ในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีเซตเชิงพรรณนาคือการศึกษาเกี่ยวกับเซตย่อย บางกลุ่ม ของเส้นจำนวนจริงและปริภูมิโปแลนด์ อื่นๆ ที่ตรงตามเกณฑ์การนิยามบางอย่าง นอกจากจะเป็นหนึ่งในสาขาหลักของการวิจัยในทฤษฎีเซตแล้ว ยังมีการประยุกต์ใช้ในสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ เช่นการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันทฤษฎีเออร์โกดิกการศึกษาพีชคณิตตัวดำเนินการและการกระทำของกลุ่มและตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์

ทฤษฎีเซตเชิงพรรณนาเริ่มต้นด้วยการศึกษาปริภูมิโปแลนด์และเซตบอเรล ของปริภูมิเหล่า นั้น

ปริภูมิโปแลนด์ ( Polish space)คือปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่นับได้ลำดับที่สอง (second-countable topological space ) ที่สามารถกำหนดเมตริกได้ด้วยเมตริกสมบูรณ์โดยทั่วไปแล้ว มันคือปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ที่แยก ได้ (complete separable metric space) ซึ่งเมตริกนั้น "ถูกลืม" ไป ตัวอย่างเช่นเส้นจำนวนจริง (real line) , ปริภูมิแบร์ (Baire space ) , ปริภูมิแคนเตอร์ (Cantor space ) และลูกบาศก์ฮิลเบิร์ต (Hilbert cube ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle I^{\mathbb {N} }}$

กลุ่มของปริภูมิโปแลนด์มีคุณสมบัติความเป็นสากลหลายประการ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าไม่มีการสูญเสียความเป็นทั่วไปเมื่อพิจารณาปริภูมิโปแลนด์ในรูปแบบที่จำกัดบางประการ

• ปริภูมิโปแลนด์ทุกปริภูมิมีลักษณะสมมาตรกับปริภูมิย่อยG _δของลูกบาศก์ฮิลเบิร์ตและ ปริภูมิย่อย G _δ ทุก ปริภูมิของลูกบาศก์ฮิลเบิร์ตก็เป็นปริภูมิโปแลนด์เช่นกัน
• ปริภูมิโปแลนด์ทุกปริภูมิได้มาจากการสร้างภาพต่อเนื่องของปริภูมิแบร์ กล่าวคือ ปริภูมิโปแลนด์ทุกปริภูมิเป็นภาพของการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งต่อเนื่องที่กำหนดบนเซตย่อยปิดของปริภูมิแบร์ ในทำนองเดียวกัน ปริภูมิโปแลนด์กระชับทุกปริภูมิเป็นภาพต่อเนื่องของปริภูมิแคนเตอร์

เนื่องจากคุณสมบัติความเป็นสากลเหล่านี้ และเนื่องจากปริภูมิแบร์มีคุณสมบัติที่สะดวกคือเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับปริภูมิแบร์ ผลลัพธ์หลายอย่างในทฤษฎีเซตเชิงพรรณนาจึงได้รับการพิสูจน์ในบริบทของปริภูมิแบร์เพียงอย่างเดียว ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {N}}^{\โอเมก้า }}$

กลุ่มของเซตบอเรลในปริภูมิเชิงทอพอโลยีXประกอบด้วยเซตทั้งหมดในพีชคณิต σ ที่เล็กที่สุด ซึ่งมีเซตเปิดของX อยู่ นั่นหมายความว่าเซตบอเรลของXคือกลุ่มของเซตที่เล็กที่สุดซึ่งมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• เซตย่อยเปิดทุกเซตของXเป็นเซตโบเรล
• ถ้าAเป็นเซตบอเรล เซต ก็เป็นเซตบอเรลด้วยเช่นกันกล่าวคือ กลุ่มของเซตบอเรลนั้นปิดภายใต้การเติมเต็ม${\displaystyle X\setminus A}$
• ถ้าA _nเป็นเซตบอเรลสำหรับจำนวนธรรมชาติn แต่ละตัว แล้ว การรวมกันของเซตเหล่านั้นจะเป็นเซตบอเรล นั่นคือ เซตบอเรลมีคุณสมบัติปิดภายใต้การรวมกันแบบนับได้${\displaystyle \bigcup A_{n}}$

