เงื่อนไขความเป็นไปได้คือและ[ ^{14 ] สำหรับ}ได้มีการหาแบบฟอร์มปิดที่คล้ายกัน^{[ 15 ]}สำหรับโดยทั่วไปแล้วจะตรวจสอบความเป็นไปได้ด้วยกราฟหรือตัวเลข ${\displaystyle k=2}$${\displaystyle a_{2}>0}$${\displaystyle k=3}$${\displaystyle a_{2}>0}$${\displaystyle {|a_{3}|/a_{2}}<1.66711}$${\displaystyle k=4}$${\displaystyle k\geq 5}$

เมทาล็อกที่ไม่จำกัดและการแปลงข้างต้นมีชุดสัมประสิทธิ์ที่เป็นไปได้ชุดเดียวกัน^{[ 16 ]}ดังนั้น สำหรับชุดสัมประสิทธิ์ที่กำหนด การยืนยันว่าสำหรับทุก ๆ นั้นเพียงพอโดยไม่คำนึงถึงการแปลงที่ใช้ ${\displaystyle m_{k}(y)>0}$${\displaystyle y\in (0,1)}$

เซตของสัมประสิทธิ์ metalog ที่เป็นไปได้ สำหรับทั้งหมดเป็นแบบนูนเนื่องจาก ปัญหา การเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูนต้องการเซตที่เป็นไปได้แบบนูน คุณสมบัตินี้จึงสามารถลดความซับซ้อนของปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพที่เกี่ยวข้องกับ metalog ได้ ยิ่งไปกว่านั้น คุณสมบัตินี้ยังรับประกันว่าการรวมกันแบบนูน ใดๆ ของเวกเตอร์ของ metalog ที่เป็นไปได้นั้นเป็นไปได้ ซึ่งมีประโยชน์ เช่น เมื่อรวมความคิดเห็นของผู้เชี่ยวชาญหลายคน^{[ 17 ]}หรือการประมาณค่าระหว่าง metalog ที่เป็นไปได้^{[ 18 ]} โดยนัยแล้วการผสม ความน่าจะเป็นใดๆ ของการกระจาย metalog ก็เป็น metalog ด้วยเช่นกัน ${\displaystyle S_{\boldsymbol {a}}=\{{\boldsymbol {a}}\in \mathbb {R} ^{k}|m_{k}(y)>0}$${\displaystyle y\in (0,1)\}}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$

สัมประสิทธิ์สามารถกำหนดได้จากข้อมูลโดยใช้กำลังสองน้อยที่สุดเชิงเส้นเมื่อกำหนดจุดข้อมูลที่ต้องการกำหนดลักษณะเฉพาะของ CDF ของเมทัลล็อก และเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบประกอบด้วยฟังก์ชันพื้นฐานตราบใดที่สามารถผกผันได้ เวกเตอร์คอลัมน์ของสัมประสิทธิ์จะกำหนดโดย โดยที่และเวกเตอร์คอลัมน์ถ้าสมการนี้จะลดลงเหลือโดยที่ CDF ของเมทัลล็อกที่ได้จะวิ่งผ่านจุดข้อมูลทั้งหมดอย่างแม่นยำ สำหรับเมทัลล็อก SPT สมการนี้จะลดลงเหลือการแสดงออกในรูปของจุดทั้งสามโดยตรง^{[ 14 ]}${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$${\displaystyle n\times k}$${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$${\displaystyle g_{j}(y_{i})}$${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}^{T}{\boldsymbol {Y}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=({\boldsymbol {Y}}^{T}{\boldsymbol {Y}})^{-1}{\boldsymbol {Y}}^{T}{\boldsymbol {z}}}$${\displaystyle n\geq k}$${\displaystyle {\boldsymbol {z}}=(z(x_{1}),\ldots ,z(x_{n}))}$${\displaystyle n=k}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {Y}}^{-1}{\boldsymbol {z}}}$${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$

