การสังเคราะห์แบบอิสระเป็น อนาล็อก ความน่าจะเป็นแบบอิสระของแนวคิดคลาสสิกของการสังเคราะห์ของการวัดความน่าจะเป็นเนื่องจากธรรมชาติที่ไม่สลับที่ของทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบอิสระ จึงต้องพูดถึงการสังเคราะห์แบบอิสระแบบบวกและแบบคูณแยกกัน ซึ่งเกิดขึ้นจากการบวกและการคูณของตัวแปรสุ่มแบบอิสระ (ดูด้านล่าง ในกรณีคลาสสิก สิ่งที่จะเป็นอนาล็อกของการสังเคราะห์แบบคูณแบบอิสระสามารถลดรูปเป็นการสังเคราะห์แบบบวกได้โดยการเปลี่ยนไปใช้ลอการิทึมของตัวแปรสุ่ม) การดำเนินการเหล่านี้มีการตีความบางอย่างในแง่ของการวัดสเปกตรัมเชิงประจักษ์ของเมทริกซ์สุ่ม^{[ 1 ]}

แนวคิดของการสังเคราะห์แบบอิสระได้รับการแนะนำโดยDan-Virgil Voiculescu ^{[ 2 ] [ 3 ]}

ให้และเป็นมาตรวัดความน่าจะเป็นสองแบบบนเส้นจำนวนจริง และสมมติว่าเป็นตัวแปรสุ่มในปริภูมิความน่าจะ เป็นแบบไม่สลับที่กัน ที่มีกฎและเป็นตัวแปรสุ่มในปริภูมิความน่าจะเป็นแบบไม่สลับที่กันเดียวกันที่มีกฎสุดท้าย สมมติว่าและเป็นอิสระต่อกันอย่างอิสระดังนั้นการสังเคราะห์แบบบวก อิสระ คือ กฎของ การ ตีความเมทริกซ์สุ่ม : ถ้าและเป็นเมทริกซ์สุ่มแบบเฮอร์มิเชียน (หรือเมทริกซ์สมมาตรจริง) ที่เป็นอิสระต่อกันอย่างน้อยหนึ่งเมทริกซ์นั้นไม่เปลี่ยนแปลงตามกฎ ภายใต้การผันโดยเมทริกซ์เอกภาพ (หรือเมทริกซ์ตั้งฉาก) ใดๆ และมาตรวัดสเปกตรัมเชิงประจักษ์ของและมีแนวโน้มไปสู่​​และ ตามลำดับ เมื่อมีแนวโน้มเข้าสู่อนันต์ ดังนั้น มาตรวัดสเปกตรัมเชิงประจักษ์ของมีแนวโน้มไปสู่^{​​[ 4 ]}${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$${\displaystyle X+Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle n}$${\displaystyle A+B}$${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$

ใน หลายกรณี สามารถคำนวณค่าความน่าจะเป็นได้อย่างชัดเจนโดยใช้เทคนิคการวิเคราะห์เชิงซ้อนและการแปลง Rของค่าต่างๆ${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$

มีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่แม่นยำระหว่างการสังเคราะห์อิสระและการสังเคราะห์แบบคลาสสิกของการวัดความน่าจะเป็นที่รองรับแบบกระชับ: ความคาดหวังของการสังเคราะห์อิสระ มีค่าสูงสุดเท่ากับความคาดหวังของการสังเคราะห์แบบคลาสสิก หากอนุพันธ์อันดับสี่ของมีค่าไม่เป็นลบ การที่อนุพันธ์อันดับสี่มีค่าไม่เป็นลบยังเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการเปรียบเทียบที่จะเป็นจริงสำหรับการวัดความน่าจะเป็นที่รองรับแบบกระชับทั้งหมด^{[ 5 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle \mu \boxplus \nu }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$

การสังเคราะห์แบบบวกอิสระรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ที่มีอัตราส่วน) ได้รับการกำหนดไว้ในกรอบความน่าจะเป็นแบบไม่สลับที่โดย Benaych-Georges ^{[ 6 ]}และยอมรับ การตีความ เมทริกซ์สุ่ม ดังต่อไปนี้ สำหรับ, สำหรับ และเป็นเมทริกซ์สุ่มเชิงซ้อน (หรือเชิงจริง) ที่เป็นอิสระต่อกันโดยที่อย่างน้อยหนึ่งเมทริกซ์นั้นไม่เปลี่ยนแปลงตามกฎภายใต้การคูณทางซ้ายและทางขวาด้วยเมทริกซ์เอกภาพ (หรือเมทริกซ์ตั้งฉาก) ใดๆ และการกระจายค่าเอกพจน์เชิงประจักษ์ของและมีแนวโน้มไปสู่​​และ ตามลำดับ เมื่อและมีแนวโน้มไปสู่อนันต์ในลักษณะที่มีแนวโน้มไปสู่​​แล้วการกระจายค่าเอกพจน์เชิงประจักษ์ของมีแนวโน้มไปสู่^{​​[ 7 ]}${\displaystyle c}$${\displaystyle \boxplus _{c}}$${\displaystyle c\in [0,1]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n/p}$${\displaystyle c}$${\displaystyle A+B}$${\displaystyle \mu \boxplus _{c}\nu }$