ผลลัพธ์พื้นฐานแสดงให้เห็นว่า ปริภูมิโปแลนด์ที่นับไม่ได้สองปริภูมิใดๆXและYนั้นเป็น ไอโซมอร์ฟิกแบบบอเรล กล่าวคือ มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจากXไปยังYที่ทำให้ภาพผกผันของเซตบอเรลใดๆ เป็นเซตบอเรล และภาพของเซตบอเรลใดๆ ก็เป็นเซตบอเรลเช่นกัน สิ่งนี้ให้เหตุผลเพิ่มเติมแก่การจำกัดความสนใจไว้ที่ปริภูมิแบร์และปริภูมิแคนเตอร์ เนื่องจากปริภูมิเหล่านี้และปริภูมิโปแลนด์อื่นๆ ทั้งหมดเป็นไอโซมอร์ฟิกกันในระดับเซตบอเรล

แต่ละเซตบอเรลของปริภูมิโปแลนด์จะถูกจัดประเภทในลำดับชั้นบอเรลโดยพิจารณาจากจำนวนครั้งที่ต้องใช้การดำเนินการยูเนียนและการเติมเต็มที่นับได้เพื่อให้ได้เซตนั้น โดยเริ่มจากเซตเปิด การจัดประเภทนี้อยู่ในรูปของจำนวนเชิงอันดับนับได้ สำหรับแต่ละจำนวนเชิงอันดับนับได้ที่ไม่เป็นศูนย์αจะมีคลาส, , และ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}}$

• เซตเปิดทุกเซตถูกประกาศว่าเป็นเซต เปิด${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}}$
• เซตจะถูกประกาศว่าเป็นเซตว่างก็ต่อเมื่อเซตส่วนเติมเต็มของมันคือเซตว่าง${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$
• เซตAถูกประกาศว่าเป็นเซต, δ > 1 ถ้ามีลำดับ ⟨ A _i ⟩ ของเซต ซึ่งแต่ละเซตเป็นเซตสำหรับλ ( i ) < δ บางค่า โดยที่${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\delta }^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\lambda (i)}^{0}}$${\displaystyle A=\bigcup A_{i}}$
• เซตจะเป็นเซตก็ต่อเมื่อเซตนั้นเป็นทั้งเซตและ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$

ทฤษฎีบทหนึ่งแสดงให้เห็นว่าเซตใดๆ ที่เป็นหรือเป็นและเซตใดๆ ที่เป็นทั้งและสำหรับทุกα > βดังนั้นลำดับชั้นจึงมีโครงสร้างดังต่อไปนี้ โดยลูกศรแสดงถึงการรวมเข้าด้วยกัน ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\beta }^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}}$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}}$

ทฤษฎีเซตเชิงพรรณนาแบบคลาสสิกนั้นรวมถึงการศึกษาคุณสมบัติความสม่ำเสมอของเซตบอเรล ตัวอย่างเช่น เซตบอเรลทั้งหมดของปริภูมิโปแลนด์มีคุณสมบัติของแบร์และคุณสมบัติของเซตสมบูรณ์ทฤษฎีเซตเชิงพรรณนาสมัยใหม่นั้นรวมถึงการศึกษาถึงวิธีที่ผลลัพธ์เหล่านี้สามารถขยายความ หรือไม่สามารถขยายความ ไปยังกลุ่มย่อยอื่นๆ ของปริภูมิโปแลนด์ได้

ถัดจากเซตโบเรลในแง่ของความซับซ้อน คือเซตเชิงวิเคราะห์และเซตเชิงร่วมวิเคราะห์เซตย่อยของปริภูมิโปแลนด์Xเป็นเซตเชิงวิเคราะห์ก็ต่อเมื่อมันเป็นภาพต่อเนื่องของเซตย่อยโบเรลของปริภูมิโปแลนด์อื่น แม้ว่าภาพผกผันต่อเนื่องใดๆ ของเซตโบเรลจะเป็นเซตโบเรล แต่เซตเชิงวิเคราะห์ทั้งหมดไม่จำเป็นต้องเป็นเซตโบเรล เซตเป็นเซตเชิงร่วมวิเคราะห์ก็ต่อเมื่อส่วนเติมเต็มของมันเป็นเซตเชิงวิเคราะห์

คำถามมากมายในทฤษฎีเซตเชิงพรรณนาขึ้นอยู่กับ การพิจารณาทาง ทฤษฎีเซตและคุณสมบัติของ จำนวน เชิงอันดับและจำนวนเชิงปริมาณปรากฏการณ์นี้เห็นได้ชัดเจนเป็นพิเศษในเซตเชิงโปรเจกทีฟซึ่งถูกกำหนดผ่านลำดับชั้นเชิงโปรเจกทีฟบนปริภูมิโปแลนด์X :

