ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะทฤษฎีเซตผลคูณคาร์ทีเซียน ของ เซต สอง เซต AและBซึ่งเขียนแทนด้วยA × Bคือเซตของคู่ลำดับ ทั้งหมด ( a , b )โดยที่aเป็นสมาชิกของAและbเป็นสมาชิกของB ^{[ 1} ] ในแง่ของสัญกรณ์การสร้างเซตนั่น ^{คือ[ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\ {\mbox{ และ }}\ b\in B\}.}$$

สามารถสร้างตารางได้โดยการนำผลคูณคาร์ทีเซียนของชุดแถวและชุดคอลัมน์ หากนำผลคูณคาร์ทีเซียน^ของแถว × คอลัมน์มาใช้ เซลล์ของตารางจะมีคู่ลำดับในรูปแบบ(ค่าแถว, ค่าคอลัมน์) [ ^{4 ]}

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถกำหนดผลคูณคาร์ทีเซียนของ เซต nเซต หรือที่เรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนn เท่า ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วย อาร์เรย์ nมิติ โดยที่แต่ละองค์ประกอบเป็นทูเปิล n ตัวคู่ลำดับเป็นทูเปิล 2 ตัว หรือคู่โดยทั่วไปแล้ว เรายังสามารถกำหนดผลคูณคาร์ทีเซียนของ กลุ่ม เซต ที่มีดัชนีได้ อีกด้วย

ผลคาร์ทีเซียนตั้งชื่อตามเรเน่ เดส์การ์ต [ ^{5 ]}ซึ่งการกำหนดเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ของเขา ก่อให้เกิดแนวคิดนี้ ซึ่งได้รับการขยายความทั่วไปเพิ่มเติมในแง่ของผล ^คูณโดยตรง

นิยามที่เข้มงวดของผลคูณคาร์ทีเซียนต้องระบุโดเมนในสัญกรณ์การสร้างเซตในกรณีนี้ โดเมนจะต้องมีผลคูณคาร์ทีเซียนอยู่ด้วย สำหรับการกำหนดผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตและโดยใช้นิยามทั่วไปของ Kuratowskiสำหรับคู่เป็นโดเมนที่เหมาะสมคือเซตโดยที่หมายถึงเซตกำลังจากนั้นผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตและจะถูกกำหนดเป็น^{[ 6 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle \{\{a\},\{a,b\}\}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A\cup B))}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle A\times B=\{x\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A\cup B))\mid \exists a\in A\ \exists b\in B:x=(a,b)\}.}$$

ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคือ สำรับ ไพ่มาตรฐาน 52 ใบ ลำดับ ของไพ่มาตรฐาน {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} ประกอบเป็นเซตที่มี 13 สมาชิก ส่วนดอกไพ่{♠, ♥ , ♦ , ♣ } ประกอบเป็นเซตที่มี 4 สมาชิก ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตเหล่านี้จะได้เซตที่มี 52 สมาชิก ซึ่งประกอบด้วยคู่ลำดับ 52 คู่ที่สอดคล้องกับไพ่ทั้ง 52 ใบที่เป็นไปได้

ฟังก์ชัน Ranks × Suitsจะส่งคืนเซตในรูปแบบ {(A, ♠), (A,  ♥ ), (A,  ♦ ), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2,  ♥ ), (2,  ♦ ), (2, ♣)}

Suits × Ranksจะส่งคืนเซตในรูปแบบ {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}

เซตทั้งสองนี้แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง แม้กระทั่งแยกจากกันแต่มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อ หนึ่งตามธรรมชาติ ระหว่างกัน โดยที่ (3, ♣) จะสอดคล้องกับ (♣, 3) และอื่นๆ

