ในทางสถิติพีชคณิตของตัวแปรสุ่มให้กฎสำหรับการจัดการเชิงสัญลักษณ์ของตัวแปรสุ่มโดยหลีกเลี่ยงการเจาะลึกลงไปในแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนของทฤษฎีความน่าจะเป็น สัญลักษณ์ของมันช่วยให้สามารถจัดการกับผลรวม ผลคูณ อัตราส่วน และฟังก์ชันทั่วไปของตัวแปรสุ่มได้ เช่นเดียวกับการดำเนินการต่างๆ เช่น การหาการแจกแจงความน่าจะเป็นและ ค่า คาดหวัง (หรือค่าที่คาดหวัง) ความแปรปรวนและความแปรปรวนร่วมของการรวมกันดังกล่าว

โดยหลักการแล้วพีชคณิตพื้นฐานของตัวแปรสุ่มนั้นเทียบเท่ากับพีชคณิตพื้นฐานของตัวแปรที่ไม่สุ่ม (หรือตัวแปรเชิงกำหนด) ทั่วไป อย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นกับฟังก์ชันความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่ได้หลังจากดำเนินการทางพีชคณิตนั้นไม่ตรงไปตรงมา ดังนั้น พฤติกรรมของตัวดำเนินการต่างๆ ของฟังก์ชันความน่าจะเป็น เช่น ค่าคาดหวัง ความแปรปรวน ความแปรปรวนร่วม และโมเมนต์อาจแตกต่างจากที่สังเกตได้สำหรับตัวแปรสุ่มโดยใช้พีชคณิตเชิงสัญลักษณ์ เป็นไปได้ที่จะระบุหลักเกณฑ์สำคัญบางประการสำหรับตัวดำเนินการแต่ละตัว ซึ่งส่งผลให้เกิดพีชคณิตประเภทต่างๆ สำหรับตัวแปรสุ่ม นอกเหนือจากพีชคณิตเชิงสัญลักษณ์พื้นฐาน เช่น พีชคณิตค่าคาดหวัง พีชคณิตความแปรปรวน พีชคณิตความแปรปรวนร่วม พีชคณิตโมเมนต์ เป็นต้น

เมื่อพิจารณาตัวแปรสุ่มสองตัวคือและการดำเนินการทางพีชคณิตต่อไปนี้เป็นไปได้: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

• ส่วนที่เพิ่มเข้าไป :${\displaystyle Z=X+Y=Y+X}$
• การลบ :${\displaystyle Z=X-Y=-Y+X}$
• การคูณ :${\displaystyle Z=XY=YX}$
• การหาร : สมมติว่า, .${\displaystyle Y\neq 0}$${\displaystyle Z=X/Y=X\cdot (1/Y)=(1/Y)\cdot X}$
• การยกกำลัง :${\displaystyle Z=X^{Y}=e^{Y\ln(X)}}$

ในทุกกรณี ตัวแปรที่ได้จากการดำเนินการแต่ละครั้งก็จะเป็นตัวแปรสุ่มเช่นกัน คุณสมบัติ การสลับที่และการจัดกลุ่ม ทั้งหมด ของการดำเนินการทางพีชคณิตทั่วไปนั้นใช้ได้กับตัวแปรสุ่มด้วยเช่นกัน หากตัวแปรสุ่มใดถูกแทนที่ด้วยตัวแปรเชิงกำหนดหรือค่าคงที่ คุณสมบัติทั้งหมดข้างต้นก็ยังคงใช้ได้อยู่ ${\displaystyle Z}$

ค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่มที่ได้จากการดำเนินการทางพีชคณิตระหว่างตัวแปรสุ่มสองตัว สามารถคำนวณได้โดยใช้ชุดกฎต่อไปนี้: ${\displaystyle \operatorname {E} [Z]}$${\displaystyle Z}$

