ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มมอดูลาร์ (modular group) คือกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปร เจกทีฟ ของเมทริกซ์ที่มี สัมประสิทธิ์ เป็นจำนวนเต็มและดีเทอร์ มิแนนต์ เท่ากับ 1 โดยที่เมทริกซ์และสามารถระบุได้ กลุ่มมอดูลาร์กระทำต่อครึ่งบนของระนาบเชิงซ้อนด้วยการแปลงเชิงเส้นเศษส่วนชื่อ "กลุ่มมอดูลาร์" มาจากความสัมพันธ์กับ ปริภูมิ มอดูลัส (moduli spaces ) ไม่ใช่จากเลขคณิตมอดูลาร์ (modular arithmetic ) ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle -A}$

กลุ่มมอดูลาร์Γคือกลุ่มของการแปลงเชิงเส้นเศษส่วนของระนาบครึ่งบนเชิงซ้อนซึ่งมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},}$

โดยที่เป็นจำนวนเต็ม และการดำเนินการของกลุ่มคือ การ ประกอบ ฟังก์ชัน${\displaystyle a,b,c,d}$${\displaystyle ad-bc=1}$

กลุ่มการแปลงนี้มีลักษณะสมมาตรกับกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟ ซึ่งเป็นผลหารของ กลุ่มเชิงเส้นพิเศษ 2 มิติด้วยจุดศูนย์กลาง ของมัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือประกอบด้วยเมทริกซ์ทั้งหมด ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {SL} (2,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \{I,-I\}}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

โดยที่เป็นจำนวนเต็มและคู่ของเมทริกซ์และถือว่าเหมือนกัน การดำเนินการของกลุ่มคือการ คูณเมทริกซ์ ตามปกติ${\displaystyle a,b,c,d}$${\displaystyle ad-bc=1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle -A}$

นักเขียนบางคนนิยามกลุ่มโมดูลาร์ว่าเป็นและนักเขียนบางคนนิยามกลุ่มโมดูลาร์ว่าเป็นกลุ่มที่ใหญ่กว่า ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {SL} (2,\mathbb {Z} )}$

ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์บางอย่างจำเป็นต้องพิจารณากลุ่มของเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์บวกหรือลบหนึ่ง ( เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มนี้) ในทำนองเดียวกันเป็นกลุ่มผลหาร ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {GL} (2,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {SL} (2,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {PGL} (2,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} )/\{I,-I\}}$

เนื่องจากเมทริกซ์ทั้งหมดที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 เป็นเมทริกซ์เชิงซิมเพล็กติกดังนั้นกลุ่ม เมทริกซ์ เชิงซิมเพล็กติก ก็ คือ... ${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )=\operatorname {Sp} (2,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle 2\times 2}$

เพื่อค้นหาเมทริกซ์ที่ชัดเจน

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&x\\b&y\end{pmatrix}}}$

ในเริ่มต้นด้วยจำนวนเต็มสองจำนวนที่ไม่มีตัวหารร่วมกันและแก้สมการดีเทอร์มิแนนต์^{[ a ]}${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle ay-bx=1}$

ตัวอย่างเช่น ถ้าสมการดีเทอร์มิแนนต์เป็นดังนี้ ${\displaystyle a=7,{\text{ }}b=6}$

${\displaystyle 7y-6x=1,}$

จากนั้นจึงรับและให้ดังนั้น ${\displaystyle y=-5}$${\displaystyle x=-6}$${\displaystyle -35-(-36)=1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}7&-6\\6&-5\end{pmatrix}}}$

เป็นเมทริกซ์ในจากนั้น โดยใช้การฉายภาพ เมทริกซ์เหล่านี้จะกำหนดองค์ประกอบใน ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$

ตัวกำหนดหน่วยของ

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

หมายความว่าเศษส่วน_{⁠เอ/ข, ⁠}​_{เอ/ค, ⁠}​_{ค/ง, ⁠}​_{ข/งทั้งหมด}เป็นตัวประกอบที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ กล่าวคือไม่มีตัวประกอบร่วม (โดยมีเงื่อนไขว่าตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์) โดยทั่วไปแล้วถ้าพี/qถ้าเป็นเศษส่วนที่ไม่สามารถแยกย่อยได้อีกต่อไป