ตัวอย่างทางประวัติศาสตร์ที่สำคัญคือระนาบคาร์ทีเซียนในเรขาคณิตวิเคราะห์เพื่อที่จะแทนรูปทรงเรขาคณิตในรูปแบบตัวเลข และดึงข้อมูลตัวเลขจากการแสดงรูปทรงในรูปแบบตัวเลขเรเน่ เดส์การ์ตส์ได้กำหนดคู่ของจำนวนจริง ให้กับแต่ละจุดบนระนาบ ซึ่งเรียกว่าพิกัดโดยปกติแล้ว ส่วนประกอบแรกและส่วนประกอบที่สองของคู่ดังกล่าวจะเรียกว่า พิกัด xและyตามลำดับ (ดูภาพ) ดังนั้น เซตของคู่ดังกล่าวทั้งหมด (เช่น ผลคูณคาร์ทีเซียนโดยที่แทนจำนวนจริง) จึงถูกกำหนดให้กับเซตของจุดทั้งหมดบนระนาบ^{[ 7 ]}${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

นิยามอย่างเป็นทางการของผลคูณคาร์ทีเซียนจาก หลักการ ทางทฤษฎีเซตนั้นได้มาจากนิยามของคู่ลำดับ นิยามที่พบได้บ่อยที่สุดของคู่ลำดับคือนิยามของ Kuratowski ซึ่งคือ ภายใต้นิยามนี้เป็นสมาชิกของและเป็นเซตย่อยของเซตนั้น โดยที่แทน ตัวดำเนินการ เซตกำลังดังนั้น การมีอยู่ของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซตใดๆ ในZFCจึงเป็นผลมาจากสัจพจน์ของการจับคู่ การรวมกันเซตกำลังและการกำหนดเนื่องจากฟังก์ชันมักถูกนิยามเป็นกรณีพิเศษของความสัมพันธ์ และความสัมพันธ์มักถูกนิยามเป็นเซตย่อยของผลคูณคาร์ที เซียนดังนั้น นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตจึงจำเป็นต้องมาก่อนนิยามอื่นๆ ส่วนใหญ่ ${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

ให้A , BและCเป็นเซต

ผลคูณคาร์ทีเซียนA × Bไม่เป็นไปตามกฎการสลับที่ [ ^{4 ] เนื่องจาก} คู่ลำดับจะกลับด้าน เว้นแต่จะตรงตามเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งข้อต่อไปนี้: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle A\times B\neq B\times A,}$$

• Aเท่ากับBหรือ
• AหรือBเป็นเซตว่าง

ตัวอย่างเช่น:

A = {1,2} ; B = {3,4}

A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

A = B = {1,2}

A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

A = {1,2}; B = ∅

A × B = {1,2} × ∅ = ∅

B × A = ∅ × {1,2} = ∅

ตามหลักแล้ว ผลคูณคาร์ทีเซียนไม่มีคุณสมบัติการสลับที่ (เว้นแต่ว่าเซตใดเซตหนึ่งที่เกี่ยวข้องจะเป็นเซตว่าง) ตัวอย่าง เช่น ถ้าA = {1}แล้ว( A × A ) × A = {((1, 1), 1)} ≠ {(1, (1, 1))} = A × ( A × A )$${\displaystyle (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)}$$

ชุดตัวอย่าง

A = [1,4], B = [2,5], และ C = [4,7]ซึ่งแสดงให้เห็นว่าA × ( B ∩ C )= (เอ × บี) ∩ (เอ × ซี) , A × ( B ∪ C ) = (เอ × บี) ∪ (เอ × ซี) , และ

A × ( B \ C ) = (เอ × บี) \ (เอ × ซี)

ชุดตัวอย่าง

A = [2,5], B = [3,7], C = [1,3], D = [2,4]แสดงให้เห็นว่า

( A ∩ B ) × ( C ∩ D )= (เอ × ซี) ∩ (บี × ดี) .

