จุด ที่ส่วนตัดคงที่ของx ₂ = f ( x ₁ )

เส้นที่ส่วนตัดคงที่ของx ₃ = f ( x ₁ , x ₂ ) .

ระนาบที่ส่วนตัดคงที่ของx ₄ = f ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) .

เซตระดับมิติ ( n − 1)สำหรับฟังก์ชันในรูปแบบf ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) = a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + ⋯ + a _n x _nโดยที่a ₁ , a ₂ , …, a _nเป็นค่าคงที่ ในปริภูมิยุคลิดมิติ( n + 1) สำหรับ n = 1, 2, 3

จุด ที่ส่วนตัดคงที่ของx ₂ = f ( x ₁ )

เส้นโค้งคอนทัวร์ที่ส่วนตัดคง ที่ของx ₃ = f ( x ₁ , x ₂ )

พื้นผิวโค้งที่ส่วนตัดคงที่ของx ₄ = f ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) .

เซตระดับมิติ ( n − 1)ของฟังก์ชันไม่เชิงเส้นf ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) ในปริภูมิยุคลิดมิติ( n + 1) สำหรับ n = 1, 2, 3

ในทางคณิตศาสตร์เซตระดับของฟังก์ชันค่าจริงf ของตัวแปรจริงn ตัว คือเซตที่ฟังก์ชันนั้นมีค่าคงที่c ที่กำหนดให้ นั่นคือ:

${\displaystyle L_{c}(f)=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c\right\}~.}$

เมื่อจำนวนตัวแปรอิสระมีสองตัว เซตระดับจะเรียกว่า_เส้นโค้งระดับหรือที่รู้จักกันในชื่อเส้นชั้นความสูง_หรือเส้นไอโซไลน์ดังนั้นเส้นโค้ง ระดับ คือเซตของคำตอบที่เป็นค่าจริงทั้งหมดของสมการในสองตัวแปรx₁และx₂เมื่อn = 3เซตระดับจะเรียกว่าพื้นผิวระดับ (หรือพื้นผิวไอโซ ) ดังนั้นพื้น ผิวระดับ คือเซตของรากที่เป็นค่าจริงทั้งหมดของสมการในสามตัวแปรx₁ , x₂และx₃สำหรับค่าn ที่สูงกว่า เซตระดับจะเป็นพื้นผิวระดับหลายมิติ_{ซึ่งเป็น}เซตของรากที่เป็นค่าจริงทั้งหมดของสมการใน_{ตัวแปร}n > 3 ( พื้นผิวหลาย มิติที่ มีมิติสูงกว่า )

ชุดระดับ (Level set) เป็นกรณีพิเศษของเส้นใยแก้วนำแสง (Fiber )

เซตระดับปรากฏในแอปพลิเคชันมากมาย โดยมักใช้ชื่อเรียกที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น เส้นโค้งโดย ปริยาย (implicit curve ) คือเส้นโค้งระดับ ซึ่งถือว่าแยกจากเส้นโค้งข้างเคียง โดยเน้นว่าเส้นโค้งดังกล่าวถูกกำหนดโดย สมการโดย ปริยาย ในทำนองเดียวกันพื้นผิวระดับบางครั้งก็เรียกว่าพื้นผิวโดยปริยาย (implicit surface) หรือพื้นผิวไอโซ (isosurface )

ชื่อไอโซคอนทัวร์ (isocontour) ก็ถูกนำมาใช้เช่นกัน ซึ่งหมายถึงเส้นโค้งที่มีความสูงเท่ากัน ในสาขาการประยุกต์ใช้ต่างๆ ไอโซคอนทัวร์ได้รับชื่อเฉพาะ ซึ่งมักบ่งบอกถึงลักษณะของค่าของฟังก์ชันที่พิจารณา เช่นไอโซบาร์ (isobar) , ไอโซเทอร์ม ( isotherm) , ไอโซกอน (isogon) , ไอโซโครน (isochrone) , ไอโซ ควอนท์ (isoquant)และเส้นโค้งความไม่แตกต่าง (indifference curve )

