ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันต่อเนื่องคือฟังก์ชันที่การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของตัวแปรต้น จะทำให้ ค่า ของฟังก์ชัน เปลี่ยนแปลงเล็กน้อยเช่นกันซึ่งหมายความว่าไม่มีการเปลี่ยนแปลงค่าอย่างฉับพลัน หรือที่เรียกว่าความไม่ต่อเนื่อง กล่าว ให้แม่นยำยิ่งขึ้น ฟังก์ชันจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อสามารถรับประกันได้ว่าค่าของฟังก์ชันจะเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยมากได้ โดยจำกัดการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรต้นให้มีค่าน้อยเพียงพอฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องคือฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องจนกระทั่งถึงศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่อาศัย แนวคิดเรื่องความต่อเนื่อง โดยสัญชาตญาณและพิจารณาเฉพาะฟังก์ชันต่อเนื่องเท่านั้นนิยามของลิมิตแบบเอปซิลอน-เดลต้าถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดนิยามของความต่อเนื่องอย่างเป็นทางการ

ความต่อเนื่องเป็นหนึ่งในแนวคิดหลักของแคลคูลัสและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์โดยที่ตัวแปรและค่าของฟังก์ชันเป็น จำนวน จริงและจำนวนเชิงซ้อนแนวคิดนี้ได้รับการขยายไปสู่ฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเมตริกและระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี ฟังก์ชันเชิงทอพอโลยีเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องทั่วไปที่สุด และนิยามของฟังก์ชันเหล่านี้เป็นพื้นฐานของทอพอโลยี

ความต่อเนื่องในรูปแบบที่แข็งแกร่งกว่าคือความต่อเนื่องแบบสม่ำเสมอในทฤษฎีลำดับโดยเฉพาะในทฤษฎีโดเมนแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับความต่อเนื่องคือความต่อเนื่องแบบสก็อตต์

ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมคือ ฟังก์ชันH ( t )ซึ่งแสดงถึงความสูงของดอกไม้ที่กำลังเติบโต ณ เวลาtจะถือว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ในทางตรงกันข้าม ฟังก์ชันM ( t )ซึ่งแสดงถึงจำนวนเงินในบัญชีธนาคาร ณ เวลาtจะถือว่าเป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง เนื่องจากมัน "กระโดด" ในแต่ละจุดเวลาเมื่อมีการฝากหรือถอนเงิน

นิยามความต่อเนื่องแบบเอปซิลอน-เดลต้ารูปแบบหนึ่งได้รับการเสนอครั้งแรกโดยเบอร์นาร์ด โบลซาโนในปี ค.ศ. 1817 ออกัสติน-หลุยส์ โคชีนิยามความต่อเนื่องไว้ดังนี้: การเพิ่มขึ้นเล็กน้อยอย่างไม่มีที่สิ้นสุดของตัวแปรอิสระจะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยอย่างไม่มีที่สิ้นสุดของตัวแปร ตามเสมอ (ดูเช่นCours d'Analyseหน้า 34) โคชีนิยามปริมาณเล็กน้อยอย่างไม่มีที่สิ้นสุดในแง่ของปริมาณที่เปลี่ยนแปลงได้ และนิยามความต่อเนื่องของเขาคล้ายคลึงกับนิยามของปริมาณเล็กน้อยที่ใช้ในปัจจุบัน (ดู ความต่อ เนื่องระดับจุลภาค ) นิยามอย่างเป็นทางการและความแตกต่างระหว่างความต่อเนื่องแบบจุดต่อจุดและความต่อเนื่องแบบสม่ำเสมอได้รับการเสนอครั้งแรกโดยโบลซาโนในช่วงทศวรรษ ค.ศ. 1830 แต่ผลงานนี้ไม่ได้ตีพิมพ์จนกระทั่งทศวรรษ ค.ศ. 1930 เช่นเดียวกับโบลซาโน^{[ 1 ]}คาร์ล ไวเออร์สตรัส^{[ 2 ]}พิจารณาว่าฟังก์ชันที่จุดนั่นคือมีความต่อเนื่องก็ต่อเมื่อค่าของถูกกำหนดและที่ทั้งสองข้างและฟังก์ชัน ก็ถูกกำหนดเช่นกันÉdouard Goursat ^{[ 3 ]}ถือว่ามีความต่อเนื่องก็ต่อเมื่อฟังก์ชันถูกกำหนดที่และ (อย่างน้อย) ด้านใดด้านหนึ่งของในขณะที่Camille Jordan ^{[ 4 ]} "อนุญาต" ให้มีความต่อเนื่องแม้ว่าฟังก์ชันจะถูกกำหนดไว้ที่ เท่านั้นคำจำกัดความที่ไม่เทียบเท่ากันทั้งสามของความต่อเนื่องแบบจุดต่อจุดยังคงถูกนำมาใช้^{[ 5 ]} Eduard Heineได้ให้คำจำกัดความแรกของความต่อเนื่องแบบสม่ำเสมอที่ตีพิมพ์ในปี 1872 แต่แนวคิดเหล่านี้อิงตามการบรรยายของPeter Gustav Lejeune Dirichletในปี 1854 ^{[ 6 ]}${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle x=c}$${\displaystyle f(x){\big |}_{x=c}}$ ${\displaystyle f(c)}$${\displaystyle f(x){\big |}_{x\to c^{+}}}$${\displaystyle f(x){\big |}_{x\to c^{-}}}$${\displaystyle f(c)}$${\displaystyle f(x){\big |}_{x\to c}}$ ${\displaystyle x=c}$

ฟังก์ชันจริงคือฟังก์ชันจากจำนวนจริงไปยังจำนวนจริง สามารถแสดงได้ด้วยกราฟในระนาบพิกัดคาร์ทีเซียนฟังก์ชันดังกล่าวจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อกราฟเป็นเส้นโค้ง เดียวที่ไม่ขาดตอน โดยมีโดเมนเป็นเส้นจำนวนจริงทั้งหมด คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดกว่านี้จะกล่าวถึงต่อไป

ความต่อเนื่องของฟังก์ชันจำนวนจริงมักถูกนิยามในแง่ของลิมิตฟังก์ชันfที่มีตัวแปรxจะต่อเนื่องที่จำนวนจริงcถ้าลิมิตของ f เมื่อxเข้าใกล้cเท่ากับ 0${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle f(c).}$

