ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติฟังก์ชันการกระจายสะสม ( CDF ) ของ ตัวแปรสุ่ม ค่าจริงหรือเรียกง่ายๆ ว่าฟังก์ชันการกระจายของที่ประเมินค่า ณ จุดคือความน่า จะเป็น ที่ จะมีค่าน้อย กว่าหรือเท่ากับ^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$

การแจกแจงความน่าจะเป็น ทุก รูปแบบ ที่รองรับด้วยจำนวนจริง ไม่ว่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องหรือแบบ "ผสม" รวมถึงแบบต่อเนื่องจะถูกระบุอย่างเฉพาะเจาะจงด้วยฟังก์ชันเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนต่อเนื่องทางขวา ( ฟังก์ชัน càdlàg ) ที่สอดคล้องกับ และ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \rightarrow [0,1]}$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }F(x)=0}$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }F(x)=1}$

ในกรณีของการแจกแจงแบบต่อเนื่อง เชิงสเกลาร์ ฟังก์ชัน การแจกแจงสะสมจะให้พื้นที่ใต้ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นตั้งแต่ลบอนันต์ถึง นอกจากนี้ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมยังใช้เพื่อระบุการแจกแจงของตัวแปรสุ่มหลายตัวแปรอีก ด้วย${\displaystyle x}$

ฟังก์ชันการกระจายสะสมของตัวแปรสุ่ม ค่าจริง คือฟังก์ชันที่กำหนดโดย^{[ 2 ] : 77} ${\displaystyle X}$

โดยที่ด้านขวามือแสดงถึงความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะ มีค่าต่ำกว่าหรือเท่ากับ${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$

ความน่าจะเป็น ที่อยู่ใน ช่วงกึ่งปิดโดยที่จึงเป็นดังนี้^{[ 2 ] : 84} ${\displaystyle X}$${\displaystyle (a,b]}$${\displaystyle a<b}$

ในคำจำกัดความข้างต้น เครื่องหมาย "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" "≤" เป็นเพียงข้อตกลง ไม่ได้ใช้กันอย่างแพร่หลาย (เช่น ในวรรณกรรมฮังการีใช้ "<") แต่ความแตกต่างนี้มีความสำคัญสำหรับการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่อง การใช้ตาราง การแจกแจง แบบทวินามและปัวซง อย่างถูกต้องนั้น ขึ้นอยู่กับข้อตกลงนี้ นอกจากนี้ สูตรสำคัญๆ เช่นสูตรผกผันของPaul Lévy สำหรับ ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะก็อาศัยการกำหนด "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" เช่นกัน

หากพิจารณาตัวแปรสุ่มหลายตัวจะใช้ตัวอักษรที่เกี่ยวข้องเป็นตัวห้อย ในขณะที่หากพิจารณาเพียงตัวเดียว มักจะละเว้นตัวห้อย ตามธรรมเนียมแล้วจะใช้ตัวพิมพ์ใหญ่สำหรับฟังก์ชันการแจกแจงสะสม ซึ่งแตกต่างจากตัวพิมพ์เล็กที่ใช้สำหรับฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นและฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น หลักการ นี้ใช้ได้กับการอธิบายการแจกแจงทั่วไป: การแจกแจงเฉพาะบางอย่างมีสัญลักษณ์เฉพาะของตนเอง ตัวอย่างเช่นการแจกแจงปกติใช้และแทนและตามลำดับ ${\displaystyle X,Y,\ldots }$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องสามารถกำหนดได้จากฟังก์ชันการกระจายสะสมโดยการหาอนุพันธ์^{[ 3 ]}โดยใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสกล่าวคือ กำหนดให้ตราบ ใดที่อนุพันธ์มีอยู่ ${\displaystyle F(x)}$$${\displaystyle f(x)={\frac {dF(x)}{dx}}}$$

CDF ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ สามารถแสดงเป็นอินทิกรัลของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นได้ดังนี้: ^{[ 2 ] : 86} ${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{X}}$$${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t)\,dt.}$$

ในกรณีของตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายตัวซึ่งมีส่วนประกอบแบบไม่ต่อเนื่องที่ค่าหนึ่ง ${\displaystyle X}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle \operatorname {P} (X=b)=F_{X}(b)-\lim _{x\to b^{-}}F_{X}(x).}$$

ถ้าฟังก์ชันมีความต่อเนื่องที่จุดค่านี้จะเท่ากับศูนย์ และจะไม่มีส่วนประกอบที่ไม่ต่อเนื่องที่จุดนั้น ${\displaystyle F_{X}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

ฟังก์ชันการกระจายสะสมทุกฟังก์ชันจะไม่ลดลง^{[ 2 ] : 78} และต่อเนื่องทางขวา [ ^{2 ] : 79} ซึ่งทำให้เป็นฟังก์ชัน càdlàg ยิ่งไปกว่านั้น${\displaystyle F_{X}}$$${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0,\quad \lim _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1.}$$

ทุกฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติทั้งสามประการนี้เป็นฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) กล่าวคือ สำหรับทุกฟังก์ชันดังกล่าวสามารถกำหนด ตัวแปรสุ่ม ได้โดยที่ฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันการกระจายสะสมของตัวแปรสุ่มนั้น

ถ้าเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง โดยสมบูรณ์ มันจะมีค่าเป็นด้วยความน่าจะเป็นและฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) ของจะไม่ต่อเนื่องที่จุด: ${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$${\displaystyle p_{i}=p(x_{i})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{i}}$$${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\sum _{x_{i}\leq x}\operatorname {P} (X=x_{i})=\sum _{x_{i}\leq x}p(x_{i}).}$$

ถ้าฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) ของตัวแปรสุ่มค่าจริงเป็นแบบต่อเนื่องแสดงว่าเป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องเช่นกัน และถ้าเป็นแบบต่อเนื่องสัมบูรณ์ ด้วย แล้ว จะมีฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์แบบเลเบสได้ซึ่ง สำหรับจำนวนจริงและ ทุก ตัว ฟังก์ชันจะเท่ากับอนุพันธ์ของเกือบทุกที่และเรียกว่าฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของการกระจายของ ${\displaystyle F_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F_{X}}$${\displaystyle f_{X}(x)}$$${\displaystyle F_{X}(b)-F_{X}(a)=\operatorname {P} (a<X\leq b)=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f_{X}}$${\displaystyle F_{X}}$${\displaystyle X}$

ถ้ามีค่าL1-norm จำกัด นั่นคือ ค่าคาดหวังของมีค่าจำกัด ค่าคาดหวังจะกำหนดโดยปริพันธ์ Riemann–Stieltjes${\displaystyle X}$${\displaystyle |X|}$$${\displaystyle \mathrm {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }t\,dF_{X}(t)}$$

และสำหรับค่าใดๆก็ตาม รวมถึง ดังที่แสดงในแผนภาพ (พิจารณาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีแดงสองรูปและส่วนขยายไปทางขวาหรือซ้ายจนถึงกราฟของ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรามี นอกจากนี้ ค่าคาดหวัง (จำกัด) ของตัวแปรสุ่มค่าจริงสามารถกำหนดได้บนกราฟของฟังก์ชันการกระจายสะสม ดังที่แสดงโดยภาพวาดในคำจำกัดความของค่าคาดหวังสำหรับตัวแปรสุ่มค่าจริงใดๆ ${\displaystyle x\geq 0}$$${\displaystyle x(1-F_{X}(x))\leq \int _{x}^{\infty }t\,dF_{X}(t)}$$$${\displaystyle xF_{X}(-x)\leq \int _{-\infty }^{-x}(-t)\,dF_{X}(t)}$$${\displaystyle F_{X}}$$${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }xF_{X}(x)=0,\quad \lim _{x\to +\infty }x(1-F_{X}(x))=0.}$$${\displaystyle X}$