• ส่วนที่เพิ่มเข้าไป :${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\operatorname {E} [X+Y]=\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y]=\operatorname {E} [Y]+\operatorname {E} [X]}$
• การลบ :${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\operatorname {E} [X-Y]=\operatorname {E} [X]-\operatorname {E} [Y]=-\operatorname {E} [Y]+\operatorname {E} [X]}$
• การคูณ : โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าและเป็นอิสระต่อกันแล้ว:${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [YX]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} [Y]=\operatorname {E} [Y]\cdot \operatorname {E} [X]}$
• การหาร : . โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าและเป็นอิสระต่อกันแล้ว: .${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\operatorname {E} [X/Y]=\operatorname {E} [X\cdot (1/Y)]=\operatorname {E} [(1/Y)\cdot X]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {E} [X/Y]=\operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} [1/Y]=\operatorname {E} [1/Y]\cdot \operatorname {E} [X]}$
• การยกกำลัง :${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\operatorname {E} [X^{Y}]=\operatorname {E} [e^{Y\ln(X)}]}$

หากตัวแปรสุ่มใดๆ ถูกแทนที่ด้วยตัวแปรเชิงกำหนดหรือค่าคงที่ ( ) คุณสมบัติก่อนหน้านี้ยังคงใช้ได้ โดยพิจารณาว่าและดังนั้น ${\displaystyle k}$${\displaystyle \Pr(X=k)=1}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=k}$

ถ้ากำหนดให้ เป็นฟังก์ชันพีชคณิตที่ไม่เป็นเชิงเส้นทั่วไปของตัวแปรสุ่มแล้ว: ${\displaystyle Z}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\operatorname {E} [f(X)]\neq f(\operatorname {E} [X])}$$

ตัวอย่างของคุณสมบัตินี้ได้แก่:

• ${\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]\neq \operatorname {E} [X]^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [1/X]\neq 1/\operatorname {E} [X]}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [e^{X}]\neq e^{\operatorname {E} [X]}}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [\ln(X)]\neq \ln(\operatorname {E} [X])}$

ค่าคาดหวังที่แท้จริงของฟังก์ชันที่ไม่เป็นเชิงเส้นจะขึ้นอยู่กับการกระจายความน่าจะเป็นเฉพาะของตัวแปรสุ่มนั้น ${\displaystyle X}$

ค่าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มที่ได้จากการดำเนินการทางพีชคณิตระหว่างตัวแปรสุ่ม สามารถคำนวณได้โดยใช้ชุดกฎต่อไปนี้: ${\displaystyle \operatorname {Var} [Z]}$${\displaystyle Z}$

• เพิ่มเติม : โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าและเป็นอิสระต่อกันแล้ว:$${\displaystyle \operatorname {Var} [Z]=\operatorname {Var} [X+Y]=\operatorname {Var} [X]+2\operatorname {Cov} [X,Y]+\operatorname {Var} [Y].}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle \operatorname {Var} [X+Y]=\operatorname {Var} [X]+\operatorname {Var} [Y].}$$
• การลบ : โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าและเป็นอิสระต่อกันแล้ว: นั่นคือ สำหรับตัวแปรสุ่มอิสระค่าความแปรปรวนจะเท่ากันสำหรับการบวกและการลบ:$${\displaystyle \operatorname {Var} [Z]=\operatorname {Var} [X-Y]=\operatorname {Var} [X]-2\operatorname {Cov} [X,Y]+\operatorname {Var} [Y].}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle \operatorname {Var} [X-Y]=\operatorname {Var} [X]+\operatorname {Var} [Y].}$$$${\displaystyle \operatorname {Var} [X+Y]=\operatorname {Var} [X-Y]=\operatorname {Var} [Y-X]=\operatorname {Var} [-X-Y].}$$
• การคูณ : โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าและเป็นอิสระต่อกันแล้ว:$${\displaystyle \operatorname {Var} [Z]=\operatorname {Var} [XY]=\operatorname {Var} [YX].}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} [XY]&=\operatorname {E} [X^{2}]\cdot \operatorname {E} [Y^{2}]-{\left(\operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} [Y]\right)}^{2}\\[2pt]&=\operatorname {Var} [X]\cdot \operatorname {Var} [Y]+\operatorname {Var} [X]\cdot {\left(\operatorname {E} [Y]\right)}^{2}+\operatorname {Var} [Y]\cdot {\left(\operatorname {E} [X]\right)}^{2}.\end{aligned}}}$$
• การหาร : โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าและเป็นอิสระต่อกันแล้ว:$${\displaystyle \operatorname {Var} [Z]=\operatorname {Var} [X/Y]=\operatorname {Var} [X\cdot (1/Y)]=\operatorname {Var} [(1/Y)\cdot X].}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} [X/Y]&=\operatorname {E} [X^{2}]\cdot \operatorname {E} [1/Y^{2}]-{\left(\operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} [1/Y]\right)}^{2}\\[2pt]&=\operatorname {Var} [X]\cdot \operatorname {Var} [1/Y]+\operatorname {Var} [X]\cdot {\left(\operatorname {E} [1/Y]\right)}^{2}+\operatorname {Var} [1/Y]\cdot {\left(\operatorname {E} [X]\right)}^{2}.\end{aligned}}}$$
• การยกกำลัง :$${\displaystyle \operatorname {Var} [Z]=\operatorname {Var} [X^{Y}]=\operatorname {Var} [e^{Y\ln(X)}]}$$