มีนิยามที่แตกต่างกันหลายแบบเกี่ยวกับความต่อเนื่อง (ในระดับสากล) ของฟังก์ชัน ซึ่งขึ้นอยู่กับลักษณะของโดเมน ของฟังก์ชัน นั้น

ฟังก์ชันจะต่อเนื่องบนช่วงเปิด ก็ต่อ เมื่อช่วงนั้นอยู่ในโดเมนของฟังก์ชัน และฟังก์ชันนั้นต่อเนื่องที่ทุกจุดในช่วงนั้น ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องบนช่วง ( เส้นจำนวนจริงทั้งหมด) มักเรียกว่าฟังก์ชันต่อเนื่อง หรืออาจกล่าวได้ว่าฟังก์ชันดังกล่าวต่อเนื่องทุกที่ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันพหุนาม ทั้งหมด ต่อเนื่องทุกที่ ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$

ฟังก์ชันจะต่อเนื่องบนช่วงกึ่งเปิดหรือ ช่วง ปิดก็ต่อเมื่อช่วงนั้นอยู่ในโดเมนของฟังก์ชัน ฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุกจุดภายในช่วง และค่าของฟังก์ชันที่จุดปลายแต่ละจุดซึ่งอยู่ในช่วงนั้นเป็นลิมิตของค่าของฟังก์ชันเมื่อตัวแปรเข้าใกล้จุดปลายจากภายในช่วง ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันต่อเนื่องบนโดเมนทั้งหมด ซึ่งก็คือช่วงกึ่งเปิด${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$${\displaystyle [0,+\infty ).}$

ฟังก์ชันที่พบได้ทั่วไปหลายฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันบางส่วนซึ่งมีโดเมนประกอบด้วยจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจุดโดดเดี่ยว บางจุด ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันส่วนกลับ และฟังก์ชันแทนเจนต์เมื่อฟังก์ชันเหล่านี้ต่อเนื่องบนโดเมนของมัน ในบางบริบทเราจะกล่าวว่าฟังก์ชันเหล่านั้นต่อเนื่อง แม้ว่าจะไม่ต่อเนื่องทุกที่ก็ตาม ในบริบทอื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเราสนใจพฤติกรรมของฟังก์ชันเหล่านั้นใกล้จุดพิเศษ เราจะกล่าวว่าฟังก์ชันเหล่านั้นไม่ต่อเนื่อง ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$${\displaystyle x\mapsto \tan x.}$

ฟังก์ชันบางส่วนจะไม่ต่อเนื่องที่จุดใดจุดหนึ่ง ถ้าจุดนั้นอยู่ในส่วนปิดเชิงโทโพโลยีของโดเมนของฟังก์ชัน และจุดนั้นไม่อยู่ในโดเมนของฟังก์ชัน หรือฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องที่จุดนั้น ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันและไม่ต่อเนื่องที่0และยังคงไม่ต่อเนื่องไม่ว่าค่าใดจะถูกเลือกสำหรับการกำหนดค่าที่0จุดที่ฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องเรียกว่า จุดไม่ต่อเนื่อง ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$${\textstyle x\mapsto \sin({\frac {1}{x}})}$

ในการใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ มีหลายวิธีในการกำหนดฟังก์ชันต่อเนื่องในสามความหมายที่กล่าวมาข้างต้น

ให้เป็นฟังก์ชันที่ มี โดเมนอยู่ในจำนวนจริง ${\textstyle f:D\to \mathbb {R} }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ความเป็นไปได้บางส่วน (แต่ไม่ใช่ทั้งหมด) สำหรับได้แก่: ${\displaystyle D}$

• ${\displaystyle D}$คือ เส้นจำนวนจริงทั้งหมดนั่นคือ${\displaystyle D=\mathbb {R} }$
• ${\displaystyle D}$เป็นช่วงปิดที่มีรูปแบบโดยที่aและbเป็นจำนวนจริง${\displaystyle D=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\},}$
• ${\displaystyle D}$เป็นช่วงเปิดที่มีรูปแบบ โดยที่aและbเป็นจำนวนจริง${\displaystyle D=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},}$

ในกรณีของช่วงเปิดและไม่เป็นส่วนหนึ่งของและค่าและไม่ได้ถูกกำหนดไว้ และหากถูกกำหนดไว้ ก็ไม่มีผลต่อความต่อเนื่องบน ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(b)}$${\displaystyle D}$

ฟังก์ชันfมีความต่อเนื่องที่จุดc บางจุด ในโดเมนของ f ถ้าลิมิตของ f เมื่อxเข้าใกล้cผ่านโดเมนของfมีอยู่และเท่ากับ^{[ 8 ]}ในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ จะเขียนได้ดังนี้ โดย ละเอียดแล้ว หมายถึงเงื่อนไขสามประการ: ประการแรกfต้องถูกกำหนดที่c (รับประกันโดยข้อกำหนดที่ว่าcอยู่ในโดเมนของf ) ประการที่สอง ลิมิตของสมการนั้นต้องมีอยู่ ประการที่สาม ค่าของลิมิตนี้ต้องเท่ากับ${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle f(c).}$$${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=f(c).}$$${\displaystyle f(c).}$

(ในที่นี้ เราได้สมมติว่าโดเมนของฟังก์ชันfไม่มีจุดโดดเดี่ยว ใดๆ )

บริเวณใกล้เคียงของจุดcคือเซตที่ประกอบด้วยจุดอย่างน้อยที่สุดทั้งหมดที่อยู่ภายในระยะทางคงที่จากจุดcโดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันจะต่อเนื่องที่จุดcถ้าช่วงของฟังก์ชันfในบริเวณใกล้เคียงของจุดcลดลงเหลือเพียงจุดเดียวเมื่อความกว้างของบริเวณใกล้เคียงรอบจุดcลดลงเหลือศูนย์ กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ฟังก์ชันfจะต่อเนื่องที่จุดcในโดเมนของฟังก์ชัน ถ้าสำหรับบริเวณใกล้เคียงใดๆจะมีบริเวณใกล้เคียงในโดเมนของฟังก์ชันนั้นเช่นกันเมื่อใดก็ตามที่${\displaystyle f(c)}$${\displaystyle N_{1}(f(c))}$${\displaystyle N_{2}(c)}$${\displaystyle f(x)\in N_{1}(f(c))}$${\displaystyle x\in N_{2}(c).}$

