ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันcàdlàg ( ภาษาฝรั่งเศส : continue à droite, limite à gauche ), RCLL ("ฟังก์ชันต่อเนื่องทางขวาที่มีลิมิตทางซ้าย") หรือcorlol ("ฟังก์ชันต่อเนื่องทางขวา ลิมิตทางซ้าย") คือฟังก์ชันที่กำหนดบนจำนวนจริง (หรือเซตย่อยของจำนวนจริง) ซึ่งต่อเนื่องทางขวาได้ ทุกที่ และมีลิมิต ทางซ้าย ได้ทุกที่ ฟังก์ชัน càdlàg มีความสำคัญในการศึกษาปรากฏการณ์สุ่มที่ยอมรับ (หรือแม้แต่ต้องการ) การกระโดด ซึ่งแตกต่างจากการเคลื่อนที่แบบบราวน์ที่มีเส้นทางตัวอย่างต่อเนื่อง กลุ่มของฟังก์ชัน càdlàg บนโดเมน ที่กำหนด เรียกว่าปริภูมิ Skorokhod

คำศัพท์ที่เกี่ยวข้องสองคำคือcàglàdซึ่งย่อมาจาก " continue à gauche, limite à droite " (ต่อเนื่องทางซ้าย จำกัดทางขวา) ซึ่งเป็นการกลับทิศทางซ้ายขวาของ càdlàg และcàllàlซึ่งย่อมาจาก " continue à l'un, limite à l'autre " (ต่อเนื่องด้านหนึ่ง จำกัดอีกด้านหนึ่ง) สำหรับฟังก์ชันที่ ณ แต่ละจุดของโดเมนจะเป็น càdlàg หรือ càglàd

ให้เป็นปริภูมิเมตริกและให้ฟังก์ชันเรียกว่าฟังก์ชัน càdlàgถ้าสำหรับทุก, ${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle f:E\to M}$${\displaystyle t\in E}$

• ขีดจำกัดด้านซ้าย มีอยู่จริง และ${\displaystyle f(t-):=\lim _{s\to t^{-}}f(s)}$
• ขีดจำกัดด้านขวา มีอยู่และเท่ากับ.${\displaystyle f(t+):=\lim _{s\to t^{+}}f(s)}$${\displaystyle f(t)}$

กล่าวคือเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องทางขวาที่มีลิมิตทางซ้าย ${\displaystyle f}$

• ฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดบนเซตย่อยของจำนวนจริง ล้วนเป็นฟังก์ชัน càdlàg บนเซตย่อยนั้น
• จากนิยามของมันฟังก์ชันการแจกแจงสะสม ทั้งหมด จึงเป็นฟังก์ชัน càdlàg ตัวอย่างเช่น ค่าสะสมที่จุด t สอดคล้องกับความน่าจะเป็นที่จะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับt นั่นคือ t = 0 กล่าวอีกนัยหนึ่งช่วง กึ่งเปิด ที่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงแบบสองด้านนั้นเป็นช่วงปิดทางขวา${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbb {P} [X\leq r]}$${\displaystyle (-\infty ,r]}$
• อนุพันธ์ด้านขวาของฟังก์ชันนูน ใดๆ ที่กำหนดบนช่วงเปิด จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (cadlag function)${\displaystyle f_{+}^{\prime }}$${\displaystyle f}$

เซตของฟังก์ชัน càdlàg ทั้งหมดจากถึงมักจะแสดงด้วย(หรือเรียกง่ายๆ ว่า) และเรียกว่าปริภูมิ Skorokhodตามชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวยูเครนAnatoliy Skorokhodปริภูมิ Skorokhod สามารถกำหนดโทโพโลยีที่ช่วยให้เรา "ขยับพื้นที่และเวลาได้เล็กน้อย" (ในขณะที่โทโพโลยีแบบดั้งเดิมของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมออนุญาตให้เรา "ขยับพื้นที่ได้เล็กน้อย" เท่านั้น) ^{[ 1 ]}เพื่อความง่าย ให้ใช้และ— ดู Billingsley ^{[ 2 ]}สำหรับการสร้างทั่วไปเพิ่มเติม ${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {D} (E:M)}$${\displaystyle \mathbb {D} }$${\displaystyle E=[0,T]}$${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$

ก่อนอื่นเราต้องกำหนดนิยามของค่าอนาล็อกของโมดูลัสความต่อเนื่อง . สำหรับทุกให้กำหนด ${\displaystyle \varpi '_{f}(\เดลต้า )}$${\displaystyle F\subseteq E}$

${\displaystyle w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|}$

และสำหรับให้กำหนดโมดูลัส càdlàgเป็น ${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle \varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),}$

