ในการหาค่าเหมาะสม ที่สุดแบบมีข้อจำกัด ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ฟังก์ชันกั้นเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีค่าเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์เมื่ออาร์กิวเมนต์เข้าใกล้ขอบเขตของพื้นที่ที่เป็นไปได้ของปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุด^{[ 1 ] [ 2 ]}ฟังก์ชันดังกล่าวใช้เพื่อแทนที่ข้อจำกัดความ ไม่เท่าเทียมกัน ด้วยเทอมการลงโทษในฟังก์ชันเป้าหมายซึ่งจัดการได้ง่ายกว่า ฟังก์ชันกั้นยังเรียกว่าฟังก์ชันลงโทษภายในเนื่องจากเป็นฟังก์ชันลงโทษที่บังคับให้คำตอบอยู่ภายในพื้นที่ที่เป็นไปได้

ฟังก์ชันกั้นสองประเภทที่พบได้บ่อยที่สุดคือฟังก์ชันกั้นผกผันและ ฟังก์ชันกั้น ลอการิทึมความสนใจในฟังก์ชันกั้นลอการิทึมกลับมาอีกครั้งเนื่องจากมีความสัมพันธ์กับวิธีการจุดภายใน แบบคู่- ดั้งเดิม

พิจารณาปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดภายใต้ข้อจำกัดต่อไปนี้:

ลดค่าf ( x ) ให้เหลือน้อยที่สุด

โดยมีเงื่อนไขว่าx ≤ b

โดยที่bเป็นค่าคงที่บางค่า หากต้องการขจัดข้อจำกัดความไม่เท่ากัน ปัญหาสามารถกำหนดใหม่ได้ดังนี้

ลดค่าf ( x ) + c ( x ) ให้เหลือน้อย ที่สุด

โดยที่c ( x ) = ∞ถ้าx > bและเป็นศูนย์ในกรณีอื่น ๆ

ปัญหานี้เทียบเท่ากับปัญหาแรก มันขจัดความไม่เท่าเทียมกันออกไป แต่ทำให้เกิดปัญหาที่ว่าฟังก์ชันปรับโทษcและด้วยเหตุนี้ฟังก์ชันเป้าหมายf ( x ) + c ( x )จึงไม่ต่อเนื่องทำให้ไม่สามารถใช้แคลคูลัสในการแก้ปัญหาได้

ฟังก์ชันกั้น (barrier function) ในที่นี้ คือค่าประมาณต่อเนื่องgของcที่มีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์เมื่อxเข้าใกล้bจากด้านล่าง โดยใช้ฟังก์ชันดังกล่าว จึงสามารถกำหนดปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบใหม่ได้ดังนี้

ลดค่าf ( x ) + μ g ( x ) ให้เหลือน้อยที่สุด

โดยที่μ > 0เป็นพารามิเตอร์อิสระ ปัญหานี้ไม่เทียบเท่ากับปัญหาเดิม แต่เมื่อμเข้าใกล้ศูนย์ มันจะกลายเป็นการประมาณที่ดีขึ้นเรื่อยๆ^{[ 3 ]}

สำหรับฟังก์ชันกั้นแบบลอการิทึมจะถูกกำหนดเป็นเมื่อและเป็นอย่างอื่น (ในมิติเดียว ดูคำจำกัดความในมิติที่สูงกว่าด้านล่าง) โดยพื้นฐานแล้วสิ่งนี้อาศัยข้อเท็จจริงที่ว่ามีแนวโน้มเข้าสู่ลบอนันต์เมื่อมีแนวโน้มเข้าสู่ 0 ${\displaystyle g(x,b)}$${\displaystyle -\!\log(bx)}$${\displaystyle x<b}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \log t}$${\displaystyle t}$

วิธีนี้จะสร้างค่าความชันให้กับฟังก์ชันที่กำลังปรับให้เหมาะสม ซึ่งจะให้ความสำคัญกับค่าที่ไม่สุดขั้วมากนัก(ในกรณีนี้คือค่าที่ต่ำกว่า) ในขณะที่มีผลกระทบต่อฟังก์ชันที่อยู่ห่างจากค่าสุดขั้วเหล่านี้ค่อนข้างน้อย ${\displaystyle x}$${\displaystyle b}$

ฟังก์ชันกั้นแบบลอการิทึมอาจเป็นที่นิยมมากกว่าฟังก์ชันกั้นผกผันซึ่ง ใช้การคำนวณน้อยกว่า ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันที่กำลังปรับให้เหมาะสม

การขยายไปยังมิติที่สูงขึ้นนั้นทำได้ง่าย โดยมีเงื่อนไขว่าแต่ละมิติต้องเป็นอิสระต่อกัน สำหรับแต่ละตัวแปรที่ควรจำกัดให้ต่ำกว่าให้เพิ่มเข้าไป ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle -\!\log(b_{i}-x_{i})}$

ลดผลกระทบให้ น้อยที่สุด${\displaystyle \mathbf {c} ^{T}x}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}^{T}x\leq b_{i},i=1,\ldots ,m}$

ถือว่ามีความเป็นไปได้อย่างเคร่งครัด:${\displaystyle \{\mathbf {x} \กลางขวาน<b\}\neq \emptyset }$

นิยามของอุปสรรคเชิงลอการิทึม${\displaystyle g(x)={\begin{cases}\sum _{i=1}^{m}-\!\log(b_{i}-a_{i}^{T}x)&{\text{สำหรับ }}Ax<b\\+\infty &{\text{กรณีอื่นๆ}}\end{cases}}}$

• วิธีการลงโทษ
• วิธีการลากรางเจียนเสริม

• การบรรยายครั้งที่ 14: Barrier methodจากศาสตราจารย์ Lieven Vandenberghe แห่งUCLA