ในหลายกรณี สามารถคำนวณค่าความน่าจะเป็นได้อย่างชัดเจนโดยใช้เทคนิคการวิเคราะห์เชิงซ้อนและการแปลง R แบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยใช้สัดส่วนของ ค่าต่างๆ${\displaystyle \mu \boxplus _{c}\nu }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$

ให้และเป็นมาตรวัดความน่าจะเป็นสองแบบบนช่วงและสมมติว่าเป็นตัวแปรสุ่มในปริภูมิความน่าจะเป็นแบบไม่สลับที่กันที่มีกฎและเป็นตัวแปรสุ่มในปริภูมิความน่าจะเป็นแบบไม่สลับที่กันเดียวกันที่มีกฎสุดท้าย สมมติว่าและเป็นอิสระต่อกันอย่างอิสระดังนั้นการสังเคราะห์แบบคูณอิสระคือ กฎของ(หรือเทียบเท่ากับ กฎของ) การตีความ เมทริกซ์สุ่ม : ถ้าและเป็นเมทริกซ์สุ่มเฮอร์มิเชียนที่ไม่เป็นลบ (หรือเมทริกซ์สมมาตรจริง) ที่เป็นอิสระต่อกันโดยที่อย่างน้อยหนึ่งเมทริกซ์นั้นไม่เปลี่ยนแปลงตามกฎ ภายใต้การผันโดยเมทริกซ์เอกภาพ (หรือเมทริกซ์ตั้งฉาก) ใดๆ และมาตรวัดสเปกตรัมเชิงประจักษ์ของและมีแนวโน้มไปสู่​​และ ตามลำดับ เมื่อมีแนวโน้มเข้าสู่อนันต์ แล้วมาตรวัดสเปกตรัมเชิงประจักษ์ของมีแนวโน้มไปสู่^{​​[ 8 ]}${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle [0,+\infty )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mu \boxtimes \nu }$${\displaystyle X^{1/2}YX^{1/2}}$${\displaystyle Y^{1/2}XY^{1/2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle n}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle \mu \boxtimes \nu }$

สามารถกำหนดนิยามที่คล้ายกันได้ในกรณีของกฎที่รองรับบนวงกลมหน่วย โดยมี การตีความเป็น เมทริกซ์สุ่มเชิงตั้งฉากหรือเชิงเอกภาพ${\displaystyle \mu ,\nu }$${\displaystyle \{z:|z|=1\}}$

การคำนวณคอนโวลูชันแบบอิสระเชิงคูณอย่างชัดเจน สามารถทำได้โดยใช้เทคนิคการวิเคราะห์เชิงซ้อนและการแปลง S

• สามารถใช้การสังเคราะห์แบบอิสระเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางแบบ อิสระ ได้
• การสังเคราะห์แบบอิสระ (Free convolution) สามารถนำมาใช้คำนวณกฎและสเปกตรัมของผลรวมหรือผลคูณของตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระได้ ตัวอย่างเช่น ตัวดำเนิน การเดินสุ่มบนกลุ่มอิสระ (มาตรวัดเคสเทน) และการแจกแจงเชิงอะซิมโทติกของค่าลักษณะเฉพาะของผลรวมหรือผลคูณของเมทริกซ์สุ่มอิสระ

ด้วยการประยุกต์ใช้กับเมทริกซ์สุ่ม การสังเคราะห์แบบอิสระจึงมีความเชื่อมโยงอย่างมากกับงานอื่นๆ เกี่ยวกับการประมาณค่า G ของ Girko

การประยุกต์ใช้ในด้านการสื่อสารไร้สายการเงินและชีววิทยาได้ให้กรอบการทำงานที่เป็นประโยชน์เมื่อจำนวนการสังเกตมีขนาดใกล้เคียงกับมิติของระบบ

• การคอนโวลูชัน
• ความน่าจะเป็นอิสระ
• เมทริกซ์สุ่ม

• เก้าอี้ Alcatel Lucent บนวิทยุแบบยืดหยุ่น
• http://www.cmapx.polytechnique.fr/~benaych
• http://folk.uio.no/oyvindry
• บทความสำรวจของ Roland Speicher เกี่ยวกับความน่าจะเป็นอิสระ