ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติการแจกแจงผกผันคือการแจกแจงของส่วนกลับของตัวแปรสุ่ม การแจกแจงผกผันเกิดขึ้นโดยเฉพาะใน บริบทแบบ เบย์เซียนของการแจกแจงก่อนหน้าและการแจกแจงภายหลังสำหรับพารามิเตอร์มาตราส่วนในพีชคณิตของตัวแปรสุ่มการแจกแจงผกผันเป็นกรณีพิเศษของกลุ่มการแจกแจงอัตราส่วนซึ่งตัวแปรสุ่มตัวเศษมีการแจกแจงแบบเสื่อมสภาพ

โดยทั่วไปแล้ว เมื่อกำหนดการกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มXที่มีค่าบวกอย่างเคร่งครัดแล้ว จะสามารถหาการกระจายของส่วนกลับY = 1 / X ได้ ถ้าการกระจายของXเป็นแบบต่อเนื่องโดยมีฟังก์ชันความหนาแน่นf ( x ) และฟังก์ชันการกระจายสะสมF ( x ) แล้ว ฟังก์ชันการกระจายสะสมG ( y ) ของส่วนกลับจะหาได้โดยการสังเกตว่า

${\displaystyle G(y)=\Pr(Y\leq y)=\Pr \left(X\geq {\frac {1}{y}}\right)=1-\Pr \left(X<{\frac {1}{y}}\right)=1-F\left({\frac {1}{y}}\right).}$

จากนั้นจึงหาฟังก์ชันความหนาแน่นของYโดยใช้อนุพันธ์ของฟังก์ชันการกระจายสะสม:

${\displaystyle g(y)={\frac {1}{y^{2}}}f\left({\frac {1}{y}}\right).}$

การกระจายแบบผกผันมีฟังก์ชันความหนาแน่นในรูปแบบ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f(x)\propto x^{-1}\quad {\text{ สำหรับ }}0<a<x<b,}$

โดยที่หมายถึง"เป็นสัดส่วนกับ"ดังนั้น การแจกแจงผกผันในกรณีนี้จึงมีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle \propto \!\,}$

${\displaystyle g(y)\propto y^{-1}\quad {\text{ for }}0\leq b^{-1}<y<a^{-1},}$

ซึ่งก็คือการแจกแจงแบบผกผันอีกครั้งหนึ่ง

การกระจายแบบเอกรูปผกผัน
พารามิเตอร์	${\displaystyle 0<a<b,\quad a,b\in \mathbb {R} }$
สนับสนุน	${\displaystyle [b^{-1},a^{-1}]}$
พีดี	${\displaystyle y^{-2}{\frac {1}{ba}}}$
ซีดีเอฟ	${\displaystyle {\frac {โดย^{-1}}{ba}}}$
หมายถึง	${\displaystyle {\frac {\ln(b)-\ln(a)}{ba}}}$
ค่ามัธยฐาน	${\displaystyle {\frac {2}{a+b}}}$
ความแปรปรวน	${\displaystyle {\frac {1}{a\cdot b}}-\left({\frac {\ln(b)-\ln(a)}{ba}}\right)^{2}}$

ถ้าตัวแปรสุ่มดั้งเดิมXมีการแจกแจงแบบเอกรูปในช่วง ( a , b ) โดยที่a > 0 แล้ว ตัวแปรผกผันY = 1/ Xจะมีการแจกแจงแบบผกผันซึ่งมีค่าอยู่ในช่วง ( b ^{− 1} , a ^{− 1} ) และฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นในช่วงนี้คือ

${\displaystyle g(y)=y^{-2}{\frac {1}{ba}},}$

และมีค่าเป็นศูนย์ในที่อื่นๆ

ฟังก์ชันการกระจายสะสมของส่วนกลับ ภายในช่วงเดียวกัน คือ

${\displaystyle G(y)={\frac {by^{-1}}{ba}}.}$

ตัวอย่างเช่น ถ้าXมีการแจกแจงแบบเอกรูปในช่วง (0,1) แล้วY = 1 / Xจะมีฟังก์ชันความหนาแน่น และฟังก์ชันการแจกแจงสะสมเมื่อ${\displaystyle g(y)=y^{-2}}$${\displaystyle G(y)={1-y^{-1}}}$${\displaystyle y>1.}$

