การหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูนเป็นสาขาย่อยของการหาค่าเหมาะสมที่สุดทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาปัญหาการลดค่าฟังก์ชันนูนบนเซตแบบนูน (หรือเทียบเท่ากับการเพิ่มค่าฟังก์ชันเว้าบนเซตแบบนูน) ปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูนหลายประเภทยอมรับอัลกอริทึมแบบเวลาพหุนาม^{[ 1 ]}ในขณะที่การหาค่าเหมาะสมที่สุดทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไปเป็นปัญหา NP- hard ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูนถูกกำหนดโดยส่วนประกอบสองอย่าง: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

• ฟังก์ชันเป้าหมาย ซึ่งเป็น ฟังก์ชันนูนค่าจริงของตัวแปร n ตัว ;${\displaystyle f:{\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$
• เซตที่เป็นไปได้ซึ่งเป็นเซตย่อยนูน${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

เป้าหมายของปัญหานี้คือการค้นหาสิ่งที่บรรลุผลสำเร็จ บางอย่าง${\displaystyle \mathbf {x^{\ast }} \in C}$

${\displaystyle \inf\{f(\mathbf {x} ):\mathbf {x} \in C\}}$.

โดยทั่วไป มีตัวเลือกสามประการเกี่ยวกับการมีอยู่ของวิธีแก้ปัญหา: ^{[ 7 ] : บทที่ 4}

• ถ้ามีจุดx * ดังกล่าวอยู่จริง จุดนั้นจะถูกเรียกว่า จุด หรือคำตอบที่เหมาะสมที่สุดเซตของจุดที่เหมาะสมที่สุดทั้งหมดเรียกว่าเซตที่เหมาะสมที่สุดและปัญหาดังกล่าวเรียกว่าปัญหาที่สามารถแก้ไขได้
• ถ้าค่า มีค่าต่ำกว่าค่า มากจนหาค่าต่ำสุดไม่ได้ หรือไม่สามารถหาค่าต่ำสุดได้ ก็จะกล่าวได้ว่าปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดนั้นไม่มีขอบเขตจำกัด${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$
• ในทางกลับกัน ถ้าเป็นเซตว่าง ปัญหาดังกล่าวจะถือว่าไม่สามารถหาคำตอบได้${\displaystyle C}$

ปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูนจะอยู่ในรูปแบบมาตรฐานหากเขียนในรูปแบบดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {\mathbf {x} }{\operatorname {minimize} }}&&f(\mathbf {x} )\\&\operatorname {subject\ to} &&g_{i}(\mathbf {x} )\leq 0,\quad i=1,\dots ,m\\&&&h_{i}(\mathbf {x} )=0,\quad i=1,\dots ,p,\end{aligned}}}$

โดยที่: ^{[ 7 ] : บทที่ 4}

• ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$คือเวกเตอร์ของตัวแปรการปรับให้เหมาะสมที่สุด
• ฟังก์ชันเป้าหมายเป็นฟังก์ชันนูน${\displaystyle f:{\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$
• ฟังก์ชันข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกัน, , เป็นฟังก์ชันนูน${\displaystyle g_{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle i=1,\ldots ,m}$
• ฟังก์ชันข้อจำกัดความเท่าเทียมกัน, , คือการแปลงเชิงเส้นตรง , กล่าวคือ มีรูปแบบ: , โดยที่เป็นเวกเตอร์ และเป็นสเกลาร์${\displaystyle h_{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle i=1,\ldots ,p}$${\displaystyle h_{i}(\mathbf {x} )=\mathbf {a_{i}} \cdot \mathbf {x} -b_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a_{i}} }$${\displaystyle b_{i}}$