ยกตัวอย่างเช่น สมมติว่ามีการแจกแจงแบบเอกรูปในช่วงหน่วยแล้วฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) ของจะกำหนดโดย ${\displaystyle X}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}0&:\ x<0\\x&:\ 0\leq x\leq 1\\1&:\ x>1\end{cases}}}$$

สมมติว่ารับค่าเฉพาะ 0 และ 1 เท่านั้น โดยมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ดังนั้นฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) ของจะกำหนดโดย ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}0&:\ x<0\\1/2&:\ 0\leq x<1\\1&:\ x\geq 1\end{cases}}}$$

สมมติว่ามีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลแล้วฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) ของจะกำหนดโดย โดย ที่λ > 0 คือพารามิเตอร์ของการแจกแจง ซึ่งมักเรียกว่าพารามิเตอร์อัตรา ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle F_{X}(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$$

สมมติว่ามีการแจกแจงแบบปกติแล้วฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) ของจะกำหนดโดย โดย ที่พารามิเตอร์คือค่าเฉลี่ยหรือค่าคาดหวังของการแจกแจง และคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {(t-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,dt.}$$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$

ตารางฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน ( และ) มักถูกนำไปใช้ในงานทางสถิติ โดยเรียกชื่อว่าตารางปกติมาตรฐานตารางปกติหน่วยหรือตาราง Z${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma =1}$

สมมติว่ามีการแจกแจงแบบทวินามจากนั้น CDF ของจะกำหนดโดย โดยที่คือความน่าจะเป็นของความสำเร็จ และฟังก์ชัน แสดงถึงการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องของจำนวนความสำเร็จในลำดับของการทดลองอิสระ และคือ"ค่าต่ำสุด"ภายใต้ กล่าว คือ จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อย กว่าหรือเท่ากับ^{[ 4 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle F(x;n,p)=\Pr(X\leq x)=\sum _{i=0}^{\min(n,\lfloor x\rfloor )}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}.}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

สมมติให้เป็นจำนวนจุดสำหรับการทอยลูกเต๋าในอุดมคติแล้วฟังก์ชันการกระจายสะสมของมันจะกำหนดโดยการทอยลูกเต๋าครั้งถัดไป ${\displaystyle X}$${\displaystyle F\colon \,\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น (ในตอนท้ายของส่วนคุณสมบัติ) สามารถใช้เพื่อกำหนดค่าที่คาดหวังซึ่งนำไปสู่ ​​(พื้นที่ของพื้นผิวที่ไฮไลต์ด้วยสีเหลือง ผลรวมนี้ยังสอดคล้องกับสูตรเฉพาะสำหรับตัวแปรสุ่มที่มีผลลัพธ์จำนวนจำกัด ) ^{[ 5 ]}${\displaystyle F}$${\displaystyle X,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} (X)&=\int _{0}^{\infty }{\big (}1-F(x){\big )}\,dx-\int _{-\infty }^{0}F(x)\,dx\\[0.7ex]&={\frac {1}{6}}+{\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}+{\frac {4}{6}}+{\frac {5}{6}}+{\frac {6}{6}}=3.5\end{aligned}}}$$

บางครั้ง การศึกษาคำถามตรงกันข้ามและถามว่าตัวแปรสุ่มอยู่ เหนือ ระดับที่กำหนด บ่อยแค่ไหน ก็มีประโยชน์นี่เรียกว่า...ฟังก์ชันการกระจายสะสมเสริม (ccdf ) หรือเรียกง่ายๆ ว่าการกระจายหางหรือการเกินค่าและถูกกำหนดให้เป็น $${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(x)=\operatorname {P} (X>x)=1-F_{X}(x).}$$