วิธีการปรับแบบอื่นที่ดำเนินการเป็นโปรแกรมเชิงเส้นจะกำหนดสัมประสิทธิ์โดยการลดผลรวมของระยะทางสัมบูรณ์ระหว่าง CDF และข้อมูลให้เหลือน้อยที่สุด โดยคำนึงถึงข้อจำกัดด้านความเป็นไปได้^{[ 19 ]}

ตามทฤษฎีความยืดหยุ่นของเมทาล็อก^{[ 17 ]}การกระจายความน่าจะเป็นใดๆ ที่มีฟังก์ชันควอนไทล์ต่อเนื่องสามารถประมาณได้อย่างใกล้ชิดโดยเมทาล็อก ยิ่งไปกว่านั้น ในเอกสารต้นฉบับ Keelin แสดงให้เห็นว่าการกระจายเมทาล็อกสิบเทอมที่กำหนดพารามิเตอร์โดยจุด CDF 105 จุดจากการกระจายแหล่งที่มาแบบดั้งเดิม 30 แบบ (รวมถึงการกระจายแบบปกติ, นักเรียน-t, ล็อกนอร์มัล, แกมมา, เบต้า และค่าสุดขั้ว) ประมาณการกระจายแหล่งที่มาแต่ละแบบภายใน ระยะ KS 0.001 หรือน้อยกว่า^{[ 20 ]}ดังนั้น ความยืดหยุ่นของรูปร่างเมทาล็อกจึงแทบไม่มีขีดจำกัด

ภาพเคลื่อนไหวทางด้านขวามือแสดงให้เห็นถึงสิ่งนี้สำหรับ1การแจกแจงปกติมาตรฐาน โดยที่เมทาล็อกที่มีจำนวนพจน์ต่างกันจะถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยชุดจุด 105 จุดเดียวกันจากฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (PDF) ของเมทาล็อกจะลู่เข้าสู่ PDF ของการแจกแจงปกติมาตรฐานเมื่อจำนวนพจน์เพิ่มขึ้น เมื่อมีสองพจน์ เมทาล็อกจะประมาณค่าการแจกแจงปกติด้วยการแจกแจงโลจิสติก เมื่อจำนวนพจน์เพิ่มขึ้นแต่ละครั้ง ความสอดคล้องก็จะยิ่งใกล้เคียงมากขึ้น เมื่อมี 10 พจน์ PDF ของเมทาล็อกและ PDF ของการแจกแจงปกติมาตรฐานจะดูแยกไม่ออกด้วยตาเปล่า

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (PDF) ของเมทาล็อกแบบกึ่งจำกัดเก้าเทอมนั้นสามารถมองเห็นความแตกต่างจากช่วงของการแจกแจงไวบูลได้ กรณีทั้งหกที่แสดงทางด้านขวา สอดคล้องกับพารามิเตอร์รูปร่างไวบูล 0.5, 0.8, 1.0, 1.5, 2 และ 4 ในแต่ละกรณี เมทาล็อกจะถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยจุดเก้าจุดจากฟังก์ชันการแจกแจงสะสมไวบูล (CDF) ที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็นสะสม ${\displaystyle b_{l}=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y=(0.001,0.02,0.10,0.25,0.5,0.75,0.9,0.98,0.999)}$

การบรรจบกันดังกล่าวไม่ได้เกิดขึ้นเฉพาะกับการแจกแจงแบบปกติและไวบูลเท่านั้น คีลินได้แสดงผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันสำหรับการแจกแจงที่หลากหลาย^{[ 20 ]}และต่อมาก็ได้แสดงตัวอย่างเพิ่มเติม^{[ 17 ] [ 21 ]}

ค่ามัธยฐานของการแจกแจงใดๆ ในตระกูลเมทาล็อกมีรูปแบบปิดที่เรียบง่าย โปรดสังเกตว่ากำหนดค่ามัธยฐาน และ(เนื่องจากพจน์ถัดไปทั้งหมดเป็นศูนย์สำหรับ) ดังนั้น ค่ามัธยฐานของการแจกแจงเมทาล็อกแบบไม่จำกัดขอบเขต ล็อกเมทาล็อก ล็อกเมทาล็อกลบ และล็อกเมทาล็อกโลจิต คือ, , , และตามลำดับ ${\displaystyle y=0.5}$${\displaystyle M_{k}(0.5)=a_{1}}$${\displaystyle y=0.5}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle b_{l}+e^{a_{1}}}$${\displaystyle b_{u}-e^{-a_{1}}}$${\displaystyle {b_{l}+b_{u}e^{a_{1}} \over {1+e^{a_{1}}}}}$