${\displaystyle {\frac {ap+bq}{cp+dq}}}$

ก็เป็นเศษส่วนที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้เช่นกัน (โดยมีเงื่อนไขว่าตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์) เศษส่วนที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้สองคู่ใดๆ ก็สามารถเชื่อมโยงกันได้ด้วยวิธีนี้ กล่าวคือ สำหรับเศษส่วนที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้สองคู่ใดๆ⁠พี/qและ​​ร/สของเศษส่วนที่ไม่สามารถแยกย่อยได้นั้น มีองค์ประกอบอยู่

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$

โดยที่

${\displaystyle r=ap+bq\quad {\mbox{ and }}\quad s=cp+dq.}$

องค์ประกอบของกลุ่มมอดูลาร์ให้สมมาตรบนแลตทิซ สองมิติ ให้ω ₁และω ₂ เป็น จำนวนเชิงซ้อนสอง จำนวน ที่มีอัตราส่วนไม่เป็นจำนวนจริง แล้วเซตของจุด

${\displaystyle \Lambda (\omega _{1},\omega _{2})=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$

เป็นโครงข่ายรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานบนระนาบ เวกเตอร์คู่ที่แตกต่างกันα ₁และα ₂จะสร้างโครงข่ายเดียวกันได้ก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{pmatrix}}}$

สำหรับเมทริกซ์บางตัวในGL(2, Z )ด้วยเหตุนี้ฟังก์ชันคาบสองเท่าเช่นฟังก์ชันเชิงวงรีจึงมีสมมาตรกลุ่มมอดูลาร์

การกระทำของกลุ่มมอดูลาร์ต่อจำนวนตรรกยะนั้นสามารถเข้าใจได้ง่ายที่สุดโดยการนึกภาพตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยที่จุดตาราง( p , q )สอดคล้องกับเศษส่วน⁠พี/q(ดูสวนผลไม้ของยูคลิด ) เศษส่วนที่ไม่สามารถแยกย่อยได้ คือเศษส่วนที่มองเห็นได้จากจุดกำเนิด การกระทำของกลุ่มมอดูลาร์ต่อเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนเศษส่วนที่มองเห็นได้ (ไม่สามารถแยกย่อยได้) ไปเป็น เศษส่วน ที่ซ่อนอยู่ (สามารถแยกย่อยได้) และในทางกลับกัน

โปรดทราบว่า สมาชิกใดๆ ของกลุ่มมอดูลาร์จะแมปเส้นจำนวนจริงที่ขยายเชิงโปรเจกทีฟแบบหนึ่งต่อหนึ่งไปยังตัวมันเอง และยิ่งไปกว่านั้น ยังแมปเส้นจำนวนตรรกยะที่ขยายเชิงโปรเจกทีฟ (จำนวนตรรกยะที่มีอนันต์) ไปยังตัวมันเองแบบหนึ่งต่อหนึ่งจำนวนอตรรกยะไปยังจำนวนอตรรกยะ จำนวนอดิศัยไปยังจำนวนอดิศัย จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนจริงไปยังจำนวนอดิศัย ระนาบครึ่งบนไปยังระนาบครึ่งบน เป็นต้น

ถ้า​p _{n −1}/q _{n −1}และ​​พี_เอ็น/q _nหากเป็นการลู่เข้าสองครั้งติดต่อกันของเศษส่วนต่อเนื่องเมทริกซ์จะเป็นดังนี้

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{n-1}&p_{n}\\q_{n-1}&q_{n}\end{pmatrix}}}$

อยู่ในGL(2, Z )โดยเฉพาะ ถ้าbc − ad = 1สำหรับจำนวนเต็มบวกa , b , c , dโดยที่a < bและc < dแล้ว⁠เอ/ขและ​​ค/งจะเป็นเพื่อนบ้านในลำดับ Fareyที่มีอันดับ max( b , d )กรณีพิเศษที่สำคัญของการลู่เข้าของเศษส่วนต่อเนื่อง ได้แก่จำนวนฟิโบนาชชีและคำตอบของสมการของ Pellในทั้งสองกรณี สามารถจัดเรียงตัวเลขเพื่อสร้างเซมิกรุปย่อยของกลุ่มมอดูลาร์ได้

