ปัญหาการหลบหนีอย่างหวุดหวิด^{[ 1 ] [ 2 ]}เป็นปัญหาที่พบได้ทั่วไปในชีววิทยาชีวฟิสิกส์และชีววิทยาของเซลล์

การกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์มีดังนี้: อนุภาคบราวน์ ( ไอออนโมเลกุลหรือโปรตีน ) ถูกจำกัดอยู่ในโดเมน ที่มีขอบเขต (ช่องหรือเซลล์) โดยมีขอบเขตสะท้อน ยกเว้นช่องหน้าต่างเล็กๆ ที่มันสามารถหลุดออกไปได้ ปัญหาการหลุดออกในช่องแคบคือการคำนวณเวลาหลุดออกเฉลี่ย เวลานี้จะลู่เข้าสู่ค่าอนันต์เมื่อช่องหน้าต่างแคบลง ทำให้การคำนวณกลายเป็นปัญหาการรบกวนแบบเอกฐาน^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

เมื่อการหลบหนีมีความเข้มงวดมากขึ้นเนื่องจากข้อจำกัดทางเรขาคณิตที่รุนแรง ณ จุดหลบหนี ปัญหาการหลบหนีที่แคบจะกลายเป็นปัญหาช่องแคบที่อันตราย^{[ 10 ] [ 11 ]}

ปัญหาการหลบหนีอย่างหวุดหวิดได้รับการเสนอในบริบทของชีววิทยาและชีวฟิสิกส์โดยD. Holcmanและ Z. Schuss ^{[ 12 ]}และต่อมาโดย A.Singer และนำไปสู่ทฤษฎีการหลบหนีอย่างหวุดหวิดในคณิตศาสตร์ประยุกต์และชีววิทยาเชิงคำนวณ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

การเคลื่อนที่ของอนุภาคอธิบายได้ด้วยขีดจำกัด Smoluchowski ของสมการ Langevin : ^{[ 16 ] [ 17 ]} โดยที่คือสัมประสิทธิ์การแพร่กระจายของอนุภาคคือสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานต่อหน่วยมวล คือแรงต่อหน่วยมวล และคือการเคลื่อนที่แบบบราวน์ $${\displaystyle dX_{t}={\sqrt {2D}}\,dB_{t}+{\frac {1}{\gamma }}F(x)\,dt,}$$${\displaystyle D}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle B_{t}}$

คำถามที่พบบ่อยคือ การประมาณเวลาเฉลี่ยที่อนุภาคเคลื่อนที่ในโดเมนที่มีขอบเขตจำกัดก่อนที่จะหลุดออกไปผ่านหน้าต่างดูดซับขนาดเล็กที่ขอบเขตนั้นเวลาดังกล่าวจะถูกประมาณค่าแบบเชิงอะซิมโทติกในขีดจำกัด${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \partial \Omega _{a}}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\textstyle \varepsilon ={\frac {|\partial \Omega _{a}|}{|\partial \Omega |}}\ll 1}$

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) คือความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาคที่ตำแหน่งณเวลา ${\displaystyle p_{\varepsilon }(x,t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

pdf สอดคล้องกับสมการ Fokker–Planck : โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้น และ เงื่อนไขขอบเขตแบบ Dirichlet–Neumann ผสม( ) $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}p_{\varepsilon }(x,t)=D\Delta p_{\varepsilon }(x,t)-{\frac {1}{\gamma }}\nabla (p_{\varepsilon }(x,t)F(x))}$$$${\displaystyle p_{\varepsilon }(x,0)=\rho _{0}(x)\,}$$${\displaystyle t>0}$$${\displaystyle p_{\varepsilon }(x,t)=0{\text{ สำหรับ }}x\in \partial \Omega _{a}}$$$${\displaystyle D{\frac {\partial }{\partial n}}p_{\varepsilon }(x,t)-{\frac {p_{\varepsilon }(x,t)}{\gamma }}F(x)\cdot n(x)=0{\text{ สำหรับ }}x\in \partial \Omega -\partial \Omega _{a}}$$

ฟังก์ชันนี้ แสดงถึงเวลาเฉลี่ยที่อนุภาคอยู่ในระบบ โดยขึ้นอยู่กับตำแหน่งเริ่มต้นซึ่งเป็นคำตอบของปัญหาค่าขอบเขต $${\displaystyle u_{\varepsilon }(y)=\int _{\Omega }\int _{0}^{\infty }p_{\varepsilon }(x,ty)\,dt\,dx}$$${\displaystyle y}$

$${\displaystyle D\Delta u_{\varepsilon }(y)+{\frac {1}{\gamma }}F(y)\cdot \nabla u_{\varepsilon }(y)=-1}$$$${\displaystyle u_{\varepsilon }(y)=0{\text{ สำหรับ }}y\in \partial \Omega _{a}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial u_{\varepsilon }(y)}{\partial n}}=0{\text{ สำหรับ }}y\in \partial \Omega _{r}}$$