( A ∪ B ) × ( C ∪ D )≠ (เอ × ซี) ∪ (บี × ดี)สามารถเห็นได้จากตัวอย่างเดียวกัน

ผลคูณคาร์ทีเซียนมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้เกี่ยวกับจุดตัด (ดูภาพตรงกลาง) $${\displaystyle (A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)}$$

โดยส่วนใหญ่แล้ว ข้อความข้างต้นจะไม่เป็นความจริง หากเราแทนที่การตัดกันด้วยการรวมกัน (ดูภาพขวาสุด) $${\displaystyle (A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D)}$$

อันที่จริง เรามีสิ่งนี้: $${\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]}$$

สำหรับผลต่างของเซต เรายังมีเอกลักษณ์ต่อไปนี้: $${\displaystyle (A\times C)\setminus (B\times D)=[A\times (C\setminus D)]\cup [(A\setminus B)\times C]}$$

ต่อไปนี้เป็นกฎบางข้อที่แสดงให้เห็นถึงการกระจายตัวกับตัว ดำเนิน การอื่น ๆ (ดูภาพซ้ายสุด): ^{[ 8 ]} โดยที่หมายถึงส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ของA$${\displaystyle {\begin{aligned}A\times (B\cap C)&=(A\times B)\cap (A\times C),\\A\times (B\cup C)&=(A\times B)\cup (A\times C),\\A\times (B\setminus C)&=(A\times B)\setminus (A\times C),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle (A\times B)^{\complement }=\left(A^{\complement }\times B^{\complement }\right)\cup \left(A^{\complement }\times B\right)\cup \left(A\times B^{\complement }\right)\!,}$$${\displaystyle A^{\complement }}$

คุณสมบัติอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับเซตย่อยได้แก่:

$${\displaystyle {\text{if }}A\subseteq B{\text{, then }}A\times C\subseteq B\times C;}$$

$${\displaystyle {\text{if both }}A,B\neq \emptyset {\text{, then }}A\times B\subseteq C\times D\!\iff \!A\subseteq C{\text{ and }}B\subseteq D.}$$^{[ 9 ]}

จำนวนสมาชิกของเซต คือ จำนวนสมาชิกของเซตนั้น ตัวอย่างเช่น สมมติให้เซตสองเซตคือA = {a, b}และB = {5, 6}ทั้งเซตAและเซตB ประกอบด้วยสมาชิกสองตัว ผลคูณ คาร์ทีเซียนของทั้งสองเซต เขียนแทนด้วยA × Bจะได้เซตใหม่ที่มีสมาชิกดังต่อไปนี้:

A × B = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6) }

โดยที่แต่ละองค์ประกอบของAจะจับคู่กับแต่ละองค์ประกอบของBและแต่ละคู่จะประกอบเป็นหนึ่งองค์ประกอบของเซตผลลัพธ์ จำนวนค่าในแต่ละองค์ประกอบของเซตผลลัพธ์จะเท่ากับจำนวนเซตที่นำผลคูณคาร์ทีเซียนมาใช้ ซึ่งในกรณีนี้คือ 2 เซต จำนวนสมาชิกของเซตผลลัพธ์จะเท่ากับผลคูณของจำนวนสมาชิกของเซตอินพุตทั้งหมด นั่นคือ

| A × B | = | A | · | B | . ^{[ 4 ]}

ในกรณีนี้| A × B | = 4

ในทำนองเดียวกัน

| A × B × C | = | A | · | B | · | C |

และอื่นๆ

เซตA × Bเป็นเซตอนันต์ก็ต่อเมื่อAหรือBเป็นเซตอนันต์ และเซตอีกเซตหนึ่งไม่ใช่เซตว่าง^{[ 10 ]}

ผลคูณคาร์ทีเซียนสามารถขยายความทั่วไปเป็น ผลคูณคาร์ทีเซียนแบบ nตัวแปรเหนือ เซต nเซตX ₁ , ..., X _nได้ดังเซต $${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{i}\in X_{i}\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$$

ของn -tupleถ้า tuple ถูกนิยามว่าเป็นคู่ลำดับที่ซ้อนกันมันสามารถระบุได้ด้วย( X ₁ × ... × X _{n −1} ) × X _nถ้า tuple ถูกนิยามว่าเป็นฟังก์ชันบน{1, 2, ..., n } ที่มีค่าที่iเป็น องค์ประกอบที่ iของ tuple แล้ว ผลคูณคาร์ทีเซียนX ₁ × ... × X _nคือเซตของฟังก์ชัน $${\displaystyle \{x:\{1,\ldots ,n\}\to X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}\ |\ x(i)\in X_{i}\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}.}$$

