ในทางคณิตศาสตร์ ซับชิฟต์ชนิดจำกัด ( Subshifts of finite type)คือปริภูมิการเลื่อน (shift space)ที่นิยามโดยเซตคำต้องห้ามจำนวนจำกัด มีการใช้ซับชิฟต์เหล่านี้ในการจำลองระบบพลวัตโดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นวัตถุของการศึกษาในพลวัตเชิงสัญลักษณ์และทฤษฎีเออร์โกดิกนอกจากนี้ยังใช้อธิบายเซตของลำดับที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ดำเนินการโดยเครื่องสถานะจำกัด (finite-state machine ) ปริภูมิการเลื่อนที่ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางที่สุดคือซับชิฟต์ชนิดจำกัด

ตัวอย่างหนึ่งของการเลื่อน (ด้านเดียว) ชนิดจำกัด คือ เซตของลำดับทั้งหมด ซึ่งอนันต์ที่ปลายด้านเดียวเท่านั้น ที่สามารถประกอบขึ้นจากตัวอักษรเช่นนี่เรียกว่าการเลื่อนแบบเต็มและใช้สัญลักษณ์แทน${\displaystyle A,B}$${\displaystyle AAA\cdots ,ABAB\cdots ,\dots }$${\displaystyle \{A,B\}^{\mathbb {N} }}$

โดยการห้ามใช้คำนั้นจะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงประเภทจำกัดที่เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงสีทอง (golden shift ) ซึ่งได้ชื่อนี้เพราะจำนวนคำที่ถูกต้องตามกฎหมายที่มีความยาวเท่ากับจำนวนฟิโบนาชชีการเปลี่ยนแปลงสองด้านประเภทจำกัดนั้นคล้ายกัน แต่ประกอบด้วยลำดับที่ไม่มีที่สิ้นสุดทั้งสองด้าน${\displaystyle BB}$${\displaystyle \Sigma =\{(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots )\mid x_{i}x_{i+1}\neq BB\}}$${\displaystyle n}$

ซับชิฟต์สามารถกำหนดได้ด้วยกราฟแบบมีทิศทางบนตัวอักษร เช่น กราฟโดยประกอบด้วยลำดับที่มีการเปลี่ยนผ่านระหว่างตัวอักษรที่อยู่ติดกันเฉพาะที่กราฟอนุญาตเท่านั้น สำหรับตัวอย่างนี้ ซับชิฟต์ประกอบด้วยลำดับด้านเดียวเพียงสามลำดับ: ในทำนองเดียวกัน ซับชิฟต์สองด้านที่อธิบายโดยกราฟนี้ประกอบด้วยลำดับสองด้านเพียงสามลำดับ${\displaystyle A\to B\to C\to A}$${\displaystyle ABCABC\cdots ,BCABCA\cdots ,CABCAB\cdots }$

กราฟทิศทางอื่นๆ บนตัวอักษรเดียวกันจะสร้างการเลื่อนย่อยอื่นๆ ตัวอย่างเช่น การเพิ่มลูกศรอีกอันลงในกราฟจะสร้างการเลื่อนย่อยที่แทนที่จะมีลำดับสามลำดับ กลับมี ลำดับ จำนวนอนันต์ที่นับไม่ได้โดยที่การเข้ารหัสตัวอักษรในระดับท้องถิ่นไม่สามารถกำหนดได้ การเลื่อนย่อยทุกประเภทที่มีชนิดจำกัดสามารถอธิบายได้ด้วยกราฟทิศทางดังกล่าว${\displaystyle A\to C}$

ให้เป็นเซตจำกัดของสัญลักษณ์ (ตัวอักษร) ให้แทนเซตของลำดับอนันต์คู่ทั้งหมดขององค์ประกอบของพร้อมกับตัวดำเนินการเลื่อนเรากำหนดโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องให้กับและโทโพโลยีแบบ ผลคูณ ให้กับ โฟล ว์เชิงสัญลักษณ์หรือการเลื่อนย่อยเป็นเซตย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ปิดของ^{[ 1 ]}และภาษาที่เกี่ยวข้องคือเซตของคำย่อยจำกัดขององค์ประกอบของ^{[ 2 ]}${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}}$${\displaystyle Y}$