เซตที่เป็นไปได้ของปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดประกอบด้วยจุดทั้งหมดที่สอดคล้องกับข้อจำกัดอสมการและข้อจำกัดสมการ เซตนี้เป็นเซตแบบนูนเนื่องจากเป็นเซตแบบนูนเซตย่อยของฟังก์ชันแบบนูนเป็นเซตแบบนูน เซตเชิงเส้นเป็นเซตแบบนูน และจุดตัดของเซตแบบนูนเป็นเซตแบบนูน^{[ 7 ] : บทที่ 2} ${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbf {x} \in {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

ปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดหลายอย่างสามารถกำหนดได้ในรูปแบบมาตรฐานนี้ ตัวอย่างเช่น ปัญหาการหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันเว้า สามารถกำหนดใหม่ได้เทียบเท่ากับปัญหาการหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนูนปัญหาการหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันเว้าเหนือเซตแบบนูนมักเรียกว่าปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูน^{[ 8 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle -f}$

ในรูปแบบมาตรฐานนั้น เป็นไปได้ที่จะถือว่าฟังก์ชันเป้าหมายfเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เนื่องจากโปรแกรมใดๆ ที่มีเป้าหมายทั่วไปสามารถแปลงเป็นโปรแกรมที่มีเป้าหมายเชิงเส้นได้โดยการเพิ่มตัวแปร t เพียงตัวเดียวและข้อจำกัด เพียงข้อเดียว ดังนี้: ^{[ 9 ] : 1.4}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {\mathbf {x} ,t}{\operatorname {minimize} }}&&t\\&\operatorname {subject\ to} &&f(\mathbf {x} )-t\leq 0\\&&&g_{i}(\mathbf {x} )\leq 0,\quad i=1,\dots ,m\\&&&h_{i}(\mathbf {x} )=0,\quad i=1,\dots ,p,\end{aligned}}}$

โปรแกรมนูนทุกโปรแกรมสามารถนำเสนอในรูปแบบกรวยได้ ซึ่งหมายถึงการลดวัตถุประสงค์เชิงเส้นให้เหลือน้อยที่สุดเหนือจุดตัดของระนาบเชิงเส้นและกรวยนูน: ^{[ 9 ] : 5.1}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {\mathbf {x} }{\operatorname {minimize} }}&&c^{T}x\\&\operatorname {subject\ to} &&x\in (b+L)\cap K\end{aligned}}}$

โดยที่ K คือกรวยนูนปลายแหลม ปิด , L คือปริภูมิย่อยเชิงเส้นของ R ⁿและ b คือเวกเตอร์ใน R ⁿโปรแกรมเชิงเส้นในรูปแบบมาตรฐานเป็นกรณีพิเศษที่ K คือออร์แธนต์ที่ไม่เป็นลบของR ⁿ

เป็นไปได้ที่จะแปลงโปรแกรมแบบนูนในรูปแบบมาตรฐานให้เป็นโปรแกรมแบบนูนที่ไม่มีข้อจำกัดความเท่าเทียมกัน^{[ 7 ] : 132} กำหนดให้ข้อจำกัดความเท่าเทียมกันh _i ( x )=0 เป็นAx = bโดยที่Aมีnคอลัมน์ ถ้าAx = bไม่สามารถหาคำตอบได้ แน่นอนว่าปัญหาเดิมก็ไม่สามารถหาคำตอบได้เช่นกัน มิฉะนั้น ปัญหาจะมีคำตอบx ₀ อยู่ และเซตของคำตอบทั้งหมดสามารถแสดงได้ดังนี้: Fz + x ₀โดยที่zอยู่ในR ^k , k = n -rank( A ) และFเป็น เมทริกซ์ ขนาดn x kการแทนค่าx = Fz + x ₀ในปัญหาเดิมจะได้:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {\mathbf {x} }{\operatorname {minimize} }}&&f(\mathbf {F\mathbf {z} +\mathbf {x} _{0}} )\\&\operatorname {subject\ to} &&g_{i}(\mathbf {F\mathbf {z} +\mathbf {x} _{0}} )\leq 0,\quad i=1,\dots ,m\\\end{aligned}}}$