ตารางคาร์ทีเซียนของเซตXคือผลคูณคาร์ทีเซียนX² = X × Xตัวอย่างเช่นระนาบ 2 มิติ R² = R × Rโดยที่Rคือเซตของ^{จำนวน}จริง : ^{[ 1 ]} R²คือเซตของจุดทั้งหมด( ^x , y )โดยที่xและyเป็นจำนวนจริง (ดู^ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน )

กำลังคาร์ทีเซียนที่ n ของเซต X ซึ่งเขียนแทนด้วยสามารถนิยามได้ดังนี้ ${\displaystyle X^{n}}$$${\displaystyle X^{n}=\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} _{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{i}\in X\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}.}$$

ตัวอย่างหนึ่งของสิ่งนี้คือR ³ = R × R × Rโดยที่R อีกครั้ง คือ เซตของจำนวนจริง^{[ 1 ]}และโดยทั่วไปR ⁿ

กำลัง คาร์ทีเซียน ที่ nของเซตXอาจระบุได้ว่าเป็นเซตของฟังก์ชันที่แมปn -tupleของสมาชิกในX ไป ยัง Xในกรณีพิเศษ กำลังคาร์ทีเซียนที่ 0 ของXคือเซตที่มีสมาชิกเดียว คือ เซตที่มีฟังก์ชันว่างโดยมีโดเมนร่วม คือ Xเป็นสมาชิกเพียงหนึ่งเดียว

ให้ผลคูณคาร์ทีเซียนเป็น และแล้ว ${\displaystyle A=A_{1}\times \dots \times A_{n}}$${\displaystyle B=B_{1}\times \dots \times B_{n}}$

1. ${\displaystyle A\subseteq B}$ถ้าและเฉพาะเมื่อสำหรับทั้งหมด; ^{[ 11 ]}${\displaystyle A_{i}\subseteq B_{i}}$${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$
2. ${\displaystyle A\cap B=(A_{1}\cap B_{1})\times \dots \times (A_{n}\cap B_{n})}$ในขณะเดียวกัน หากมีอย่างน้อยหนึ่งตัวที่แล้ว; ^{[ 11 ]}${\displaystyle i}$${\displaystyle A_{i}\cap B_{i}=\varnothing }$${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$
3. ${\displaystyle A\cup B\subseteq (A_{1}\cup B_{1})\times \dots \times (A_{n}\cup B_{n})}$ยิ่งไปกว่านั้น ความเท่าเทียมกันเป็นไปได้เฉพาะในกรณีต่อไปนี้: ^{[ 12 ]}
   1. ${\displaystyle A\subseteq B}$หรือ;${\displaystyle B\subseteq A}$
   2. สำหรับทุก ๆ คนยกเว้นหนึ่งคนจาก.${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n\quad A_{i}=B_{i}\quad }$${\displaystyle i}$
4. ส่วนเติมเต็มของผลคูณคาร์ทีเซียนสามารถคำนวณได้^{[ 12 ]}หากมีการกำหนด เอกภพ เพื่อลด ความซับซ้อนของนิพจน์ เราจึงแนะนำสัญลักษณ์ต่อไปนี้ ให้เรากำหนดผลคูณคาร์ทีเซียนเป็นทูเปิลที่ล้อมรอบด้วยวงเล็บเหลี่ยม ทูเปิลนี้ประกอบด้วยเซตที่สร้างผลคูณคาร์ทีเซียนขึ้นมา เช่น:${\displaystyle A=A_{1}\times \dots \times A_{n}}$${\displaystyle U=X_{1}\times \dots \times X_{n}}$

${\displaystyle A=A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n}=[A_{1}\quad A_{2}\quad \dots \quad A_{n}]}$.