ให้เป็นเซตจำกัดของคำในอักษรซึ่งเรียกว่าคำต้องห้ามส่วนย่อยแบบจำกัดชนิดที่เกี่ยวข้องนั้น กำหนดให้เป็นปริภูมิ${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

$${\displaystyle \Sigma _{F}=\{(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots )\mid \forall i,k\geq 0,x_{i}x_{i+1}\cdots x_{i+k}\notin F\}}$$

ลำดับของคำที่หลีก เลี่ยงชุดคำต้องห้าม${\displaystyle F}$

ถ้าลำดับขยายไปสู่อนันต์ในทิศทางเดียวดังที่กล่าวมาข้างต้น จะเรียกว่า ซับชิฟต์ ด้านเดียวชนิดจำกัด และถ้าเป็นแบบสองด้านจะเรียกว่า ซับชิฟต์ สองด้านชนิดจำกัด

ตัวดำเนินการเลื่อน (shift operator) จะแปลงลำดับใน shift ด้านเดียวหรือสองด้านไปเป็นลำดับอื่นโดยการเลื่อนสัญลักษณ์ทั้งหมดไปทางซ้าย เช่น${\displaystyle T}$

$${\displaystyle (T(x))_{i}=x_{i+1}.}$$

เห็นได้ชัดว่าแผนที่นี้สามารถกลับด้านได้เฉพาะในกรณีของการเลื่อนสองด้านเท่านั้น

กลุ่มย่อยที่มีประโยชน์เป็นพิเศษอย่างหนึ่งคือการเลื่อนขอบให้Aเป็นเมทริกซ์ประชิดขนาดn × n ที่มีสมาชิกอยู่ใน{0, 1}โดยใช้สมาชิกเหล่านี้ เราสร้างกราฟทิศทางG = ( V , E )โดยที่Vคือเซตของจุดยอด และEคือเซตของขอบที่มีขอบทิศทางx → yในEก็ต่อเมื่อA = 1ให้Yเป็นเซตของลำดับขอบที่ยอมรับได้ แบบอนันต์ทั้งหมด โดยที่ ยอมรับได้หมายความว่าลำดับนั้นเป็นการเดินของกราฟ และลำดับนั้นอาจเป็นอนันต์ด้านเดียวหรือสองด้านก็ได้ ให้Tเป็นตัวดำเนินการเลื่อนซ้ายบนลำดับดังกล่าว มันทำหน้าที่เป็นตัวดำเนินการวิวัฒนาการตามเวลาของระบบพลวัต การเลื่อนขอบจึงถูกกำหนดให้เป็นคู่( Y , T )ที่ได้มาด้วยวิธีนี้

ในทางทฤษฎี เราอาจกำหนดลำดับของขอบได้ดังนี้

${\displaystyle \Sigma _{A}^{+}=\left\{(x_{0},x_{1},\ldots ):x_{j}\in V,A_{x_{j}x_{j+1}}=1,j\in \mathbb {N} \right\}.}$

นี่คือปริภูมิของลำดับสัญลักษณ์ทั้งหมด โดยที่สัญลักษณ์pจะตามด้วยสัญลักษณ์q ได้ ก็ต่อเมื่อ สมาชิกตัวที่ ( p , q )ของเมทริกซ์Aมีค่าเป็น 1 เท่านั้น ปริภูมิของลำดับอนันต์คู่ ทั้งหมด ถูกนิยามในทำนองเดียวกัน:

${\displaystyle \Sigma _{A}=\left\{(\ldots ,x_{-1},x_{0},x_{1},\ldots ):x_{j}\in V,A_{x_{j}x_{j+1}}=1,j\in \mathbb {Z} \right\}.}$

