ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามของมินคอฟสกีซึ่งเขียนแทนด้วย?( x )เป็นฟังก์ชัน ที่มีคุณสมบัติ แฟรกทัลที่ผิดปกติซึ่งกำหนดโดยเฮอร์มันน์ มินคอฟสกีในปี 1904 ^{[ 1 ]} ฟังก์ชัน นี้แปลง จำนวนอตรรกยะ กำลังสองเป็นจำนวนตรรกยะในช่วงหน่วยโดยใช้การแสดงออกที่เชื่อมโยง การขยาย เศษส่วนต่อเนื่องของกำลังสองกับการขยายเลขฐานสองของจำนวนตรรกยะ ซึ่งกำหนดโดยอาร์โนด์ เดนจอยในปี 1938 ^{[ 2 ]}นอกจากนี้ยังแปลงจำนวนตรรกยะเป็นจำนวนตรรกยะคู่ดังที่เห็นได้จากนิยามแบบเวียนเกิดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับต้นไม้สเติร์น-โบรคอต

วิธีหนึ่งในการกำหนดฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามเกี่ยวข้องกับการจับคู่ระหว่างสองวิธีที่แตกต่างกันในการแสดงจำนวนจริงโดยใช้ลำดับไบนารี แบบจำกัดหรือ อนันต์ ที่คุ้นเคยกันดีคือ สตริงของ 0 และ 1 ที่มีเครื่องหมายจุดเดียว "." เช่น "11.0010010000111111..." สามารถตีความได้ว่าเป็นการแสดงเลขไบนารีของจำนวน ในกรณีนี้ จำนวนนั้นคือ 0 อย่างไรก็ตาม มีวิธีการตีความลำดับเดียวกันนี้อีกวิธีหนึ่งโดยใช้เศษส่วนต่อเนื่องการตีความส่วนที่เป็นเศษส่วน "0.00 1 00 1 0000 111111 0..." เป็นเลขไบนารีในลักษณะเดียวกัน ให้แทนที่แต่ละบล็อกของ 0 หรือ 1 ที่ต่อเนื่องกันด้วยความยาวของลำดับ นั้น (หรือสำหรับบล็อกแรกของศูนย์ ความยาวของลำดับนั้นบวกหนึ่ง) ในกรณีนี้จะสร้างลำดับ [3;3, 1 , 2 , 1 , 4 , 6 , . จากนั้นใช้ลำดับนี้เป็นสัมประสิทธิ์ของเศษส่วนต่อเนื่อง: ^{[ 3 ] [ 4 ]}$${\displaystyle 2+1+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{64}}+\cdots =\pi .}$$${\displaystyle \dots ]}$$${\displaystyle 3+{\frac {1}{\displaystyle 3+{\frac {1}{\displaystyle 1+{\frac {1}{\displaystyle 2+{\frac {1}{\displaystyle 1+{\frac {1}{\displaystyle 4+{\frac {1}{\displaystyle 6+\dots }}}}}}}}}}}\ประมาณ 3.2676}$$

ฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามจะกลับกระบวนการนี้: มันจะแปลงเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนจริง ที่กำหนด ให้เป็นลำดับไบนารีที่เข้ารหัสความยาวรัน จากนั้นตีความลำดับนั้นใหม่เป็นจำนวนไบนารี^{[ 3 ] [ 4 ]}ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวอย่างข้างต้น. เพื่อกำหนดสิ่งนี้อย่างเป็นทางการ หากจำนวนอตรรกยะมีการแสดงเศษส่วนต่อเนื่อง (ไม่สิ้นสุด) ค่าของฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามบนจะถูกกำหนดเป็นค่าของอนุกรมอนันต์ จำนวนตรรกยะมีการแสดงเศษส่วนต่อเนื่องที่สิ้นสุดดังนั้นค่าของฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามบนจะลดลงเหลือจำนวนตรรกยะแบบไดอะดิกที่กำหนดโดยผลรวมจำกัด จำนวนอตรรกยะกำลังสองแสดงด้วยเศษส่วนต่อเนื่องแบบคาบดังนั้นค่าของฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามบน จึงเป็นเศษส่วนไบนารีแบบคาบและเป็นจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่แบบไดอะดิก ${\displaystyle \operatorname {?} (3.2676)\approx \pi }$${\displaystyle x}$$${\displaystyle x=a_{0}+{\frac {1}{\displaystyle a_{1}+{\frac {1}{\displaystyle a_{2}+\cdots }}}}=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]}$$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \operatorname {?} (x)=a_{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n+1}}{2^{a_{1}+\cdots +a_{n}}}}.}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}]}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \operatorname {?} (x)=a_{0}+2\sum _{n=1}^{m}{\frac {\left(-1\right)^{n+1}}{2^{a_{1}+\cdots +a_{n}}}}.}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