ในพีชคณิต n-tuple (NTA) ^{[ 12 ]}การแสดงผลคูณคาร์ทีเซียนในลักษณะคล้ายเมทริกซ์เรียกว่าCn- tuple

ด้วยเหตุนี้ การรวมกันของผลคูณคาร์ทีเซียนบางส่วนที่อยู่ในเอกภพเดียวกัน สามารถแสดงได้ในรูปเมทริกซ์ที่ล้อมรอบด้วยวงเล็บเหลี่ยม โดยที่แถวต่างๆ แทนผลคูณคาร์ทีเซียนที่เกี่ยวข้องในการรวมกันนั้น:

${\displaystyle A\cup B=(A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n})\cup (B_{1}\times B_{2}\times \dots \times B_{n})=\left[{\begin{array}{cccc}A_{1}&A_{2}&\dots &A_{n}\\B_{1}&B_{2}&\dots &B_{n}\end{array}}\right]}$.

โครงสร้างดังกล่าวเรียกว่าระบบ Cใน NTA

ดังนั้น ส่วนเติมเต็มของผลคูณคาร์ทีเซียนจะมีลักษณะดัง ระบบ C ต่อไปนี้ ซึ่งแสดงเป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ: ${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle A^{\complement }=\left[{\begin{array}{ccccc}A_{1}^{\complement }&X_{2}&\dots &X_{n-1}&X_{n}\\X_{1}&A_{2}^{\complement }&\dots &X_{n-1}&X_{n}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\X_{1}&X_{2}&\dots &A_{n-1}^{\complement }&X_{n}\\X_{1}&X_{2}&\dots &X_{n-1}&A_{n}^{\complement }\end{array}}\right]}$.

ส่วนประกอบแนวทแยงของเมทริกซ์นี้มีค่าเท่ากับ ตามลำดับ ${\displaystyle A_{i}^{\complement }}$${\displaystyle X_{i}\setminus A_{i}}$

ใน NTA ระบบC แนวทแยง ซึ่งแสดงถึงส่วนเติมเต็มของCn -tuple สามารถเขียนได้อย่างกระชับในรูปของ tuple ของส่วนประกอบแนวทแยงที่ล้อมรอบด้วยวงเล็บเหลี่ยมกลับหัว: ${\displaystyle A^{\complement }}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{\complement }=]A_{1}^{\complement }\quad A_{2}^{\complement }\quad \dots \quad A_{n}^{\complement }[}$.

โครงสร้างนี้เรียกว่าDn-tupleส่วนเติมเต็มของระบบCคือโครงสร้างที่แสดงด้วยเมทริกซ์ที่มีมิติเดียวกันและล้อมรอบด้วยวงเล็บเหลี่ยมกลับหัว ซึ่งส่วนประกอบทั้งหมดเท่ากับส่วนเติมเต็มของส่วนประกอบของเมทริกซ์เริ่มต้นโครงสร้างดังกล่าวเรียกว่า ระบบ Dและจะคำนวณได้หากจำเป็น โดยการหาจุดตัดของDn -tuple ที่อยู่ในนั้น ตัวอย่างเช่น หากกำหนดระบบ C ดังต่อไปนี้:${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{\complement }}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle R_{1}=\left[{\begin{array}{cccc}A_{1}&A_{2}&\dots &A_{n}\\B_{1}&B_{2}&\dots &B_{n}\end{array}}\right]}$,

ดังนั้นส่วนเติมเต็มของมันจะเป็นระบบ D

${\displaystyle R_{1}^{\complement }=\left]{\begin{array}{cccc}A_{1}^{\complement }&A_{2}^{\complement }&\dots &A_{n}^{\complement }\\B_{1}^{\complement }&B_{2}^{\complement }&\dots &B_{n}^{\complement }\end{array}}\right[}$.