สามารถแสดงให้เห็นได้ว่ากลุ่มโมดูลาร์ถูกสร้างขึ้นโดยการแปลงสองแบบ

${\displaystyle {\begin{aligned}S&:z\mapsto -{\frac {1}{z}}\\T&:z\mapsto z+1\end{aligned}}}$

เพื่อให้องค์ประกอบทุกตัวในกลุ่มโมดูลาร์สามารถแสดงได้ (ในรูปแบบที่ไม่ซ้ำกัน) โดยการประกอบกำลังของSและTในทางเรขาคณิตSแทนการผกผันในวงกลมหน่วยตามด้วยการสะท้อนเทียบกับแกนจินตนาการ ในขณะที่Tแทนการเลื่อนไปทางขวาหนึ่งหน่วย

ตัวสร้างSและTปฏิบัติตามความสัมพันธ์S ² = 1และ( ST ) ³ = 1สามารถแสดงได้^{[ 1 ]}ว่าสิ่งเหล่านี้เป็นชุดความสัมพันธ์ที่สมบูรณ์ ดังนั้นกลุ่มมอดูลาร์จึงมีการนำเสนอ :

${\displaystyle \Gamma \cong \left\langle S,T\mid S^{2}=I,\left(ST\right)^{3}=I\right\rangle }$

การนำเสนอนี้อธิบายกลุ่มโมดูลาร์ว่าเป็นกลุ่มสามเหลี่ยม หมุน D(2, 3, ∞) (อนันต์เนื่องจากไม่มีความสัมพันธ์บนT ) และด้วยเหตุนี้จึงแมปไปยังกลุ่มสามเหลี่ยมทั้งหมด(2, 3, n ) โดยการ เพิ่ม ความสัมพันธ์T ⁿ = 1ซึ่งเกิดขึ้นตัวอย่างเช่นในกลุ่มย่อยความสอดคล้องΓ( n )

การใช้ตัวสร้างSและSTแทนSและTแสดงให้เห็นว่ากลุ่มโมดูลาร์นั้นมีโครงสร้างเหมือนกับผลคูณอิสระของกลุ่มวัฏจักรC ₂และC ₃ :

${\displaystyle \Gamma \cong C_{2}*C_{3}}$

• 
  การกระทำของT  : z ↦ z + 1บนH
• 
  การกระทำของS  : z ↦ − ⁠1/zบนH​

กลุ่มถักเปียB ₃คือส่วนขยายศูนย์กลางสากลของกลุ่มมอดูลาร์ โดยที่กลุ่มเหล่านี้วางตัวเป็นแลตทิซอยู่ภายในกลุ่มปกคลุมสากล (เชิงทอพอโลยี) SL ₂ ( R ) → PSL ₂ ( R )ยิ่งไปกว่านั้น กลุ่มมอดูลาร์มีศูนย์กลางที่ไม่สำคัญ ดังนั้นกลุ่มมอดูลาร์จึงสม isomorphic กับกลุ่มผลหารของB ₃ มอดูล ศูนย์กลางของมันหรือเทียบเท่ากับกลุ่ม ออ โต มอร์ฟิซึมภายในของB ₃

กลุ่มถักเปียB ₃นั้นมีโครงสร้างเหมือนกับกลุ่มปมของ ป ม สามแฉก

ผลหารตามกลุ่มย่อยที่สอดคล้องกันนั้นมีความน่าสนใจอย่างยิ่ง

ผลหารที่สำคัญอื่นๆ ได้แก่ กลุ่มสามเหลี่ยม (2, 3, n )ซึ่งสอดคล้องทางเรขาคณิตกับการลดระดับลงสู่ทรงกระบอก โดยการหารพิกัดx ด้วย โมดู ลัส nเป็นT ⁿ = ( z ↦ z  +  n ) (2, 3, 5)คือกลุ่มสมมาตรทรงยี่สิบหน้าและกลุ่มสามเหลี่ยม(2, 3, 7) (และการปูพื้นที่เกี่ยวข้อง) คือกลุ่มปกคลุมสำหรับ พื้น ผิว Hurwitz ทั้งหมด