โดยที่แทน ตัวดำเนินการความแปรปรวนร่วมระหว่างตัวแปรสุ่มและ${\displaystyle \operatorname {Cov} [X,Y]=\operatorname {Cov} [Y,X]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มสามารถแสดงได้โดยตรงในรูปของความแปรปรวนร่วม หรือในรูปของค่าคาดหวัง:

$${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {Cov} (X,X)=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}}$$

หากตัวแปรสุ่มใดๆ ถูกแทนที่ด้วยตัวแปรเชิงกำหนดหรือค่าคงที่ ( ) คุณสมบัติก่อนหน้านี้ยังคงใช้ได้ โดยพิจารณาว่าและ และกรณีพิเศษคือการบวกและการคูณตัวแปรสุ่มกับตัวแปรเชิงกำหนดหรือค่าคงที่ โดยที่: ${\displaystyle k}$${\displaystyle \Pr(X=k)=1}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=k}$${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=0}$${\displaystyle \operatorname {Cov} [Y,k]=0}$

• ${\displaystyle \operatorname {Var} [k+Y]=\operatorname {Var} [Y]}$
• ${\displaystyle \operatorname {Var} [kY]=k^{2}\operatorname {Var} [Y]}$

ถ้ากำหนดให้ เป็นฟังก์ชันพีชคณิตที่ไม่เป็นเชิงเส้นทั่วไปของตัวแปรสุ่มแล้ว: ${\displaystyle Z}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \operatorname {Var} [Z]=\operatorname {Var} [f(X)]\neq f(\operatorname {Var} [X])}$$

ค่าความแปรปรวนที่แท้จริงของฟังก์ชันที่ไม่เป็นเชิงเส้นจะขึ้นอยู่กับการกระจายความน่าจะเป็นเฉพาะของตัวแปรสุ่มนั้น ${\displaystyle X}$

ค่าความแปรปรวนร่วม ( ) ระหว่างตัวแปรสุ่มที่ได้จากการดำเนินการทางพีชคณิตและตัวแปรสุ่มสามารถคำนวณได้โดยใช้ชุดกฎต่อไปนี้: ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,X]}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$