ให้เราพิจารณาความสัมพันธ์ใหม่บางประการสำหรับโครงสร้างที่มีผลคาร์ทีเซียนซึ่งได้มาในกระบวนการศึกษาคุณสมบัติของ NTA ^{[ 12 ]}โครงสร้างที่กำหนดในเอกภพเดียวกันเรียกว่าโครงสร้าง โฮโมไทปิ ก

1. จุดตัดของระบบ Cสมมติว่า ระบบ C ที่เป็นโฮโมไทป์กัน คือและจุดตัดของระบบทั้งสองจะให้ ระบบ Cที่ประกอบด้วยจุดตัดที่ไม่ว่างเปล่าทั้งหมดของแต่ละCn -tuple จากกับแต่ละCn -tuple จาก${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$
2. ตรวจสอบการรวม Cn-tuple เข้าไปใน Dn-tupleโดยที่Cn -tuple และDn -tuple จะเป็นจริงก็ต่อเมื่ออย่างน้อยหนึ่งเงื่อนไข เป็น จริง${\displaystyle P=[P_{1}\quad P_{2}\quad \cdots \quad P_{N}]}$${\displaystyle Q=]Q_{1}\quad Q_{2}\quad \cdots \quad Q_{N}[}$${\displaystyle P\subseteq Q}$${\displaystyle i}$${\displaystyle P_{i}\subseteq Q_{i}}$
3. ตรวจสอบการรวม Cn-tuple เข้ากับ D-systemสำหรับCn -tuple และD -system นั้นเป็นจริงก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกDn -tuple จากเป็นจริง${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P\subseteq Q}$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P\subseteq Q_{i}}$

เป็นไปได้ที่จะกำหนดผลคูณคาร์ทีเซียนของ ตระกูล เซตที่มีดัชนี ใดๆ (อาจเป็น อนันต์ ) หาก Iเป็นเซตดัชนี ใดๆ และเป็นตระกูลเซตที่มีดัชนีโดยIแล้ว ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตในจะถูกกำหนดให้เป็น นั่นคือ เซตของฟังก์ชันทั้งหมดที่กำหนดบนเซตดัชนีIโดยที่ค่าของฟังก์ชันที่ดัชนีi ใดๆ เป็นสมาชิกของX _iแม้ว่าX _i แต่ละตัว จะไม่ว่างเปล่า ผลคูณคาร์ทีเซียนอาจว่างเปล่าได้หาก ไม่ได้ สมมติสัจพจน์ของการเลือกซึ่งเทียบเท่ากับข้อความที่ว่าผลคูณดังกล่าวทุกตัวไม่ว่างเปล่าอาจใช้สัญลักษณ์ แทนได้เช่นกัน^{[ 13 ]}${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$$${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\left\{\left.f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ \right|\ \forall i\in I.\ f(i)\in X_{i}\right\},}$$${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$${\displaystyle {\mathsf {X}}}$${\displaystyle {}_{i\in I}X_{i}}$

สำหรับแต่ละjในIฟังก์ชัน ที่กำหนดโดยเรียกว่าแผนที่การฉายภาพ ที่j$${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j},}$$${\displaystyle \pi _{j}(f)=f(j)}$

เลขยกกำลังคาร์ทีเซียนคือผลคูณคาร์ทีเซียนที่ตัวประกอบX _i ทั้งหมดเป็นเซต Xเดียวกันในกรณีนี้ คือเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจากIไปยังXและมักจะใช้สัญลักษณ์X ^Iกรณีนี้มีความสำคัญในการศึกษาการยกกำลังเชิงคาร์ดินัลกรณีพิเศษที่สำคัญคือเมื่อเซตดัชนีคือจำนวนธรรมชาติผลคูณคาร์ทีเซียนนี้คือเซตของลำดับอนันต์ทั้งหมดที่มีพจน์ที่iอยู่ ในเซตX _i ที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น แต่ละองค์ประกอบของ สามารถมองเห็นได้เป็นเวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบจำนวนจริงอนันต์ที่นับได้ เซตนี้มักจะใช้สัญลักษณ์หรือ$${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\prod _{i\in I}X}$$${\displaystyle \mathbb {N} }$$${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots }$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