การเลื่อนขอบเป็นเซตย่อยของการเลื่อนย่อยประเภทจำกัดซึ่งเซตของคำต้องห้ามประกอบด้วยคำสองตัวอักษรเท่านั้น ในทางกลับกัน สามารถแสดงได้ว่าการเลื่อนย่อยประเภทจำกัดทุกรายการเป็นคู่กันทางโทโพโลยีกับการเลื่อนขอบผ่าน การเข้ารหัส ใหม่ในท้องถิ่น^{[ 3 ]}

การเลื่อนขอบเรียกว่าแบบถ่ายทอดได้ (transitive)ถ้าGเป็น กราฟ ที่เชื่อมต่อกันอย่างแน่นหนา (strongly connected ) กล่าวคือ มีลำดับของขอบจากจุดยอดใดๆ ไปยังจุดยอดอื่นๆ การเลื่อนขอบย่อยแบบจำกัด (finite type) ที่มีวงโคจรหนาแน่น (dense orbits) คือการเลื่อนขอบย่อยที่เป็นคู่สม (conjugate) กับการเลื่อนขอบแบบถ่ายทอดได้นั่นเอง

กรณีพิเศษที่สำคัญคือn -shift แบบเต็ม : มันมีกราฟที่มีขอบที่เชื่อมต่อทุกจุดยอดกับทุกจุดยอดอื่น ๆ กล่าวคือ ค่าทั้งหมดในเมทริกซ์ประชิดเป็น 1 n -shift แบบเต็มสอดคล้องกับแบบแผนเบอร์นูลลีที่ไม่มีการวัด

ตามธรรมเนียมแล้ว คำว่า " shift"หมายถึง shift เต็มรูปแบบn- shift ส่วน subshiftคือ subspace ใดๆ ของ shift เต็มรูปแบบที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกระทำของตัวดำเนินการ shift (กล่าวคือ subspace ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การกระทำของตัวดำเนินการ shift) ไม่ว่างเปล่า และปิดสำหรับโทโพโลยีผลคูณที่กำหนดไว้ด้านล่าง subshift บางส่วนสามารถระบุลักษณะได้ด้วยเมทริกซ์การเปลี่ยนผ่าน ดังที่กล่าวมาข้างต้น subshift ดังกล่าวเรียกว่า subshift ประเภทจำกัด บ่อยครั้งที่ subshift ประเภทจำกัดเรียกว่าshift ประเภทจำกัดบางครั้ง subshift ประเภทจำกัดก็เรียกว่าtopological Markov shiftsด้วย

ระบบพลวัตอลวนจำนวนมากมีลักษณะสมมาตรกับซับชิฟต์ของชนิดจำกัด ตัวอย่างเช่น ระบบที่มีการเชื่อมต่อโฮโมคลินิกตามขวางการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลของแมนิโฟลด์ปิดที่ มี เอนโทรปีเมตริกเป็นบวกและแผนที่มาร์คอฟเชิงเส้นแบบแบ่งช่วงของช่วงเวลา

ซับชิฟต์มีโทโพโลยีตามธรรมชาติ ซึ่งได้มาจากโทโพโลยีผลคูณบน⁠ ⁠${\displaystyle V^{\mathbb {Z} },}$โดยที่

${\displaystyle V^{\mathbb {Z} }=\prod _{n\in \mathbb {Z} }V=\{x=(\ldots ,x_{-1},x_{0},x_{1},\ldots ):x_{k}\in V\;\forall k\in \mathbb {Z} \}}$

และVได้รับโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องฐานสำหรับโทโพโลยีของซึ่งเหนี่ยว${\displaystyle V^{\mathbb {Z} },}$นำให้เกิดโทโพโลยีของการเลื่อนย่อย คือตระกูลของเซตทรงกระบอก

${\displaystyle C_{t}[a_{0},\ldots ,a_{s}]=\{x\in V^{\mathbb {Z} }:x_{t}=a_{0},\ldots ,x_{t+s}=a_{s}\}}$

