ปัญหาของแอร์ไมต์เป็นปัญหาที่ยังไม่มีคำตอบในทางคณิตศาสตร์ ซึ่ง ชาร์ลส์ แอร์ไมต์ได้ตั้งขึ้นในปี ค.ศ. 1848 เขาต้องการหาวิธีที่จะแสดงจำนวนจริงในรูปของลำดับของจำนวนธรรมชาติโดยที่ลำดับนั้นจะเป็นคาบในที่สุดเมื่อจำนวนดั้งเดิมเป็นจำนวนอตรรกยะกำลัง สาม

วิธีการมาตรฐานในการเขียนจำนวนจริงคือการเขียนในรูปทศนิยมเช่น:

${\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots \ }$

โดยที่0เป็นจำนวนเต็มซึ่งเป็น_ส่วนจำนวนเต็มของxและ1 , ₂ , 3 _, ... เป็นจำนวนเต็มระหว่าง 0 ถึง 9 จาก รูป_แบบนี้ จำนวนxเท่ากับ

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{10^{n}}}.}$

จำนวนจริงxเป็นจำนวนตรรกยะ ก็ต่อเมื่อการ กระจาย ทศนิยมของมันเป็นคาบในที่สุด กล่าวคือ ถ้ามีจำนวนธรรมชาติNและpที่ทำให้สำหรับทุกn  ≥  Nจะได้ว่าa _{n + p}  =  a _n

อีกวิธีหนึ่งในการแสดงตัวเลขคือการเขียนตัวเลขเหล่านั้นในรูปเศษส่วนต่อเนื่องอย่างง่ายดังนี้:

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ],\ }$

โดยที่0เป็นจำนวนเต็ม และ1 _{, 2} , ₃ ... _เป็นจำนวนธรรมชาติ จากการแสดงแบบนี้ เราสามารถกู้คืนxได้เนื่องจาก

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ddots }}}}}}.}$

ถ้าxเป็นจำนวนตรรกยะ ลำดับ ( a _n ) จะสิ้นสุดลงหลังจากจำนวนพจน์ที่จำกัด ในทางกลับกันออยเลอร์พิสูจน์ว่าจำนวนอตรรกยะต้องการลำดับอนันต์เพื่อแสดงเป็นเศษส่วนต่อเนื่อง^{[ 1 ]} ยิ่งไปกว่านั้น ลำดับนี้จะเป็นคาบในที่สุด (อีกครั้ง ดังนั้นจึงมีจำนวนธรรมชาติNและpที่สำหรับทุกn  ≥  Nเรามีa _{n + p}  =  a _n ) ก็ต่อเมื่อxเป็นจำนวนอตรรกยะกำลังสอง

จำนวนตรรกยะคือจำนวนพีชคณิตที่สอดคล้องกับพหุนามดีกรี 1 ในขณะที่จำนวนอตรรกยะกำลังสองคือจำนวนพีชคณิตที่สอดคล้องกับพหุนามดีกรี 2 สำหรับเซตของจำนวนทั้งสองนี้ เรามีวิธีสร้างลำดับของจำนวนธรรมชาติ ( a _n ) ที่มีคุณสมบัติว่าแต่ละลำดับจะให้จำนวนจริงที่ไม่ซ้ำกันเพียงจำนวนเดียว และจำนวนจริงนี้จะอยู่ในเซตที่สอดคล้องกันก็ต่อเมื่อลำดับนั้นเป็นคาบในที่สุด

ในปี พ.ศ. 2391 ชาร์ลส์ แอร์ไมต์ เขียนจดหมายถึงคาร์ล กุสตาฟ จาคอบ จาโคบีถามว่าสถานการณ์นี้สามารถสรุปเป็นแบบทั่วไปได้หรือไม่ กล่าวคือ เราสามารถกำหนดลำดับของจำนวนธรรมชาติให้กับจำนวนจริงx แต่ละจำนวนได้ หรือไม่ โดยที่ลำดับนั้นจะเป็นคาบเมื่อxเป็นจำนวนอตรรกยะกำลังสาม ซึ่งก็คือจำนวนพีชคณิตดีกรี 3 [ ^{2 ] [ 3 ] หรือ} โดยทั่วไปแล้ว สำหรับจำนวนธรรมชาติd แต่ละ จำนวน มีวิธีใดบ้างในการกำหนดลำดับของจำนวนธรรมชาติให้กับจำนวนจริงx แต่ละจำนวน ที่สามารถเลือกได้ว่าเมื่อใดที่xเป็นจำนวนพีชคณิตดีกรีd