สิ่งนี้มีประโยชน์ในการทดสอบสมมติฐานทางสถิติ ตัวอย่างเช่น เนื่องจาก ค่า p-valueแบบด้านเดียวคือความน่าจะเป็นของการสังเกตค่าสถิติการทดสอบที่ มีค่า อย่างน้อยที่สุดเท่ากับค่าที่สังเกตได้ ดังนั้น หากค่าสถิติการทดสอบ T มี การแจกแจงแบบต่อเนื่อง ค่า p-valueแบบด้านเดียวจะคำนวณได้ง่ายๆ จากฟังก์ชันการแจกแจงแบบรวม (ccdf): สำหรับค่าที่สังเกตได้ของค่าสถิติการทดสอบ ${\displaystyle t}$$${\displaystyle p=\operatorname {P} (T\geq t)=\operatorname {P} (T>t)=1-F_{T}(t).}$$

ในการวิเคราะห์การอยู่รอดจะเรียกว่าฟังก์ชันการอยู่รอดและใช้สัญลักษณ์ในขณะที่คำว่าฟังก์ชันความน่าเชื่อถือมักใช้กันในทาง วิศวกรรม${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(x)}$${\displaystyle S(x)}$

คุณสมบัติ

• สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่ไม่เป็นลบซึ่งมีค่าคาดหวังอสมการของ Markovระบุว่า^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(x)\leq {\frac {\operatorname {E} (X)}{x}}.}$$
• เนื่องจากและในความเป็นจริงแล้วหากมีค่าจำกัดพิสูจน์: สมมติว่ามีฟังก์ชันความหนาแน่นสำหรับใดๆจากนั้น เมื่อพิจารณาและจัดเรียงพจน์ใหม่ จะได้ตามที่กล่าวอ้าง${\displaystyle x\to \infty ,{\bar {F}}_{X}(x)\to 0}$${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(x)=o(1/x)}$${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{X}}$${\displaystyle c>0}$$${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }xf_{X}(x)\,dx\geq \int _{0}^{c}xf_{X}(x)\,dx+c\int _{c}^{\infty }f_{X}(x)\,dx}$$$${\displaystyle {\bar {F}}_{X}(c)=\int _{c}^{\infty }f_{X}(x)\,dx}$$$${\displaystyle 0\leq c{\bar {F}}_{X}(c)\leq \operatorname {E} (X)-\int _{0}^{c}xf_{X}(x)\,dx\to 0{\text{ as }}c\to \infty }$$
• สำหรับตัวแปรสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยและสำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นลบ พจน์ที่สองจะเป็น 0 ถ้าตัวแปรสุ่มสามารถรับค่าได้เฉพาะจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเท่านั้น นี่จะเทียบเท่ากับ$${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{\infty }{\bar {F}}_{X}(x)\,dx-\int _{-\infty }^{0}F_{X}(x)\,dx}$$$${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{n=0}^{\infty }{\bar {F}}_{X}(n).}$$

ในขณะที่กราฟการกระจายสะสมมักจะมีรูปร่างคล้ายตัว S ภาพประกอบทางเลือกคือการกระจายสะสมแบบพับหรือกราฟภูเขาซึ่งพับครึ่งบนของกราฟลงมา^{[ 7 ] [ 8 ]}นั่นคือ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F_{\text{fold}}(x)=F(x)1_{\{F(x)\leq 0.5\}}+(1-F(x))1_{\{F(x)>0.5\}}}$

โดยที่หมายถึงฟังก์ชันตัวบ่งชี้และพจน์ที่สองคือฟังก์ชันการอยู่รอดดังนั้นจึงใช้มาตราส่วนสองมาตรา มาตราหนึ่งสำหรับความชันขาขึ้น และอีกมาตราหนึ่งสำหรับความชันขาลง รูปแบบการแสดงภาพประกอบนี้เน้นที่ค่ามัธยฐานการกระจาย(โดยเฉพาะค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ยจากค่ามัธยฐาน^{[ 9 ]} ) และความเบ้ของการกระจายหรือผลลัพธ์เชิงประจักษ์ ${\displaystyle 1_{\{A\}}}$

ถ้าฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) Fเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดและต่อเนื่อง จะเป็นจำนวนจริงที่ไม่ซ้ำกันเพียงจำนวนเดียวที่ทำให้ซึ่งเป็นการกำหนดฟังก์ชันการกระจายผกผันหรือฟังก์ชันควอนไทล์ ${\displaystyle F^{-1}(p),p\in [0,1],}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F(x)=p}$