โมเมนต์ของการกระจายเมทาล็อกที่ไม่จำกัดเป็นกรณีพิเศษของสูตรทั่วไปสำหรับ QPD ^{[ 9 ]}สำหรับเมทาล็อกที่ไม่จำกัด อินทิกรัลดังกล่าวจะประเมินเป็นโมเมนต์รูปแบบปิดซึ่งเป็นพหุนามอันดับในสัมประสิทธิ์โมเมนต์กลางสี่ตัวแรกของเมทาล็อกที่ไม่จำกัดสี่เทอมคือ: ${\displaystyle m^{th}}$${\displaystyle E[x^{m}]=\int _{y=0}^{1}{M_{k}(y)}^{m}\,dy}$${\displaystyle m^{th}}$${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{mean}}={}&a_{1}+{a_{3} \over 2}\\[6pt]{\text{variance}}={}&\pi ^{2}{{a_{2}}^{2} \over 3}+{{a_{3}}^{2} \over {12}}+\pi ^{2}{{a_{3}}^{2} \over {36}}+a_{2}a_{4}+{{a_{4}}^{2} \over {12}}\\[6pt]{\text{skewness}}={}&\pi ^{2}{a_{2}}^{2}{a_{3}}+\pi ^{2}{{a_{3}}^{3} \over {24}}+{{{a_{2}}{a_{3}}{a_{4}}} \over {2}}+\pi ^{2}{{{a_{2}}{a_{3}}{a_{4}}} \over {6}}+{{{a_{3}}{a_{4}}^{2}} \over {8}}\\[6pt]{\text{kurtosis}}={}&7\pi ^{4}{{a_{2}}^{4} \over {15}}+3\pi ^{2}{{{a_{2}}^{2}{a_{3}}^{2}} \over {24}}+7\pi ^{4}{{{a_{2}}^{2}{a_{3}}^{2}} \over {30}}+{{{a_{3}}^{4}} \over {80}}+\pi ^{2}{{a_{3}}^{4} \over {24}}+7\pi ^{4}{{a_{3}}^{4} \over {1200}}+2\pi ^{2}{a_{2}}^{3}{a_{4}}\\[6pt]&{}+{{{a_{2}}{a_{3}}^{2}{a_{4}}} \over {2}}+2\pi ^{2}{{{a_{2}}{a_{3}}^{2}{a_{4}}} \over {3}}+2{{a_{2}}^{2}{a_{4}}^{2}}+\pi ^{2}{{{a_{2}}^{2}{a_{4}}^{2}} \over {6}}+{{{a_{3}}^{2}{a_{4}}^{2}} \over {8}}+\pi ^{2}{{{a_{3}}^{2}{a_{4}}^{2}} \over {40}}+{{{a_{2}}{a_{4}}^{3}} \over {3}}+{{a_{4}}^{4} \over {80}}\end{aligned}}}$

โมเมนต์สำหรับเทอมที่น้อยกว่าจะรวมอยู่ในสมการเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น โมเมนต์ของเมทาล็อกสามเทอมสามารถหาได้โดยการตั้งค่าเป็นศูนย์ โมเมนต์สำหรับเมทาล็อกที่มีเทอมมากกว่า และโมเมนต์ลำดับสูงกว่า ( ) ก็มีให้เช่นกัน^{[ 22 ]}โมเมนต์สำหรับเมทาล็อกแบบกึ่งจำกัดและแบบจำกัดไม่มีให้ในรูปแบบปิด ${\displaystyle a_{4}}$${\displaystyle m>4}$

