ในการวิเคราะห์ความนูนฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบf  : R ⁿ → R ₊จะเป็นฟังก์ชันเว้าเชิงลอการิทึม (หรือเรียกสั้น ๆ ว่าlog-concave ) ถ้า โดเมน ของฟังก์ชัน เป็นเซตแบบนูนและถ้ามันสอดคล้องกับอสมการ

${\displaystyle f(\theta x+(1-\theta )y)\geq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }}$

สำหรับทุกx , y ∈ dom fและ0 <  θ  < 1ถ้าfเป็นค่าบวกอย่างแท้จริง นี่เทียบเท่ากับการกล่าวว่าลอการิทึมของฟังก์ชันlog ∘ fเป็นฟังก์ชันเว้านั่นคือ

${\displaystyle \log f(\theta x+(1-\theta )y)\geq \theta \log f(x)+(1-\theta )\log f(y)}$

สำหรับทุกx , y ∈ dom fและ0 <  θ  < 1

ตัวอย่างของฟังก์ชันลอการิทึมเว้า ได้แก่ฟังก์ชันตัวบ่งชี้ 0-1 ของเซตแบบนูน (ซึ่งต้องใช้คำจำกัดความที่ยืดหยุ่นกว่า) และฟังก์ชันเกาส์เซียน

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันลอการิทึมนูน (log-convex)ถ้าฟังก์ชันนั้นสอดคล้องกับอสมการผกผัน

${\displaystyle f(\theta x+(1-\theta )y)\leq f(x)^{\theta }f(y)^{1-\theta }}$

สำหรับทุกx , y ∈ dom fและ0 <  θ  < 1

สำหรับฟังก์ชันแบบไม่ต่อเนื่องที่ไม่เป็นลบf  : Z → R ₊จะเป็น log-concave ^{[ 1 ]}ถ้า

${\displaystyle f(k)^{2}\geq f(k+1)f(k-1)}$

• ฟังก์ชัน log-concave ยังเป็นquasi-concave ด้วย ซึ่งเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า logarithm เป็นฟังก์ชันเอกภาค ซึ่งหมายความว่าเซตระดับบนสุดของฟังก์ชันนี้เป็นเซตแบบนูน^{[ 2 ]}
• ฟังก์ชันเว้าทุกฟังก์ชันที่มีค่าไม่เป็นลบในโดเมนของมันจะเป็นฟังก์ชันลอการิทึมเว้า อย่างไรก็ตาม ข้อความกลับกันนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไป ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันเกาส์เซียนf ( x )  =  exp(−x² / 2) ^ซึ่งเป็นฟังก์ชันลอการิทึมเว้า เนื่องจากlog f ( x )  =  −x² ^/ 2เป็นฟังก์ชันเว้าของxแต่fไม่ใช่ฟังก์ชันเว้า เนื่องจากอนุพันธ์อันดับสองมีค่าเป็นบวกสำหรับ | x | > 1

${\displaystyle f''(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}(x^{2}-1)\nleq 0}$

• จากสองประเด็นข้างต้นความเว้า ความเว้า แบบลอการิทึม และความเว้าแบบ กึ่ง เว้า${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \Rightarrow }$
• ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองครั้งและมีค่าไม่เป็นลบ โดยมีโดเมนเป็นฟังก์ชันนูน จะเป็นฟังก์ชันเว้าลอการิทึมก็ต่อเมื่อสำหรับทุกxที่สอดคล้องกับf ( x ) > 0

${\displaystyle f(x)\nabla ^{2}f(x)\preceq \nabla f(x)\nabla f(x)^{T}}$[ ^{2 ]​}

เช่น

${\displaystyle f(x)\nabla ^{2}f(x)-\nabla f(x)\nabla f(x)^{T}}$เป็น

กึ่งบวกเชิงลบสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรเดียว เงื่อนไขนี้จะลดรูปเหลือเพียง