ให้Xเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจง แบบ t โดยมี k องศาอิสระแล้วฟังก์ชันความหนาแน่นของมันคือ

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{\left(1+{\frac {x^{2}}{k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

ความหนาแน่นของY = 1 / Xคือ

${\displaystyle g(y)={\frac {1}{\sqrt {k\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}{\frac {1}{y^{2}\left(1+{\frac {1}{y^{2}k}}\right)^{\frac {1+k}{2}}}}.}$

เมื่อk = 1 การแจกแจงของXและ 1 /  Xจะเหมือนกัน ( Xจะมีการแจกแจงแบบโคชี (0,1)) ถ้าk > 1 การแจกแจงของ 1 /  Xจะมีสองยอด

ถ้าตัวแปรเป็นไปตามการแจกแจงปกติตัวแปรผกผันหรือส่วนกลับจะเป็นไปตามการแจกแจงปกติแบบผกผัน: ^{[ 2 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle Y={\frac {1}{X}}}$

${\displaystyle f(y)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma y^{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1/y-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.}$

ถ้าตัวแปรXเป็นไปตามการแจกแจงปกติมาตรฐาน แล้วY  = 1/ Xจะเป็นไปตามการแจกแจงปกติมาตรฐานแบบผกผันหาง หนักและแบบสองยอด^{[ 2 ]}โดย มียอดที่และความหนาแน่น ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$

${\displaystyle f(y)={\frac {e^{-{\frac {1}{2y^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}y^{2}}}}$

และโมเมนต์ลำดับแรกและลำดับที่สูงกว่านั้นไม่มีอยู่จริง^{[ 2 ]}สำหรับการแจกแจงผกผันดังกล่าวและการแจกแจงอัตราส่วนยังคงสามารถกำหนดความน่าจะเป็นสำหรับช่วงเวลาได้ ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยการจำลองมอนเตคาร์โลหรือในบางกรณี โดยใช้การแปลง Geary–Hinkley ^{[ 3 ]}

อย่างไรก็ตาม ในกรณีทั่วไปของฟังก์ชันผกผันที่เลื่อนไปสำหรับการติดตามการแจกแจงปกติทั่วไป สถิติค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนจะมีอยู่จริงใน แง่ ของค่าหลักหากความแตกต่างระหว่างขั้วและค่าเฉลี่ยเป็นค่าจริง ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มที่แปลงแล้วนี้ ( การแจกแจงปกติแบบผกผันที่เลื่อนไป ) ก็คือฟังก์ชันของดอว์สัน ที่ปรับขนาดแล้วนั่นเอง : ^{[ 4 ]}${\displaystyle 1/(pB)}$${\displaystyle B=N(\mu ,\sigma )}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sigma }}F\left({\frac {p-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right).}$

ในทางตรงกันข้าม หากการเลื่อนเป็นเชิงซ้อนล้วนๆ ค่าเฉลี่ยจะมีอยู่และเป็นฟังก์ชัน Faddeeva ที่ปรับขนาด ซึ่งการแสดงออกที่แน่นอนขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของส่วนจินตนาการในทั้งสองกรณี ความแปรปรวนเป็นฟังก์ชันง่ายๆ ของค่าเฉลี่ย^{[ 5 ]}ดังนั้น ความแปรปรวนจะต้องถูกพิจารณาในแง่ของค่าหลักหากเป็นจำนวนจริง ในขณะที่มันมีอยู่หากส่วนจินตนาการของไม่เป็นศูนย์ โปรดทราบว่าค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเหล่านี้มีความแม่นยำ เนื่องจากไม่ได้กลับไปสู่การทำให้เป็นเชิงเส้นของอัตราส่วน ความแปรปรวนร่วมที่แม่นยำของอัตราส่วนสองอัตราส่วนที่มีขั้วต่างกันคู่หนึ่งและก็มีให้ใช้งานในทำนองเดียวกัน^{[ 6 ]} กรณีของตัวแปรปกติเชิงซ้อน ผกผัน ไม่ว่าจะเลื่อนหรือไม่ก็ตาม จะแสดงลักษณะที่แตกต่างกัน^{[ 4 ]}${\displaystyle p-\mu }$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {Im} (p-\mu )}$${\displaystyle p-\mu }$${\displaystyle p-\mu }$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle B}$

