ในทางคณิตศาสตร์ระบบพลวัตแบบสุ่มคือระบบพลวัตที่สมการการเคลื่อนที่นั้นมีองค์ประกอบของความสุ่มอยู่ ระบบพลวัตแบบสุ่มนั้นมีลักษณะเฉพาะด้วยปริภูมิสถานะSซึ่งเป็นเซตของแผนที่${\displaystyle \Gamma }$จากSเข้าสู่ตัวมันเอง ซึ่งสามารถคิดได้ว่าเป็นเซตของสมการการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ทั้งหมด และการกระจายความน่าจะเป็นQบนเซตนั้น${\displaystyle \Gamma }$ซึ่งแสดงถึงการเลือกแผนที่แบบสุ่ม การเคลื่อนที่ในระบบพลวัตแบบสุ่มสามารถคิดอย่างไม่เป็นทางการได้ว่าเป็นสถานะหนึ่ง${\displaystyle X\in S}$วิวัฒนาการตามลำดับของแผนที่ที่เลือกแบบสุ่มตามการ^{กระจาย} Q [ ^{1 ]}

ตัวอย่างของระบบพลวัตแบบสุ่มคือสมการเชิงอนุพันธ์สโตแคสติกในกรณีนี้ การกระจาย Q มักจะถูกกำหนดโดย เทอมของ สัญญาณรบกวนประกอบด้วยการไหลพื้นฐาน "สัญญาณรบกวน" และ ระบบพลวัต โค ไซเคิลบ นปริภูมิเฟส "ทางกายภาพ" อีกตัวอย่างหนึ่งคือระบบพลวัตแบบสุ่มสถานะไม่ต่อเนื่อง มีการกล่าวถึงความแตกต่างพื้นฐานบางประการระหว่างคำอธิบายของพลวัตสโตแคสติกในห่วงโซ่มาร์คอฟและระบบพลวัตแบบสุ่ม^{[ 2 ]}

อนุญาต${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}}$เป็น${\displaystyle d}$สนามเวกเตอร์มิติและให้${\displaystyle \varepsilon >0}$สมมติว่าคำตอบ${\displaystyle X(t,\omega ;x_{0})}$ไปยังสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\mathrm {d} X=f(X)\,\mathrm {d} t+\varepsilon \,\mathrm {d} W(t);\\X(0)=x_{0};\end{matrix}}\right.}$

มีอยู่สำหรับช่วงเวลาบวกทั้งหมดและช่วงเวลาลบ (เล็กน้อย) บางช่วง ขึ้นอยู่กับ${\displaystyle \omega \in \Omega }$, ที่ไหน${\displaystyle W:\mathbb {R} \times \Omega \to \mathbb {R} ^{d}}$หมายถึง${\displaystyle d}$กระบวนการเวียนเนอร์มิติ( การเคลื่อนที่แบบบราวน์ ) โดยปริยายแล้ว ข้อความนี้ใช้ปริภูมิความน่าจะเป็นเวียนเนอร์แบบคลาสสิ ก

${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ):=\left(C_{0}(\mathbb {R}$ ;\mathbb {R} ^{d}),{\mathcal {B}}(C_{0}(\mathbb {R}  ;\mathbb {R} ^{d})),\gamma \right).}

ในบริบทนี้ กระบวนการ Wiener คือกระบวนการพิกัด

ตอนนี้ให้กำหนดแผนผังการไหลหรือ ( ตัวดำเนินการแก้ปัญหา )${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} \times \Omega \times \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}} โดย

${\displaystyle \varphi (t,\omega ,x_{0}):=X(t,\omega ;x_{0})}$

(เมื่อใดก็ตามที่ด้านขวามือมีความชัดเจน ) จากนั้น${\displaystyle \varphi }$(หรือพูดให้แม่นยำกว่านั้นคือทั้งคู่)${\displaystyle (\mathbb {R} ^{d},\varphi )}$) คือระบบพลวัตแบบสุ่ม (เฉพาะที่ ด้านซ้าย) กระบวนการสร้าง "กระแส" จากคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่มนำเราไปสู่การศึกษา "กระแส" ที่กำหนดไว้อย่างเหมาะสมด้วยตัวของมันเอง "กระแส" เหล่านี้คือระบบพลวัตแบบสุ่ม

ระบบพลวัตแบบสุ่มอิสระและมีการกระจายเหมือนกันในปริภูมิดิสครีตนั้น อธิบายได้ด้วยสามองค์ประกอบ${\displaystyle (S,\Gamma ,Q)}$.