คำตอบขึ้นอยู่กับมิติของโดเมน สำหรับอนุภาคที่แพร่กระจายบนแผ่นดิสก์สองมิติ โดยที่คือพื้นผิวของโดเมน ฟังก์ชันจะไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งเริ่มต้นยกเว้นชั้นขอบเล็ก ๆ ใกล้กับขอบเขตการดูดซับเนื่องจากรูปแบบเชิงเส้นกำกับ $${\displaystyle u_{\varepsilon }(y)={\frac {A}{\pi D}}\ln {\frac {1}{\varepsilon }}+O(1),}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle u_{\เอปไซลอน }(y)}$${\displaystyle y}$

พจน์อันดับแรกมีความสำคัญในมิติที่ 2: สำหรับแผ่นวงกลมที่มีรัศมีเวลาหลุดพ้นเฉลี่ยของอนุภาคที่เริ่มต้นจากจุดศูนย์กลางคือ ${\displaystyle R}$$${\displaystyle E(\tau |x(0)=0)={\frac {R^{2}}{D}}\left(\log \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)+\log 2+{\frac {1}{4}}+O(\varepsilon )\right).}$$

เวลาหลุดพ้นโดยเฉลี่ยเมื่อเทียบกับการกระจายตัวเริ่มต้นแบบสม่ำเสมอของอนุภาคจะกำหนดโดย $${\displaystyle E(\tau )={\frac {R^{2}}{D}}\left(\log \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)+\log 2+{\frac {1}{8}}+O(\varepsilon )\right).}$$

รูปทรงเรขาคณิตของช่องเปิดขนาดเล็กสามารถส่งผลต่อเวลาในการหลุดออกได้: หากหน้าต่างดูดซับตั้งอยู่ที่มุม θ แล้ว: ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle E\tau ={\frac {|\Omega |}{\alpha D}}\left[\log {\frac {1}{\varepsilon }}+O(1)\right].}$$

ที่น่าประหลาดใจยิ่งกว่านั้นคือ ใกล้จุดแหลมในโดเมนสองมิติ เวลาหลบหนีจะเพิ่มขึ้นแบบพีชคณิต แทนที่จะเป็นแบบลอการิทึม: ในโดเมนที่ล้อมรอบด้วยวงกลมสัมผัสสองวง เวลาหลบหนีคือ: โดยที่d > 1คืออัตราส่วนของรัศมี สุดท้าย เมื่อโดเมนเป็นวงแหวน เวลาหลบหนีไปยังช่องเปิดเล็กๆ ที่อยู่บนวงกลมด้านในจะเกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์ที่สอง ซึ่งก็คืออัตราส่วนของรัศมีด้านในต่อรัศมีด้านนอก เวลาหลบหนีโดยเฉลี่ยเทียบกับการกระจายเริ่มต้นแบบสม่ำเสมอคือ: ${\displaystyle E\tau }$$${\displaystyle E\tau ={\frac {|\โอเมก้า |}{(d-1)D}}\left({\frac {1}{\varepsilon }}+O(1)\right),}$$${\displaystyle \beta ={\frac {R_{1}}{R_{2}}}<1,}$$${\displaystyle E\tau ={\frac {(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})}{D}}\left[\log {\frac {1}{\varepsilon }}+\log 2+2\beta ^{2}\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {R_{2}^{2}}{1-\beta ^{2}}}\log {\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{4}}R_{2}^{2}+O(\varepsilon ,\beta ^{4})R_{2}^{2}.}$$

สมการนี้ประกอบด้วยสองพจน์ของการขยายอนุกรมเชิงอะซิมโทติกของและคือมุมของขอบเขตการดูดซับ กรณีที่ใกล้เคียงกับ 1 ยังคงเป็นปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข และสำหรับโดเมนทั่วไป การขยายอนุกรมเชิงอะ ซิมโทติกของเวลาหลุดพ้นยังคงเป็นปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข เช่นเดียวกับปัญหาการคำนวณเวลาหลุดพ้นใกล้จุดปลายแหลมในโดเมนสามมิติ สำหรับการเคลื่อนที่แบบบราวน์ในสนามแรงช่องว่างในสเปกตรัมไม่จำเป็นต้องเล็กระหว่างค่าไอเกนแรกและค่าไอเกนที่สอง ขึ้นอยู่กับขนาดสัมพัทธ์ของรูเล็กๆ และสิ่งกีดขวางแรงที่อนุภาคต้องเอาชนะเพื่อหลุดพ้น กระแสการหลุดพ้นไม่จำเป็นต้องเป็นแบบปัวซง ${\displaystyle E\tau }$${\displaystyle 2\epsilon }$${\displaystyle \beta }$$${\displaystyle F(x)\neq 0}$$