${\displaystyle f(x)f''(x)\leq (f'(x))^{2}}$

• ผลคูณ: ผลคูณของฟังก์ชันลอการิทึมเว้าก็จะเป็นฟังก์ชันลอการิทึมเว้าเช่นกัน ที่จริงแล้ว ถ้าfและgเป็นฟังก์ชันลอการิทึมเว้าแล้วlog  fและlog  gก็จะเป็นฟังก์ชันเว้าตามนิยาม ดังนั้น

${\displaystyle \log \,f(x)+\log \,g(x)=\log(f(x)g(x))}$

เป็นฟังก์ชันเว้า ดังนั้นf  g จึง เป็นฟังก์ชันเว้าตามลอการิทึม ด้วย

• ขอบเขต : ถ้าf ( x , y )  :  R ^{n + m}  →  Rเป็นฟังก์ชันเว้าลอการิทึม แล้ว

${\displaystyle g(x)=\int f(x,y)dy}$

เป็นฟังก์ชันเว้าเชิงลอการิทึม (ดูอสมการ Prékopa–Leindler )

• นี่หมายความว่าการสังเคราะห์เชิงคอนโวลูชันจะรักษาคุณสมบัติความเว้าแบบลอการิทึมไว้ เนื่องจากh ( x , y )  =  f ( x - y )  g ( y )เป็นฟังก์ชันเว้าแบบลอการิทึม ถ้าfและgเป็นฟังก์ชันเว้าแบบลอการิทึม และดังนั้น

${\displaystyle (f*g)(x)=\int f(xy)g(y)dy=\int h(x,y)dy}$

เป็นฟังก์ชันเว้าล็อก (log-concave)

การแจกแจงแบบลอการิทึมเว้ามีความจำเป็นสำหรับอัลกอริทึมหลายอย่าง เช่นการสุ่มตัวอย่างแบบปฏิเสธที่ปรับตัวได้การแจกแจงทุกแบบที่มีความหนาแน่นแบบลอการิทึมเว้าเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นเอนโทรปีสูงสุด ที่มีค่าเฉลี่ย μที่ระบุและการวัดความเสี่ยงการเบี่ยงเบนD [ ^{3 ]} ในความเป็นจริง การแจกแจงความน่าจะเป็น ทั่วไปหลายแบบ^เป็นแบบลอการิทึมเว้า ตัวอย่างบางส่วน: ^{[ 4 ]}

• การแจกแจงปกติและการแจกแจงปกติแบบหลายตัวแปร
• การแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียล
• การกระจายแบบสม่ำเสมอเหนือเซตแบบนูน ใด ๆ
• การแจกแจงทวินาม
• การแจกแจงโลจิสติกส์
• การแจกแจงค่าสุดขั้ว
• การแจกแจงลาปลาส
• การแจกแจงไค
• การแจกแจงแบบไฮเปอร์โบลิกซีแคนต์
• การแจกแจง Wishartถ้าn ≥ p + 1, ^{[ 5 ]}
• การแจกแจงแบบ Dirichletหากพารามิเตอร์ทั้งหมดมีค่า ≥ 1 ^{[ 5 ]}
• การแจกแจงแกมมาถ้าพารามิเตอร์รูปร่างมีค่า ≥ 1
• การแจกแจงไคสแควร์หากจำนวนองศาอิสระ ≥ 2
• การแจกแจงแบบเบต้าหากพารามิเตอร์รูปร่างทั้งสองมีค่า ≥ 1 และ
• การแจกแจงแบบไวบูลหากค่าพารามิเตอร์รูปร่าง ≥ 1

โปรดทราบว่าข้อจำกัดของพารามิเตอร์ทั้งหมดมีที่มาพื้นฐานเดียวกัน นั่นคือ เลขชี้กำลังของปริมาณที่ไม่เป็นลบจะต้องไม่เป็นลบด้วย เพื่อให้ฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันเว้าตามลอการิทึม

การแจกแจงต่อไปนี้ไม่ใช่การแจกแจงแบบลอการิทึมเว้าสำหรับพารามิเตอร์ทั้งหมด:

• การแจกแจง t ของนักเรียน
• การแจกแจงแบบโคชี
• การแจกแจงพาเรโต
• การแจกแจงแบบล อการิทมิกปกติและ
• การแจกแจงF

โปรดทราบว่าฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) ของการแจกแจงแบบลอการิทึมเว้าทั้งหมดก็เป็นแบบลอการิทึมเว้าเช่นกัน อย่างไรก็ตาม การแจกแจงที่ไม่ใช่แบบลอการิทึมเว้าบางแบบก็มี CDF แบบลอการิทึมเว้าด้วยเช่นกัน:

• การแจกแจงแบบล อ การิทมิ กปกติ
• การแจกแจงพาเรโต
• การแจกแจงไวบูลเมื่อพารามิเตอร์รูปร่าง < 1 และ
• การแจกแจงแกมมาเมื่อพารามิเตอร์รูปร่าง < 1

คุณสมบัติบางประการของฟังก์ชันการแจกแจงแบบลอการิทึมเว้า ได้แก่:

• ถ้าฟังก์ชันความหนาแน่นมีลักษณะเว้าตามลอการิทึมฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) ก็จะมีลักษณะเว้าตามลอการิทึมเช่นกัน
• ถ้าฟังก์ชันความหนาแน่นหลายตัวแปรมีลักษณะเว้าแบบลอการิทึม ฟังก์ชันความหนาแน่นส่วนย่อยเหนือชุดย่อยใดๆ ของตัวแปร ก็จะมีลักษณะเว้าแบบลอการิทึมเช่นกัน
• ผลรวมของ ตัวแปรสุ่มแบบลอการิทึมเว้าสองตัวที่เป็นอิสระต่อกันจะเป็นแบบลอการิทึมเว้าเช่นกัน ซึ่งเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า การสังเคราะห์ (convolution) ของฟังก์ชันแบบลอการิทึมเว้าสองฟังก์ชันก็จะเป็นแบบลอการิทึมเว้าเช่นกัน
• ผลคูณของฟังก์ชันลอการิทึมเว้าสองฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันลอการิทึมเว้าเช่นกัน นั่นหมายความว่าความหนาแน่นร่วม ที่เกิดจากการคูณความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสองค่า (เช่น การแจกแจงปกติ-แกมมา ซึ่งมีค่าพารามิเตอร์รูปร่าง ≥ 1 เสมอ) จะเป็นฟังก์ชันลอการิทึมเว้า คุณสมบัตินี้ถูกนำไปใช้อย่างมากในโปรแกรม สุ่มตัวอย่างแบบกิบส์ทั่วไปเช่นBUGSและJAGSซึ่งทำให้สามารถใช้การสุ่มตัวอย่างแบบปฏิเสธแบบปรับได้ กับ ชุดการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขที่หลากหลายซึ่งได้มาจากผลคูณของการแจกแจงอื่นๆ
• ถ้าความหนาแน่นเป็นแบบลอการิทึมเว้าฟังก์ชันการอยู่รอด ก็จะเป็นแบบลอการิทึม เว้า เช่นกัน ^{[ 4 ]}
• ถ้าฟังก์ชันความหนาแน่นเป็นแบบลอการิทึมเว้า (log-concave) จะมีอัตราความเสี่ยง แบบโมโนโทน (MHR) และเป็นการแจกแจงแบบปกติเนื่องจากอนุพันธ์ของลอการิทึมของฟังก์ชันการอยู่รอดคืออัตราความเสี่ยงที่เป็นลบ และโดยความเว้าจะเป็นแบบโมโนโทน กล่าวคือ

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log \left(1-F(x)\right)=-{\frac {f(x)}{1-F(x)}}}$ซึ่งมีค่าลดลงเนื่องจากเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเว้า

• ลำดับเว้าแบบลอการิทึม
• การวัดเว้าแบบลอการิทึม
• ฟังก์ชันนูนเชิงลอการิทึม
• ฟังก์ชันนูน