• ${\displaystyle S}$คือปริภูมิสถานะ${\displaystyle \{s_{1},s_{2},\cdots ,s_{n}\}}$.
• ${\displaystyle \Gamma }$เป็นกลุ่มแผนที่ของ${\displaystyle S\rightarrow S}$แผนที่แต่ละแผ่นจะมี${\displaystyle n\times n}$การแสดงผลในรูปแบบเมทริกซ์ เรียกว่า เมทริก ซ์การเปลี่ยนสถานะเชิงกำหนด (deterministic transition matrix ) เป็นเมทริกซ์ไบนารี แต่มีค่า 1 เพียงค่าเดียวในแต่ละแถว และค่า 0 ในตำแหน่งอื่นๆ
• ${\displaystyle Q}$คือการวัดความน่าจะเป็นของ${\displaystyle \sigma }$-สนามของ${\displaystyle \Gamma }$.

ระบบพลวัตแบบสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องมีรูปแบบดังนี้

1. ระบบอยู่ในสถานะใดสถานะหนึ่ง${\displaystyle x_{0}}$ใน${\displaystyle S}$แผนที่${\displaystyle \alpha _{1}}$ใน${\displaystyle \Gamma }$ถูกเลือกตามการวัดความน่าจะเป็น${\displaystyle Q}$และระบบเคลื่อนไปยังสถานะดังกล่าว${\displaystyle x_{1}=\alpha _{1}(x_{0})}$ในขั้นตอนที่ 1
2. แผนที่อีกฉบับหนึ่งซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับแผนที่ก่อนหน้านี้${\displaystyle \alpha _{2}}$ถูกเลือกตามการวัดความน่าจะเป็น${\displaystyle Q}$ และระบบเคลื่อนไปยังสถานะดังกล่าว${\displaystyle x_{2}=\alpha _{2}(x_{1})}$.
3. ขั้นตอนดังกล่าวจะถูกทำซ้ำ

ตัวแปรสุ่ม${\displaystyle X_{n}}$สร้างขึ้นโดยวิธีการประกอบแผนที่สุ่มอิสระหลายๆ แผนที่เข้าด้วยกัน${\displaystyle X_{n}=\alpha _{n}\circ \alpha _{n-1}\circ \dots \circ \alpha _{1}(X_{0})}$ชัดเจน${\displaystyle X_{n}}$เป็นห่วงโซ่มาร์คอฟ (Markov Chain )

ในทางกลับกัน เมทริกซ์ความน่าจะเป็น (MC) ที่กำหนดสามารถแสดงได้ด้วยการประกอบกันของการแปลงแบบสุ่มอิสระและเหมือนกัน (iid) ได้อย่างไร? ได้ แต่ไม่ใช่เพียงหนึ่งเดียว การพิสูจน์การมีอยู่จะคล้ายกับทฤษฎีบท Birkhoff–von Neumann สำหรับเมทริกซ์สุ่มสองชั้น (doubly stochastic matrix )

นี่คือตัวอย่างที่แสดงให้เห็นถึงการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์

ตัวอย่าง:ถ้าปริภูมิสถานะ${\displaystyle S=\{1,2\}}$และเซตของการแปลง${\displaystyle \Gamma }$แสดงออกมาในรูปของเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะแบบกำหนดได้ จากนั้นจึงเป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะแบบมาร์คอฟ${\displaystyle M=\left({\begin{array}{cc}0.4&0.6\\0.7&0.3\end{array}}\right)}$สามารถแสดงได้ด้วยการแยกส่วนต่อไปนี้โดยใช้อัลกอริทึม min-max${\displaystyle M=0.6\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)+0.3\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right)+0.1\left({\begin{array}{cc}1&0\\1&0\end{array}}\right).}$

ในระหว่างนี้ อาจมีการสลายตัวอีกรูปแบบหนึ่งเกิดขึ้นได้${\displaystyle M=0.18\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&1\end{array}}\right)+0.28\left({\begin{array}{cc}1&0\\1&0\end{array}}\right)+0.42\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)+0.12\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right).}$

ในทางรูปแบบ^{[ 3 ]}ระบบไดนามิกแบบสุ่มประกอบด้วยการไหลพื้นฐาน "สัญญาณรบกวน" และระบบไดนามิกโคไซเคิลบนพื้นที่เฟส "ทางกายภาพ" โดยละเอียด

อนุญาต${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ให้ เป็นปริภูมิความน่าจะเป็น ปริภูมิของสัญญาณรบกวนกำหนดการไหลพื้นฐาน${\displaystyle \vartheta$ :\mathbb {R} \times \Omega \to \Omega } ดังต่อไปนี้: สำหรับแต่ละ "เวลา"${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$, อนุญาต${\displaystyle \vartheta _{s}:\Omega \to \Omega }$เป็นฟังก์ชันที่วัดได้ และรักษาค่าการวัดไว้ :

${\displaystyle \mathbb {P} (E)=\mathbb {P} (\vartheta _{s}^{-1}(E))}$สำหรับทุกคน${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$และ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$;

สมมติด้วยว่า

1. ${\displaystyle \vartheta _{0}=\mathrm {id} _{\Omega }:\Omega \to \Omega }$ฟังก์ชันเอกลักษณ์บน${\displaystyle \Omega }$;
2. สำหรับทุกคน${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$,${\displaystyle \vartheta _{s}\circ \vartheta _{t}=\vartheta _{s+t}}$.