ทฤษฎีบทที่เชื่อมโยงปัญหาการหลุดพ้นจากการเคลื่อนที่แบบบราวน์กับปัญหา สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (แบบกำหนดได้) มีดังต่อไปนี้

นี่คืออนุพันธ์ในทิศทาง ซึ่งเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากภายนอกกับนอกจากนี้ ค่าเฉลี่ยของความแปรปรวนสามารถคำนวณได้จากสูตร ${\displaystyle \partial _{n}:=n\cdot \nabla }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \partial \Omega .}$$${\displaystyle {\bar {v}}:={\frac {1}{\vert \Omega \vert }}\int _{\Omega }v(x)dx={\frac {1}{\vert \Omega \vert }}\int _{\Omega }T^{2}(x)dx=:T^{2}}$$

ส่วนแรกของทฤษฎีบทเป็นผลลัพธ์แบบคลาสสิก ในขณะที่ความแปรปรวนเฉลี่ยได้รับการพิสูจน์ในปี 2011 โดย Carey Caginalp และ Xinfu Chen ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}

เวลาหลบหนีเป็นหัวข้อของการศึกษาจำนวนมากโดยใช้เกตขนาดเล็กเป็นพารามิเตอร์ขนาดเล็กเชิงอะซิมโทติก ผลลัพธ์รูปแบบปิดต่อไปนี้^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]}ให้คำตอบที่แน่นอนซึ่งยืนยันสูตรเชิงอะซิมโทติกเหล่านี้และขยายไปยังเกตที่ไม่จำเป็นต้องมีขนาดเล็ก

ผลลัพธ์อีกชุดหนึ่งเกี่ยวข้องกับความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตำแหน่งทางออก^{[ 19 ]}

กล่าวคือ สำหรับเซตบอเรลใด ๆ ความน่าจะเป็นที่อนุภาคซึ่งเริ่มต้นที่จุดกำเนิดหรือกระจายอย่างสม่ำเสมอในแสดงการเคลื่อนที่แบบบราวน์ในสะท้อนเมื่อชนและหลุดออกไปเมื่อชนจะหลุดออกไปจากคือ โดยที่คือองค์ประกอบพื้นผิวของ ที่${\displaystyle \gamma \subset \partial \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \partial \Omega \setminus \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle P(\gamma )=\int _{\gamma }{\bar {j}}(y)dS_{y}}$$${\displaystyle dS_{y}}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle y\in \partial \Omega }$

ในการจำลองจะมีข้อผิดพลาดแบบสุ่มเนื่องจากกระบวนการสุ่มตัวอย่างทางสถิติ ข้อผิดพลาดนี้สามารถจำกัดได้โดยการอ้างอิงทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางและใช้ตัวอย่างจำนวนมาก นอกจากนี้ยังมีข้อผิดพลาดในการแบ่งส่วนเนื่องจากการประมาณขนาดขั้นตอนที่มีขนาดจำกัดในการประมาณการเคลื่อนที่แบบบราวน์ จากนั้นจึงสามารถได้ผลลัพธ์เชิงประจักษ์เมื่อขนาดขั้นตอนและขนาดประตูเปลี่ยนแปลง การใช้ผลลัพธ์ที่แน่นอนที่อ้างถึงข้างต้นสำหรับกรณีเฉพาะของวงกลม ทำให้สามารถเปรียบเทียบคำตอบที่แน่นอนกับคำตอบเชิงตัวเลขได้อย่างละเอียด^{[ 21 ] [ 22 ]}สิ่งนี้ทำให้เห็นความแตกต่างระหว่างขั้นตอนที่มีขนาดจำกัดและการแพร่กระจายอย่างต่อเนื่อง นอกจากนี้ยังได้รับการกระจายของตำแหน่งทางออกผ่านการจำลองสำหรับปัญหานี้ด้วย

อัตราไปข้างหน้าของปฏิกิริยาเคมีคือส่วนกลับของเวลาหลบหนีที่แคบ ซึ่งเป็นการขยายสูตร Smoluchowski แบบคลาสสิกสำหรับอนุภาคบราวน์ที่อยู่ในตัวกลางอนันต์ คำอธิบายแบบมาร์คอฟสามารถใช้เพื่อประมาณการผูกมัดและคลายการผูกมัดกับไซต์จำนวนเล็กน้อย^{[ 23 ]}

• แบบจำลองเวลาตีครั้งแรก