เนื่องจากบริเวณใกล้เคียงถูกกำหนดไว้ในปริภูมิเชิงทอพอโลยี ใดๆ นิยามของฟังก์ชันต่อเนื่องนี้จึงใช้ได้ไม่เพียงแต่กับฟังก์ชันจริงเท่านั้น แต่ยังใช้ได้กับกรณีที่โดเมนและโคโดเมนเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีด้วย ดังนั้นจึงเป็นนิยามที่ครอบคลุมที่สุด ผลที่ตามมาคือ ฟังก์ชันจะต่อเนื่องโดยอัตโนมัติที่ทุกจุดโดดเดี่ยวในโดเมนของมัน ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันค่าจริงทุกฟังก์ชันบนจำนวนเต็มเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

เราอาจกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมได้ว่า สำหรับลำดับ ของจุดใดๆ ในโดเมนที่ลู่เข้าสู่cลำดับที่สอดคล้องกันจะลู่เข้าสู่ ในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \left(f(x_{n})\right)_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle f(c).}$$${\displaystyle \forall (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset D:\lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)\,.}$$

เมื่อรวมนิยามของลิมิตของฟังก์ชันไว้อย่างชัดเจน เราจะได้นิยามที่สมบูรณ์ในตัวเอง: กำหนดฟังก์ชันดังข้างต้นและองค์ประกอบของโดเมน จะกล่าวได้ว่าฟังก์ชัน นั้นต่อเนื่องที่จุดเมื่อเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง: สำหรับจำนวนจริงบวกใดๆไม่ว่าจะเล็กเพียงใด ก็จะมีจำนวนจริงบวกบางจำนวนอยู่ซึ่งสำหรับทุก ค่า ในโดเมนของ ที่มีค่า เป็นไปตามเงื่อนไขต่อ ไปนี้${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta ,}$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-\varepsilon <f(x)<f(x_{0})+\varepsilon .}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความต่อเนื่องของat หมายความว่า สำหรับทุก ๆจะมีอยู่จริงที่ทำให้สำหรับทุก ๆ: ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}\in D}$${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x\in D}$$${\displaystyle \left|x-x_{0}\right|<\delta ~~{\text{ implies }}~~|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .}$$

กล่าวโดยสรุปอย่างเข้าใจง่าย เราอาจกล่าวได้ว่า หากเราต้องการให้ค่าทั้งหมดอยู่ภายในบริเวณ เล็กๆ รอบๆ ค่าเหล่านั้น เราจำเป็นต้องเลือกบริเวณที่เล็กพอสำหรับค่าต่างๆ รอบๆ ค่าเหล่านั้นหากเราสามารถทำเช่นนั้นได้ไม่ว่าบริเวณนั้นจะเล็กแค่ไหน แสดงว่าค่าเหล่านั้นต่อเนื่องที่จุดนั้น${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right),}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}.}$${\displaystyle f(x_{0})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}.}$

ในแง่สมัยใหม่ สิ่งนี้ได้รับการขยายความโดยนิยามของความต่อเนื่องของฟังก์ชันเทียบกับฐานสำหรับโทโพโลยีซึ่งในที่นี้คือ โทโพโล ยี เมตริก

ไวเออร์สตรัสกำหนดไว้ว่าช่วงเวลานั้นจะต้องอยู่ภายในโดเมนทั้งหมดแต่จอร์แดนได้ยกเลิกข้อจำกัดนั้น ${\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta }$${\displaystyle D}$

ในการพิสูจน์และการวิเคราะห์เชิงตัวเลข เรามักต้องการทราบว่าลิมิตลู่เข้าเร็วแค่ไหน หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ การควบคุมส่วนที่เหลือ เราสามารถกำหนดนิยามนี้ให้เป็นนิยามของความต่อเนื่องได้ ฟังก์ชันหนึ่งเรียกว่าฟังก์ชันควบคุม ถ้า เป็นไป ตามเงื่อนไขที่กำหนด${\displaystyle C:[0,\infty )\to [0,\infty ]}$

• Cเป็นค่าที่ไม่ลดลง
• ${\displaystyle \inf _{\delta >0}C(\delta )=0}$

ฟังก์ชันจะเรียกว่า มีความต่อเนื่องแบบ Cที่จุดถ้ามีบริเวณใกล้เคียงจุด เช่นนั้น ${\displaystyle f:D\to R}$${\displaystyle x_{0}}$${\textstyle N(x_{0})}$$${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|\leq C\left(\left|x-x_{0}\right|\right){\text{ for all }}x\in D\cap N(x_{0})}$$

ฟังก์ชันจะต่อเนื่องในถ้าฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชัน ต่อเนื่อง Cสำหรับฟังก์ชันควบคุมC บางตัว${\displaystyle x_{0}}$

แนวทางนี้จะนำไปสู่การปรับปรุงแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องโดยการจำกัดเซตของฟังก์ชันควบคุมที่ยอมรับได้ สำหรับเซตของฟังก์ชันควบคุมที่กำหนดฟังก์ชันหนึ่งจะมีความต่อเนื่องแบบ αถ้าฟังก์ชันนั้นมีความต่อเนื่องแบบ αสำหรับบางค่า α ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันลิปชิตซ์ฟังก์ชันโฮลเดอร์ที่มีความต่อเนื่องแบบαและฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องสม่ำเสมอที่กล่าวถึงด้านล่างนี้ ถูกกำหนดโดยเซตของฟังก์ชันควบคุม ตามลำดับ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {Lipschitz} }=\{C:C(\delta )=K|\delta |,\ K>0\}}$$$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{{\text{Hölder}}-\alpha }=\{C:C(\delta )=K|\delta |^{\alpha },\ K>0\}}$$$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{uniform cont.}}=\{C:C(0)=0\}}$$

ความต่อเนื่องยังสามารถกำหนดได้ในแง่ของการแกว่ง : ฟังก์ชันfจะต่อเนื่องที่จุดหนึ่งก็ต่อเมื่อการแกว่งของฟังก์ชันที่จุดนั้นเป็นศูนย์^{[ 9 ]}ในเชิงสัญลักษณ์ข้อดีของคำจำกัดความนี้คือสามารถระบุปริมาณของความไม่ต่อเนื่องได้: การแกว่งจะแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง มากน้อย เพียงใดที่จุดหนึ่ง${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=0.}$

คำจำกัดความนี้มีประโยชน์ในทฤษฎีเซตเชิงพรรณนาเพื่อศึกษาเซตของจุดไม่ต่อเนื่องและจุดต่อเนื่อง – จุดต่อเนื่องคือจุดตัดของเซตที่การแกว่งน้อยกว่า(ดังนั้นจึงเป็นเซต ) – และให้การพิสูจน์อย่างรวดเร็วของทิศทางหนึ่งของเงื่อนไขการบูรณาการของเลเบส^{[ 10 ]}${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle G_{\delta }}$