• เพิ่มเติม : ถ้าและเป็นอิสระต่อกันแล้ว:$${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,X]=\operatorname {Cov} [X+Y,X]=\operatorname {Var} [X]+\operatorname {Cov} [X,Y].}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle \operatorname {Cov} [X+Y,X]=\operatorname {Var} [X].}$$
• การลบ : ถ้าและเป็นอิสระต่อกันแล้ว:$${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,X]=\operatorname {Cov} [X-Y,X]=\operatorname {Var} [X]-\operatorname {Cov} [X,Y].}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle \operatorname {Cov} [X-Y,X]=\operatorname {Var} [X].}$$
• การคูณ : ถ้าและเป็นอิสระต่อกันแล้ว:$${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,X]=\operatorname {Cov} [XY,X]=\operatorname {E} [X^{2}Y]-\operatorname {E} [XY]\operatorname {E} [X].}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle \operatorname {Cov} [XY,X]=\operatorname {Var} [X]\cdot \operatorname {E} [Y].}$$
• การหาร (ความแปรปรวนร่วมกับตัวเศษ): ถ้าและเป็นอิสระต่อกันแล้ว:$${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,X]=\operatorname {Cov} [X/Y,X]=\operatorname {E} [X^{2}/Y]-\operatorname {E} [X/Y]\operatorname {E} [X].}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle \operatorname {Cov} [X/Y,X]=\operatorname {Var} [X]\cdot \operatorname {E} [1/Y].}$$
• การหาร (ความแปรปรวนร่วมกับตัวหาร): ถ้าและเป็นอิสระต่อกันแล้ว:$${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,X]=\operatorname {Cov} [Y/X,X]=\operatorname {E} [Y]-\operatorname {E} [Y/X]\operatorname {E} [X].}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle \operatorname {Cov} [Y/X,X]=\operatorname {E} [Y]\cdot (1-\operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} [1/X]).}$$
• การยกกำลัง (ความแปรปรวนร่วมกับฐาน):$${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,X]=\operatorname {Cov} [X^{Y},X]=\operatorname {E} [X^{Y+1}]-\operatorname {E} [X^{Y}]\operatorname {E} [X].}$$
• การยกกำลัง (ความแปรปรวนร่วมโดยสัมพันธ์กับกำลัง):$${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,X]=\operatorname {Cov} [Y^{X},X]=\operatorname {E} [XY^{X}]-\operatorname {E} [Y^{X}]\operatorname {E} [X].}$$

ค่าความแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่มสามารถแสดงได้โดยตรงในรูปของค่าคาดหวัง:

$${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} [XY]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]}$$

หากตัวแปรสุ่มใดๆ ถูก แทนที่ด้วยตัวแปรเชิงกำหนดหรือค่าคงที่( )${\displaystyle k}$คุณสมบัติก่อนหน้านี้ยังคงใช้ได้ โดยพิจารณาว่าและ${\displaystyle \operatorname {E} [k]=k}$${\displaystyle \operatorname {Var} [k]=0}$${\displaystyle \operatorname {Cov} [X,k]=0}$

ถ้ากำหนดให้ เป็นฟังก์ชันพีชคณิตที่ไม่เป็นเชิงเส้นทั่วไปของตัวแปรสุ่มแล้ว: ${\displaystyle Z}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,X]=\operatorname {Cov} [f(X),X]=\operatorname {E} [Xf(X)]-\operatorname {E} [f(X)]\operatorname {E} [X]}$$

ค่าที่แน่นอนของความแปรปรวนร่วมของฟังก์ชันที่ไม่เป็นเชิงเส้นจะขึ้นอยู่กับการกระจายความน่าจะเป็นเฉพาะของตัวแปรสุ่มนั้น ${\displaystyle X}$

หากทราบค่าโมเมนต์ของตัวแปรสุ่มใดๆ (หรือสามารถหาได้โดยการอินทิเกรตหากทราบ ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น) ก็สามารถประมาณค่าคาดหวังของฟังก์ชันไม่เชิงเส้นทั่วไปใดๆ ได้โดยใช้การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ของค่าโมเมนต์ดังนี้: ${\displaystyle X}$${\displaystyle f(X)}$

$${\displaystyle f(X)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {d^{n}f}{dX^{n}}}\right)_{X=\mu }{\left(X-\mu \right)}^{n},}$$ค่าเฉลี่ยของ คือ. ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]}$${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [f(X)]&=\operatorname {E} \left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({d^{n}f \over dX^{n}}\right)_{X=\mu }{\left(X-\mu \right)}^{n}\right]\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {d^{n}f}{dX^{n}}}\right)_{X=\mu }\operatorname {E} \left[{\left(X-\mu \right)}^{n}\right]\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({d^{n}f \over dX^{n}}\right)_{X=\mu }\mu _{n}(X),\end{aligned}}}$$ โดยที่คือ โมเมนต์ลำดับที่ nของรอบค่าเฉลี่ยของมัน โปรดทราบว่าตามคำนิยามของพวกมันและพจน์อันดับแรกจะหายไปเสมอ แต่ถูกเก็บไว้เพื่อให้ได้สูตรสำเร็จรูป ${\displaystyle \mu _{n}(X)=\operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu _{0}(X)=1}$${\displaystyle \mu _{1}(X)=0}$