ลำดับที่พยายามแก้ปัญหาของ Hermite มักเรียกว่าเศษส่วนต่อเนื่องหลายมิติ Jacobi เองก็คิดค้นตัวอย่างแรกๆ โดยพบลำดับที่สอดคล้องกับจำนวนจริงแต่ละคู่ ( x , y ) ซึ่งทำหน้าที่เป็นอนาล็อกของเศษส่วนต่อเนื่องในมิติที่สูงกว่า^{[ 4 ]} เขาหวังที่จะแสดงให้เห็นว่าลำดับที่แนบมากับ ( x , y ) จะเป็นคาบในที่สุด ก็ต่อเมื่อทั้งxและyอยู่ในฟิลด์จำนวนลูกบาศก์แต่เขาไม่สามารถทำได้ และไม่ว่าจะเป็นเช่นนั้นหรือไม่ก็ยังคงเป็นปริศนาอยู่

ในปี 2015 เป็นครั้งแรกที่มีการนำเสนอรูปแบบคาบสำหรับจำนวนอตรรกยะลูกบาศก์ใดๆ โดยใช้เศษส่วนต่อเนื่องสามตัว กล่าวคือ ปัญหาการเขียนจำนวนอตรรกยะลูกบาศก์เป็นลำดับคาบของจำนวนตรรกยะหรือจำนวนเต็มได้รับการแก้ไขแล้ว อย่างไรก็ตาม รูปแบบคาบนี้ไม่ได้มาจากอัลกอริทึมที่กำหนดไว้เหนือจำนวนจริงทั้งหมด และได้มาจากการรู้พหุนามขั้นต่ำของจำนวนอตรรกยะลูกบาศก์ เท่านั้น ^{[ 5 ]}

แทนที่จะสรุปเศษส่วนต่อเนื่อง แนวทางอื่นในการแก้ปัญหาคือการสรุปฟังก์ชันเครื่องหมายคำถามของ Minkowskiฟังก์ชัน ? : [0, 1] → [0, 1] นี้ยังเลือกจำนวนอตรรกยะกำลังสองด้วย เนื่องจาก ?( x ) เป็นจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่อxเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะกำลังสอง และยิ่งไปกว่านั้นxเป็นจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่อ ?( x ) เป็นจำนวนตรรกยะแบบไดอะดิกดังนั้นxจึงเป็นจำนวนอตรรกยะกำลังสองก็ต่อเมื่อ ?( x ) เป็นจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่แบบไดอะดิก มีการสรุปฟังก์ชันนี้ในรูปแบบต่างๆ ไปยังสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย [0, 1] × [0, 1] หรือ ซิมเพล็กซ์สองมิติแต่ยังไม่มีวิธีใดแก้ปัญหาของ Hermite ได้^{[ 6 ] [ 7 ]}

Oleg Karpenkov ได้เสนออัลกอริทึมการลบสองแบบสำหรับการค้นหาตัวแทนคาบของเวกเตอร์ลูกบาศก์^{[ 8 ]} อัลกอริทึม แรก ( ) ใช้ได้เฉพาะกับกรณีจำนวนจริงทั้งหมดเท่านั้น อินพุตสำหรับอัลกอริทึมคือเวกเตอร์ลูกบาศก์สามตัว เวกเตอร์ลูกบาศก์คือเวกเตอร์ใดๆ ที่สร้างส่วนขยายดีกรี 3 ของในกรณีนี้ เวกเตอร์ลูกบาศก์จะเป็นคู่กันก็ต่อเมื่อเอาต์พุตของอัลกอริทึมเป็นคาบ อัลกอริทึมที่สอง ( อัลกอริทึม HAPD ) คาดว่าจะใช้ได้กับทุกกรณี (รวมถึงเวกเตอร์ลูกบาศก์เชิงซ้อน) และทุกมิติ ${\displaystyle \sin ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle d\geq 3}$

• อัลกอริทึม Jacobi–Perron