การแกว่งนั้นเทียบเท่ากับนิยามโดยการจัดเรียงใหม่แบบง่ายๆ และโดยการใช้ลิมิต ( lim sup , lim inf ) เพื่อกำหนดการแกว่ง: ถ้า (ที่จุดที่กำหนด) สำหรับค่าที่กำหนดไม่มีค่าใดที่สอดคล้องกับนิยาม การแกว่งจะมีค่าอย่างน้อยและในทางกลับกัน ถ้าสำหรับทุกค่า มีค่าที่ต้องการการแกว่งจะเป็น 0 นิยามของการแกว่งสามารถขยายไปสู่แผนที่จากปริภูมิเชิงทอพอโลยีไปยังปริภูมิ เชิงเมตริก ได้อย่างเป็นธรรมชาติ${\displaystyle \varepsilon -\delta }$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \varepsilon -\delta }$${\displaystyle \varepsilon _{0},}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta ,}$

Cauchyนิยามความต่อเนื่องของฟังก์ชันในแง่ที่เข้าใจง่ายดังนี้: การเปลี่ยนแปลง เล็กน้อยในตัวแปรอิสระจะสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในตัวแปรตาม (ดูCours d'analyseหน้า 34) การวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานเป็นวิธีการทำให้สิ่งนี้มีความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์มากขึ้น เส้นจำนวนจริงถูกขยายโดยการเพิ่มจำนวนอนันต์และจำนวนเล็กน้อยเพื่อสร้างจำนวนไฮเปอร์เรียลในการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐาน ความต่อเนื่องสามารถนิยามได้ดังนี้

ฟังก์ชันค่าจริงfจะต่อเนื่องที่xถ้าการขยายตามธรรมชาติของฟังก์ชันไปยังไฮเปอร์เรียลมีคุณสมบัติว่าสำหรับdx ที่เป็นอนันต์ทั้งหมด จะเป็นอนันต์^{[ 11 ]}${\displaystyle f(x+dx)-f(x)}$

(ดูความต่อเนื่องระดับจุลภาค ) กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเพิ่มขึ้นเล็กน้อยของตัวแปรอิสระจะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของตัวแปรตามเสมอ ซึ่งเป็นการแสดงออกที่ทันสมัยของนิยามความต่อเนื่องของ ออกัสติน-หลุยส์ โคชี

การพิสูจน์ความต่อเนื่องของฟังก์ชันโดยการประยุกต์ใช้นิยามโดยตรงนั้นโดยทั่วไปไม่ใช่เรื่องง่าย โชคดีที่ในทางปฏิบัติ ฟังก์ชันส่วนใหญ่สร้างขึ้นจากฟังก์ชันที่ง่ายกว่า และความต่อเนื่องของฟังก์ชันเหล่านั้นสามารถอนุมานได้ทันทีจากวิธีการนิยามของฟังก์ชันเหล่านั้น โดยใช้กฎต่อไปนี้:

• ฟังก์ชันคงที่ทุก ฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
• ฟังก์ชันเอกลักษณ์มี${\displaystyle f(x)=x}$ความต่อเนื่อง
• การบวกและการคูณ : ถ้าฟังก์ชัน⁠ ⁠${\displaystyle f}$และ⁠ ⁠${\displaystyle g}$มีความต่อเนื่องบนโดเมน⁠ ⁠${\displaystyle D_{f}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle D_{g}}$ ตามลำดับ ผลรวม⁠ ⁠${\displaystyle f+g}$และผลคูณ⁠ ⁠${\displaystyle f\cdot g}$ ของฟังก์ชันทั้งสอง จะมีความต่อเนื่องบนจุดตัด⁠ ⁠${\displaystyle D_{f}\cap D_{g}}$โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle f+g}$และ⁠ ⁠${\displaystyle f\cdot g}$ถูกกำหนดโดย⁠ ⁠${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$และ⁠ ⁠${\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)}$ตามลำดับ
• ส่วนกลับ : ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องบนโดเมนแล้วส่วนกลับของฟังก์ชันซึ่งกำหนดโดย${\displaystyle f}$จะต่อเนื่องบนโดเมนนั่นคือโดเมนที่จุดซึ่งกำหนดให้ถูกตัดออกไป${\displaystyle D_{f}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{f}}}$${\displaystyle ({\tfrac {1}{f}})(x)={\tfrac {1}{f(x)}}}$${\displaystyle D_{f}\setminus f^{-1}(0)}$${\displaystyle D_{f}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=0}$
• การประกอบฟังก์ชัน : ถ้าฟังก์ชัน ⁠ ⁠${\displaystyle f}$และ ⁠ ⁠${\displaystyle g}$มีความต่อเนื่องบนโดเมน ⁠ ⁠${\displaystyle D_{f}}$และ ⁠ ⁠${\displaystyle D_{g}}$ ตามลำดับ แล้ว การประกอบ ⁠ ⁠${\displaystyle g\circ f}$ที่กำหนดโดย ⁠ ⁠${\displaystyle {1}}$จะมีความต่อเนื่องบน ⁠ ⁠${\displaystyle D_{f}\cap f^{-1}(D_{g})}$นั่นคือส่วนของ ⁠ ⁠${\displaystyle D_{f}}$ ที่ถูกแม ปโดย ⁠ ⁠${\displaystyle f}$ภายใน ⁠ ⁠${\displaystyle D_{g}}$
• ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ( ⁠ ⁠${\displaystyle \sin x}$และ⁠ ⁠${\displaystyle \cos x}$ ) มีความต่อเนื่องทุกที่
• ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมี${\displaystyle e^{x}}$ความต่อเนื่องทุกที่
• ลอการิทึมธรรมชาติมีความ${\displaystyle \ln x}$ต่อเนื่องบนโดเมนที่ประกอบด้วยจำนวนจริงบวกทั้งหมด${\displaystyle \{x\mid x>0\}}$

กฎเหล่านี้บ่งชี้ว่าฟังก์ชันพหุนาม ทุกฟังก์ชัน มีความต่อเนื่องทุกที่ และฟังก์ชันตรรกยะมีความต่อเนื่องทุกที่ที่ฟังก์ชันนั้นถูกกำหนดไว้ หากตัวเศษและตัวส่วนไม่มีรากที่ เหมือนกัน โดยทั่วไปแล้ว ผลหารของฟังก์ชันต่อเนื่องสองฟังก์ชันจะมีความต่อเนื่องนอกเหนือจากรากของตัวส่วน