พิจารณาระยะทางแบบยุคลิดใน 2 มิติ: เซตระดับของฟังก์ชันนี้ประกอบด้วยจุดที่อยู่ห่างจากจุดกำเนิดเป็นระยะทาง ซึ่งทำให้เกิดวงกลมตัวอย่างเช่นเพราะในทางเรขาคณิต หมายความว่าจุดอยู่บนวงกลมรัศมี 5 ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด โดยทั่วไปแล้วทรงกลมในปริภูมิเมตริกที่มีรัศมี และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่สามารถกำหนดให้เป็นเซตระดับได้ $${\displaystyle d(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$${\displaystyle L_{r}(d)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle (3,4)\in L_{5}(d)}$${\displaystyle d(3,4)=5}$${\displaystyle (3,4)}$${\displaystyle (M,m)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle L_{r}(y\mapsto m(x,y))}$

ตัวอย่างที่สองคือ กราฟ แสดง ฟังก์ชันของ Himmelblauดังแสดงในรูปด้านขวา เส้นโค้งแต่ละเส้นที่แสดงเป็นเส้นโค้งระดับของฟังก์ชัน และมีการเว้นระยะห่างแบบลอการิทึม กล่าวคือ ถ้าเส้นโค้งหนึ่งแทนค่าเส้นโค้งที่อยู่ "ภายใน" ค่า แทนค่าและเส้นโค้งที่อยู่ "ภายนอก" ค่า แทนค่า ${\displaystyle L_{x}}$${\displaystyle L_{x/10}}$${\displaystyle L_{10x}}$

ทฤษฎีบท :ถ้าฟังก์ชัน f สามารถหาอนุพันธ์ได้เกรเดียนต์ของf ที่ จุดใดจุดหนึ่งจะเป็นศูนย์ หรือตั้งฉากกับเซตระดับของ fที่จุดนั้น

เพื่อให้เข้าใจความหมายนี้ ลองนึกภาพว่ามีนักเดินป่าสองคนอยู่ที่เดียวกันบนภูเขา คนหนึ่งกล้าหาญและตัดสินใจไปในทิศทางที่มีความชันมากที่สุด ส่วนอีกคนหนึ่งระมัดระวังมากกว่าและไม่ต้องการปีนขึ้นหรือลงเขา จึงเลือกเส้นทางที่อยู่ระดับความสูงเดียวกัน ในการเปรียบเทียบของเรา ทฤษฎีข้างต้นกล่าวว่านักเดินป่าทั้งสองจะออกเดินทางไปในทิศทางที่ตั้งฉากกัน

ผลที่ตามมาของทฤษฎีบทนี้ (และการพิสูจน์) คือ ถ้าfเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ เซตระดับจะเป็นทั้งไฮเปอร์เซอร์เฟซและแมนิโฟลด์นอกจุดวิกฤตของfที่จุดวิกฤต เซตระดับอาจลดรูปเหลือเพียงจุดเดียว (ตัวอย่างเช่น ที่จุดสุดขั้วเฉพาะที่ของf ) หรืออาจมีจุด เอกฐานเช่นจุดตัดตัวเองหรือจุด แหลม

ชุดของรูปแบบ

${\displaystyle L_{c}^{-}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\leq c\right\}}$

เรียกว่าเซตย่อยระดับของf (หรืออีกนัยหนึ่งคือเซตระดับล่างหรือร่องลึกของf ) เซต ย่อยระดับที่เข้มงวดของfคือ

${\displaystyle \left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})<c\right\}}$

ในทำนองเดียวกัน

${\displaystyle L_{c}^{+}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\geq c\right\}}$

เรียกว่าเซตระดับเหนือกว่าของf (หรืออีกนัยหนึ่งคือเซตระดับบนของf ) และเซตระดับเหนือกว่าที่เข้มงวดของfคือ

${\displaystyle \left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})>c\right\}}$

เซตย่อยระดับมีความสำคัญในทฤษฎีการลดค่าต่ำสุดตามทฤษฎีบทของไวเออร์สตรัสความมีขอบเขตของ เซตย่อยระดับ ที่ไม่ว่างเปล่า บาง เซตและความต่อเนื่องกึ่งล่างของฟังก์ชันบ่งชี้ว่าฟังก์ชันบรรลุค่าต่ำสุดความนูนของเซตย่อยระดับทั้งหมดเป็นลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันกึ่งนูน^{[ 2 ]}

• คำจารึก
• วิธีการกำหนดระดับ
• ชุดระดับ (โครงสร้างข้อมูล)