หากมีการคูณเซตหลายเซตเข้าด้วยกัน (เช่นX ₁ , X ₂ , X ₃ , ... ) ผู้เขียนบางคน[ ^{14 ] เลือก}ที่จะย่อผลคูณคาร์ทีเซียนเป็น× X _{i ง่ายๆ}

ถ้าfเป็นฟังก์ชันจากXไปAและgเป็นฟังก์ชันจากYไปBแล้ว ผลคูณคาร์ทีเซียนf × gจะเป็นฟังก์ชันจากX × YไปA × Bโดยที่ $${\displaystyle (f\times g)(x,y)=(f(x),g(y)).}$$

สิ่งนี้สามารถขยายไปสู่ทูเปิลและชุดฟังก์ชันอนันต์ได้ ซึ่งแตกต่างจากผลคูณคาร์ทีเซียนมาตรฐานของฟังก์ชันที่ถือว่าเป็นเซต

ให้เป็น เซต และแล้วทรงกระบอกของเทียบกับคือผลคูณคาร์ทีเซียนของและ${\displaystyle A}$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B\times A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

โดยปกติแล้วถือว่าเป็นเอกภพของบริบทและถูกละทิ้งไป ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นเซตย่อยของจำนวนธรรมชาติแล้วทรงกระบอกของก็ คือ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle B}$${\displaystyle B\times \mathbb {N} }$

แม้ว่าผลคูณคาร์ทีเซียนจะถูกนำไปใช้กับเซตเป็นหลัก แต่ทฤษฎีหมวดหมู่ก็ให้การตีความที่ครอบคลุมกว่าสำหรับผลคูณของโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ ผลคูณเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของลิมิตเชิงหมวดหมู่ โดยที่หมวดหมู่ดัชนีเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง เนื่องจากหมวดหมู่ของเซตสามารถระบุได้ด้วยหมวดหมู่แบบไม่ต่อเนื่องและฝังตัวในลักษณะนี้เป็นหมวดหมู่ย่อยที่สมบูรณ์ของไดอะแกรม ดังนั้นดัชนีผลคูณจึงสามารถลดทอนลงเหลือดัชนีเซตที่ตรงกับคำจำกัดความทางทฤษฎีเซตได้ ${\displaystyle \operatorname {Cat} }$

ในทฤษฎีกราฟผลคูณคาร์ทีเซียนของกราฟสองกราฟGและHคือกราฟที่เขียนแทนด้วยG × Hซึ่ง เซต ของจุดยอดคือผลคูณคาร์ทีเซียน (ธรรมดา) V ( G ) × V ( H )และจุดยอดสองจุด( u , v )และ( u ′, v ′) จะ อยู่ติดกันในG × Hก็ต่อเมื่อu = u ′และvอยู่ติดกับv ′ ในHหรือv = v ′และuอยู่ติดกับu ′ ในGผลคูณคาร์ทีเซียนของกราฟไม่ใช่ผลคูณในความหมายของทฤษฎีหมวดหมู่ แต่ผลคูณเชิงหมวดหมู่เรียกว่าผลคูณเทนเซอร์ของกราฟ

• สัจพจน์ของเซตกำลัง (เพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของผลคูณคาร์ทีเซียน)
• ผลิตภัณฑ์โดยตรง
• สินค้าว่างเปล่า
• ความสัมพันธ์แบบจำกัด
• การเชื่อมต่อ (SQL) § การเชื่อมต่อแบบไขว้
• ลำดับบนผลคาร์ทีเซียนของเซตที่มีลำดับสมบูรณ์
• ผลิตภัณฑ์ภายนอก
• ผลิตภัณฑ์ (ทฤษฎีหมวดหมู่)
• โครงสร้างผลิตภัณฑ์
• ประเภทผลิตภัณฑ์

• ผลคูณคาร์ทีเซียนที่ ProvenMath
• "ผลคูณโดยตรง" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• วิธีค้นหาผลคูณคาร์ทีเซียน, Education Portal Academy