โดยที่ค่าต่ำสุดวิ่งผ่านพาร์ติชันทั้งหมดโดยที่นิยามนี้สมเหตุสมผลสำหรับฟังก์ชันที่ไม่ใช่ càdlàg (เช่นเดียวกับโมดูลัสความต่อเนื่องทั่วไปที่สมเหตุสมผลสำหรับฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง) เป็น càdlàg ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle \Pi =\{0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T\},\;k\in E}$${\displaystyle \min _{i}(t_{i+1}-t_{i})>\delta }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\varpi '_{f}(\delta )=0}$

ให้แทนเซตของฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่ง ทั่วถึงที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดและต่อเนื่อง ทั้งหมด จากไปยังตัวมันเอง (สิ่งเหล่านี้คือ "การแกว่งในเวลา") ให้ ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|}$

แทนค่าบรรทัดฐานเอกรูปบนฟังก์ชันบนกำหนดเมตริก Skorokhodบนโดย ${\displaystyle E}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mathbb {D} }$

${\displaystyle \sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|fg\circ \lambda \|\},}$

ฟังก์ชันเอกลักษณ์อยู่ ที่ไหนในแง่ของสัญชาตญาณเรื่อง "การแกว่ง" นั้นวัดขนาดของ "การแกว่งในเวลา" และวัดขนาดของ "การแกว่งในพื้นที่" ${\displaystyle I:E\to E}$${\displaystyle \|\แลมบ์ดา -I\|}$${\displaystyle \|fg\circ \lambda \|}$

เมตริก Skorokhod เป็นเมตริกอย่างแท้จริง โครงสร้างทางโทโพโลยีที่สร้างขึ้นโดยเมตริกนี้ เรียกว่าโครงสร้างทางโทโพโลยี Skorokhodบน${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mathbb {D} }$

ตัวชี้วัดที่เทียบเท่ากัน

${\displaystyle d(f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }(\|\lambda -I\|+\|fg\circ \lambda \|),}$

ได้รับการแนะนำอย่างอิสระและนำไปใช้ในทฤษฎีการควบคุมสำหรับการวิเคราะห์ระบบสวิตช์^{[ 3 ]}

ปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องบนเป็นปริภูมิย่อยของโทโพโลยี Skorokhod ที่สัมพันธ์กับ จะ ตรงกับโทโพโลยีเอกรูปที่นั่น ${\displaystyle C}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {D} }$${\displaystyle C}$

แม้ว่า พื้นที่ นี้จะไม่ใช่พื้นที่ที่สมบูรณ์เมื่อเทียบกับเมตริก Skorokhod แต่ก็มีเมตริกที่เทียบเท่าทางโทโพโลยีซึ่งถือว่าสมบูรณ์^{[ 4 ]}${\displaystyle \mathbb {D} }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle \mathbb {D} }$

เมื่อพิจารณาจากทั้งหรือ แล้ว ก็คือปริภูมิที่แยกออกจากกันได้ดังนั้น ปริภูมิสโกโรค็อดจึงเป็น ปริภูมิ แบบ โปแลนด์${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma _{0}}$${\displaystyle \mathbb {D} }$

โดยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบท Arzelà–Ascoliเราสามารถแสดงให้เห็นว่าลำดับของการวัดความน่าจะเป็นบนปริภูมิ Skorokhod นั้นกระชับก็ต่อเมื่อเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริงทั้งสองข้อ: ${\displaystyle (\mu _{n})_{n=1,2,\dots }}$${\displaystyle \mathbb {D} }$

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\|f\|\geq a\}{\big )}=0,}$

และ

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}{\big )}=0{\text{ สำหรับทุก }}\varepsilon >0.}$

ภายใต้โทโพโลยีของ Skorokhod และการบวกฟังก์ชันแบบจุดต่อจุดนั้นไม่ใช่กลุ่มโทโพโลยี ดังที่เห็นได้จากตัวอย่างต่อไปนี้: ${\displaystyle \mathbb {D} }$

ให้เป็นช่วงครึ่งเปิด และให้เป็นลำดับของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ แม้ว่าในโทโพโลยี Skorokhod ลำดับนี้จะไม่ลู่เข้าสู่ 0 ก็ตาม ${\displaystyle E=[0,2)}$${\displaystyle f_{n}=\chi _{[1-1/n,2)}\in \mathbb {D} }$${\displaystyle f_{n}\rightarrow \chi _{[1,2)}}$${\displaystyle f_{n}-\chi _{[1,2)}}$

• ปริภูมิเวียนเนอร์แบบคลาสสิก  – ปริภูมิของกระบวนการสุ่ม

• บิลลิงสลีย์, แพทริค (1995). ความน่าจะเป็นและการวัด . นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์ อิงค์ISBN 0-471-00710-2.
• บิลลิงสลีย์, แพทริค (1999). การบรรจบกันของมาตรวัดความน่าจะเป็น . นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์ อิงค์. ISBN 0-471-19745-9.