นั่นคือ${\displaystyle \vartheta _{s}}$,${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ก่อให้เกิดกลุ่มของการแปลงสัญญาณรบกวนที่รักษาการวัดไว้${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$สำหรับระบบพลวัตแบบสุ่มด้านเดียว เราจะพิจารณาเฉพาะดัชนีที่เป็นบวกเท่านั้น${\displaystyle s}$สำหรับระบบพลวัตแบบสุ่มในเวลาไม่ต่อเนื่อง เราจะพิจารณาเฉพาะค่าจำนวนเต็มเท่านั้น${\displaystyle s}$ในกรณีเหล่านี้ แผนที่${\displaystyle \vartheta _{s}}$จะก่อตัวเป็นโมโนอิดสลับที่ ได้ แทนที่จะเป็นกลุ่ม

แม้ว่าจะเป็นเช่นนั้นในแอปพลิเคชันส่วนใหญ่ แต่โดยปกติแล้วคำจำกัดความอย่างเป็นทางการของระบบพลวัตแบบสุ่มไม่ได้กำหนดให้ระบบพลวัตที่รักษาการวัด นั้นต้องเป็นเช่นนั้นด้วย${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ,\vartheta )}$เป็นแบบเออร์โกดิก

เอาล่ะ ปล่อยให้${\displaystyle (X,d)}$ให้ เป็นปริภูมิเมตริกที่แยกส่วนได้สมบูรณ์ ซึ่งก็คือปริภูมิเฟสให้${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} \times \Omega \times X\to X} be a${\displaystyle ({\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\otimes {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {B}}(X),{\mathcal {B}}(X))}$ฟังก์ชันที่วัดได้ซึ่งมีคุณสมบัติว่า

1. สำหรับทุกคน${\displaystyle \omega \in \Omega }$,${\displaystyle \varphi (0,\omega )=\mathrm {id} _{X}:X\to X}$ฟังก์ชันเอกลักษณ์บน${\displaystyle X}$;
2. สำหรับ (เกือบ) ทุกคน${\displaystyle \omega \in \Omega }$,${\displaystyle (t,x)\mapsto \varphi (t,\omega ,x)}$เป็นค่าต่อเนื่อง ;
3. ${\displaystyle \varphi }$ตรงตาม คุณสมบัติของโคไซเคิล (แบบหยาบ) : สำหรับเกือบทุกกรณี${\displaystyle \omega \in \Omega }$,

${\displaystyle \varphi (t,\vartheta _{s}(\omega ))\circ \varphi (s,\omega )=\varphi (t+s,\omega ).}$

ในกรณีของระบบพลวัตแบบสุ่มที่ขับเคลื่อนด้วยกระบวนการเวียนเนอร์${\displaystyle W:\mathbb {R} \times \Omega \to X}$การไหลพื้นฐาน${\displaystyle \vartheta _{s}:\Omega \to \Omega }$จะได้รับโดย

${\displaystyle W(t,\vartheta _{s}(\omega ))=W(t+s,\omega )-W(s,\omega )}$.

สามารถตีความได้ว่า${\displaystyle \vartheta _{s}}$"เริ่มส่งเสียงดังในเวลาที่กำหนด"${\displaystyle s}$แทนที่จะเป็นเวลา 0" ดังนั้น คุณสมบัติของโคไซเคิลจึงสามารถตีความได้ว่าเป็นการวิวัฒนาการของเงื่อนไขเริ่มต้น${\displaystyle x_{0}}$มีเสียงรบกวนบ้าง${\displaystyle \omega }$สำหรับ${\displaystyle s}$วินาทีแล้วจึงผ่านไป${\displaystyle t}$วินาทีด้วยเสียงเดียวกัน (เริ่มตั้งแต่${\displaystyle s}$(เครื่องหมายวินาที) ให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับการวิวัฒนาการ${\displaystyle x_{0}}$ผ่าน${\displaystyle (t+s)}$วินาทีด้วยเสียงแบบเดียวกันนั้น

แนวคิดของตัวดึงดูดสำหรับระบบพลวัตแบบสุ่มนั้นไม่สามารถกำหนดได้อย่างตรงไปตรงมาเหมือนในกรณีเชิงกำหนด จำเป็นต้อง "ย้อนเวลา" ดังเช่นในคำจำกัดความของตัวดึงดูดแบบดึงกลับเพื่อให้สัญญาณรบกวนที่ใกล้เวลาสุดท้ายยังคงสอดคล้องกัน^{[ 4 ]}ยิ่งไปกว่านั้น ตัวดึงดูดยังขึ้นอยู่กับการรับรู้${\displaystyle \omega }$ของเสียงรบกวน

• ทฤษฎีความโกลาหล
• กระบวนการแพร่กระจาย
• การควบคุมแบบสุ่ม

• ระบบพลวัตเชิงสุ่มบนScholarpedia