แล้ว,

$${\displaystyle \operatorname {E} [f(X)]\approx \sum _{n=0}^{n_{\max }}{\frac {1}{n!}}\left({\frac {d^{n}f}{dX^{n}}}\right)_{X=\mu }\mu _{n}(X),}$$ โดยที่การขยายอนุกรมเทย์เลอร์จะถูกตัดทอนหลังจากโมเมนต์ที่ -th ${\displaystyle n_{\max }}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มปกติ เป็นไปได้ที่จะได้รับการขยายอนุกรมเทย์เลอร์ในรูปของการแจกแจงปกติมาตรฐาน : ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle f(X)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\sigma ^{n}}{n!}}\left({\frac {d^{n}f}{dX^{n}}}\right)_{X=\mu }\mu _{n}(Z),}$$โดยที่เป็นตัวแปรสุ่มปกติ และ คือการแจกแจงปกติมาตรฐาน ดังนั้น ${\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle Z\sim N(0,1)}$

$${\displaystyle \operatorname {E} [f(X)]\approx \sum _{n=0}^{n_{\max }}{\sigma ^{n} \over n!}\left({d^{n}f \over dX^{n}}\right)_{X=\mu }\mu _{n}(Z),}$$โดยที่ค่าโมเมนต์ของการแจกแจงปกติมาตรฐานกำหนดโดย:

$${\displaystyle \mu _{n}(Z)={\begin{cases}\prod _{i=1}^{n/2}(2i-1),&{\text{if }}n{\text{ is even}}\\0,&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\end{cases}}}$$

ในทำนองเดียวกัน สำหรับตัวแปรสุ่มปกติ ก็สามารถประมาณค่าความแปรปรวนของฟังก์ชันที่ไม่เป็นเชิงเส้นได้โดยใช้การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ ดังนี้:

$${\displaystyle \operatorname {Var} [f(X)]\approx \sum _{n=1}^{n_{\max }}\left({\sigma ^{n} \over n!}\left({d^{n}f \over dX^{n}}\right)_{X=\mu }\right)^{2}\operatorname {Var} [Z^{n}]+\sum _{n=1}^{n_{\max }}\sum _{m\neq n}{\frac {\sigma ^{n+m}}{n!m!}}\left({d^{n}f \over dX^{n}}\right)_{X=\mu }\left({d^{m}f \over dX^{m}}\right)_{X=\mu }\operatorname {Cov} [Z^{n},Z^{m}],}$$ ที่ไหน และ $${\displaystyle \operatorname {Var} [Z^{n}]={\begin{cases}\prod _{i=1}^{n}(2i-1)-\prod _{i=1}^{n/2}(2i-1)^{2},&{\text{if }}n{\text{ is even}}\\\prod _{i=1}^{n}(2i-1),&{\text{if }}n{\text{ is odd}},\end{cases}}}$$$${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z^{n},Z^{m}]={\begin{cases}\prod _{i=1}^{(n+m)/2}(2i-1)-\prod _{i=1}^{n/2}(2i-1)\prod _{j=1}^{m/2}(2j-1),&{\text{if }}n{\text{ and }}m{\text{ are even}}\\\prod _{i=1}^{(n+m)/2}(2i-1),&{\text{if }}n{\text{ and }}m{\text{ are odd}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

ในการวางระบบสัจพจน์เชิงพีชคณิต ของทฤษฎีความน่าจะเป็นแนวคิดหลักไม่ได้อยู่ที่ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่เป็นความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มการแจกแจงความน่าจะเป็นถูกกำหนดโดยการกำหนดค่าคาดหวังให้กับตัวแปรสุ่มแต่ละตัวพื้นที่ที่วัดได้ และการวัดความน่าจะเป็นเกิดขึ้นจากตัวแปรสุ่มและค่าคาดหวังโดยอาศัย ทฤษฎีบท การแทนที่ รู้จักกันดีในทางวิเคราะห์ หนึ่งในคุณสมบัติที่สำคัญของวิธีการเชิงพีชคณิตคือ การแจกแจงความน่าจะเป็นที่มีมิติอนันต์นั้นไม่ได้ยากต่อการกำหนดรูปแบบมากกว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นที่มีมิติจำกัด