โดยที่ตัวแปรคือzโปรดสังเกตว่ามีตัวแปรน้อยลงตามอันดับ ( A ) ซึ่งหมายความว่าโดยหลักการแล้ว เราสามารถจำกัดความสนใจไปที่ปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูนโดยไม่มีข้อจำกัดความเท่าเทียมกันได้ อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ มักนิยมคงข้อจำกัดความเท่าเทียมกันไว้ เนื่องจากอาจทำให้อัลกอริทึมบางอย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น และยังทำให้ปัญหาเข้าใจและวิเคราะห์ได้ง่ายขึ้นด้วย

ปัญหาคลาสต่อไปนี้ล้วนเป็นปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูน หรือสามารถลดให้เป็นปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูนได้โดยการแปลงแบบง่ายๆ: ^{[ 7 ] : บทที่ 4 [ 10 ]}

• ปัญหา การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (Linear Programming Problems: LP) เป็นโปรแกรมแบบนูนที่ง่ายที่สุด ใน LP ฟังก์ชันเป้าหมายและฟังก์ชันข้อจำกัดล้วนเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น
• การเขียนโปรแกรมเชิงกำลังสอง (Quadratic Programming)เป็นวิธีการเขียนโปรแกรมที่ง่ายรองลงมา ใน QP ข้อจำกัดทั้งหมดจะเป็นเชิงเส้น แต่ฟังก์ชันเป้าหมายอาจเป็นฟังก์ชันกำลังสองแบบนูน (convex quadratic function)
• การเขียนโปรแกรมกรวยลำดับที่สองมีความทั่วไปมากกว่า
• การเขียนโปรแกรมแบบเซมิเดฟินิตนั้นมีความยืดหยุ่นกว่า
• การปรับให้เหมาะสมแบบทรงกรวยนั้นมีความทั่วไปมากกว่า - ดูรูปทางด้านขวา

กรณีพิเศษอื่นๆ ได้แก่;

• กำลังสองน้อยที่สุด
• การหาค่าต่ำสุดกำลังสองด้วยข้อจำกัดกำลังสองแบบนูน
• การเขียนโปรแกรมเชิงเรขาคณิต
• การเพิ่มค่าเอนโทรปีให้สูงสุดภายใต้ข้อจำกัดที่เหมาะสม

ต่อไปนี้เป็นคุณสมบัติที่มีประโยชน์ของปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูน: ^{[ 11 ] [ 7 ] : บทที่ 4}

• ทุกจุดที่เป็นจุดต่ำสุดเฉพาะที่ก็เป็นจุดต่ำสุดทั่วโลก ด้วยเช่น กัน
• เซตที่เหมาะสมที่สุดเป็นเซตแบบนูน
• ถ้าฟังก์ชันเป้าหมายเป็น ฟังก์ชันนูน อย่างเคร่งครัดปัญหาดังกล่าวจะมีจุดเหมาะสมที่สุดอย่างมากที่สุดเพียงจุดเดียว

ผลลัพธ์เหล่านี้ถูกนำไปใช้ในทฤษฎีการลดค่าต่ำสุดแบบนูน ร่วมกับแนวคิดทางเรขาคณิตจากการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน (ในปริภูมิฮิลเบิร์ต) เช่นทฤษฎีบทการฉายภาพของฮิลเบิร์ตทฤษฎีบทระนาบแยกและเลมมาของฟาร์คัส

โปรแกรมเชิงนูนที่แก้ได้ง่ายที่สุดคือ โปรแกรม ที่ไม่มี ข้อจำกัด หรือโปรแกรมที่มีเพียงข้อจำกัดเชิงสมการเท่านั้น เนื่องจากข้อจำกัดเชิงสมการทั้งหมดเป็นเชิงเส้น จึงสามารถกำจัดได้ด้วยพีชคณิตเชิงเส้นและรวมเข้ากับฟังก์ชันเป้าหมายได้ ทำให้โปรแกรมที่มีข้อจำกัดเชิงสมการกลายเป็นโปรแกรมที่ไม่มีข้อจำกัด