• เซตจะถูกประกาศว่าเป็นเซต วิเคราะห์ได้ ก็ต่อเมื่อมันเป็นเซตวิเคราะห์${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{1}}$
• เซตจะเป็นเซตที่มีคุณสมบัติโคแอนาลิติกได้ก็ต่อเมื่อมันเป็นเซตที่มีคุณสมบัติโคแอนาลิติก${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{1}^{1}}$
• เซตAคือ เซตที่มีสมาชิก เท่ากับจำนวนสมาชิกทั้งหมด ถ้ามีเซตย่อยBของ เซต A เช่นนั้นAคือการฉายภาพของBไปยังพิกัดแรก${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}}$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n}^{1}}$${\displaystyle X\times X}$
• เซตAคือ เซตที่มีสมาชิก เท่ากับจำนวนสมาชิกทั้งหมด ถ้ามีเซตย่อยBของ เซต A เช่นนั้นAคือการฉายภาพของBไปยังพิกัดแรก${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n}^{1}}$${\displaystyle X\times X}$
• เซตคือเซตที่มีคุณสมบัติทั้งสองอย่าง${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{n}^{1}}$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n}^{1}}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n}^{1}}$

เช่นเดียวกับลำดับชั้นของโบเรล สำหรับแต่ละnเซตใดๆ ก็ เป็น ทั้ง และ${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{n}^{1}}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}}$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}}$

คุณสมบัติของเซตเชิงโปรเจกทีฟไม่ได้ถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดย ZFC ภายใต้สมมติฐานV = Lเซตเชิงโปรเจกทีฟทั้งหมดไม่ได้มีคุณสมบัติของเซตสมบูรณ์หรือคุณสมบัติของ Baire อย่างไรก็ตาม ภายใต้สมมติฐานของความแน่นอนเชิงโปรเจกทีฟ เซตเชิงโปรเจกทีฟทั้งหมดจะมีทั้งคุณสมบัติของเซตสมบูรณ์และคุณสมบัติของ Baire นี่เกี่ยวข้องกับข้อเท็จจริงที่ว่า ZFC พิสูจน์ความแน่นอนของ Borelแต่ไม่ใช่ความแน่นอนเชิงโปรเจกทีฟ

^{นอกจาก นี้}ยังมีส่วนขยายทั่วไปสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆซึ่งประกอบด้วยเซตย่อย lightface ทั้งหมดของ[ ^{1 ]}${\displaystyle L}$${\displaystyle n>2}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )\cap L}$${\displaystyle \Delta _{n}^{1}}$${\displaystyle \omega }$

โดยทั่วไปแล้ว กลุ่มของเซตขององค์ประกอบทั้งหมดในปริภูมิโปแลนด์Xสามารถจัดกลุ่มเป็นชั้นสมมูลที่เรียกว่าดีกรีของ Wadgeซึ่งเป็นการขยายลำดับชั้นเชิงฉาย (projective hierarchy) ดีกรีเหล่านี้เรียงลำดับในลำดับชั้นของ Wadgeสัจพจน์ของความแน่นอนบ่งชี้ว่า ลำดับชั้นของ Wadge ในปริภูมิโปแลนด์ใดๆ นั้นมีรากฐานที่ดีและมีความยาวΘโดยมีโครงสร้างที่ขยายลำดับชั้นเชิงฉาย

สาขาการวิจัยร่วมสมัยในทฤษฎีเซตเชิงพรรณนาศึกษาความสัมพันธ์สมมูลแบบบอเรล ความ สัมพันธ์สมมูลแบบ บอเรลบนปริภูมิโปแลนด์Xคือเซตย่อยแบบบอเรลของซึ่งเป็น ความ สัมพันธ์ สมมูลบนX${\displaystyle X\times X}$

สาขาทฤษฎีเซตเชิงพรรณนาที่มีประสิทธิภาพนั้นผสมผสานวิธีการของทฤษฎีเซตเชิงพรรณนาเข้ากับวิธีการของทฤษฎีการเรียกซ้ำแบบทั่วไป (โดยเฉพาะทฤษฎีเลขคณิตขั้นสูง ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะเน้นไปที่ แบบ จำลองที่เบาบางกว่าของลำดับชั้นในทฤษฎีเซตเชิงพรรณนาแบบคลาสสิก ดังนั้นจึง มีการศึกษา ลำดับชั้นเลขคณิตขั้นสูงแทนลำดับชั้นของโบเรล และลำดับชั้นเชิงวิเคราะห์แทนลำดับชั้นเชิงฉาย งานวิจัยนี้เกี่ยวข้องกับทฤษฎีเซตในรูปแบบที่อ่อนกว่า เช่นทฤษฎีเซตของคริปเก-เพลเทคและเลขคณิต อันดับสอง

• คลาสจุด
• การสั่งซื้อล่วงหน้า
• คุณสมบัติมาตราส่วน

• ทฤษฎีเซตเชิงพรรณนา , เดวิด มาร์เกอร์, 2002. บันทึกการบรรยาย.