ตัวอย่างของฟังก์ชันที่กฎข้างต้นไม่เพียงพอคือฟังก์ชัน sincซึ่งนิยามโดย⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {sinc} (0)=1}$และ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\tfrac {\sin x}{x}}}$สำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle x\neq 0}$กฎข้างต้นแสดงให้เห็นทันทีว่าฟังก์ชันมีความต่อเนื่องสำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle x\neq 0}$แต่สำหรับการพิสูจน์ความต่อเนื่องที่⁠ ⁠${\displaystyle 0}$นั้น จำเป็นต้องพิสูจน์ ว่า เนื่องจากเป็นจริง จึงสรุปได้ว่าฟังก์ชัน sinc เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนจำนวนจริงทั้งหมด $${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}$$

ตัวอย่างหนึ่งของฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องคือฟังก์ชันขั้นบันไดของเฮวิไซด์ ซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle H}$$${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\geq 0\\0&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$$

ยกตัวอย่างเช่น. ในกรณีนี้จะไม่มี บริเวณใกล้เคียง -neighborhoodรอบ กล่าวคือไม่มีช่วงเปิดที่มีที่จะบังคับให้ค่าทั้งหมดอยู่ภายในบริเวณใกล้เคียง-neighborhoodของกล่าวคือภายใน โดยสัญชาตญาณ เราสามารถนึกถึงความไม่ต่อเนื่องประเภทนี้ว่าเป็นการ กระโดดอย่างฉับพลันของค่าฟังก์ชัน ${\displaystyle \varepsilon =1/2}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle (-\delta ,\;\delta )}$${\displaystyle \delta >0,}$${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle H(0)}$${\displaystyle (1/2,\;3/2)}$

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชัน signumหรือฟังก์ชันเครื่องหมาย จะไม่ต่อเนื่องที่จุดแต่ต่อเนื่องที่จุดอื่น ๆ อีกตัวอย่างหนึ่งคือ ฟังก์ชันนี้ ต่อเนื่องที่จุดอื่น ๆ ยกเว้นที่จุด $${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}\;\;\ 1&{\text{ if }}x>0\\\;\;\ 0&{\text{ if }}x=0\\-1&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$$${\displaystyle x=0}$$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin \left(x^{-2}\right)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}}$$${\displaystyle x=0}$

นอกจากความต่อเนื่องและความไม่ต่อเนื่องที่สมเหตุสมผลดังที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีฟังก์ชันที่มีพฤติกรรมที่มักเรียกว่า " ผิดปกติ"ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน ของ Thomae มีความต่อเนื่องที่จำนวนอตรรกยะทั้งหมดและไม่ต่อเนื่องที่จำนวนตรรกยะทั้งหมด ในทำนองเดียวกันฟังก์ชันของ Dirichletซึ่งเป็นฟังก์ชันบ่งชี้สำหรับเซตของจำนวนตรรกยะ ก็ไม่มีความต่อเนื่องที่ใดเลย $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x=0\\{\frac {1}{q}}&{\text{ if }}x={\frac {p}{q}}{\text{(in lowest terms) is a rational number}}\\0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational}}.\end{cases}}}$$$${\displaystyle D(x)={\begin{cases}0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational }}(\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\\1&{\text{ if }}x{\text{ is rational }}(\in \mathbb {Q} )\end{cases}}}$$

ให้เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง ณ จุดและเป็นค่าเช่นนั้นตลอดทั้งบริเวณใกล้เคียงของ^{[ 12 ]}${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)\neq y_{0}.}$${\displaystyle f(x)\neq y_{0}}$${\displaystyle x_{0}.}$

บทพิสูจน์:ตามนิยามของความต่อเนื่อง ให้กำหนดแล้วจะมีอยู่จริงที่ทำให้ สมมติว่ามีจุดในบริเวณใกล้เคียงที่ทำให้แล้วเราจะได้ข้อขัดแย้ง ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {|y_{0}-f(x_{0})|}{2}}>0}$${\displaystyle \delta >0}$$${\displaystyle \left|f(x)-f(x_{0})\right|<{\frac {\left|y_{0}-f(x_{0})\right|}{2}}\quad {\text{ whenever }}\quad |x-x_{0}|<\delta }$$${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$${\displaystyle f(x)=y_{0};}$$${\displaystyle \left|f(x_{0})-y_{0}\right|<{\frac {\left|f(x_{0})-y_{0}\right|}{2}}.}$$

ทฤษฎีบทค่ากลางเป็นทฤษฎีบทการมีอยู่จริงโดยอาศัยคุณสมบัติความสมบูรณ์ ของจำนวนจริง และกล่าวไว้ว่า:

ถ้าฟังก์ชันค่าจริงfต่อเนื่องบนช่วงปิด และkเป็นจำนวนใดๆ ระหว่างและแล้วจะมีจำนวนบางจำนวนที่ทำให้${\displaystyle [a,b],}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(b),}$${\displaystyle c\in [a,b],}$${\displaystyle f(c)=k.}$

ตัวอย่างเช่น หากเด็กคนหนึ่งสูงขึ้นจาก 1 เมตร เป็น 1.5 เมตร ระหว่างอายุสองถึงหกปี แสดงว่าในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งระหว่างอายุสองถึงหกปี ความสูงของเด็กคนนั้นจะต้องอยู่ที่ 1.25 เมตร

ดังนั้น ถ้าfเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงและและ มี เครื่องหมายต่างกันแล้ว ณ จุดใดจุดหนึ่ง f จะ ต้องเท่ากับศูนย์${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle f(b)}$${\displaystyle c\in [a,b],}$${\displaystyle f(c)}$

ทฤษฎีบทค่าสุดขีดกล่าวว่า ถ้าฟังก์ชันfถูกกำหนดบนช่วงปิด(หรือเซตปิดที่มีขอบเขต) และต่อเนื่องบนช่วงนั้น ฟังก์ชันนั้นจะมีค่าสูงสุด กล่าวคือ มีค่า f ที่มีค่า ∈ F สำหรับทุกค่า f และเช่นเดียวกันสำหรับค่าต่ำสุดของfโดยทั่วไปแล้ว ข้อความเหล่านี้จะไม่เป็นจริงหากฟังก์ชันถูกกำหนดบนช่วงเปิด(หรือเซตใดๆ ที่ไม่ใช่ทั้งช่วงปิดและมีขอบเขต) ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันต่อเนื่องที่กำหนดบนช่วงเปิด (0,1) จะไม่มีค่าสูงสุด เนื่องจากไม่มีขอบเขตบน ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle c\in [a,b]}$${\displaystyle f(c)\geq f(x)}$${\displaystyle x\in [a,b].}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}},}$

ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ ทุกฟังก์ชัน ล้วนต่อเนื่อง ดังที่สามารถแสดงได้ แต่ข้อความกลับกัน นั้น ไม่เป็นจริง เช่นฟังก์ชัน ค่าสัมบูรณ์$${\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} }$$

${\displaystyle f(x)=|x|={\begin{cases}\;\;\ x&{\text{ if }}x\geq 0\\-x&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$

ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องทุกที่ แต่หาอนุพันธ์ไม่ได้ที่จุด x (แต่หาอนุพันธ์ได้ทุกที่อื่น) ฟังก์ชันของไวเออร์สตรัสก็ต่อเนื่องทุกที่เช่นกัน แต่หาอนุพันธ์ไม่ได้ที่จุด x ${\displaystyle x=0}$

อนุพันธ์f′ ( x ) ของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้f ( x ) ไม่จำเป็นต้องต่อเนื่อง ถ้าf′ ( x ) ต่อเนื่องจะเรียกว่าf ( x ) เป็น ฟังก์ชัน ที่หาอนุพันธ์ได้ต่อเนื่องเซตของฟังก์ชันดังกล่าวจะใช้สัญลักษณ์โดยทั่วไปแล้ว เซตของฟังก์ชัน (จากช่วงเปิด (หรือเซตย่อยเปิดของ) ไปยังจำนวนจริง) ที่fหาอนุพันธ์ได้ ครั้ง และอนุพันธ์อันดับที่ ของfต่อเนื่อง จะใช้สัญลักษณ์ดูที่ คลาสของความสามารถ ในการหาอนุพันธ์ ในสาขากราฟิกคอมพิวเตอร์ คุณสมบัติที่เกี่ยวข้อง (แต่ไม่เหมือนกัน) กับบางครั้งเรียกว่า(ความต่อเนื่องของตำแหน่ง) (ความต่อเนื่องของการสัมผัส) และ(ความต่อเนื่องของความโค้ง) ดูที่ ความเรียบของเส้นโค้งและพื้นผิว ${\displaystyle C^{1}((a,b)).}$$${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle C^{n}(\Omega ).}$${\displaystyle C^{0},C^{1},C^{2}}$${\displaystyle G^{0}}$${\displaystyle G^{1}}$${\displaystyle G^{2}}$

ฟังก์ชันต่อเนื่องทุกฟังก์ชัน สามารถหาปริพันธ์ได้ (ตัวอย่างเช่น ในความหมายของปริพันธ์รีมันน์ ) แต่ข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ดังที่ฟังก์ชันเครื่องหมาย (ซึ่งหาปริพันธ์ได้แต่ไม่ต่อเนื่อง) แสดงให้เห็น $${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$$

กำหนดให้ลำดับ ของฟังก์ชันซึ่งลิมิต มีอยู่สำหรับทุกค่าt ฟังก์ชันที่ได้จะเรียกว่าลิมิตแบบจุดต่อจุดของลำดับฟังก์ชัน ฟังก์ชันลิมิตแบบจุดต่อจุดไม่จำเป็นต้องต่อเนื่อง แม้ว่าฟังก์ชันทั้งหมดจะต่อเนื่องก็ตาม ดังที่ภาพเคลื่อนไหวทางด้านขวาแสดงให้เห็น อย่างไรก็ตามfจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อฟังก์ชันทั้งหมดต่อเนื่องและลำดับลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอตามทฤษฎีบทการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอทฤษฎีบทนี้สามารถใช้เพื่อแสดงว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ฟังก์ชันลอการิทึมฟังก์ชันรากที่สองและฟังก์ชันตรีโกณมิติมีความต่อเนื่อง $${\displaystyle f_{1},f_{2},\dotsc :I\to \mathbb {R} }$$$${\displaystyle f(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$$${\displaystyle x\in D,}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n\in N}.}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f_{n}}$

ฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องอาจไม่ต่อเนื่องในลักษณะที่จำกัด ทำให้เกิดแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องเชิงทิศทาง (หรือฟังก์ชันต่อเนื่องทางขวาและทางซ้าย) และความต่อเนื่องกึ่งโดยคร่าวๆ ฟังก์ชันจะต่อเนื่องทางขวาหากไม่มีการกระโดดเกิดขึ้นเมื่อเข้าใกล้จุดลิมิตจากทางขวา ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันfจะกล่าวได้ว่าต่อเนื่องทางขวาที่จุดcถ้าเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง: สำหรับจำนวนใดๆ ก็ตามไม่ว่าจะเล็กเพียงใด ก็จะมีจำนวนบางจำนวนอยู่เช่นนั้น สำหรับทุกxในโดเมนที่มีค่าของf เป็นไปตามเงื่อนไขต่อ ไปนี้${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle c<x<c+\delta ,}$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon }$$

เงื่อนไขนี้เหมือนกับฟังก์ชันต่อเนื่อง เพียงแต่กำหนดให้เป็นจริงเฉพาะเมื่อxมีค่ามากกว่าc อย่างเคร่งครัดเท่านั้น การกำหนดให้เป็นจริงสำหรับทุกxที่มี c ≠ c จะ นำไปสู่แนวคิดของ ฟังก์ชัน ต่อเนื่องทางซ้ายฟังก์ชันจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อเป็นทั้งฟังก์ชันต่อเนื่องทางขวาและฟังก์ชันต่อเนื่องทางซ้าย ${\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon }$${\displaystyle c-\delta <x<c}$

ฟังก์ชันfเป็น ฟังก์ชัน กึ่งต่อเนื่องล่างที่จุดcถ้าโดยประมาณแล้ว การกระโดดใดๆ ที่อาจเกิดขึ้นจะเป็นการกระโดดลงเท่านั้น ไม่ใช่การกระโดดขึ้น นั่นคือ สำหรับทุกค่าของ f จะมีจำนวน f บางจำนวนที่ทำให้สำหรับทุกค่าxในโดเมน f ที่มีค่าf เป็น ไปตาม เงื่อนไข f(x) = f(x) + ... ${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |x-c|<\delta ,}$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle f(x)\geq f(c)-\varepsilon .}$$

แนวคิดของฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องสามารถขยายไปสู่ฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเมตริกได้ ปริภูมิเมตริกคือเซตที่มีฟังก์ชัน (เรียกว่าเมตริก ) ซึ่งสามารถคิดได้ว่าเป็นการวัดระยะห่างระหว่างสมาชิกสองตัวใดๆ ในXในทางรูปธรรม เมตริกคือฟังก์ชัน ที่ตรงตามข้อกำหนดหลายประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งอสมการสามเหลี่ยม เมื่อกำหนดปริภูมิเมตริกสอง ปริภูมิ X และ X และ ฟังก์ชัน X แล้วฟังก์ชัน X จะต่อเนื่องที่จุด X (เทียบกับเมตริกที่กำหนด) ถ้าสำหรับจำนวนจริงบวกใดๆจะมีจำนวนจริงบวก n อยู่ซึ่งทุก ค่าของ X ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข n จะสอดคล้องกับเงื่อนไข n ด้วย เช่นเดียวกับกรณีของฟังก์ชันค่าจริงข้างต้น เงื่อนไขนี้เทียบเท่ากับเงื่อนไขที่ว่าสำหรับทุกลำดับใน X ที่มี ลิมิต X เรา จะได้ เงื่อนไขหลังสามารถลดทอนได้ดังนี้: ฟังก์ชัน X จะต่อเนื่องที่จุด X ก็ต่อเมื่อสำหรับทุกลำดับลู่เข้าใน X ที่ มีลิมิต X ลำดับ X เป็นลำดับโคชีและ X อยู่ในโดเมนของX ${\displaystyle X}$${\displaystyle d_{X},}$$${\displaystyle d_{X}:X\times X\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$${\displaystyle \left(Y,d_{Y}\right)}$$${\displaystyle f:X\to Y}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle c\in X}$${\displaystyle \varepsilon >0,}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle d_{X}(x,c)<\delta }$${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(c))<\varepsilon .}$${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lim x_{n}=c,}$${\displaystyle \lim f\left(x_{n}\right)=f(c).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f}$

เซตของจุดที่ฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเมตริกมีความต่อเนื่องคือเซต  – ซึ่งเป็นผลมาจากนิยามของความต่อเนื่อง ${\displaystyle G_{\delta }}$${\displaystyle \varepsilon -\delta }$

แนวคิดเรื่องความต่อเนื่องนี้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ ตัวอย่างเช่น ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันข้อความสำคัญในสาขานี้กล่าวว่าตัวดำเนินการเชิงเส้น ระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐานและ(ซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีบรรทัดฐาน ที่เข้ากันได้ ซึ่งแทนด้วย) จะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อตัวดำเนินการนั้นมีขอบเขตนั่นคือ มีค่าคงที่เช่นนั้น สำหรับทุก$${\displaystyle T:V\to W}$$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \|x\|}$${\displaystyle K}$$${\displaystyle \|T(x)\|\leq K\|x\|}$$${\displaystyle x\in V.}$

แนวคิดเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเมตริกสามารถเสริมความแข็งแกร่งได้หลายวิธีโดยการจำกัดวิธีที่ขึ้นอยู่กับและcในคำจำกัดความข้างต้น ตามสัญชาตญาณ ฟังก์ชันfดังข้างต้นมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอหากไม่ขึ้นอยู่กับจุดc กล่าว คือ จำเป็นต้องมีสำหรับจำนวนจริง ทุกจำนวน โดยที่สำหรับทุก ๆที่มี เรามีว่าดังนั้น ฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องสม่ำเสมอใด ๆ ก็จะมีความต่อเนื่องเช่นกัน บทกลับโดยทั่วไปไม่เป็นจริง แต่เป็นจริงเมื่อปริภูมิโดเมนXเป็นปริภูมิกระชับแผนที่ที่มีความต่อเนื่องสม่ำเสมอสามารถกำหนดได้ในสถานการณ์ทั่วไปของปริภูมิสม่ำเสมอ^{[ 13 ]}${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle c,b\in X}$${\displaystyle d_{X}(b,c)<\delta ,}$${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))<\varepsilon .}$

ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องแบบ Hölderที่มีเลขชี้กำลัง α (จำนวนจริง) ถ้ามีค่าคงที่K ที่ทำให้ ความไม่เท่าเทียมกัน เป็นจริงสำหรับทุก ค่า ฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องแบบ Hölder ใดๆ ก็มีความต่อเนื่องสม่ำเสมอ กรณีพิเศษนี้เรียกว่าความต่อเนื่องแบบ Lipschitzนั่นคือ ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องแบบ Lipschitz ถ้ามีค่าคงที่Kที่ทำให้ความไม่เท่าเทียมกัน เป็นจริงสำหรับทุกค่า^{[ 14 ]}เงื่อนไข Lipschitz เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีบท Picard–Lindelöf เกี่ยวกับ คำ ตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ${\displaystyle b,c\in X,}$$${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot (d_{X}(b,c))^{\alpha }}$$${\displaystyle \alpha =1}$$${\displaystyle d_{Y}(f(b),f(c))\leq K\cdot d_{X}(b,c)}$$${\displaystyle b,c\in X.}$

อีกแนวคิดหนึ่งที่นามธรรมกว่าเกี่ยวกับความต่อเนื่อง คือ ความต่อเนื่องของฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีซึ่งโดยทั่วไปแล้วไม่มีแนวคิดเรื่องระยะทางอย่างเป็นทางการ ดังเช่นในกรณีของปริภูมิเมตริกปริภูมิเชิงทอพอโลยีคือเซตXพร้อมกับทอพอโลยีบนXซึ่งเป็นเซตของเซตย่อยของXที่ตรงตามข้อกำหนดบางประการเกี่ยวกับผลรวมและการตัดกัน ซึ่งเป็นการขยายคุณสมบัติของทรงกลมเปิดในปริภูมิเมตริก ในขณะเดียวกันก็ยังคงอนุญาตให้พูดถึงบริเวณใกล้เคียงของจุดที่กำหนดได้ สมาชิกของทอพอโลยีเรียกว่าเซตย่อยเปิดของX (โดยสัมพันธ์กับทอพอโลยี)

ฟังก์ชัน ระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีXและYจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อสำหรับทุกเซตเปิดภาพผกผันของฟังก์ชันนั้น เป็นเซตย่อยเปิดของXกล่าวคือfเป็นฟังก์ชันระหว่างเซตXและY (ไม่ใช่บนองค์ประกอบของทอพอโลยี) แต่ความต่อเนื่องของfขึ้นอยู่กับทอพอโลยีที่ใช้บน XและY$${\displaystyle f:X\to Y}$$${\displaystyle V\subseteq Y,}$$${\displaystyle f^{-1}(V)=\{x\in X\;|\;f(x)\in V\}}$$${\displaystyle T_{X}}$