เครื่องหมายคำถามนั้นมีความคล้ายคลึงกันในตัวเองอย่างชัดเจนโมโนอิดของความคล้ายคลึงกันในตัวเองสามารถสร้างขึ้นได้โดยตัวดำเนินการสองตัวคือSและRที่กระทำบนสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยและกำหนดไว้ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}S(x,y)&=\left({\frac {x}{x+1}},{\frac {y}{2}}\right),\\[5px]R(x,y)&=(1-x,1-y).\end{aligned}}}$$

ในเชิงภาพSจะย่อขนาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยให้เหลือเพียงส่วนล่างซ้ายหนึ่งในสี่ ในขณะที่Rจะทำการสะท้อนจุดผ่านจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยนั้น

จุดบนกราฟของ?มีพิกัด( x , ?( x ))สำหรับค่าx บางค่า ในช่วงหน่วย จุดดังกล่าวจะถูกแปลงโดยSและRไปเป็นจุดอื่นบนกราฟ เนื่องจาก?สอดคล้องกับเอกลักษณ์ต่อไปนี้สำหรับทุกx ∈ [0, 1] : $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {?} \left({\frac {x}{x+1}}\right)&={\frac {\operatorname {?} (x)}{2}},\\[5px]\operatorname {?} (1-x)&=1-\operatorname {?} (x).\end{aligned}}}$$

ตัวดำเนินการทั้งสองนี้สามารถนำมาประกอบกันซ้ำๆ ได้ ก่อให้เกิดเป็นโมโนอิด จากนั้นองค์ประกอบทั่วไปของโมโนอิดคือ $${\displaystyle S^{a_{1}}RS^{a_{2}}RS^{a_{3}}\cdots }$$

สำหรับจำนวนเต็มบวกa ₁ , a ₂ , a ₃ , …แต่ละองค์ประกอบดังกล่าวอธิบายถึงความคล้ายคลึงในตัวเองของฟังก์ชันเครื่องหมายคำถาม โมโนอิดนี้บางครั้งเรียกว่าโมโนอิดแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่าและเส้นโค้งแฟรกทัลแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่าทั้งหมดมีความสมมาตรในตัวเองที่อธิบายโดยโมโนอิดนี้ ( เส้นโค้งเดอแรมซึ่งเครื่องหมายคำถามเป็นกรณีพิเศษ เป็นหมวดหมู่ของเส้นโค้งดังกล่าว) องค์ประกอบของโมโนอิดสอดคล้องกับจำนวนตรรกยะ โดยการระบุa ₁ , a ₂ , a ₃ , …กับเศษส่วนต่อเนื่อง[0; a ₁ , a ₂ , a ₃ ,…]เนื่องจากทั้ง และ เป็นการแปลง เศษส่วนเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม โมโนอิดจึงอาจถือได้ว่าเป็นเซตย่อยของกลุ่มมอดูลาร์PSL(2, Z )$${\displaystyle S:x\mapsto {\frac {x}{x+1}}}$$$${\displaystyle T:x\mapsto 1-x}$$

ฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามให้การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งจากจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่แบบไดอะดิกไปยังจำนวนอตรรกยะกำลังสองซึ่งทำให้สามารถพิสูจน์ความสามารถในการนับได้ของจำนวนอตรรกยะกำลังสองได้อย่างชัดเจน ในความเป็นจริงแล้ว จำนวนอตรรกยะเหล่านี้สามารถเข้าใจได้ว่าสอดคล้องกับวงโคจรคาบสำหรับการแปลงแบบไดอะดิกซึ่งสามารถแสดงให้เห็นได้อย่างชัดเจนในเพียงไม่กี่ขั้นตอน

กำหนดการเคลื่อนที่สองแบบ: การเคลื่อนที่ไปทางซ้ายและการเคลื่อนที่ไปทางขวา ซึ่งใช้ได้ในช่วงหน่วย เป็น และ และ และ ฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามจะปฏิบัติตามสมมาตรการเคลื่อนที่ไปทางซ้าย และสมมาตรการเคลื่อนที่ไปทางขวา โดยที่แทนการประกอบฟังก์ชันสิ่งเหล่านี้สามารถต่อกันได้ตามอำเภอใจ ตัวอย่างเช่น พิจารณาลำดับของการเคลื่อนที่ไปทางซ้าย-ขวาการเพิ่มตัวห้อย C และ D และเพื่อความชัดเจน ละเว้นตัวดำเนินการประกอบในทุกที่ยกเว้นบางแห่ง จะได้ว่า: สตริงที่มีความยาวจำกัดตามอำเภอใจในตัวอักษร L และ R สอดคล้องกับจำนวนตรรกยะแบบไดอะดิกโดยที่จำนวนตรรกยะแบบไดอะดิกทุกตัวสามารถเขียนได้ทั้งในรูปสำหรับจำนวนเต็มnและmและในรูปของบิตที่มีความยาวจำกัดด้วยดังนั้น จำนวนตรรกยะแบบไดอะดิกทุกตัวจึงมีความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับสมมาตรในตัวเองบางอย่างของฟังก์ชันเครื่องหมายคำถาม ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$$${\displaystyle L_{D}(x)={\frac {x}{2}}}$$${\displaystyle L_{C}(x)={\frac {x}{1+x}}}$$${\displaystyle R_{D}(x)={\frac {1+x}{2}}}$$${\displaystyle R_{C}(x)={\frac {1}{2-x}}}$$${\displaystyle L_{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ L_{C}}$$$${\displaystyle R_{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ R_{C}}$$${\displaystyle \circ }$${\displaystyle LRLLR.}$${\displaystyle \circ }$$${\displaystyle L_{D}R_{D}L_{D}L_{D}R_{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ L_{C}R_{C}L_{C}L_{C}R_{C}}$$${\displaystyle y=n/2^{m}}$${\displaystyle y=0.b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}$${\displaystyle b_{k}\in \{0,1\}.}$

การจัดเรียงสัญลักษณ์ใหม่บางอย่างอาจทำให้การแสดงสิ่งข้างต้นง่ายขึ้นเล็กน้อย ให้และแทน L และ R การประกอบฟังก์ชันขยายสิ่งนี้ไปสู่โมโนอิดโดยที่เราสามารถเขียนและโดยทั่วไปสำหรับสตริงไบนารีของตัวเลขA , B บางสตริง โดยที่ABเป็นเพียงการต่อกัน ตามปกติ ของสตริงดังกล่าว โมโนอิดแบบไดอะดิกMจึงเป็นโมโนอิดของการเคลื่อนที่ซ้ายขวาที่มีความยาวจำกัดทั้งหมดดังกล่าว การเขียนเป็นองค์ประกอบทั่วไปของโมโนอิด จะมีสมมาตรในตัวเองที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันเครื่องหมายคำถาม: ${\displaystyle g_{0}}$${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle g_{010}=g_{0}g_{1}g_{0}}$${\displaystyle g_{A}g_{B}=g_{AB}}$${\displaystyle \gamma \in M}$$${\displaystyle \gamma _{D}\circ {\text{?}}={\text{?}}\circ \gamma _{C}}$$