เซตทรงกระบอกเป็นเซตปิดและ เปิด ใน⁠ ⁠${\displaystyle V^{\mathbb {Z} }.}$เซตเปิดทุกเซตใน⁠ ⁠${\displaystyle V^{\mathbb {Z} }}$เป็นการ รวมกันแบบ นับได้ของเซตทรงกระบอก เซตเปิดทุกเซตในซับชิฟต์เป็นการตัดกันของเซตเปิดของ⁠ ⁠${\displaystyle V^{\mathbb {Z} }}$กับซับชิฟต์ เมื่อเทียบกับโทโพโลยีนี้ ชิฟต์Tเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึม นั่นคือ เมื่อเทียบกับโทโพโลยีนี้ มันมีความต่อเนื่องและมีอินเวอร์สที่ต่อเนื่อง

พื้นที่ดังกล่าว${\displaystyle V^{\mathbb {Z} }}$มีลักษณะสมมาตรกับเซตแคนเตอร์

สามารถกำหนดเมตริกที่แตกต่างกันได้หลากหลายบนปริภูมิการเลื่อน เราสามารถกำหนดเมตริกบนปริภูมิการเลื่อนได้โดยพิจารณาว่าจุดสองจุดนั้น "อยู่ใกล้กัน" หากมีสัญลักษณ์เริ่มต้นร่วมกันจำนวนมาก นี่คือเมตริกp -adic อันที่จริงแล้ว ทั้งปริภูมิการเลื่อนด้านเดียวและสองด้านต่างก็เป็นปริภูมิเมตริกแบบกะทัดรัด

การเลื่อนย่อยแบบจำกัดประเภทอาจได้รับมอบหมายด้วยมาตรวัด ที่แตกต่างกันหลายแบบ ซึ่งนำไปสู่ระบบพลวัตที่รักษามาตรวัดไว้วัตถุที่นิยมศึกษาโดยทั่วไปคือมาตรวัดมาร์คอฟซึ่งเป็นการขยายลูกโซ่มาร์คอฟไปยังโทโพโลยีของการเลื่อน

ห่วงโซ่มาร์คอฟคือคู่( P , π)ที่ประกอบด้วย เมทริก ซ์การเปลี่ยนสถานะเมทริกซ์n × n P = ( p )ซึ่งp ทั้งหมด ≥ 0และ

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}p_{ij}=1}$

สำหรับทุกiเวกเตอร์ความน่าจะเป็นคงที่π = ( π ) มีค่า π ≥ 0ทั้งหมดและมี${\textstyle \sum \pi _{i}=1}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\pi _{i}p_{ij}=\pi _{j}.}$

กล่าวได้ว่าโซ่ Markov ตามที่นิยามไว้ข้างต้นนั้นเข้ากันได้กับการเลื่อนแบบจำกัดประเภท ถ้าp = 0เมื่อใดก็ตามที่A = 0 จากนั้น มาตรวัด Markovของเซตทรงกระบอกอาจนิยามได้โดย

${\displaystyle \mu (C_{t}[a_{0},\ldots ,a_{s}])=\pi _{a_{0}}p_{a_{0},a_{1}}\cdots p_{a_{s-1},a_{s}}}$

เอนโทรปี ของKolmogorov–Sinaiที่สัมพันธ์กับการวัดแบบ Markov คือ

${\displaystyle s_{\mu }=-\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}\sum _{j=1}^{n}p_{ij}\log p_{ij}}$

การวัดแบบมาร์คอฟและแบบไม่มาร์คอฟ

ดังที่กล่าวมาข้างต้น เมื่อกำหนดเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะของมาร์คอฟและการกระจายแบบไม่เปลี่ยนแปลงบนสถานะต่างๆ เราสามารถกำหนดมาตรวัดความน่าจะเป็นบนซับชิฟต์ได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาโซ่มาร์คอฟที่แสดงทางด้านซ้ายบนสถานะต่างๆโดยมีการกระจายแบบไม่เปลี่ยนแปลงหากเรา "ลืม" ความแตกต่างระหว่างเราจะฉายซับชิฟต์นี้บนไปยังซับชิฟต์บนและการฉายภาพนี้ยังฉายมาตรวัดความน่าจะเป็นลงไปยังมาตรวัดความน่าจะเป็นบนซับชิฟต์บนด้วย${\displaystyle A,B_{1},B_{2}}$${\displaystyle \pi =(2/7,4/7,1/7)}$${\displaystyle B_{1},B_{2}}$${\displaystyle A,B_{1},B_{2}}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle A,B}$

