ความน่าจะเป็นแบบอิสระเป็น ทฤษฎี ทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาตัวแปรสุ่มที่ไม่สลับที่กันได้ คุณสมบัติ "ความเป็นอิสระ" หรือความเป็นอิสระแบบอิสระนั้นเทียบได้กับแนวคิดเรื่องความเป็นอิสระ แบบดั้งเดิม และมีความเชื่อมโยงกับ ผล คูณ แบบอิสระ

ทฤษฎีนี้ริเริ่มโดยDan Voiculescuประมาณปี 1986 เพื่อแก้ปัญหาความเหมือนกันของตัวประกอบกลุ่มอิสระ ซึ่งเป็นปัญหาสำคัญที่ยังแก้ไม่ตกในทฤษฎีพีชคณิตตัวดำเนินการเมื่อกำหนดกลุ่มอิสระบนตัวสร้างจำนวนหนึ่ง เราสามารถพิจารณาพีชคณิต von Neumannที่สร้างขึ้นโดยพีชคณิตกลุ่มซึ่งเป็นตัวประกอบ ประเภท II ₁ ปัญหาความเหมือนกันนี้ถามว่าสิ่งเหล่านี้เหมือนกัน หรือ ไม่สำหรับจำนวนตัวสร้างที่ต่างกัน แม้แต่ยังไม่รู้ว่าตัวประกอบกลุ่มอิสระสองตัวใด ๆ เหมือนกันหรือไม่ นี่คล้ายกับปัญหาของกลุ่มอิสระของ Tarskiซึ่งถามว่ากลุ่มอิสระที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดแบบไม่สลับที่สองกลุ่มที่แตกต่างกันมีทฤษฎีพื้นฐานเดียวกันหรือไม่

ต่อมาได้มีการสร้างความเชื่อมโยงกับทฤษฎีเมทริกซ์สุ่ม คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง การแทนกลุ่มสมมาตรความเบี่ยงเบนขนาดใหญ่ทฤษฎีสารสนเทศควอนตัมและทฤษฎีอื่นๆ ปัจจุบันความน่าจะเป็นอิสระกำลังอยู่ระหว่างการวิจัยอย่างจริงจัง

โดยทั่วไปตัวแปรสุ่มจะอยู่ในพีชคณิตเอกลักษณ์Aเช่นพีชคณิต C*หรือพีชคณิตฟอนนอยมันน์พีชคณิตนี้มาพร้อมกับค่าคาดหวังที่ไม่สลับที่กันซึ่งเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น φ: A → Cโดยที่ φ(1) = 1 พีชคณิตย่อยเอกลักษณ์A ₁ , ..., A _mจะเรียกว่าเป็นอิสระอย่างอิสระหากค่าคาดหวังของผลคูณa ₁ ... a _nเป็นศูนย์เมื่อใดก็ตามที่a _j แต่ละตัว มีค่าคาดหวังเป็นศูนย์ อยู่ในA _kไม่มีa _j ที่อยู่ติดกันมาจากพีชคณิตย่อย A _kเดียวกันและnไม่เป็นศูนย์ ตัวแปรสุ่มจะเป็นอิสระอย่างอิสระหากพวกมันสร้างพีชคณิตย่อยเอกลักษณ์ที่เป็นอิสระอย่างอิสระ

หนึ่งในเป้าหมายของทฤษฎีความน่าจะเป็นอิสระ (ซึ่งยังไม่สำเร็จ) คือการสร้างค่าคงที่ ใหม่ ของพีชคณิตฟอนนอยมันน์และมิติอิสระถือเป็นตัวเลือกที่เหมาะสมสำหรับค่าคงที่ดังกล่าว เครื่องมือหลักที่ใช้ในการสร้างมิติอิสระคือเอนโทรปีอิสระ

ความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นอิสระกับเมทริกซ์สุ่มเป็นเหตุผลสำคัญที่ทำให้ความน่าจะเป็นอิสระถูกนำไปใช้อย่างกว้างขวางในสาขาวิชาอื่นๆ โวอิคูเลสคูได้นำเสนอแนวคิดเรื่องความเป็นอิสระราวปี 1983 ในบริบทของพีชคณิตตัวดำเนินการ ในตอนแรกนั้นไม่มีความสัมพันธ์ใดๆ กับเมทริกซ์สุ่มเลย ความเชื่อมโยงนี้เพิ่งถูกเปิดเผยในภายหลังในปี 1991 โดยโวอิคูเลสคูเอง เขาได้รับแรงบันดาลใจจากข้อเท็จจริงที่ว่าการแจกแจงลิมิตที่เขาค้นพบในทฤษฎีบทลิมิตกลางอิสระของเขานั้นเคยปรากฏมาก่อนในกฎครึ่งวงกลมของวิกเนอร์ในบริบทของเมทริกซ์สุ่ม

ฟังก์ชันคูมูลันต์อิสระ (แนะนำโดยRoland Speicher ) ^{[ 1 ]}มีบทบาทสำคัญในทฤษฎี เกี่ยวข้องกับแลตทิซของพาร์ติชันที่ไม่ตัดกันของเซต { 1, ..., n } ในลักษณะเดียวกับที่ฟังก์ชันคูมูลันต์แบบคลาสสิกเกี่ยวข้องกับแลตทิซของพาร์ติชันทั้งหมด ของเซตนั้น

• เมทริกซ์สุ่ม
• การกระจายครึ่งวงกลมของวิกเนอร์
• กฎวงกลม
• การคอนโวลูชันแบบอิสระ

• Voiculescu ได้รับรางวัล NAS สาขาคณิตศาสตร์ซึ่งมีคำอธิบายที่อ่านง่ายเกี่ยวกับความน่าจะเป็นอิสระ
• RMTool — เครื่องคำนวณความน่าจะเป็นฟรีที่พัฒนาด้วย MATLAB