กลุ่มสามารถสร้างได้จากเมทริกซ์สองเมทริกซ์^{[ 2 ]}${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},{\text{ }}T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

เนื่องจาก

${\displaystyle S^{2}=-I_{2},{\text{ }}(ST)^{3}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}}^{3}=-I_{2}}$

การฉายภาพจะเปลี่ยนเมทริกซ์เหล่านี้ให้เป็นตัวสร้างของโดยมีความสัมพันธ์คล้ายกับการนำเสนอแบบกลุ่ม ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$

กลุ่มโมดูลาร์มีความสำคัญเพราะเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มไอโซเม ตรี ของระนาบไฮเปอร์โบลิกถ้าเราพิจารณาแบบจำลองระนาบครึ่งบนHของเรขาคณิตระนาบไฮเปอร์โบลิก กลุ่มของ ไอโซเม ตรีที่รักษาทิศทาง ทั้งหมด ของHจะประกอบด้วยการแปลงโมเบียส ทั้งหมด ในรูปแบบ

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

โดยที่a , b , c , dเป็นจำนวนจริงในแง่ของพิกัดเชิงโปรเจกทีฟกลุ่มPSL(2, R ) กระทำบนระนาบครึ่งบนHโดยคุณสมบัติเชิงโปรเจกทีฟ:

${\displaystyle [z,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\,=\,[az+b,\ cz+d]\,\thicksim \,\left[{\frac {az+b}{cz+d}},\ 1\right].}$

การกระทำนี้ซื่อสัตย์เนื่องจากPSL(2, Z )เป็นกลุ่มย่อยของPSL(2, R )กลุ่มมอดูลาร์จึงเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มไอโซเมตรีที่รักษาทิศทางของH ^{[ 3 ]}

กลุ่มมอดูลาร์Γทำหน้าที่บนในฐานะกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของนั่นคือ สำหรับแต่ละzในเราสามารถหาบริเวณใกล้เคียงของzซึ่งไม่มีองค์ประกอบอื่นใดในวงโคจรของz อยู่ เลย นอกจากนี้ยังหมายความว่าเราสามารถสร้างโดเมนพื้นฐานซึ่ง (โดยประมาณ) ประกอบด้วยตัวแทนเพียงหนึ่งเดียวจากวงโคจรของทุกzในH (ต้องระมัดระวังที่ขอบของโดเมน) ${\textstyle \mathbb {H} }$${\textstyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$${\textstyle \mathbb {H} }$

มีหลายวิธีในการสร้างโดเมนพื้นฐาน แต่ทางเลือกที่นิยมใช้กันทั่วไปคือการใช้ภูมิภาค

${\displaystyle R=\left\{z\in \mathbb {H} \colon \left|z\right|>1,\,\left|\operatorname {Re} (z)\right|<{\tfrac {1}{2}}\right\}}$

ถูกจำกัดด้วยเส้นแนวตั้งRe( z ) = ⁠1/2และ Re( z ) = − ⁠1/2และวงกลม | z | = 1บริเวณนี้เป็นสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิก มีจุดยอดอยู่ที่⁠1/2+ i​​√ 3/2และ −​​1/2+ i​​√ 3/2โดยที่มุมระหว่างด้านทั้งสองคือπ/3และจุดยอดที่สามอยู่ที่อนันต์ ซึ่งมุมระหว่างด้านทั้งสองมีค่าเป็น 0

