ในการศึกษาเกี่ยวกับกระบวนการสุ่มในทางคณิตศาสตร์เวลา ที่กระบวนการ " เข้าถึง " (หรือเวลาเข้าถึงครั้งแรก ) คือเวลาแรกที่กระบวนการที่กำหนด "เข้าถึง" กลุ่มย่อย ที่กำหนด ในปริภูมิสถานะเวลาออกและเวลากลับก็เป็นตัวอย่างของเวลาที่เข้าถึงเช่นกัน

ให้Tเป็นเซตดัชนี เรียงลำดับ เช่นจำนวนธรรมชาติ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$จำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ ⁠ [ 0 , +∞)หรือเซตย่อยของจำนวนเหล่านี้โดยสามารถมองสมาชิกใน เซต T ว่าเป็น "เวลา" กำหนดให้ ${\displaystyle t\in T}$ปริภูมิความน่าจะเป็น(Ω, Σ, Pr)และปริภูมิสถานะที่วัดได้Sให้เป็นกระบวนการสุ่มและให้Aเป็นเซตย่อยที่วัดได้ของปริภูมิสถานะSแล้วเวลาที่กระทบครั้งแรกคือตัวแปรสุ่มที่กำหนดโดย ${\displaystyle X:\Omega \times T\to S}$${\displaystyle \tau _{A}:\Omega \to [0,+\infty ]}$

${\displaystyle \tau _{A}(\omega ):=\inf\{t\in T\mid X_{t}(\omega )\in A\}.}$

เวลาออกครั้งแรก ( จากA ) ถูกกำหนดให้เป็นเวลากระทบครั้งแรกสำหรับS \ Aซึ่งเป็นส่วนเติมเต็มของAในSที่น่าสับสนคือ มักจะใช้สัญลักษณ์τ _Aแทน ด้วย ^{[ 1 ]}

เวลาการกลับมาครั้งแรกถูกกำหนดให้เป็นเวลาการกระทบครั้งแรกสำหรับเซตเอกลักษณ์{ X ₀ ( ω )}ซึ่งโดยปกติจะเป็นองค์ประกอบเชิงกำหนดที่กำหนดไว้ในปริภูมิสถานะ เช่น จุดกำเนิดของระบบพิกัด

• เวลาหยุดใดๆ ก็ตามถือเป็นเวลาที่เหมาะสมสำหรับกระบวนการและชุดเป้าหมายที่เลือกไว้อย่างถูกต้อง ซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบทของเดบูต์ ในทางกลับกัน (ฟิชเชอร์, 2013)
• ให้Bแทนการเคลื่อนที่แบบบราวน์ มาตรฐาน บนเส้นจำนวนจริงโดย${\displaystyle \mathbb {R} }$เริ่มต้นที่จุดกำเนิด แล้วเวลาที่ชนτA _จะตรงตามข้อกำหนดการวัดได้ที่จะเป็นเวลาหยุดสำหรับเซตที่วัดได้แบบบอเรลทุกเซต${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} .}$
• สำหรับBดังที่กล่าวมาข้างต้น ให้τ _r ( r > 0 ) แทนเวลาออกครั้งแรกสำหรับช่วงเวลา(− r , r )กล่าวคือ เวลากระทบครั้งแรก จากนั้นค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของτ _rจะเป็นไปตาม${\displaystyle (-\infty ,-r]\cup [r,+\infty )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\tau _{r}\right]&=r^{2},\\\operatorname {Var} \left[\tau _{r}\right]&={\tfrac {2}{3}}r^{4}.\end{aligned}}}$$

• สำหรับBดังที่กล่าวมาข้างต้น เวลาที่กระทบจุดเดียว (ซึ่งแตกต่างจากจุดเริ่มต้น 0) จะมี การกระจาย แบบLévy

• ปัญหาการหลบหนีอย่างหวุดหวิดพิจารณาถึงเวลาที่อนุภาคซึ่งถูกจำกัดอยู่ภายในและกำลังเคลื่อนที่แบบบราวน์จะใช้ในการหลบหนีผ่านช่องเปิดขนาดเล็ก

เวลาที่เซตF เข้าถึงเป้าหมาย (hitting time) เรียกอีกอย่างว่าเดบูต์ (début)ของFทฤษฎีบทเดบูต์กล่าวว่า เวลาที่เซตF ที่วัดได้เข้าถึงเป้าหมาย สำหรับกระบวนการที่วัดได้แบบก้าวหน้าโดยสัมพันธ์กับฟิลเทรชันแบบต่อเนื่องทางขวาและสมบูรณ์นั้น เป็นเวลาหยุด กระบวนการที่วัดได้แบบก้าวหน้าโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ได้แก่กระบวนการปรับตัวแบบ ต่อเนื่องทางขวาและทางซ้ายทั้งหมด การพิสูจน์ว่าเดบูต์สามารถวัดได้นั้นค่อนข้างซับซ้อนและเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของเซตเชิงวิเคราะห์ทฤษฎีบทนี้ต้องการให้ปริภูมิความน่าจะเป็นพื้นฐานสมบูรณ์หรืออย่างน้อยก็สมบูรณ์ในระดับสากล

บทกลับของทฤษฎีบท Débutระบุว่าเวลาหยุด ทุกเวลา ที่กำหนดโดยสัมพันธ์กับฟิลเทรชันเหนือดัชนีเวลาค่าจริงสามารถแทนด้วยเวลากระทบได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับเวลาหยุดดังกล่าวแทบทุกเวลา จะมีกระบวนการปรับตัวที่ไม่เพิ่มขึ้นพร้อมเส้นทาง càdlàg (RCLL) ที่รับค่า 0 และ 1 เท่านั้น โดยที่เวลากระทบของเซต{0}โดยกระบวนการนี้คือเวลาหยุดที่พิจารณา การพิสูจน์นั้นง่ายมาก^{[ 2 ]}

ถ้าห่วงโซ่มาร์คอฟไม่สามารถลดทอนได้และมีการเกิดซ้ำในเชิงบวก การกระจายสถานะคงที่จะมีเพียงหนึ่งเดียวและกำหนดโดย

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi (i)={\frac {1}{\operatorname {E} \left[\tau _{i}\right]}}\end{aligned}}}$$

โดยที่τ _{i คือเวลาโจมตี} ^{สำหรับ}สถานะi [ ^{3 ]}

สิ่งนี้สามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของ Kac

• เวลาครอบคลุมคือเวลาที่ทุกสถานะได้รับการครอบคลุมแล้ว
• การหยุดเวลา