ตัวแปรเชิงตรรกะสามพจน์ที่ไม่จำกัดขอบเขตสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ในรูปแบบปิดโดยใช้โมเมนต์กลาง สามตัวแรก ให้และเป็นค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน และความเบี่ยงเบน และให้เป็นความเบี่ยงเบนมาตรฐานนิพจน์ที่เทียบเท่ากันของโมเมนต์ในรูปของสัมประสิทธิ์ และสัมประสิทธิ์ในรูปของโมเมนต์ มีดังต่อไปนี้: ${\displaystyle m,v,}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s_{s}}$${\displaystyle s_{s}=s/v^{3/2}}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}m=a_{1}+{a_{3} \over 2}&&a_{1}=m-{a_{3} \over 2}\\[6pt]v=\pi ^{2}{{a_{2}}^{2} \over 3}+{{a_{3}}^{2} \over {12}}+\pi ^{2}{{a_{3}}^{2} \over {36}}&&a_{2}={1 \over {\pi }}{\Bigl [}3{\Bigl (}v-{\Bigl (}{1 \over {12}}+{{\pi }^{2} \over {36}}{\Bigr )}{a_{3}}^{2}{\Bigr )}{\Bigr ]}^{1 \over {2}}\\[6pt]s=\pi ^{2}{a_{2}}^{2}{a_{3}}+\pi ^{2}{{a_{3}}^{3} \over {24}}&&a_{3}=4{\Bigl (}{6v \over {6+\pi ^{2}}}{\Bigr )}^{1 \over {2}}\cos {\Bigl [}{1 \over {3}}{\Bigl (}\cos ^{-1}{\Bigl (}-{s_{s} \over {4}}{\Bigl (}1+{{\pi }^{2} \over {6}}{\Bigr )}^{1 \over {2}}{\Bigr )}+4\pi {\Bigr )}{\Bigr ]}\\[6pt]\end{array}}}$

ความเท่าเทียมกันของชุดนิพจน์ทั้งสองนี้สามารถหาได้จากการสังเกตว่าสมการโมเมนต์ทางด้านซ้ายกำหนดพหุนามกำลังสามในรูปของสัมประสิทธิ์และซึ่งสามารถแก้ได้ในรูปแบบปิดเป็นฟังก์ชันของและยิ่งไปกว่านั้น คำตอบนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะ^{[ 23 ]}ในแง่ของโมเมนต์ เงื่อนไขความเป็นไปได้คือซึ่งสามารถแสดงได้ว่าเทียบเท่ากับเงื่อนไขความเป็นไปได้ต่อไปนี้ในแง่ของสัมประสิทธิ์: ; และ^{[ 23 ]}${\displaystyle a_{1},a_{2},}$${\displaystyle a_{3}}$${\displaystyle m,v,}$${\displaystyle s}$${\displaystyle |s_{s}|\leq 2.07093}$${\displaystyle a_{2}>0}$${\displaystyle {|a_{3}|/a_{2}}<1.66711}$

คุณสมบัตินี้สามารถนำมาใช้ได้ เช่น เพื่อแสดงผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระ ที่มีการแจกแจงไม่เหมือนกัน จากค่าคุมูลันต์เป็นที่ทราบกันว่า สำหรับชุดของตัวแปรสุ่มอิสระใดๆ ค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน และความเบ้ของผลรวมจะเป็นผลรวมของค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน และความเบ้ตามลำดับ การกำหนดพารามิเตอร์ให้กับเมทาล็อกสามเทอมด้วยโมเมนต์กลางเหล่านี้ จะให้การแจกแจงแบบต่อเนื่องที่รักษาโมเมนต์ทั้งสามนี้ไว้อย่างแม่นยำ และด้วยเหตุนี้จึงให้ค่าประมาณที่เหมาะสมกับรูปร่างของการแจกแจงของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระ

เนื่องจากฟังก์ชันควอนไทล์ ของ Metalog แสดงอยู่ในรูปแบบปิด Metalog จึงอำนวยความสะดวกในการจำลองแบบมอนเตคาร์โล การแทนที่ตัวอย่างสุ่มที่มีการกระจายแบบสม่ำเสมอลงในฟังก์ชันควอนไทล์ของ Metalog (ฟังก์ชันผกผันของการกระจายสะสม)จะสร้างตัวอย่างสุ่มในรูปแบบปิด ซึ่งช่วยลดความจำเป็นในการหาฟังก์ชันผกผันของการกระจายสะสม ดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้ในการจำลองด้านล่าง ${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

