ในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ของทฤษฎีเซตเชิงพรรณนามาตราส่วนคือวัตถุประเภทหนึ่งที่กำหนดบนเซตของจุดในปริภูมิโปแลนด์ บางแห่ง (ตัวอย่างเช่น มาตราส่วนอาจถูกกำหนดบนเซตของจำนวนจริง ) มาตราส่วนเดิมถูกแยกออกมาเป็นแนวคิดในทฤษฎีการทำให้เป็นเอกรูป [ ^{1 ] แต่พบว่ามีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในทฤษฎีเซตเชิงพรรณนา โดยมีการประยุกต์ ใช้}เช่น การสร้างขอบเขตของความยาวที่เป็นไปได้ของการเรียงลำดับที่ ดี ของความซับซ้อนที่กำหนด และแสดงให้เห็น (ภายใต้สมมติฐานบางประการ) ว่ามีเซตที่นับได้ ที่ใหญ่ที่สุด ของความซับซ้อนบางอย่าง

กำหนดให้เซตจุดAที่อยู่ในปริภูมิผลคูณบางปริภูมิ

${\displaystyle A\subseteq X=X_{0}\times X_{1}\times \ldots X_{m-1}}$

โดยที่ X _kแต่ละอันเป็นได้ทั้งปริภูมิแบร์หรือเซตแบบไม่ต่อเนื่องที่นับได้อนันต์ เรากล่าวว่านอร์มบนAคือแผนที่จากAไปยังจำนวนเชิงอันดับแต่ละนอร์มมีลำดับก่อนหน้าที่ เกี่ยวข้อง โดยที่องค์ประกอบหนึ่งของAจะอยู่ก่อนองค์ประกอบอื่นหากนอร์มขององค์ประกอบแรกน้อยกว่านอร์มขององค์ประกอบที่สอง

มาตราส่วนบนAคือชุดของบรรทัดฐานที่นับได้ไม่ จำกัด

${\displaystyle (\phi _{n})_{n<\โอเมก้า }}$

โดยมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ถ้าลำดับx _iเป็นเช่นนั้น

x _iเป็นสมาชิกของAสำหรับจำนวนธรรมชาติi แต่ละตัว และ

x _iลู่เข้าสู่องค์ประกอบxในปริภูมิผลคูณXและ

สำหรับจำนวนธรรมชาติn แต่ละจำนวน จะมีลำดับ λ _nที่ทำให้ φ _n ( x _i )=λ _nสำหรับi ที่มีค่ามากพอ จากนั้น

xเป็นสมาชิกของAและ

สำหรับแต่ละn , φ _n (x)≤λ _n . ^{[ 2 ]}

โดยตัวมันเอง อย่างน้อยที่สุดหากยอมรับสัจพจน์ของการเลือกการมีอยู่ของมาตราส่วนบนเซตของจุดนั้นเป็นเรื่องง่าย เพราะAสามารถเรียงลำดับได้ดี และแต่ละ φ _nสามารถแจงนับA ได้อย่างง่ายดาย เพื่อให้แนวคิดนี้มีประโยชน์ ต้องมีการกำหนดเกณฑ์ความสามารถในการกำหนดให้กับบรรทัดฐาน (ทั้งรายบุคคลและโดยรวม) ในที่นี้ "ความสามารถในการกำหนด" เข้าใจในความหมายปกติของทฤษฎีเซตเชิงพรรณนา ไม่จำเป็นต้องเป็นความสามารถในการกำหนดในความหมายสัมบูรณ์ แต่เป็นการบ่งชี้ถึงการเป็นสมาชิกในกลุ่มจุดบางกลุ่มของเซตของจำนวนจริง บรรทัดฐาน φ _nเองไม่ใช่เซตของจำนวนจริง แต่การเรียงลำดับก่อน ดีที่สอดคล้องกันนั้น เป็น (อย่างน้อยก็ในสาระสำคัญ)

แนวคิดก็คือ สำหรับกลุ่มจุด Γ ที่กำหนด เราต้องการให้ลำดับก่อนบ่อน้ำที่อยู่ต่ำกว่าจุดที่กำหนดในAถูกแสดงอย่างสม่ำเสมอทั้งในฐานะเซตใน Γ และในฐานะเซตในกลุ่มจุดคู่ของ Γ โดยสัมพันธ์กับจุดที่ "ใหญ่กว่า" ซึ่งเป็นองค์ประกอบของAกล่าวอย่างเป็นทางการ เรากล่าวว่า φ _nก่อให้เกิดมาตราส่วน Γ บนAถ้าพวกมันก่อให้เกิดมาตราส่วนบนAและมีความสัมพันธ์ไตรภาคSและTเช่นนั้น ถ้าyเป็นสมาชิกของAแล้ว

${\displaystyle \forall n\forall x(\varphi _{n}(x)\leq \varphi _{n}(y)\iff S(n,x,y)\iff T(n,x,y))}$

โดยที่Sอยู่ใน Γ และTอยู่ในคลาสจุดคู่ของ Γ (นั่นคือ ส่วนเติมเต็มของTอยู่ใน Γ) ^{[ 3 ]} โปรดทราบว่าที่นี่เราคิดว่า φ _n ( x ) เป็น ∞ เมื่อใดก็ตามที่x ∉ Aดังนั้นเงื่อนไข φ _n ( x )≤φ _n ( y ) สำหรับy ∈ Aยังหมายความว่าx ∈ Aด้วย

นิยามนี้ไม่ได้หมายความว่ากลุ่มของบรรทัดฐานจะอยู่ในจุดตัดของ Γ กับคลาสจุดคู่ของ Γ เนื่องจากความสมมูลสามทางนั้นขึ้นอยู่กับว่าyเป็นสมาชิกของA หรือไม่ สำหรับyที่ไม่ได้อยู่ในAอาจเป็นไปได้ว่าเงื่อนไขS(n,x,y)หรือT(n,x,y) หรือทั้งสอง เงื่อนไขไม่เป็นจริง แม้ว่าxจะอยู่ในA ก็ตาม (และดังนั้น φ _n ( x )≤φ _n ( y )=∞ โดยอัตโนมัติ)

คุณสมบัติการปรับขนาดเป็นการเสริมความแข็งแกร่งของคุณสมบัติการจัดลำดับก่อนบ่อน้ำสำหรับกลุ่มจุดที่มีรูปแบบเฉพาะ มันหมายความว่าความสัมพันธ์ในกลุ่มจุดที่กำหนดนั้นมีการทำให้เป็นแบบเดียวกันซึ่งอยู่ในกลุ่มจุดนั้นด้วย