สามารถสร้างการจับคู่ที่ชัดเจนระหว่างจำนวนตรรกยะและจำนวนตรรกยะแบบไดอะดิกได้โดยใช้ตัวดำเนินการสะท้อน และสังเกตว่าทั้ง และ เนื่องจากเป็นเอกลักษณ์ลำดับการเคลื่อนที่ซ้าย-ขวาใดๆ สามารถเขียนใหม่ได้เป็นลำดับการเคลื่อนที่ซ้ายเท่านั้น ตามด้วยการสะท้อน ตามด้วยการเคลื่อนที่ซ้ายเพิ่มเติม การสะท้อน และอื่นๆ นั่นคือ เป็น ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นไอโซมอร์ฟิกกับจากข้างต้น การประเมินลำดับที่ชัดเจนของที่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันจะให้จำนวนตรรกยะแบบไดอะดิก โดยชัดเจนว่ามันเท่ากับ โดยที่แต่ละเป็นบิตไบนารี ศูนย์สอดคล้องกับการเคลื่อนที่ซ้าย และหนึ่งสอดคล้องกับการเคลื่อนที่ขวา ลำดับการเคลื่อนที่ที่เทียบเท่ากัน เมื่อประเมินที่ จะให้จำนวนตรรกยะซึ่งชัดเจนว่าเป็นจำนวนที่ได้จากเศษส่วนต่อเนื่อง โดยคำนึงถึงว่ามันเป็นจำนวนตรรกยะเพราะลำดับมีความยาวจำกัด สิ่งนี้สร้างการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจำนวนตรรกยะแบบไดอะดิกและจำนวนตรรกยะ $${\displaystyle r(x)=1-x}$$$${\displaystyle r\circ R_{D}\circ r=L_{D}}$$${\displaystyle r\circ R_{C}\circ r=L_{C}}$${\displaystyle r^{2}=1}$${\displaystyle L^{a_{1}}rL^{a_{2}}rL^{a_{3}}\cdots }$${\displaystyle S^{a_{1}}TS^{a_{2}}TS^{a_{3}}\cdots }$${\displaystyle L_{D},R_{D}}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle y=0.b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}$${\displaystyle b_{k}\in \{0,1\}}$${\displaystyle L_{C},R_{C}}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle p/q.}$${\displaystyle p/q=[a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{j}]}$${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{j})}$

ลองพิจารณา ถึง วงโคจรคาบของการแปลงแบบไดอะดิก วง โคจรเหล่านี้สอดคล้องกับลำดับบิตที่ประกอบด้วยลำดับบิต "อลหม่าน" เริ่มต้นที่มีจำนวนจำกัด ตามด้วยสตริงที่ซ้ำกันซึ่งมีความยาวสตริงที่ซ้ำกันเหล่านี้สอดคล้องกับจำนวนตรรกยะ สิ่งนี้สามารถอธิบายได้อย่างชัดเจน เขียน ก็จะเห็นได้ ชัดว่า เมื่อเพิ่มลำดับที่ไม่ซ้ำกันในตอนเริ่มต้นเข้าไป ก็จะเห็นได้ชัดว่ามีจำนวนตรรกยะ อันที่จริง จำนวนตรรกยะ ทุกจำนวนสามารถแสดงได้ในลักษณะนี้: ลำดับ "สุ่ม" เริ่มต้น ตามด้วยการวนซ้ำ นั่นคือ วงโคจรคาบของการแปลงมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับจำนวนตรรกยะ ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k-1}}$${\displaystyle b_{k},b_{k+1},b_{k+2},\ldots ,b_{k+m-1}}$${\displaystyle m}$$${\displaystyle y=\sum _{j=0}^{m-1}b_{k+j}2^{-j-1}}$$$${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{k+j}2^{-j-1}=y\sum _{j=0}^{\infty }2^{-jm}={\frac {y}{1-2^{m}}}}$$

