ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันกึ่งนูน (quasiconvex function)คือฟังก์ชันค่าจริงที่กำหนดบนเซตย่อยนูนของปริภูมิเวกเตอร์ จริง โดยที่สำหรับจำนวนจริงy ใดๆ เซตของจุดที่ค่าของฟังก์ชันมีค่าไม่เกินyจะเป็นเซตนูน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือภาพผกผันของเซตใดๆ ที่มีรูปแบบเป็นเซตนูนนิยามที่เทียบเท่ากันคือ: ตามช่วงใดๆ ในโดเมนของฟังก์ชัน ฟังก์ชันจะมีค่าสูงสุดที่จุดปลายจุดใดจุดหนึ่ง ${\displaystyle (-\infty ,y)}$

ความกึ่งนูน (Quasiconvexity) เป็นคุณสมบัติทั่วไปมากกว่าความนูน (Convexity) กล่าวคือฟังก์ชันนูน ทั้งหมด เป็นฟังก์ชันกึ่งนูนด้วย แต่ฟังก์ชันกึ่งนูนไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันนูนเสมอไป

สำหรับฟังก์ชันหนึ่งมิติ (ฟังก์ชันบนR² ) ในการตรวจสอบด้วยกราฟว่าฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันกึ่งนูนหรือไม่ ให้ลากเส้นแนวนอนจากลบอนันต์ขึ้นไป และตรวจสอบว่าเมื่อใดก็ตามที่เส้นนั้นตัดกับบริเวณเหนือกราฟของฟังก์ชัน จุดตัดนั้นจะเป็นช่วง

ฟังก์ชันกึ่งเว้า (quasiconcave function)คือฟังก์ชันลบของฟังก์ชันกึ่งนูน (quasiconvex function) ในฟังก์ชันกึ่งเว้า สำหรับจำนวนจริงy ใดๆ เซตของจุดที่ค่าของฟังก์ชันอย่างน้อยเท่ากับyจะเป็นเซตของจุดนูน หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ตามช่วงใดๆ ในโดเมนของฟังก์ชัน ฟังก์ชันจะมี ค่า ต่ำสุดที่จุดปลายจุดใดจุดหนึ่ง ในมิติเดียว ตรวจสอบว่าสำหรับเส้นตรงแนวนอนใดๆ ที่ตัดกับบริเวณด้านล่างกราฟของฟังก์ชัน จุดตัดนั้นเป็นช่วง

ฟังก์ชันเอก ตัวแปรที่มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียวจะเป็นฟังก์ชันกึ่งนูนหรือกึ่งเว้า อย่างไรก็ตาม นี่อาจไม่ใช่กรณีเสมอไปสำหรับฟังก์ชันที่มีตัวแปร หลายตัว ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน Rosenbrockสองมิติเป็นฟังก์ชันที่มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียวแต่ไม่ใช่ฟังก์ชันกึ่งนูน และฟังก์ชันที่มี เซตย่อย แบบดาวนูนอาจเป็นฟังก์ชันที่มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียวโดยไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันกึ่งนูน

ฟังก์ชันที่กำหนดบนเซตย่อยนูนของปริภูมิเวกเตอร์จริงเรียกว่าฟังก์ชันกึ่งนูน ถ้าสำหรับทุกและเรามี ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle x,y\in S}$${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}.}$

กล่าวคือ ฟังก์ชันเป้าหมายจะเป็นกึ่งนูนก็ต่อเมื่อค่าสูงสุดของฟังก์ชันตามแนวเส้นตรงระหว่างจุดปลายสองจุดใดๆ จะไม่เกินค่าที่จุดปลายที่มีค่ามากกว่า โปรดทราบว่าจุดและอาจเป็นจุดใน ปริภูมิ nมิติ หากอสมการเป็นแบบเข้มงวด กล่าวคือ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$

สำหรับทุกค่าของและแล้วจะเป็นฟังก์ชันกึ่งนูนอย่างเคร่งครัด กล่าวคือ คุณสมบัติกึ่งนูนอย่างเคร่งครัดกำหนดว่า จุดที่อยู่ตรงกลางระหว่างสองจุดอื่น ๆ จะต้องให้ค่าของฟังก์ชันที่ต่ำกว่าจุดใดจุดหนึ่งในสองจุดนั้น ${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle \lambda \in (0,1)}$${\displaystyle f}$

อีกวิธีหนึ่ง (ดูในบทนำ) ในการนิยามฟังก์ชันกึ่งนูนคือการกำหนดให้เซตย่อยแต่ละเซต เป็นเซตนูน ดังนั้น สำหรับทุกฟังก์ชันกึ่งนูนอย่างเคร่งครัด จะมีการแปลงพิกัดที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดอยู่ ซึ่งทำให้ฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัด ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle S_{\alpha }(f)=\{x\mid f(x)\leq \alpha \}}$${\displaystyle m:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle m(f(x))}$