ในกลุ่มปัญหาที่ไม่มีข้อจำกัด (หรือมีข้อจำกัดแบบเท่ากัน) ปัญหาที่ง่ายที่สุดคือปัญหาที่วัตถุประสงค์เป็นฟังก์ชันกำลังสองสำหรับปัญหาเหล่านี้เงื่อนไข KKT (ซึ่งจำเป็นสำหรับความเหมาะสมที่สุด) ล้วนเป็นเชิงเส้น ดังนั้นจึงสามารถแก้ไขได้โดยวิธีวิเคราะห์^{[ 7 ] : บทที่ 11}

สำหรับปัญหาที่ไม่ถูกจำกัด (หรือถูกจำกัดด้วยความเท่าเทียมกัน) ที่มีฟังก์ชันเป้าหมายนูนทั่วไปที่สามารถหาอนุพันธ์ได้สองครั้ง สามารถใช้ วิธีของนิวตันได้ อาจมองได้ว่าเป็นการลดปัญหาแบบนูนที่ไม่ถูกจำกัดทั่วไป ให้เป็นลำดับของปัญหาแบบกำลังสอง^{[ 7 ] : บทที่ 11} วิธีของนิวตันสามารถรวมเข้ากับการค้นหาเส้นตรงสำหรับขนาดขั้นตอนที่เหมาะสม และสามารถพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ได้ว่าลู่เข้าอย่างรวดเร็ว

อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพอื่นๆ สำหรับการลดค่าต่ำสุดแบบไม่มีข้อจำกัด ได้แก่การไล่ระดับความชัน (ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของการไล่ระดับความชันที่ชันที่สุด )

ปัญหาที่ท้าทายกว่าคือปัญหาที่มีข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกัน วิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือการลดปัญหาเหล่านั้นให้เป็นปัญหาที่ไม่มีข้อจำกัดโดยการเพิ่มฟังก์ชันกั้นซึ่งบังคับใช้ข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกันให้กับฟังก์ชันเป้าหมาย วิธีการดังกล่าวเรียกว่าวิธีการจุดภายใน^{[ 7 ] : บทที่ 11} จะต้องเริ่มต้นด้วยการหาจุดภายในที่เป็นไปได้โดยใช้วิธีการที่เรียกว่าเฟส Iซึ่งจะหาจุดที่เป็นไปได้หรือแสดงว่าไม่มีจุดที่เป็นไปได้ วิธีการเฟส I โดยทั่วไปประกอบด้วยการลดการค้นหาที่เกี่ยวข้องให้เป็นปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูนที่ง่ายกว่า^{[ 7 ] : บทที่ 11}

ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูนสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการร่วมสมัยดังต่อไปนี้: ^{[ 12 ]}

• วิธีการรวมกลุ่ม (Wolfe, Lemaréchal, Kiwiel) และ
• วิธี การฉายภาพแบบซับกราเดียนต์ (โพลีแอค)
• วิธีการจุดภายใน^{[ 1 ]}ซึ่งใช้ฟังก์ชันกั้นที่สอดคล้องกันเอง^{[ 13 ]}และฟังก์ชันกั้นที่เป็นระเบียบเอง^{[ 14 ]}
• วิธีการตัดระนาบ
• วิธีทรงรี
• วิธีการซับกราเดียนต์
• การไล่ระดับย่อยคู่และการวิธีดริฟท์บวกโทษ

วิธีการซับเกรเดียนต์สามารถนำไปใช้ได้อย่างง่ายดายและจึงถูกนำมาใช้อย่างแพร่หลาย^{[ 15 ]}วิธีการซับเกรเดียนต์แบบคู่คือวิธีการซับเกรเดียนต์ที่ใช้กับปัญหาคู่ วิธีการ ดริฟต์พลัสเพนัลตีคล้ายกับวิธีการซับเกรเดียนต์แบบคู่ แต่ใช้ค่าเฉลี่ยเวลาของตัวแปรหลัก