สิ่งที่น่าสนใจคือ การวัดความน่าจะเป็นบนการเลื่อนย่อยบนไม่ได้ถูกสร้างขึ้นโดยห่วงโซ่ Markov บนแม้แต่ลำดับหลายลำดับก็ตาม โดยสัญชาตญาณแล้ว นี่เป็นเพราะว่า หากสังเกตลำดับยาวของแล้วจะมีความมั่นใจมากขึ้นเรื่อยๆ ว่า ซึ่งหมายความว่าส่วนที่สังเกตได้ของระบบอาจได้รับผลกระทบจากบางสิ่งบางอย่างในอดีตอันไม่มีที่สิ้นสุด^{[ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle A,B}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle B^{n}}$${\displaystyle Pr(A|B^{n})\to {\frac {2}{3}}}$

ในทางกลับกัน มีการเลื่อนย่อยบนสัญลักษณ์ 6 ตัว ซึ่งฉายไปยังการเลื่อนย่อยบนสัญลักษณ์ 2 ตัว โดยที่การวัดแบบมาร์คอฟใดๆ บนการเลื่อนย่อยที่เล็กกว่าจะมีการวัดแบบพรีอิมเมจที่ไม่ใช่แบบมาร์คอฟในลำดับใดๆ (ตัวอย่าง 2.6 ^{[ 5 ]} )

ฟังก์ชันซีตา ของArtin–Mazurถูกกำหนดให้เป็นอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการ

${\displaystyle \zeta (z)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\Bigl |}{\textrm {Fix}}(T^{n}){\Bigr |}{\frac {z^{n}}{n}}\right),}$

โดยที่Fix( T ⁿ )คือเซตของจุดคงที่ของ การเลื่อน nเท่า^{[ 6 ]} มีสูตรผลคูณ

${\displaystyle \zeta (z)=\prod _{\gamma }\left(1-z^{|\gamma |}\right)^{-1}\ }$

โดยที่γวิ่งผ่านวงโคจรปิด^{[ 6 ]} สำหรับการเลื่อนย่อยประเภทจำกัด ฟังก์ชันซีตาเป็นฟังก์ชันตรรกยะของz : ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \zeta (z)=(\det(I-zA))^{-1}\ .}$

การเปลี่ยนแบบโซฟิกคือภาพของการเปลี่ยนย่อยประเภทจำกัดซึ่งขอบที่แตกต่างกันของกราฟการเปลี่ยนผ่านอาจถูกแมปไปยังสัญลักษณ์เดียวกัน ตัวอย่างเช่น หากเราดูเฉพาะเอาต์พุตจากห่วงโซ่มาร์คอฟที่ซ่อนอยู่ เอาต์พุตจะปรากฏเป็นระบบโซฟิก^{[ 4 ]}อาจถือได้ว่าเป็นเซตของการติดป้ายกำกับเส้นทางผ่านออโตมาตอน : การเปลี่ยนย่อยประเภทจำกัดจึงสอดคล้องกับออโตมาตอนที่เป็นแบบกำหนดได้ [ ^{8 ] ระบบ}ดังกล่าวสอดคล้องกับภาษาปกติ

ระบบที่ไม่ขึ้นกับบริบทนั้นถูกนิยามในลักษณะเดียวกัน และถูกสร้างขึ้นโดยใช้ไวยากรณ์โครงสร้างวลี

ระบบการต่ออายุถูกนิยามว่าเป็นเซตของการต่อกันอย่างไม่มีที่สิ้นสุดทั้งหมดของชุดคำจำกัดจำนวนคงที่ชุดหนึ่ง