การแจกแจงบางแบบไม่มีฟังก์ชันผกผันที่ไม่ซ้ำกัน (ตัวอย่างเช่น ถ้าสำหรับทุกค่าซึ่งทำให้ค่า เป็นค่าคงที่) ในกรณีนี้ อาจใช้ฟังก์ชันการแจกแจงผกผันทั่วไปซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle f_{X}(x)=0}$${\displaystyle a<x<b}$${\displaystyle F_{X}}$

${\displaystyle F^{-1}(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} :F(x)\geq p\},\quad \forall p\in [0,1].}$

• ตัวอย่างที่ 1: ค่ามัธยฐานคือ.${\displaystyle F^{-1}(0.5)}$
• ตัวอย่างที่ 2: แทนค่า. จากนั้นเราเรียกค่านี้ว่าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 95${\displaystyle \tau =F^{-1}(0.95)}$${\displaystyle \tau }$

คุณสมบัติที่มีประโยชน์บางประการของฟังก์ชันการกระจายสะสมผกผัน (ซึ่งยังคงมีอยู่ในการนิยามของ ฟังก์ชัน การกระจายผกผัน ทั่วไป ) ได้แก่:

1. ${\displaystyle F^{-1}}$ไม่ลดลง^{[ 10 ]}
2. ${\displaystyle F^{-1}(F(x))\leq x}$
3. ${\displaystyle F(F^{-1}(p))\geq p}$
4. ${\displaystyle F^{-1}(p)\leq x}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle p\leq F(x)}$
5. ถ้ามีการแจกแจงแบบ แล้ว ก็จะมีการแจกแจงแบบ เช่นกันซึ่งใช้ในการสร้างเลขสุ่มโดยใช้ วิธี การสุ่มแบบแปลงผกผัน (inverse transform sampling )${\displaystyle Y}$${\displaystyle U[0,1]}$${\displaystyle F^{-1}(Y)}$${\displaystyle F}$
6. ถ้าเป็นชุดของตัวแปรสุ่มอิสระ ที่มีการแจกแจงแบบ ซึ่งกำหนดไว้ใน ปริภูมิตัวอย่างเดียวกันแล้วจะมีตัวแปรสุ่มอยู่จริงซึ่งทำให้ มีการแจกแจงแบบและด้วยความน่าจะเป็น 1 สำหรับทุก${\displaystyle \{X_{\alpha }\}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle Y_{\alpha }}$${\displaystyle Y_{\alpha }}$${\displaystyle U[0,1]}$${\displaystyle F^{-1}(Y_{\alpha })=X_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$

ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันการกระจายสะสม (cdf) สามารถนำมาใช้แปลงผลลัพธ์ที่ได้จากการแจกแจงแบบเอกรูปไปเป็นการแจกแจงแบบอื่นได้

ฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์เป็นการประมาณค่าของฟังก์ชันการกระจายสะสมที่สร้างจุดในตัวอย่าง โดยจะลู่เข้าสู่การกระจายพื้นฐานด้วยความน่าจะเป็น 1 มีผลลัพธ์หลายอย่างที่ใช้ในการหาปริมาณอัตราการลู่เข้าของฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์ไปยังฟังก์ชันการกระจายสะสมพื้นฐาน^{[ 11 ]}

เมื่อจัดการกับตัวแปรสุ่มมากกว่าหนึ่งตัวพร้อมกันฟังก์ชันการกระจายสะสมร่วมก็สามารถกำหนดได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวแปรสุ่มสองตัวฟังก์ชันการกระจายสะสมร่วมจะกำหนดโดย^{[ 2 ] : 89} ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle F_{XY}}$

โดยที่ด้านขวามือแสดงถึงความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะมีค่าต่ำกว่าหรือเท่ากับและตัวแปร สุ่มจะมีค่าต่ำกว่าหรือเท่ากับ${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$