ฟังก์ชันกึ่งเว้า (quasiconcave function)คือฟังก์ชันที่ค่าลบของมันเป็นฟังก์ชันกึ่งนูน (quasiconvex function) และฟังก์ชันกึ่งเว้าอย่างเคร่งครัด ( strictly quasiconcave function) คือฟังก์ชันที่ค่าลบของมัน เป็นฟังก์ชันกึ่งนูนอย่างเคร่งครัด หรือกล่าวอีกนัย หนึ่ง ฟังก์ชัน จะเป็นฟังก์ชันกึ่งเว้าก็ต่อเมื่อ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq \min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}.}$

ฟังก์ชันกึ่งนูน (อย่างเคร่งครัด) จะมีเซตเส้นโค้งล่าง เป็นเส้นโค้งนูน (อย่างเคร่งครัด) ในขณะที่ฟังก์ชันกึ่งเว้า (อย่างเคร่งครัด) จะมีเซตเส้นโค้งบนเป็นเส้นโค้งนูน (อย่างเคร่งครัด) การแจกแจง ความน่าจะเป็นแบบมีจุด สูงสุดเพียงจุดเดียวเช่น การแจกแจงแบบเกาส์เซียน เป็นตัวอย่างทั่วไปของฟังก์ชันกึ่งเว้าที่ไม่ใช่ฟังก์ชันเว้า

ฟังก์ชันที่ทั้งเป็นกึ่งนูนและกึ่งเว้าเรียกว่าฟังก์ชันกึ่งเชิงเส้นและเป็นไปตามเงื่อนไข

${\displaystyle \min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}\leq f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \max {\big \{}f(x),f(y){\big \}}}$

สำหรับฟังก์ชันกึ่งเชิงเส้นที่กำหนดบนระนาบ เซตระดับจะเป็นเส้นตรงเสมอ โดยทั่วไปแล้ว เซตระดับของฟังก์ชันกึ่งเชิงเส้นบนจะเป็นระนาบมิติ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n-1}$

ฟังก์ชันกึ่งนูนมีแอปพลิเคชันในด้านการวิเคราะห์ ทางคณิตศาสตร์ การหาค่าเหมาะสมที่สุด ทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีเกมและเศรษฐศาสตร์

ในการเพิ่มประสิทธิภาพแบบไม่เชิงเส้นการเขียนโปรแกรมแบบกึ่งนูนศึกษาถึงวิธีการวนซ้ำที่ลู่เข้าสู่ค่าต่ำสุด (ถ้ามีอยู่) สำหรับฟังก์ชันกึ่งนูน การเขียนโปรแกรมแบบกึ่งนูนเป็นการวางนัยทั่วไปของ การเขียนโปรแกรม แบบนูน ^{[ 1 ]}การเขียนโปรแกรมแบบกึ่งนูนใช้ในการแก้ปัญหาคู่แบบ "ตัวแทน" ซึ่งคู่แบบคู่จะให้การปิดแบบกึ่งนูนของปัญหาหลัก ซึ่งจึงให้ขอบเขตที่แน่นกว่าการปิดแบบนูนที่ได้จากปัญหาคู่แบบ ลากราง จ์^{[ 2 ]}ในทางทฤษฎีปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบกึ่งนูนและการเขียนโปรแกรมแบบนูนสามารถแก้ไขได้ในเวลาที่เหมาะสม โดยจำนวนการวนซ้ำจะเพิ่มขึ้นเหมือนพหุนามในมิติของปัญหา (และในส่วนกลับของข้อผิดพลาดในการประมาณที่ยอมรับได้) ^{[ 3 ]} อย่างไรก็ตาม วิธีการที่มีประสิทธิภาพทางทฤษฎีดังกล่าวใช้ กฎขนาดขั้นตอนแบบ "อนุกรมลู่เข้า" ซึ่งพัฒนาขึ้นครั้งแรกสำหรับวิธีการไล่ระดับย่อย แบบคลาสสิ ก วิธีการซับเกรเดียนต์แบบคลาสสิกที่ใช้กฎอนุกรมลู่เข้าจะช้ากว่าวิธีการลดค่าต่ำสุดแบบนูนสมัยใหม่ เช่น วิธีการฉายซับเกรเดียนต์วิธี การ ลดแบบบันเดิล และวิธีการกรอง แบบ ไม่ เรียบ

ในเศรษฐศาสตร์จุลภาค ฟังก์ชันอรรถประโยชน์แบบกึ่งเว้าบ่งชี้ว่าผู้บริโภคมีรสนิยมแบบนูน ฟังก์ชันกึ่งเว้ามีความสำคัญในทฤษฎีเกมการจัดระเบียบอุตสาหกรรมและ ทฤษฎีสมดุลทั่วไปโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทมินิแม็กซ์ของไซออน ทฤษฎีบทของไซออนซึ่งเป็นการขยายความทฤษฎีบทมินิแม็กซ์ของจอห์น ฟอน นอยมันน์ ยังถูกนำไปใช้ในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอีก ด้วย