พิจารณาปัญหาการหาค่าต่ำสุดแบบนูนที่กำหนดในรูปแบบมาตรฐานโดยฟังก์ชันต้นทุนและข้อจำกัดอสมการสำหรับแล้วโดเมนคือ: ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g_{i}(x)\leq 0}$${\displaystyle 1\leq i\leq m}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

${\displaystyle {\mathcal {X}}=\left\{x\in X\vert g_{1}(x),\ldots ,g_{m}(x)\leq 0\right\}.}$

ฟังก์ชัน Lagrangian สำหรับปัญหานี้คือ^{[ 16 ]}

${\displaystyle L(x,\lambda _{0},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m})=\lambda _{0}f(x)+\lambda _{1}g_{1}(x)+\cdots +\lambda _{m}g_{m}(x).}$

สำหรับแต่ละจุดในที่ทำให้ค่าต่ำสุดเหนือจะมีจำนวนจริงที่เรียกว่าตัวคูณลากรางจ์ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขเหล่านี้พร้อมกัน: ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lambda _{0},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m},}$

1. ${\displaystyle x}$ลดให้เหลือน้อยที่สุดโดยรวม${\displaystyle L(y,\lambda _{0},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m})}$${\displaystyle y\in X,}$
2. ${\displaystyle \lambda _{0},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m}\geq 0,}$โดยมีอย่างน้อยหนึ่ง${\displaystyle \แลมบ์ดา _{k}>0,}$
3. ${\displaystyle \lambda _{1}g_{1}(x)=\cdots =\lambda _{m}g_{m}(x)=0}$(ความหย่อนยานที่เสริมกัน)

หากมี "จุดที่เป็นไปได้อย่างแท้จริง" อยู่ นั่นคือ จุดที่ตรงตามเงื่อนไข ${\displaystyle z}$

${\displaystyle g_{1}(z),\ldots ,g_{m}(z)<0,}$

ดังนั้น ข้อความข้างต้นจึงสามารถเสริมให้มีความชัดเจนยิ่งขึ้นโดยกำหนดให้... ${\displaystyle \lambda _{0}=1}$

ในทางกลับกัน หากบางค่าในเป็นไปตามเงื่อนไข (1)–(3) สำหรับสเกลาร์ที่มีแล้วแน่นอนว่าจะทำให้ค่าต่ำสุด เหนือ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lambda _{0},\ldots ,\lambda _{m}}$${\displaystyle \lambda _{0}=1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

มีระบบนิเวศซอฟต์แวร์ขนาดใหญ่สำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูน ระบบนิเวศนี้แบ่งออกเป็นสองประเภทหลัก ได้แก่ตัวแก้ปัญหาและเครื่องมือสร้างแบบจำลอง (หรืออินเทอร์เฟซ )

โปรแกรมแก้ปัญหาจะทำการประมวลผลอัลกอริธึมด้วยตนเอง และโดยทั่วไปจะเขียนด้วยภาษาซี โปรแกรมเหล่านี้ต้องการให้ผู้ใช้ระบุปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดในรูปแบบที่เฉพาะเจาะจงมาก ซึ่งอาจไม่เป็นธรรมชาติจากมุมมองของการสร้างแบบจำลอง ส่วนเครื่องมือสร้างแบบจำลองนั้นเป็นซอฟต์แวร์แยกต่างหากที่ช่วยให้ผู้ใช้สามารถระบุการหาค่าเหมาะสมที่สุดในไวยากรณ์ระดับสูงกว่า เครื่องมือเหล่านี้จัดการการแปลงทั้งหมดระหว่างแบบจำลองระดับสูงของผู้ใช้และรูปแบบอินพุต/เอาต์พุตของโปรแกรมแก้ปัญหา