โดยทั่วไปแล้ว ตัวแปรสุ่มจะมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. ค่าคง ที่เชิงซ้อนคือค่าที่ เป็นไปได้ ของตัวแปรสุ่ม
2. ผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวก็คือตัวแปรสุ่มเช่นกัน
3. ผลคูณของตัวแปรสุ่มสองตัวก็คือตัวแปรสุ่มอีกตัวหนึ่ง
4. การบวกและการคูณของตัวแปรสุ่มต่างก็มีคุณสมบัติการสลับที่ได้และ
5. มีแนวคิดเรื่องการสังยุคของตัวแปรสุ่ม ซึ่งสอดคล้องกับ( XY ) ^* = Y ^* X ^*และX ^** = Xสำหรับตัวแปรสุ่มX , Y ทั้งหมด และจะตรงกับการสังยุคเชิงซ้อนหากXเป็นค่าคงที่

นี่หมายความว่าตัวแปรสุ่มก่อให้เกิดพีชคณิตเชิงสลับที่ซับซ้อน*-algebraถ้าX = X ^*แล้วตัวแปรสุ่มXเรียกว่า "ของจริง"

ค่าคาดหวังEบนพีชคณิตAของตัวแปรสุ่ม คือฟังก์ชันเชิง เส้นบวกแบบนอร์มาไลซ์ ซึ่งหมายความว่า

1. E[ k ] = kโดยที่kเป็นค่าคงที่
2. E[ X * ^X ] ≥ 0สำหรับตัวแปรสุ่มX ทั้งหมด
3. E[ X + Y ] = E[ X ] + E[ Y ]สำหรับตัวแปรสุ่มXและY ทั้งหมด และ
4. E[ kX ] = k E[ X ]ถ้าkเป็นค่าคงที่

เราอาจขยายโครงสร้างนี้ให้ครอบคลุมมากขึ้น โดยอนุญาตให้พีชคณิตไม่สลับที่ได้ ซึ่งนำไปสู่สาขาอื่นๆ ของความน่าจะเป็นที่ไม่สลับที่ได้ เช่นความน่าจะเป็นควอนตัมทฤษฎี เมทริกซ์สุ่มและความ น่าจะเป็นอิสระ

• ความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงความน่าจะเป็น
• การแจกแจงอัตราส่วน
  • การกระจายแบบคอชี
  • การแจกจ่ายแบบสแลช
• การกระจายผกผัน
• การจัดจำหน่ายผลิตภัณฑ์
• เมลลินแปลง
• ผลรวมของตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายแบบปกติ
• รายการคอนโวลูชันของการกระจายความน่าจะเป็น – การวัดความน่าจะเป็นของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระคือคอนโวลูชันของการวัดความน่าจะเป็นของตัวแปรเหล่านั้น
• กฎแห่งความคาดหวังโดยรวม
• กฎของความแปรปรวนรวม
• กฎของความแปรปรวนรวม
• กฎแห่งการสะสมรวมทั้งหมด
• การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์สำหรับโมเมนต์ของฟังก์ชันของตัวแปรสุ่ม
• วิธีเดลต้า

• Whittle, Peter (2000). ความน่าจะเป็นผ่านความคาดหวัง (ฉบับที่ 4). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: Springer. ISBN 978-0-387-98955-6สืบค้นข้อมูลเมื่อ วัน ที่24 กันยายน 2555
• สปริงเกอร์, เมลวิน เดล (1979). พีชคณิตของตัวแปรสุ่ม . ไวลีย์ . ISBN 0-471-01406-0สืบค้นข้อมูลเมื่อ วัน ที่24 กันยายน 2555
• "พีชคณิตการวัด" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]