ในทฤษฎีระบบพลวัต แผนที่ของคนทำขนมปัง (Baker 's map) คือ แผนที่ อลวนจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยเข้าสู่ตัวมันเอง ชื่อนี้ได้มาจาก การ นวดแป้งที่คนทำขนมปังใช้ คือ การตัดแป้งออกเป็นสองส่วน แล้วนำสองส่วนนั้นมาซ้อนกันและบีบอัด

แผนที่ของคนทำขนมปังสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นตัวดำเนินการเลื่อนแบบ ทวิภาคีของ แบบจำลองโครงตาข่ายสองสถานะแบบอนันต์สองด้านแผนที่ของคนทำขนมปังเป็นคู่กันทางโทโพโลยีกับแผนที่เกือกม้าในทางฟิสิกส์โซ่ของแผนที่ของคนทำขนมปังที่เชื่อมต่อกันสามารถใช้ในการจำลอง การแพร่ แบบกำหนด ได้

เช่นเดียวกับระบบพลวัตเชิง กำหนดหลายๆ ระบบ แผนที่ของเบเกอร์ได้รับการศึกษาโดยพิจารณาจากการกระทำของมันบนปริภูมิของฟังก์ชันที่นิยามบนสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย แผนที่ของเบเกอร์นิยามตัวดำเนินการบนปริภูมิของฟังก์ชัน ซึ่งเรียกว่าตัวดำเนินการถ่ายโอนของแผนที่ แผนที่ของเบเกอร์เป็นแบบจำลองความโกลาหลเชิงกำหนดที่สามารถหาคำตอบได้อย่างแม่นยำเนื่องจากฟังก์ชันเฉพาะและค่าเฉพาะของตัวดำเนินการถ่ายโอนสามารถกำหนดได้อย่างชัดเจน

มีคำจำกัดความทางเลือกสองแบบสำหรับแผนที่ของคนทำขนมปังซึ่งใช้กันทั่วไป คำจำกัดความหนึ่งคือการพับหรือหมุนครึ่งที่ถูกตัดออกครึ่งหนึ่งก่อนที่จะนำมาประกบกัน (คล้ายกับแผนที่รูปเกือกม้า ) ส่วนอีกคำจำกัดความหนึ่งจะไม่ทำเช่นนั้น

แผนที่คนทำขนมปังที่พับแล้วจะทำหน้าที่บนตารางหน่วยดังนี้

${\displaystyle S_{\text{baker-folded}}(x,y)={\begin{cases}(2x,{\frac {y}{2}})&{\text{สำหรับ }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\(2-2x,1-{\frac {y}{2}})&{\text{สำหรับ }}{\frac {1}{2}}\leq x<1.\end{cases}}}$

เมื่อส่วนบนไม่ได้พับลงมา แผนที่อาจเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle S_{\text{baker-unfolded}}(x,y)=\left(2x-\left\lfloor 2x\right\rfloor ,\ {\frac {y+\left\lfloor 2x\right\rfloor }{2}}\right).}$

แผนที่คนทำขนมปังแบบพับได้นั้นเป็นแบบจำลองสองมิติของแผนที่เต็นท์

${\displaystyle S_{\mathrm {tent} }(x)={\begin{cases}2x&{\text{สำหรับ }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2(1-x)&{\text{สำหรับ }}{\frac {1}{2}}\leq x<1\end{cases}}}$

ในขณะที่แผนที่ที่คลี่ออกนั้นคล้ายคลึงกับแผนที่เบอร์นูลลีแผนที่ทั้งสองเป็นคู่กันทางโทโพโลยี แผนที่เบอร์นูลลีสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นแผนที่ที่ค่อยๆ ตัดตัวเลขออกจากการขยายแบบทวิภาคของxซึ่งแตกต่างจากแผนที่เต็นท์ แผนที่ของคนทำขนมปังสามารถผกผันได้

แผนที่ของคนทำขนมปังรักษา มาตรวัดเลเบสแบบสองมิติไว้

แผนที่นี้มีการผสมผสานอย่างเข้มข้นและมีการผสมผสานเชิงโทโพโลยี

ตัวดำเนินการถ่ายโอน จะแปลงฟังก์ชันบนสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยไปเป็นฟังก์ชันอื่นบนสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย โดยกำหนดโดย ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \left[Uf\right](x,y)=(f\circ S^{-1})(x,y).}$

ตัวดำเนินการถ่ายโอนเป็น ตัวดำเนินการ เอกภาพบนปริภูมิฮิลเบิร์ตของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้บนสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย สเปกตรัมมีความต่อเนื่อง และเนื่องจากตัวดำเนินการเป็นเอกภาพ ค่าลักษณะเฉพาะจึงอยู่บนวงกลมหน่วย ตัวดำเนินการถ่ายโอนไม่ใช่ตัวดำเนินการเอกภาพบนปริภูมิของฟังก์ชันพหุนามในพิกัดแรกและหาปริพันธ์กำลังสองได้ในพิกัดที่สอง บนปริภูมินี้ ตัวดำเนินการมีสเปกตรัมแบบไม่ต่อเนื่อง ไม่ใช่เอกภาพ และลดลง ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{x}\otimes L_{y}^{2}}$

แผนที่ของคนทำขนมปังสามารถเข้าใจได้ว่าเป็น ตัวดำเนินการเลื่อนสองด้านบนพลวัตเชิงสัญลักษณ์ของโครงตาข่ายหนึ่งมิติ พิจารณาตัวอย่างเช่น สตริงอนันต์สองด้าน

${\displaystyle \sigma =\left(\ldots ,\sigma _{-2},\sigma _{-1},\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots \right)}$

โดยแต่ละตำแหน่งในสตริงอาจมีค่าไบนารีได้สองค่าการทำงานของตัวดำเนินการ shift บนสตริงนี้คือ ${\displaystyle \sigma _{k}\in \{0,1\}}$

${\displaystyle \tau (\ldots ,\sigma _{k},\sigma _{k+1},\sigma _{k+2},\ldots )=(\ldots ,\sigma _{k-1},\sigma _{k},\sigma _{k+1},\ldots )}$

กล่าวคือ ตำแหน่งแลตติซแต่ละตำแหน่งจะเลื่อนไปทางซ้ายหนึ่งตำแหน่ง สตริงอนันต์สองด้านอาจแสดงด้วยจำนวนจริงสองจำนวน ดังนี้ ${\displaystyle 0\leq x,y\leq 1}$

${\displaystyle x(\sigma )=\sum _{k=0}^{\infty }\sigma _{-k}2^{-(k+1)}}$

และ

${\displaystyle y(\sigma )=\sum _{k=0}^{\infty }\sigma _{k+1}2^{-(k+1)}.}$

ในการแสดงผลนี้ ตัวดำเนินการเลื่อนบิตมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle \tau (x,y)=\left(2x-\left\lfloor 2x\right\rfloor ,\ {\frac {y+\left\lfloor 2x\right\rfloor }{2}}\right)}$

ซึ่งก็คือแผนผังของคนทำขนมปังที่คลี่ออกแล้วดังที่แสดงไว้ข้างต้น

• กระบวนการเบอร์นูลลี