มีความสัมพันธ์ที่แน่นแฟ้นระหว่างกลุ่มมอดูลาร์และเส้นโค้งวงรีจุดแต่ละจุดในระนาบครึ่งบนจะให้เส้นโค้งวงรี ซึ่งก็คือผลหารของจุด สองจุดนั้น ด้วยแลตทิซที่สร้างขึ้นโดยจุด 1 และ2 จุดในระนาบครึ่งบนจะให้เส้นโค้งวงรีที่สมมาตรกันก็ต่อเมื่อจุดทั้งสองมีความสัมพันธ์กันโดยการแปลงในกลุ่มมอดูลาร์ ดังนั้น ผลหารของระนาบครึ่งบนด้วยการกระทำของกลุ่มมอดูลาร์จึงเรียกว่าปริภูมิมอดูลัสของเส้นโค้งวงรี ซึ่งเป็นปริภูมิที่จุดต่างๆ อธิบายถึงชั้นสมมาตรของเส้นโค้งวงรี โดยทั่วไปแล้วมักจะมองเห็นภาพนี้เป็นโดเมนพื้นฐานที่อธิบายไว้ข้างต้น โดยมีจุดบางจุดบนขอบเขตของโดเมนนั้นระบุไว้ ${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle z}$

กลุ่มโมดูลาร์และกลุ่มย่อยของมันยังเป็นแหล่งของการปูพื้นระนาบไฮเปอร์โบลิกที่น่าสนใจอีกด้วย โดยการแปลงโดเมนพื้นฐานนี้ทีละตัวด้วยสมาชิกของกลุ่มโมดูลาร์แต่ละตัว จะได้การปูพื้นระนาบไฮเปอร์โบลิกแบบปกติ ด้วยรูปสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกที่เท่ากันทุกประการ ซึ่งรู้จักกันในชื่อ การปูพื้นแบบสามเหลี่ยมลำดับอนันต์ V6.6.∞ โปรดสังเกตว่ารูปสามเหลี่ยมแต่ละรูปจะมีจุดยอดหนึ่งจุดอยู่ที่อนันต์หรือบนแกนจริงIm( z ) = 0

การปูพื้นแบบนี้สามารถขยายไปยังจานปวงกาเรได้ โดยที่สามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกทุกรูปจะมีจุดยอดหนึ่งจุดอยู่บนขอบของจาน การปูพื้นจานปวงกาเรนั้นกำหนดได้อย่างเป็นธรรมชาติโดยตัวแปรJซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้กลุ่มมอดูลาร์ และมีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อนทุกค่าเพียงครั้งเดียวในแต่ละสามเหลี่ยมของบริเวณเหล่านี้

การแบ่งพื้นที่นี้สามารถปรับปรุงได้เล็กน้อย โดยแบ่งแต่ละบริเวณออกเป็นสองส่วน (โดยทั่วไปจะระบายสีดำและสีขาว) โดยการเพิ่มแผนที่กลับทิศทาง สีจะสอดคล้องกับทิศทางของโดเมน การเพิ่ม( x , y ) ↦ (− x , y )และการเลือกครึ่งขวาของบริเวณR (โดยที่Re( z ) ≥ 0 ) จะได้การแบ่งพื้นที่แบบปกติ การแบ่งพื้นที่นี้ปรากฏครั้งแรกในงานพิมพ์ใน ( Klein & 1878/79a ) ^{[ 4 ]}ซึ่งระบุว่าเป็นผลงานของRichard Dedekindโดยอ้างอิงถึง ( Dedekind 1877 ) ^{[ 4 ] [ 5 ]}

แผนที่ของกลุ่ม(2, 3, ∞) → (2, 3, n ) (จากกลุ่มมอดูลาร์ไปสู่กลุ่มสามเหลี่ยม) สามารถมองเห็นได้ในแง่ของการปูพื้นแบบนี้ (ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นการปูพื้นบนเส้นโค้งมอดูลาร์) ดังที่แสดงในวิดีโอทางด้านขวา

การปูพื้นแบบสม่ำเสมอแบบพาราคอมแพ็กต์ในตระกูล [∞,3] วี ที อี
สมมาตร: [∞,3], (*∞32)							[∞,3] + (∞32)	[1 + ,∞,3] (*∞33)		[∞,3 + ] (3*∞)
		=	=	=				=หรือ	=หรือ	=
{∞,3}	t{∞,3}	r{∞,3}	t{3,∞}	{3,∞}	rr{∞,3}	tr{∞,3}	sr{∞,3}	h{∞,3}	h 2 {∞,3}	s{3,∞}
คู่ที่สม่ำเสมอ
V∞ 3	V3.∞.∞	V(3.∞) 2	V6.6.∞	V3 ∞	V4.3.4.∞	V4.6.∞	V3.3.3.3.∞	V(3.∞) 3		V3.3.3.3.3.∞