ด้านล่างนี้คือตารางสองตาราง ตารางแรกแสดงเครื่องมือสร้างแบบจำลอง (เช่น CVXPY และ JuMP.jl) และตารางที่สองแสดงเครื่องมือแก้ปัญหา (เช่น SCS และ MOSEK) ตารางเหล่านี้ไม่ได้ครอบคลุมเครื่องมือทั้งหมดแต่อย่างใด

การเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูนสามารถใช้ในการสร้างแบบจำลองปัญหาในหลากหลายสาขา เช่นระบบควบคุม อัตโนมัติ การประมาณค่าและการประมวลผลสัญญาณการสื่อสารและเครือข่าย การออกแบบวงจรอิเล็กทรอนิกส์[ 7 ^{] : 17การ} วิเคราะห์ข้อมูลและการสร้างแบบจำลองการเงิน สถิติ(การออกแบบการทดลองที่เหมาะสมที่สุด ) ^{[ 22 ]}และการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงโครงสร้างซึ่งแนวคิดการประมาณค่าได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีประสิทธิภาพ^{[ 7 ] [ 23 ]}การเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูนสามารถใช้ในการสร้างแบบจำลองปัญหาในสาขาต่อไปนี้:

• การเพิ่มประสิทธิภาพพอร์ตโฟลิโอ^{[ 24 ]}
• การวิเคราะห์ความเสี่ยงกรณีเลวร้ายที่สุด^{[ 24 ]}
• การโฆษณาที่เหมาะสมที่สุด^{[ 24 ]}
• รูปแบบต่างๆ ของการถดถอยทางสถิติ (รวมถึงการปรับค่าและการถดถอยควอนไทล์ ) ^{[ 24 ]}
• การปรับโมเดล^{[ 24 ]} (โดยเฉพาะการจำแนกประเภทหลายคลาส^{[ 25 ]} )
• การเพิ่มประสิทธิภาพการผลิตไฟฟ้า^{[ 25 ]}
• การเพิ่มประสิทธิภาพเชิงการจัดเรียง^{[ 25 ]}
• การสร้างแบบจำลอง ความไม่แน่นอนที่ไม่ใช่ความน่าจะเป็น^{[ 26 ]}
• การระบุตำแหน่งโดยใช้สัญญาณไร้สาย^{[ 27 ]}

การขยายขอบเขตของการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูน ได้แก่ การหาค่าเหมาะสมที่สุดของ ฟังก์ชัน แบบนูนสองด้านฟังก์ชันแบบนูนเทียมและ ฟังก์ชัน แบบกึ่ง นูน การ ขยายขอบเขตของทฤษฎีการวิเคราะห์แบบนูน และวิธีการวนซ้ำสำหรับการแก้ปัญหา การหาค่าต่ำสุดแบบไม่นูนโดยประมาณเกิดขึ้นในสาขาความนูนทั่วไปหรือที่รู้จักกันในชื่อการวิเคราะห์แบบนูนเชิงนามธรรม

• ความเป็นสองด้าน
• เงื่อนไข Karush–Kuhn–Tucker
• ปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุด
• วิธีการไล่ระดับใกล้เคียง
• ปัญหาเชิงอัลกอริทึมบนเซตแบบนูน

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับการเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูน (Convex optimization )

• EE364a: การหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูน 1และEE364b: การหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูน 2หน้าเว็บหลักของรายวิชาจากมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด
• 6.253: การวิเคราะห์เชิงนูนและการหาค่าเหมาะสมที่สุด (Convex Analysis and Optimization) หน้าเว็บหลักของหลักสูตร MIT OCW
• ไบรอัน บอร์เชอร์ส ภาพรวมของซอฟต์แวร์สำหรับการปรับให้เหมาะสมแบบนูน
• หนังสือ Convex Optimization โดย Lieven Vandenberghe และ Stephen P. Boyd