วงโคจรคาบดังกล่าวมีเศษส่วนต่อเนื่องคาบที่เทียบเท่ากัน ตามไอโซมอร์ฟิซึมที่กำหนดไว้ข้างต้น มีวงโคจร "อลหม่าน" เริ่มต้นที่มีความยาวจำกัด ตามด้วยลำดับที่ซ้ำกัน ลำดับที่ซ้ำกันสร้างเศษส่วนต่อเนื่องคาบที่สอดคล้องกับเศษส่วนต่อเนื่องนี้มีรูปแบบ^{[ 5 ]} โดยที่เป็นจำนวนเต็ม และสอดคล้องกับค่าที่ชัดเจนสามารถหาได้โดยการเขียน สำหรับการเลื่อน ดังนั้น ในขณะที่การสะท้อนกำหนดโดย ดังนั้นเมทริกซ์ทั้งสองนี้เป็น เมทริกซ์ เอกโมดูลาร์ ผลคูณโดยพลการยังคงเป็นเอกโมดูลาร์ และส่งผลให้ได้เมทริกซ์ในรูปแบบ ที่ให้ค่าที่แน่นอนของเศษส่วนต่อเนื่อง เนื่องจากรายการเมทริกซ์ทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม เมทริกซ์นี้จึงเป็นของกลุ่มโมดูลาร์ เชิงโปรเจกทีฟ${\displaystyle x=[a_{n},a_{n+1},a_{n+2},\ldots ,a_{n+r},x].}$$${\displaystyle x={\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}}$$${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1.}$$${\displaystyle S\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle S^{n}\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\n&1\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle T\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle T^{2}=I}$$${\displaystyle S^{a_{n}}TS^{a_{n+1}}T\cdots TS^{a_{n+r}}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$$${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} ).}$

เมื่อแก้สมการอย่างชัดเจน จะได้ว่าไม่ใช่เรื่องยากที่จะตรวจสอบว่าคำตอบของสมการนี้ตรงกับนิยามของจำนวนอตรรกยะกำลังสอง อันที่จริง จำนวนอตรรกยะกำลังสองทุกจำนวนสามารถแสดงได้ในลักษณะนี้ ดังนั้น จำนวนอตรรกยะกำลังสองจึงมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับวงโคจรคาบของการแปลงไดอะดิก ซึ่งมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับจำนวนตรรกยะ (ที่ไม่ใช่ไดอะดิก) ซึ่งมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับจำนวนตรรกยะไดอะดิก ฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามแสดงถึงความสัมพันธ์ในแต่ละกรณี ${\displaystyle \gamma x^{2}+(\delta -\alpha )x-\beta =0.}$

ฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามเป็น ฟังก์ชัน ที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดและต่อเนื่อง^{[ 6 ]}แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์อนุพันธ์ถูกกำหนดไว้เกือบทุกที่และสามารถรับค่าได้เพียงสองค่า คือ 0 (ค่าของมันเกือบทุกที่ รวมถึงที่จำนวนตรรกยะ ทั้งหมด ) และ[ ^{7 ] มี}การสร้างมาตรวัด หลายแบบ ที่เมื่อรวมเข้าด้วยกันแล้วจะได้ฟังก์ชันเครื่องหมายคำถาม การสร้างแบบหนึ่งดังกล่าวได้มาจากการวัดความหนาแน่นของจำนวน Fareyบนเส้นจำนวนจริง มาตรวัดเครื่องหมายคำถามเป็นตัวอย่างต้นแบบของสิ่งที่บางครั้งเรียกว่ามาตรวัดมัลติแฟรกทัล ${\displaystyle +\infty }$

ฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามจะแมปจำนวนตรรกยะไปยังจำนวนตรรกยะแบบไดอะดิกซึ่งหมายถึงจำนวนตรรกยะที่มี การแสดง ฐานสองสิ้นสุดลง ดังที่สามารถพิสูจน์ได้โดยการเหนี่ยวนำจากการสร้างแบบเวียนซ้ำที่กล่าวไว้ข้างต้น ฟังก์ชันนี้จะแมปจำนวนอตรรกยะกำลังสองไปยังจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่แบบไดอะดิก ในทั้งสองกรณี ฟังก์ชันนี้ให้ไอโซมอร์ฟิซึมลำดับระหว่างเซตเหล่านี้^{[ 8 ]}ทำให้ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมของแคนเตอร์เป็นรูปธรรม ซึ่งระบุว่าลำดับเชิงเส้นหนาแน่นที่นับได้ไม่จำกัดสองลำดับใดๆ จะเป็นไอโซมอร์ฟิซึมลำดับกัน^{[ 9 ]} ฟังก์ชัน นี้เป็นฟังก์ชันคี่และสอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน?( x + 1) = ?( x ) + 1ดังนั้นx ↦ ?( x ) − x จึง เป็นฟังก์ชันคาบ คี่ ที่มีคาบหนึ่ง ถ้า?( x )เป็นจำนวนอตรรกยะ แล้วxจะเป็นพีชคณิตที่มีดีกรีมากกว่าสอง หรือ เป็น จำนวน อดิศัย

ฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามมีจุดคงที่ที่ 0, ⁠1/2และ 1 และอย่างน้อยอีกสองจุดสมมาตรเกี่ยวกับจุดกึ่งกลาง จุดหนึ่งมีค่าประมาณ 0.42037 ^{[ 6 ]} คาดการณ์ว่าจุดเหล่านี้เป็นจุดคงที่เพียง 5 จุดเท่านั้น^{[ 10 ]}

ในปี พ.ศ. 2486 ราฟาเอล ซาเล็มได้ตั้งคำถามว่าสัมประสิทธิ์ฟูริเยร์-สตีลต์เจสของฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามหายไปที่อนันต์หรือไม่^{[ 11 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง เขาต้องการทราบว่าหรือไม่ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}e^{2\pi inx}\,\operatorname {d?} (x)=0.}$$

จอร์แดนและซาห์ลสเตนตอบรับในเชิงบวก โดยถือเป็นกรณีพิเศษของผลลัพธ์เกี่ยวกับการวัดของกิบบส์^{[ 12 ]}

กราฟของฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามของมินคอฟสกีเป็นกรณีพิเศษของเส้นโค้งแฟร็กทัลที่เรียกว่าเส้นโค้งเดอแรม

นิยามแบบเรียกซ้ำนั้นเหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับ การสร้าง อัลกอริทึมเพื่อคำนวณฟังก์ชันด้วยความแม่นยำในระดับที่ต้องการสำหรับจำนวนจริงใดๆ ดังที่ ฟังก์ชัน C ต่อไปนี้ แสดงให้เห็น อัลกอริทึมจะลงไปในต้นไม้ Stern–Brocotเพื่อค้นหาค่าอินพุต  xและบวกพจน์ของการขยายเลขฐานสองของy = ?( x )ระหว่างทาง ตราบใดที่ เงื่อนไข คงที่ของลูปqr − ps = 1ยังคงเป็นจริง ก็ไม่จำเป็นต้องลดทอนเศษส่วนม/n=​​พี + อาร์/q + sเนื่องจากอยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุดอยู่แล้ว ตัวแปรคงที่อีกตัวหนึ่งคือพี/q≤ x < ⁠​ร/สลูforปในโปรแกรมนี้สามารถวิเคราะห์ได้ในลักษณะเดียวกับ ลูปทั่วไป โดยคำ สั่งwhile break แบบมีเงื่อนไขในสามบรรทัดแรกทำหน้าที่กำหนดเงื่อนไข คำสั่งเดียวในลูปที่อาจส่งผลต่อค่าคงที่ได้นั้นอยู่ในสองบรรทัดสุดท้าย และสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าคำสั่งเหล่านี้ยังคงรักษาความจริงของค่าคงที่ทั้งสองไว้ ตราบใดที่สามบรรทัดแรกทำงานสำเร็จโดยไม่หยุดลูป ค่าคงที่ที่สามสำหรับส่วนของลูป (จนถึงความแม่นยำของเลขทศนิยม) คือ y ≤ ?( x ) < y + dแต่เนื่องจาก dถูกหารครึ่งที่จุดเริ่มต้นของลูปก่อนที่จะมีการทดสอบเงื่อนไขใดๆ ข้อสรุปของเราจึงเป็นเพียงว่า y ≤ ?( x ) < y + 2 dเมื่อลูปสิ้นสุดลง