• ค่าสูงสุดของฟังก์ชันกึ่งนูน (เช่น) เป็นฟังก์ชันกึ่งนูน ในทำนองเดียวกัน ค่าสูงสุดของฟังก์ชันกึ่งนูนที่เข้มงวดเป็นฟังก์ชันกึ่งนูนที่เข้มงวด^{[ 4 ]}ในทำนองเดียวกัน ค่าต่ำสุดของ ฟังก์ชัน กึ่งเว้าเป็นฟังก์ชันกึ่งเว้า และค่าต่ำสุดของฟังก์ชันกึ่งเว้าที่เข้มงวดเป็นฟังก์ชันกึ่งเว้าที่เข้มงวด${\displaystyle f=\max \left\lbrace f_{1},\ldots ,f_{n}\right\rbrace }$
• ถ้าฟังก์ชันประกอบเป็นฟังก์ชันที่ไม่ลดลง: ถ้าเป็นฟังก์ชันกึ่งนูนและไม่ลดลง ฟังก์ชันนั้นก็จะเป็นฟังก์ชันกึ่งนูนเช่นกัน ในทำนองเดียวกัน ถ้าเป็นฟังก์ชันกึ่งเว้าและไม่ลดลง ฟังก์ชันนั้นก็จะเป็นฟังก์ชันกึ่งเว้า${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle f=h\circ g}$${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle f=h\circ g}$
• การหาค่าต่ำสุด (เช่นกึ่งนูน, เซตแบบนูน, ดังนั้นเซตแบบนูนก็เป็นกึ่งนูนเช่นกัน)${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)}$

• ผลรวมของฟังก์ชันกึ่งนูน (quasiconvex functions) ที่นิยามบนโดเมนเดียวกันไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันกึ่งนูนเสมอไป กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้าฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันกึ่งนูนแล้วฟังก์ชัน ก็ไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันกึ่งนูนเสมอไป ตัวอย่างเช่น เป็นฟังก์ชันกึ่งนูน (ที่จริงแล้วเป็นฟังก์ชันกึ่งเชิงเส้น) ที่ผลรวมไม่ใช่ฟังก์ชันกึ่งนูน${\displaystyle f(x),g(x)}$${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$${\displaystyle \pm \operatorname {sign} (x\pm 1)}$
• ผลรวมของฟังก์ชันกึ่งนูนที่กำหนดบน โดเมน ที่แตกต่างกัน (เช่น ถ้าเป็นฟังก์ชันกึ่งนูน) ไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันกึ่งนูนเสมอไป ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่า "แยกส่วนแบบบวก" ในทางเศรษฐศาสตร์ และ "แยกส่วนได้" ในการหาค่าเหมาะสมที่สุดทางคณิตศาสตร์ตัวอย่างเช่นที่กำหนดสำหรับค่าบวกเป็นฟังก์ชันกึ่งนูน แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันกึ่งนูนบนออร์แธนต์บวก${\displaystyle f(x),g(y)}$${\displaystyle h(x,y)=f(x)+g(y)}$${\displaystyle f(x)=-x^{2}}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle h(x,y)=f(x)+f(y)}$

• ฟังก์ชันนูนทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันกึ่งนูน
• ฟังก์ชันเว้าสามารถเป็นฟังก์ชันกึ่งนูนได้ ตัวอย่างเช่นเป็นทั้งฟังก์ชันเว้าและฟังก์ชันกึ่งนูน${\displaystyle x\mapsto \log(x)}$
• ฟังก์ชันเอกภาคใดๆ ก็ตามเป็นทั้งฟังก์ชันกึ่งนูนและกึ่งเว้า โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันที่ลดลงจนถึงจุดหนึ่งแล้วเพิ่มขึ้นจากจุดนั้นเป็นต้นไป ก็คือฟังก์ชันกึ่งนูน (เปรียบเทียบกับความเป็นจุดสูงสุดจุดเดียว )
• ฟังก์ชันพื้น เป็นตัวอย่างของฟังก์ชันกึ่งนูน ซึ่งไม่ใช่ทั้งฟังก์ชันนูนและไม่ต่อเนื่อง${\displaystyle x\mapsto \lfloor x\rfloor }$

• ฟังก์ชันนูน
• ฟังก์ชันเว้า
• ฟังก์ชันเว้าแบบลอการิทึม
• ความนูนเทียมในความหมายของตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัว (ไม่ใช่ความนูนทั่วไป)
• ฟังก์ชันนูนเทียม
• ฟังก์ชันอินเว็กซ์
• ความเว้า

• Sion, Maurice (1958). "เกี่ยวกับทฤษฎีบทมินิแม็กซ์ทั่วไป" . Pacific Journal of Mathematics . 8 (1): 171– 176.
• คำศัพท์เกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมเชิงคณิตศาสตร์เก็บถาวรเมื่อวันที่ 15 กรกฎาคม 2549 ที่Wayback Machine
• ความเว้ากึ่งนูนและความนูนกึ่งนูน - โดย มาร์ติน เจ. ออสบอร์นภาควิชาเศรษฐศาสตร์มหาวิทยาลัยโทรอนโต