ถ้าเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล โดยมีพารามิเตอร์อัตราแล้วจะมีฟังก์ชันการแจกแจงสะสมดังต่อไปนี้: สำหรับโปรดทราบว่าค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มนี้ไม่มีอยู่จริง การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลผกผันถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์ระบบสื่อสารไร้สายที่มีการลดทอนสัญญาณ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle Y=1/X}$${\displaystyle F_{Y}(y)=e^{-\แลมบ์ดา /y}}$${\displaystyle y>0}$

ถ้าXเป็น ตัวแปรสุ่มที่มีการ ^{แจกแจง แบบ} โคชี ( μ , σ ) แล้ว 1/X จะเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบโคชี ( ^μ / C , σ / C ) โดยที่C = μ² + σ²

ถ้าXเป็น ตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบ F ( ν ₁ , ν ₂ )แล้ว 1 / Xก็เป็น ตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบ F ( ν ₂ , ν ₁ ) เช่นกัน

ถ้าตัวแปรสุ่มมีการแจกแจงแบบทวินาม โดย มีจำนวนครั้งของการทดลองและความน่าจะเป็นของความสำเร็จแล้วจะไม่มีสูตรสำเร็จรูปสำหรับการแจกแจงแบบผกผัน อย่างไรก็ตาม เราสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยของการแจกแจงนี้ได้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle E\left[{\frac {1}{(1+X)}}\right]={\frac {1}{p(n+1)}}\left(1-(1-p)^{n+1}\right)}$

ทราบการประมาณค่าเชิงอะซิมโทติกสำหรับโมเมนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์กลางของการกระจายแบบผกผัน^{[ 7 ]}

${\displaystyle E[(1+X)^{a}]=O((np)^{-a})+o(n^{-a})}$

โดยที่ O() และ o() คือฟังก์ชันอันดับใหญ่และอันดับเล็กoและเป็นจำนวนจริง ${\displaystyle a}$

สำหรับการแจกแจงแบบสามเหลี่ยมที่มีขีดจำกัดล่างaขีดจำกัดบนbและฐานนิยมcโดยที่a  <  bและa  ≤  c  ≤  bค่าเฉลี่ยของส่วนกลับจะกำหนดโดย

${\displaystyle \mu ={\frac {2\left({\frac {a\,\mathrm {ln} \left({\frac {a}{c}}\right)}{ac}}+{\frac {b\,\mathrm {ln} \left({\frac {c}{b}}\right)}{bc}}\right)}{ab}}}$

และความแปรปรวนโดย

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2\left({\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {c}{a}}\right)}{ac}}+{\frac {\mathrm {ln} \left({\frac {b}{c}}\right)}{bc}}\right)}{ab}}-\mu ^{2}}$.

โมเมนต์ทั้งสองของส่วนกลับจะถูกกำหนดได้ก็ต่อเมื่อสามเหลี่ยมไม่ตัดผ่านศูนย์ กล่าวคือ เมื่อa , bและcเป็นค่าบวกทั้งหมดหรือค่าลบทั้งหมด

การแจกแจงผกผันอื่นๆ ได้แก่

การแจกแจงไคกำลังสองผกผัน

การแจกแจงแกมมาผกผัน

การแจกแจงแบบวิชาร์ตผกผัน

เมทริกซ์ผกผันการแจกแจงแกมมา

การแจกแจงผกผันถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในฐานะการแจกแจงเบื้องต้นในการอนุมานแบบเบย์เซียนสำหรับพารามิเตอร์มาตราส่วน

• ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก
• การแจกแจงอัตราส่วน
• การแจกแจงแบบต่างตอบแทนตนเอง