เพื่อพิสูจน์การสิ้นสุดของลูป เพียงแค่สังเกตว่าผลรวมq + sเพิ่มขึ้นอย่างน้อย 1 ในแต่ละรอบของการวนซ้ำ และลูปจะสิ้นสุดเมื่อผลรวมนี้มีขนาดใหญ่เกินกว่าที่จะแสดงในชนิดข้อมูลพื้นฐานของภาษา C ได้ก็เพียงพอแล้วlongอย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ เงื่อนไข break when y + d == yคือสิ่งที่รับประกันว่าลูปจะสิ้นสุดในเวลาที่เหมาะสม

/* ฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามของ Minkowski */ double minkowski ( double x ) { long p = x ; long q = 1 , r = p + 1 , s = 1 , m , n ; double d = 1 , y = p ; if ( x < p || ( p < 0 ) ^ ( r <= 0 )) return x ; /* นอกช่วง ?(x) =~ x */ while ( true ) { /* เงื่อนไขคงที่: q * r - p * s == 1 && p / q <= x && x < r / s */ d /= 2 ; if ( y + d == y ) break ; /* ถึงความแม่นยำสูงสุดที่เป็นไปได้ */ m = p + r ; if (( m < 0 ) ^ ( p < 0 )) break ; /* ผลรวมเกินขีดจำกัด */ n = q + s ; ถ้า( n < 0 ) หยุดการทำงาน/ * ผลรวมเกินขีดจำกัด */ถ้า( x < ( double ) m / n ) { r = m ; s = n ; } มิฉะนั้น{ y += d ; p = m ; q = n ; } } คืนค่าy + d ; /* ปัดเศษสุดท้าย */ }

เมื่อจำกัดฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามของ Minkowski ไว้ที่ ?:[0,1] → [0,1] ฟังก์ชันนี้สามารถใช้เป็นฟังก์ชันการกระจายสะสมของการกระจายเอกฐานบนช่วงหน่วยได้ การกระจายนี้สมมาตรเกี่ยวกับจุดกึ่งกลาง โดยมีโมเมนต์ดิบประมาณm ₁  = 0.5, m ₂  = 0.290926, m ₃  = 0.186389 และm ₄  = 0.126992 ^{[ 13 ]}ดังนั้นค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐานคือ 0.5 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานประมาณ 0.2023 ค่าความเบ้คือ 0 และค่าความโค้งส่วนเกินประมาณ −1.147

• ฟังก์ชันแคนเตอร์สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการตีความเลขฐานสามใหม่ให้เป็นเลขฐานสอง ในทำนองเดียวกับที่ฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามตีความเศษส่วนต่อเนื่องใหม่ให้เป็นเลขฐานสอง
• ปัญหาของ Hermiteซึ่งหนึ่งในแนวทางใช้การวางนัยทั่วไปของฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามของ Minkowski ^{[ 14 ]}
• อนุพันธ์ปอมเปอี

• รายการบรรณานุกรมที่ครอบคลุม
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. , "ฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามของมินคอฟสกี" , MathWorld
• การใช้งานมาตรฐาน IEEE 754 อย่างง่ายในภาษา C++