เนื่องจากความยืดหยุ่นของรูปร่าง การแจกแจงเมทาล็อกจึงเป็นตัวเลือกที่น่าสนใจสำหรับการดึงและนำเสนอความคิดเห็นของผู้เชี่ยวชาญ^{[ 24 ]}ยิ่งไปกว่านั้น หากความคิดเห็นของผู้เชี่ยวชาญหลายคนแสดงออกมาใน รูปของเม ทาล็อกแบบเทอม ความคิดเห็นที่เป็นเอกฉันท์อาจคำนวณได้เป็นเมทาล็อกแบบเทอมในรูปแบบปิด โดยที่สัมประสิทธิ์ของเมทาล็อกที่เป็นเอกฉันท์เป็นเพียงค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของสัมประสิทธิ์ของผู้เชี่ยวชาญแต่ละคน^{[ 17 ]}ผลลัพธ์นี้มาจากVincentizationซึ่งฟังก์ชันควอนไทล์ที่เป็นเอกฉันท์เป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของฟังก์ชันควอนไทล์ของแต่ละบุคคล ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$

ในบทความคลาสสิก Howard (1970) ^{[ 25 ]}แสดงให้เห็นว่าการแจกแจงเบต้า-ไบโนเมียลสามารถใช้เพื่ออัปเดตความไม่แน่นอนเกี่ยวกับความถี่ในระยะยาว ของการโยนเหรียญที่ได้ "หัว" ตาม กฎของ Bayes ในรูปแบบปิด โดยพิจารณาจากข้อมูลการโยนเหรียญใหม่ ในทางตรงกันข้าม หากความไม่แน่นอนที่สนใจที่จะอัปเดตไม่ได้ถูกกำหนดโดยความน่าจะเป็นแบบสเกลาร์เหนือเหตุการณ์แบบไม่ต่อเนื่อง (เช่น ผลลัพธ์ของการโยนเหรียญ) แต่โดยฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเหนือตัวแปรต่อเนื่อง อาจใช้การอัปเดตแบบเบย์เซียนของเมทาล็อกได้ ภายใต้เงื่อนไขบางประการ พารามิเตอร์ควอนไทล์และสัมประสิทธิ์ของเมทาล็อกอาจได้รับการอัปเดตในรูปแบบปิดโดยพิจารณาจากข้อมูลใหม่ตาม กฎ ของBayes ^{[ 17 ]}${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$

เนื่องจากรูปทรงและขอบเขตที่ยืดหยุ่น แผนภูมิโลหะจึงสามารถใช้แสดงข้อมูลเชิงประจักษ์หรือข้อมูลอื่นๆ ได้ในแทบทุกสาขาของความพยายามของมนุษย์