กลุ่มย่อยที่สำคัญของกลุ่มมอดูลาร์Γซึ่งเรียกว่ากลุ่มย่อยความสอดคล้อง ได้มาจากการกำหนดความสัมพันธ์ความสอดคล้องบนเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง

มีโฮโมมอร์ฟิซึม ตามธรรมชาติ SL(2, Z ) → SL(2, Z / N Z )ที่กำหนดโดยการลดสมาชิกโมดูลัสNซึ่งเหนี่ยวนำให้เกิดโฮโมมอร์ฟิซึมบนกลุ่มโมดูลาร์PSL (2, Z ) → PSL(2, Z / N Z )เคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมนี้เรียกว่ากลุ่มย่อยคอนกรุเอนซ์หลักของระดับNซึ่งเขียนแทนด้วยΓ( N )เรามีลำดับที่แน่นอนสั้นๆ ดัง ต่อไปนี้ :

${\displaystyle 1\to \Gamma (N)\to \Gamma \to \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )\to 1.}$

เนื่องจากเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึมΓ( N )เป็นกลุ่มย่อยปกติของกลุ่มมอดูลาร์Γกลุ่มΓ( N )กำหนดให้เป็นเซตของการแปลงมอดูลาร์ทั้งหมด

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

ซึ่งa ≡ d ≡ ±1 (mod N )และb ≡ c ≡ 0 ( mod N )

สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่าร่องรอยของเมทริกซ์ที่แสดงถึงองค์ประกอบของΓ( N )ไม่สามารถเป็น −1, 0 หรือ 1 ได้ ดังนั้นกลุ่มย่อยเหล่านี้จึงเป็นกลุ่มที่ปราศจากแรงบิด (มีกลุ่มย่อยที่ปราศจากแรงบิดอื่นๆ อีก)

กลุ่มย่อยความสอดคล้องหลักของระดับ 2, Γ(2)เรียกอีกอย่างว่ากลุ่มมอดูลาร์Λเนื่องจากPSL(2, Z /2 Z )สมสัณฐานกับS ₃ดังนั้นΛจึงเป็นกลุ่มย่อยที่มีดัชนี 6 กลุ่มΛประกอบด้วยการแปลงมอดูลาร์ทั้งหมดที่aและdเป็นจำนวนคี่ และbและcเป็นจำนวนคู่

กลุ่มย่อยความสอดคล้องที่สำคัญอีกกลุ่มหนึ่งคือกลุ่มมอดูลาร์Γ ₀ ( N )ซึ่งนิยามว่าเป็นเซตของการแปลงมอดูลาร์ทั้งหมดที่c ≡ 0 (mod N )หรือเทียบเท่ากับกลุ่มย่อยที่มีเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนเมื่อลดรูปมอดูลาร์Nโปรดทราบว่าΓ( N )เป็นกลุ่มย่อยของΓ ₀ ( N )เส้นโค้งมอดูลาร์ที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มเหล่านี้เป็นลักษณะหนึ่งของปรากฏการณ์ประหลาด – สำหรับจำนวนเฉพาะpเส้นโค้งมอดูลาร์ของตัวทำให้เป็นมาตรฐานจะมีจีนัสเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อpหารลงตัวกับอันดับของกลุ่มประหลาดหรือเทียบเท่ากับเมื่อpเป็น จำนวน เฉพาะ เอกฐานยิ่งยวด