ตัวอย่างของฟังก์ชันการกระจายสะสมร่วม:

สำหรับตัวแปรต่อเนื่องสองตัวคือXและY :$${\displaystyle \Pr(a<X<b{\text{ and }}c<Y<d)=\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx;}$$

สำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องสองตัว การสร้างตารางความน่าจะเป็นและการพิจารณาความน่าจะเป็นสะสมสำหรับแต่ละช่วงที่เป็นไปได้ของXและY จะเป็นประโยชน์ และนี่คือตัวอย่าง: ^{[ 12 ]}

เมื่อกำหนดฟังก์ชันความน่าจะเป็นร่วมในรูปแบบตารางแล้ว จงหาฟังก์ชันการกระจายสะสมร่วม

วิธีแก้ปัญหา: โดยใช้ตารางความน่าจะเป็นที่กำหนดให้สำหรับแต่ละช่วงที่เป็นไปได้ของXและYฟังก์ชันการกระจายสะสมร่วมสามารถสร้างได้ในรูปแบบตาราง:

สำหรับตัวแปรสุ่ม ฟังก์ชันการกระจายสะสมร่วม (Joint CDF) จะกำหนดโดย ${\displaystyle N}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$${\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{N}}}$

การตีความตัวแปรสุ่มเป็นเวกเตอร์สุ่มทำให้ได้สัญลักษณ์ที่สั้นกว่า: ${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{N})^{T}}$$${\displaystyle F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{N}\leq x_{N})}$$

ฟังก์ชันการกระจายสะสมแบบหลายตัวแปรทุกตัวมีคุณสมบัติดังนี้:

1. มีค่าไม่ลดลงอย่างต่อเนื่องสำหรับตัวแปรแต่ละตัว
2. ต่อเนื่องทางขวาในตัวแปรแต่ละตัว
3. ${\displaystyle 0\leq F_{X_{1}\ldots X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq 1,}$
4. ${\displaystyle \lim _{x_{1},\ldots ,x_{n}\to +\infty }F_{X_{1}\ldots X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=1}$และสำหรับทุกสิ่งทุกอย่าง​${\displaystyle \lim _{x_{i}\to -\infty }F_{X_{1}\ldots X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$

ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่ตรงตามคุณสมบัติทั้งสี่ข้างต้นจะเป็นฟังก์ชันการกระจายสะสมแบบหลายตัวแปรเสมอไป ต่างจากกรณีมิติเดียว ตัวอย่างเช่น ให้สำหรับหรือหรือและให้ในกรณีอื่น ๆ จะเห็นได้ง่ายว่าเงื่อนไขข้างต้นเป็นไปตามที่กำหนด แต่ฟังก์ชันนี้ก็ยังไม่ใช่ฟังก์ชันการกระจายสะสม เนื่องจากถ้าเป็นฟังก์ชันการกระจายสะสมแล้ว จะเป็นไปตามที่อธิบายไว้ด้านล่าง ${\displaystyle F(x,y)=0}$${\displaystyle x<0}$${\displaystyle x+y<1}$${\displaystyle y<0}$${\displaystyle F(x,y)=1}$${\displaystyle F}$${\textstyle \operatorname {P} \left({\frac {1}{3}}<X\leq 1,{\frac {1}{3}}<Y\leq 1\right)=-1}$

ความน่าจะเป็นที่จุดหนึ่งจะอยู่ในไฮเปอร์เรคแทงเกิลนั้นคล้ายคลึงกับกรณี 1 มิติ: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle F_{X_{1},X_{2}}(a,c)+F_{X_{1},X_{2}}(b,d)-F_{X_{1},X_{2}}(a,d)-F_{X_{1},X_{2}}(b,c)=\operatorname {P} (a<X_{1}\leq b,c<X_{2}\leq d)=\int \cdots }$$