• ดาราศาสตร์มีการใช้ Metalogs เพื่อประเมินความเสี่ยงของการชนของดาวเคราะห์น้อย^{[ 26 ]}
• ความปลอดภัยทางไซเบอร์ Metalogs ถูกนำมาใช้ในการประเมินความเสี่ยงด้านความปลอดภัยทางไซเบอร์^{[ 19 ] [ 27 ]}
• การสอบถามและรวบรวมความคิดเห็นของผู้เชี่ยวชาญสำนักงานสถิติแคนาดาได้สอบถามความคิดเห็นของผู้เชี่ยวชาญเกี่ยวกับอัตราการเจริญพันธุ์ในอนาคตของแคนาดาจากผู้เชี่ยวชาญ 18 คน ซึ่งรวมถึงการใช้ข้อมูลป้อนกลับแบบเรียลไทม์ในรูปแบบ PDF ที่ใช้สเปรดชีตโดยอิงจากเมทาล็อกห้าเทอม จากนั้นความคิดเห็นของผู้เชี่ยวชาญแต่ละคนจะถูกถ่วงน้ำหนักและรวมเข้าด้วยกันเป็นการคาดการณ์โดยรวมตามเมทาล็อก^{[ 24 ]}
• การสำรวจและการแสดงภาพข้อมูลเชิงประจักษ์ในชีววิทยาของปลา การกระจายแบบ log metalog 10 เทอม (จำกัดด้านล่างที่ 0) ถูกนำมาใช้กับน้ำหนักของปลาเทราต์เหล็ก 3,474 ตัวที่จับและปล่อยในแม่น้ำ Babine ในบริติชโคลัมเบียในช่วงปี 2006–2010 ลักษณะสองยอดของการกระจายที่ได้นั้นเกิดจากการมีปลาที่วางไข่ครั้งแรกและครั้งที่สองอยู่ในแม่น้ำ ซึ่งปลาที่วางไข่ครั้งที่สองมักจะมีน้ำหนักมากกว่า^{[ 28 ]}
• อุทกวิทยามีการใช้เมทาล็อกแบบกึ่งจำกัด 10 เทอมเพื่อสร้างแบบจำลองการกระจายความน่าจะเป็นของระดับน้ำในแม่น้ำรายปี^{[ 29 ]}
• การผลิตน้ำมันในแหล่งน้ำมันมีการใช้โลหะ SPT แบบกึ่งจำกัดเพื่อวิเคราะห์อคติในการคาดการณ์การผลิตน้ำมันในแหล่งน้ำมันเมื่อเปรียบเทียบกับการผลิตที่สังเกตได้ภายหลัง^{[ 30 ]}
• การจัดการพอร์ตโฟลิโอ SPT metalogs ถูกนำมาใช้เพื่อสร้างแบบจำลองมูลค่าเชิงพาณิชย์ของผลิตภัณฑ์ใหม่และพอร์ตโฟลิโอผลิตภัณฑ์^{[ 31 ]}
• การกระจายอินพุตการจำลองเพื่อสนับสนุนการตัดสินใจประมูล ความไม่แน่นอนเกี่ยวกับมูลค่าในอนาคตของสินทรัพย์ทางการเงิน 259 รายการแต่ละรายการถูกแสดงเป็น SPT metalog การจำลองมูลค่าพอร์ตโฟลิโอทั้งหมดแสดงให้เห็นว่าให้ผลลัพธ์ที่สมจริงกว่าการจำลองที่สอดคล้องกันโดยอิงจากค่าต่ำ ค่ามัธยฐาน และค่าสูงแบบไม่ต่อเนื่องสำหรับสินทรัพย์แต่ละรายการ^{[ 32 ]}
• การกระจายผลลัพธ์การจำลอง Metalogs ยังถูกใช้เพื่อปรับข้อมูลผลลัพธ์จากการจำลองเพื่อแสดงผลลัพธ์เหล่านั้นเป็นการกระจายแบบต่อเนื่องในรูปแบบปิด (ทั้ง CDF และ PDF) เมื่อใช้ในลักษณะนี้ โดยทั่วไปแล้วจะมีความเสถียรและเรียบเนียนกว่าฮิสโตแกรม^{[ 32 ]}
• ผลรวมของลอคนอร์มอลเมทัลล็อกช่วยให้สามารถแสดงการแจกแจงที่ทราบในรูปแบบปิดได้ ซึ่ง CDF ของพวกมันไม่มีการแสดงออกในรูปแบบปิด Keelin et al. (2019) ^{[ 18 ]}ประยุกต์ใช้สิ่งนี้กับผลรวมของการแจกแจงลอคนอร์มอลที่เป็นอิสระและมีการแจกแจงเหมือนกัน โดยที่ควอนไทล์ของผลรวมสามารถกำหนดได้จากการจำลองจำนวนมาก ควอนไทล์ดังกล่าวเก้าตัวถูกใช้เพื่อกำหนดพารามิเตอร์ของการแจกแจงเมทัลล็อกแบบกึ่งจำกัดที่วิ่งผ่านควอนไทล์ทั้งเก้าตัวนี้อย่างแม่นยำ พารามิเตอร์ควอนไทล์จะถูกเก็บไว้ในตาราง ซึ่งสามารถประมาณค่าในช่วงเพื่อให้ได้ค่าระหว่างกลาง ค่าเหล่านี้รับประกันว่าเป็นไปได้ด้วยคุณสมบัติความนูนข้างต้น