กลุ่มย่อยที่สำคัญกลุ่มหนึ่งของกลุ่มมอดูลาร์คือไดอะดิก โมโนอิดซึ่งเป็นโมโนอิดของสตริงทั้งหมดในรูปแบบST ^{n ₁} ST ^{n ₂} ST ^{n ₃} ...สำหรับจำนวนเต็มบวกn _iโมโนอิดนี้เกิดขึ้นตามธรรมชาติในการศึกษาเส้นโค้งแฟรกทัลและอธิบาย สมมาตร ความคล้ายคลึงในตัวเองของฟังก์ชันแคนเตอร์ ฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามของมินคอฟสกีและเกล็ดหิมะของโคชซึ่งแต่ละอันเป็นกรณีพิเศษของเส้นโค้งเดอแรม ทั่วไป โมโนอิดนี้ยังมีตัวแทนเชิงเส้นในมิติที่สูงกว่า ตัวอย่างเช่น ตัวแทน N = 3สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการอธิบายสมมาตรในตัวเองของเส้นโค้งบล็องม็องจ์

กลุ่มGL(2, Z )คือแผนที่เชิงเส้นที่รักษาแลตทิซมาตรฐานZ ²และSL(2, Z )คือแผนที่ที่รักษาการวางแนวซึ่งรักษาแลตทิซนี้ไว้ ดังนั้นจึงลดรูปเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมตัวเองของทอรัส (SL แมปไปยังแผนที่ที่รักษาการวางแนว) และในความเป็นจริงแมปแบบไอโซมอร์ฟิกไปยังกลุ่มคลาสการแมป (แบบขยาย) ของทอรัส ซึ่งหมายความว่าโฮมีโอเมอร์ฟิซึมตัวเองของทอรัสทุกตัวเป็นไอโซโทปิกกับแผนที่ในรูปแบบนี้ คุณสมบัติทางพีชคณิตของเมทริกซ์ในฐานะองค์ประกอบของGL(2, Z )สอดคล้องกับพลวัตของแผนที่เหนี่ยวนำของทอรัส

กลุ่มโมดูลาร์สามารถขยายไปสู่กลุ่ม Heckeซึ่งตั้งชื่อตามErich Heckeและกำหนดไว้ดังต่อไปนี้^{[ 7 ]}

กลุ่ม Hecke H _qโดยที่q ≥ 3คือกลุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่สร้างขึ้นโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}z&\mapsto -{\frac {1}{z}}\\z&\mapsto z+\lambda _{q},\end{aligned}}}$

โดยที่λ _q = 2 cos ⁠π/qสำหรับค่า q ที่มีค่าน้อย และ ≥ 3จะได้ว่า :

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{3}&=1,\\\lambda _{4}&={\sqrt {2}},\\\lambda _{5}&={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\\\lambda _{6}&={\sqrt {3}},\\\lambda _{8}&={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}.\end{aligned}}}$

กลุ่มโมดูลาร์Γมีโครงสร้างเหมือนกับ_H₃ และมีคุณสมบัติและการใช้งานร่วมกัน เช่นเดียวกับผลคูณอิสระของกลุ่มวัฏจักร

${\displaystyle \Gamma \cong C_{2}*C_{3},}$

โดยทั่วไปแล้วคนหนึ่งมี

${\displaystyle H_{q}\cong C_{2}*C_{q},}$

ซึ่งสอดคล้องกับกลุ่มสามเหลี่ยม(2, q , ∞)ในทำนองเดียวกัน มีแนวคิดของกลุ่มย่อยความสอดคล้องหลักที่เกี่ยวข้องกับอุดมคติหลักใน Z [ λ ]

กลุ่มโมดูลาร์และกลุ่มย่อยของมันได้รับการศึกษาอย่างละเอียดเป็นครั้งแรกโดยริชาร์ด เดเดคินด์และเฟลิกซ์ ไคลน์ในโครงการเออร์ลังเงน ของเขาในช่วงทศวรรษ 1870 อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันเชิงวงรีที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดได้รับการศึกษาโดยโจเซฟ หลุยส์ ลากรองจ์ในปี 1785 และผลลัพธ์เพิ่มเติมเกี่ยวกับฟังก์ชันเชิงวงรีได้รับการตีพิมพ์โดยคาร์ล กุสตาฟ ยาคอบ จาโคบีและนีลส์ เฮนริก อาเบลในปี 1827