การขยายฟังก์ชันการกระจายสะสมจากตัวแปรสุ่มจำนวนจริงไปสู่ตัวแปรสุ่มจำนวนเชิงซ้อนนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย เนื่องจากนิพจน์ในรูปแบบนั้นไม่มีความหมาย อย่างไรก็ตาม นิพจน์ในรูปแบบนั้นมีความหมาย ดังนั้น เราจึงกำหนดการกระจายสะสมของตัวแปรสุ่มจำนวนเชิงซ้อนผ่านการกระจายร่วมของส่วนจริงและส่วนจินตนาการของตัวแปรเหล่านั้น: ${\displaystyle P(Z\leq 1+2i)}$${\displaystyle P(\Re {(Z)}\leq 1,\Im {(Z)}\leq 3)}$$${\displaystyle F_{Z}(z)=F_{\Re {(Z)},\Im {(Z)}}(\Re {(z)},\Im {(z)})=P(\Re {(Z)}\leq \Re {(z)},\Im {(Z)}\leq \Im {(z)}).}$$

การสรุปทั่วไปของสมการที่ 4ทำให้ได้ นิยามสำหรับ CDS ของเวกเตอร์สุ่มเชิงซ้อน $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )&=F_{\Re {(Z_{1})},\Im {(Z_{1})},\ldots ,\Re {(Z_{n})},\Im {(Z_{n})}}(\Re {(z_{1})},\Im {(z_{1})},\ldots ,\Re {(z_{n})},\Im {(z_{n})})\\[1ex]&=\operatorname {P} (\Re {(Z_{1})}\leq \Re {(z_{1})},\Im {(Z_{1})}\leq \Im {(z_{1})},\ldots ,\Re {(Z_{n})}\leq \Re {(z_{n})},\Im {(Z_{n})}\leq \Im {(z_{n})})\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{N})^{T}}$

แนวคิดของฟังก์ชันการแจกแจงสะสมปรากฏให้เห็นอย่างชัดเจนในการวิเคราะห์ทางสถิติในสองวิธี (ที่คล้ายคลึงกัน) การวิเคราะห์ความถี่สะสมคือการวิเคราะห์ความถี่ของการเกิดค่าของปรากฏการณ์ที่น้อยกว่าค่าอ้างอิงฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์เป็นการประมาณค่าโดยตรงอย่างเป็นทางการของฟังก์ชันการแจกแจงสะสม ซึ่งสามารถหาคุณสมบัติทางสถิติอย่างง่ายได้ และสามารถใช้เป็นพื้นฐานของการทดสอบสมมติฐานทางสถิติ ต่างๆ การทดสอบดังกล่าวสามารถประเมินได้ว่ามีหลักฐานที่ขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่าตัวอย่างข้อมูลมาจากกลุ่มการแจกแจงที่กำหนด หรือมีหลักฐานที่ขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่าตัวอย่างข้อมูลสองตัวอย่างมาจากกลุ่มการแจกแจงประชากรเดียวกัน (ที่ไม่ทราบ)

การทดสอบ Kolmogorov–Smirnovนั้นอิงตามฟังก์ชันการกระจายสะสม และสามารถใช้ทดสอบได้ว่าการกระจายเชิงประจักษ์สองแบบแตกต่างกันหรือไม่ หรือการกระจายเชิงประจักษ์แตกต่างจากการกระจายในอุดมคติหรือไม่การทดสอบ Kuiper ซึ่งมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดนั้น มีประโยชน์หากโดเมนของการกระจายมีลักษณะเป็นวัฏจักร เช่น วันในสัปดาห์ ตัวอย่างเช่น การทดสอบ Kuiper อาจใช้เพื่อตรวจสอบว่าจำนวนพายุทอร์นาโดเปลี่ยนแปลงไปในระหว่างปีหรือไม่ หรือยอดขายของผลิตภัณฑ์เปลี่ยนแปลงไปตามวันในสัปดาห์หรือวันในเดือนหรือไม่

• สถิติเชิงพรรณนา
• การปรับการกระจาย
• โอจีฟ (สถิติ)

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันการกระจายแบบสะสมในวิกิมีเดียคอมมอนส์