สำหรับแอปพลิเคชันและชุดข้อมูลที่กำหนด การเลือกจำนวนเทอม metalog ขึ้นอยู่กับบริบทและอาจต้องอาศัยการตัดสินใจ สำหรับการสอบถามผู้เชี่ยวชาญ โดยทั่วไปแล้วสามถึงห้าเทอมก็เพียงพอ สำหรับการสำรวจข้อมูลและการจับคู่การแจกแจงความน่าจะเป็นอื่นๆ เช่น ผลรวมของ lognormal โดยทั่วไปแล้วแปดถึงสิบสองเทอมก็เพียงพอ แผง metalog ซึ่งแสดง PDF ของ metalog ที่สอดคล้องกับจำนวนเทอมที่แตกต่างกันสำหรับชุดข้อมูลที่กำหนด อาจช่วยในการตัดสินใจนี้ได้ ตัวอย่างเช่น ในแผง metalog น้ำหนักปลา steelhead ^{[ 1 ]}การใช้เทอมน้อยกว่าเจ็ดเทอมอาจทำให้ข้อมูลไม่เหมาะสมกับแบบจำลอง เนื่องจากบดบังความเป็นสองยอดโดยธรรมชาติของข้อมูล การใช้เทอมมากกว่า 11 เทอมนั้นไม่จำเป็น และในทางทฤษฎีอาจ ทำให้ข้อมูล เหมาะสมกับแบบจำลองมากเกินไป กรณีที่มี 16 เทอมนั้นเป็นไปไม่ได้สำหรับชุดข้อมูลนี้ ดังที่แสดงโดยเซลล์ว่างในแผง metalog เครื่องมืออื่นๆ เช่นการปรับค่าและการเลือกแบบจำลอง ( เกณฑ์ข้อมูล Akaikeและเกณฑ์ข้อมูล Bayesian ) ก็อาจมีประโยชน์เช่นกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อนำไปใช้กับข้อมูลน้ำหนักของปลาสตีลเฮด การจัดอันดับ AIC ของการกระจายเมทาล็อกจาก 2-16 เทอม พร้อมกับการกระจายแบบคลาสสิกที่หลากหลาย ระบุว่าเมทาล็อกล็อก 11 เทอมเป็นแบบที่เหมาะสมที่สุดกับข้อมูลนี้ การจัดอันดับ BIC ที่คล้ายกันระบุว่าเมทาล็อกล็อก 10 เทอมเป็นแบบที่เหมาะสมที่สุด Keelin (2016) ^{[ 1 ]}เสนอมุมมองเพิ่มเติมเกี่ยวกับการเลือกการกระจายภายในตระกูลเมทาล็อก^{[ 33 ]}${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

การแจกแจงเมทาล็อกจัดอยู่ในกลุ่มของการแจกแจงที่กำหนดตามฟังก์ชันควอนไทล์ซึ่งรวมถึงการแจกแจงแบบพารามิเตอร์ควอนไทล์ การแจกแจงแลมบ์ดาของทูคีย์ การวางนัยทั่วไปของมัน GLD ^{[ 34 ]}การแจกแจงโกวินดาราจูลู^{[ 35 ]}และอื่นๆ^{[ 13 ]}การแจกแจงต่อไปนี้รวมอยู่ในตระกูลเมทาล็อก:

• การแจกแจงโลจิสติกเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงเมทาล็อกแบบไม่จำกัด โดยที่สำหรับทุกๆ${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle i>2}$
• การแจกแจงแบบเอกรูปเป็นกรณีพิเศษของ: 1) เมทาล็อกที่ไม่จำกัดขอบเขต โดยที่, , และเป็นอย่างอื่น และ 2) เมทาล็อกที่จำกัดขอบเขต โดยที่, , , , และเป็นอย่างอื่น${\displaystyle k\geq 4}$${\displaystyle a_{1}=0.5}$${\displaystyle a_{4}=1}$${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle k\geq 2}$${\displaystyle b_{l}=0}$${\displaystyle b_{u}=1}$${\displaystyle a_{2}=1}$${\displaystyle a_{i}=0}$
• การแจกแจงล็อกโลจิสติกหรือที่รู้จักกันในทางเศรษฐศาสตร์ว่า การแจกแจงฟิสก์ เป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงล็อกเมทัลโลจิสติก โดยที่และสำหรับทุกค่า${\displaystyle b_{l}=0}$${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle i>2}$
• การแจกแจงแบบลอการิทึมสม่ำเสมอเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงแบบลอการิทึมเมทัลล็อก โดยที่, , , และเป็นอย่างอื่น${\displaystyle k\geq 4}$${\displaystyle a_{1}=0.5}$${\displaystyle a_{4}=1}$${\displaystyle a_{i}=0}$
• การแจกแจงโลจิต-โลจิสติก^{[ 36 ]}เป็นกรณีพิเศษของโลจิตเมทาล็อก โดยที่สำหรับทุก${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle i>2}$

สามารถใช้เครื่องมือซอฟต์แวร์ที่ใช้งานได้ฟรีในการทำงานกับระบบจัดเก็บข้อมูล Metalog ได้:

• ไฟล์ Excel เมื่อวางหรือพิมพ์ข้อมูล CDF ลงไป ระบบจะแสดงแผนผังโลหะวิทยา (พร้อมตัวเลือกขอบเขต) ทันที
  • เวิร์กบุ๊ก SPT metalogs ^{[ 37 ]}คำนวณ metalogs 2–3 เทอมที่กำหนดโดยข้อมูล CDF สามรายการ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$
  • เวิร์กบุ๊ก Metalogs ^{[ 38 ]}คำนวณ metalogs 2–16 เทอม (รวมถึงแผง metalog) ที่กำหนดโดยข้อมูล CDF 2-10,000${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$
  • เวิร์กบุ๊ก Metalog ของ ELD (ข้อมูลที่มีโอกาสเท่ากัน) ^{[ 39 ]}คำนวณ metalog 2–16 เทอมที่กำหนดโดยข้อมูล CDF 2–10,000 โดยที่'s และแผง metalog จะถูกคำนวณโดยอัตโนมัติ${\displaystyle (x_{i})}$${\displaystyle y_{i}}$
• R. rmetalog ^{[ 40 ]} (บนเครือข่ายเก็บถาวร R ที่ครอบคลุม CRAN )
• Python. Pymetalog ^{[ 41 ]}เลียนแบบแพ็กเกจ R อย่างใกล้ชิด Metalogistic ^{[ 42 ]}ใช้ประโยชน์จากแพลตฟอร์มSciPy
• MakeDistribution.com^[43] facilitates experimentation with metalogs parameterized by several CDF data points. The SPT metalog calculator,^[44] metalog calculator^[45] and ELD metalog calculator^[46] are online versions of the Excel Workbooks.
• SIPmath Modeler Tools^[47] support metalog distributions in an Excel add-In for simulation.
• Lumina's Analytica Free 101 software^[48] for modeling and aiding difficult decisions.
• BayesFusion's Metalog Builder ^[49] allows for interactive building of metalog distributions. BayesFusion's GeNIe ^[50] (academic version of the software is free for academic research and teaching) implements the metalog distributions.

Commercially available packages also support the use of metalog distributions:

• FrontLine Solvers: Analytic Solver, RASON, and Solver SDK,^[51] software for optimization. Automatically fits user data to the full range of (bounded and unbounded, multi-term) metalog distributions and provides option to compare metalog distributions with classical distributions based on user-selected goodness of fit criteria.
• Lone Star Analysis: TruNavigator and AnalyticsOS software ^[52] for predictive and prescriptive analytics.

• เว็บไซต์ของ Metalog Distributions คือwww.metalogs.org
• ช่อง YouTube ของ Metalog Distributions นำเสนอวิดีโอให้ความรู้