ซับชิฟต์ชนิดจำกัดนั้นเหมือนกับโมเดลพ็อตส์ แบบหนึ่งมิติอิสระ (ไม่เกิดปฏิสัมพันธ์) ( ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของโมเดลไอซิง ด้วยตัวอักษร n ตัว ) โดยไม่รวมการกำหนดค่าเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดบางส่วน โมเดลไอซิงที่เกิดปฏิสัมพันธ์นั้นถูกกำหนดให้เป็นซับชิฟต์ร่วมกับฟังก์ชันต่อเนื่องของปริภูมิการกำหนดค่า(ต่อเนื่องเมื่อเทียบกับโทโพโลยีผลคูณ ซึ่งกำหนดไว้ด้านล่าง) ฟังก์ชันพาร์ติชันและแฮมิลโทเนียนสามารถแสดงได้อย่างชัดเจนในรูปของฟังก์ชันนี้

การเลื่อนย่อยอาจถูกทำให้เป็นควอนตัมด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง ซึ่งนำไปสู่แนวคิดของออโตมาตาจำกัดควอนตัม

• เลื่อนช่องว่าง
• ผู้ดำเนินการโอนย้าย
• กราฟเดอ บรูอิน
• ออโตมาตาจำกัดควอนตัม
• สัจพจน์ A
• ไฟเบอร์ของกราฟ

• บริน, ไมเคิล; สตัค, การ์เร็ตต์ (2002). บทนำสู่ระบบพลวัต (  ฉบับที่ 2). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 0-521-80841-3.
• David Damanik, Strictly Ergodic Subshifts and Associated Operators , (2005)
• พีเธียส ฟ็อกก์, เอ็น. (2002) Berthé, วาเลรี ; เฟเรนซ์ซี, เซบาสเตียน; มอดุต, คริสเตียน; ซีเกล, เอ. (บรรณาธิการ). การทดแทนในพลศาสตร์ เลขคณิต และเชิงผสม . หมายเหตุการบรรยายทางคณิตศาสตร์ ฉบับที่ พ.ศ. 2337 (ค.ศ. 1794) เบอร์ลิน: สปริงเกอร์-แวร์แลก . ไอเอสบีเอ็น 3-540-44141-7. Zbl 1014.11015 . 
• Natasha Jonoska , Subshifts ของประเภทจำกัด, ระบบ Sofic และกราฟ (2000)
• Michael S. Keane, ทฤษฎีเออร์โกดิกและซับชิฟต์ของประเภทจำกัด (1991) ปรากฏเป็นบทที่ 2 ในทฤษฎีเออร์โกดิก พลวัตเชิงสัญลักษณ์ และปริภูมิไฮเปอร์โบลิก Tim Bedford, Michael Keane และ Caroline Series บรรณาธิการ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด ออกซ์ฟอร์ด (1991) ISBN 0-19-853390-X(ประกอบด้วยบทนำสั้นๆ พร้อมแบบฝึกหัด และเอกสารอ้างอิงจำนวนมาก)
• ลินด์, ดักลาส; มาร์คัส, ไบรอัน (1995). บทนำสู่พลวัตเชิงสัญลักษณ์และการเข้ารหัส . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 0-521-55124-2. Zbl 1106.37301 . 
• Teschl, Gerald (2012). สมการเชิงอนุพันธ์สามัญและระบบพลวัต . พรอวิเดนซ์ : สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Xie, Huimin (1996). ความซับซ้อนทางไวยากรณ์และระบบพลวัตหนึ่งมิติทิศทางในความโกลาหล เล่ม 6 สำนักพิมพ์ World Scientific ISBN 9810223986.

• วิลเลียมส์, ซูซาน จี., บรรณาธิการ (2004). พลศาสตร์เชิงสัญลักษณ์และการประยุกต์ใช้: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน, หลักสูตรระยะสั้น, 4-5 มกราคม 2002, ซานดิเอโก, แคลิฟอร์เนีย . เอกสารประกอบการบรรยายหลักสูตรระยะสั้นของ AMS เล่มที่ 60. สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน . ISBN 0-8218-3157-7. Zbl 1052.37003 .