นี่เทียบเท่ากับเงื่อนไขที่ว่าภาพผกผันของเซตปิด (ซึ่งเป็นส่วนเติมเต็มของเซตย่อยเปิด) ในYนั้น เป็นเซตปิดในX

ตัวอย่างสุดขั้ว: ถ้าเซตXมีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง (ซึ่งทุกเซตย่อยเป็นเซตเปิด) ฟังก์ชันทั้งหมด ที่ไปยังปริภูมิโทโพโลยี T ใดๆจะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ในทางกลับกัน ถ้าXมีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง (ซึ่งเซตย่อยเปิดเพียงอย่างเดียวคือเซตว่างและX ) และเซตของปริภูมิTอย่างน้อยที่สุดคือT₀ แล้วฟังก์ชันต่อเนื่องเพียงอย่างเดียวคือฟังก์ชันคงที่ ในทางกลับกัน ฟังก์ชันใดๆ ที่มีโคโดเมนเป็นแบบไม่ต่อเนื่องจะ _เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง $${\displaystyle f:X\to T}$$

การแปลความ หมายของความต่อเนื่องเป็นภาษาของชุมชนต่างๆนำไปสู่คำจำกัดความของความต่อเนื่อง ณ จุดใดจุดหนึ่งดังต่อไปนี้: ${\displaystyle (\varepsilon ,\delta )}$

ฟังก์ชันจะต่อเนื่องที่จุดหนึ่งก็ต่อเมื่อ สำหรับย่านใกล้เคียงV ใดๆ ของในYจะมีย่านใกล้เคียงUของที่ทำให้${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(U)\subseteq V}$

นิยามนี้เทียบเท่ากับข้อความเดียวกันโดยจำกัดเฉพาะย่านที่เปิดอยู่ และสามารถเขียนใหม่ได้หลายวิธีโดยใช้ภาพต้นแบบแทนภาพต้นแบบ หนึ่งในวิธีเหล่านั้นคือดังต่อไปนี้ เนื่องจากทุกเซตที่ประกอบด้วยย่านก็เป็นย่านเช่นกัน และเป็นเซตย่อยที่ใหญ่ที่สุดดังนั้นนิยามข้างต้นจึงสามารถลดรูปได้เป็น: ${\displaystyle f^{-1}(V)=U}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle f(U)\subseteq V,}$

ฟังก์ชันจะต่อเนื่องที่จุดหนึ่งก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกย่านใกล้เคียงVของในYนั้นเป็นย่านใกล้เคียงของ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f^{-1}(V)}$${\displaystyle x}$

เนื่องจากเซตเปิดคือเซตที่เป็นย่านใกล้เคียงของจุดทุกจุดในเซตนั้น ฟังก์ชันจะต่อเนื่องที่ทุกจุดในเซตXก็ต่อเมื่อฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ${\displaystyle f:X\to Y}$

ถ้าXและY เป็นปริภูมิเมตริก การพิจารณา ระบบย่านใกล้เคียงของลูกบอลเปิดที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่xและf ( x ) จะเทียบเท่ากับการพิจารณาย่านใกล้เคียงทั้งหมด ซึ่งจะทำให้ได้นิยามความต่อเนื่องข้างต้นในบริบทของปริภูมิเมตริก ในปริภูมิเชิงทอพอโลยีทั่วไป ไม่มีแนวคิดเรื่องความใกล้หรือระยะทาง อย่างไรก็ตาม ถ้าปริภูมิเป้าหมายเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟก็ยังคงเป็นจริงว่าfต่อเนื่องที่aก็ต่อเมื่อลิมิตของfเมื่อxเข้าใกล้aคือf ( a ) ที่จุดโดดเดี่ยว ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันจะต่อเนื่อง ${\displaystyle \varepsilon -\delta }$

กำหนดให้แผนที่มีความต่อเนื่องที่ ก็ต่อ เมื่อเมื่อใดก็ตามที่เป็นตัวกรองบนที่ลู่เข้าสู่ซึ่งแสดงโดยการเขียนจากนั้นจำเป็นต้องอยู่ใน ถ้าแทนตัวกรองย่านใกล้เคียงที่แล้วมีความต่อเนื่องที่ ก็ต่อเมื่อใน^{[ 15 ]}ยิ่งไปกว่านั้น สิ่งนี้เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อตัวกรองก่อนหน้าเป็นฐานตัวกรองสำหรับตัวกรองย่านใกล้เคียงของใน^{[ 15 ]}${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x,}$${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f(x)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))\to f(x)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle Y.}$

มีนิยามที่เทียบเท่ากัน หลายแบบสำหรับโครงสร้างเชิงทอพอโลยีดังนั้นจึงมีวิธีที่เทียบเท่ากันหลายวิธีในการกำหนดฟังก์ชันต่อเนื่อง

ในหลายบริบท โทโพโลยีของปริภูมิสามารถระบุได้อย่างสะดวกโดยใช้จุดลิมิตซึ่งมักทำได้โดยการระบุว่าจุดใดเป็นลิมิตของลำดับอย่างไรก็ตาม สำหรับปริภูมิบางแห่งที่มีขนาดใหญ่เกินไปในบางแง่ เราอาจระบุด้วยว่าจุดใดเป็นลิมิตของเซตของจุดที่ทั่วไปกว่าซึ่งจัดทำดัชนีโดยเซตทิศทางที่เรียกว่าเน็ตฟังก์ชันจะต่อเนื่อง (แบบไฮน์) ก็ต่อเมื่อมันรับลิมิตของลำดับไปยังลิมิตของลำดับ ในกรณีแรก การรักษาลิมิตก็เพียงพอแล้ว ในกรณีหลัง ฟังก์ชันอาจรักษาลิมิตของลำดับทั้งหมดแต่ยังคงไม่ต่อเนื่อง และการรักษาเน็ตเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ

โดยละเอียด ฟังก์ชันจะมีความต่อเนื่องเชิงลำดับก็ต่อเมื่อเมื่อใดก็ตามที่ลำดับใน ลู่ เข้าสู่ลิมิตลำดับนั้นจะลู่เข้าสู่ ดังนั้น ฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องเชิงลำดับจึง "รักษาลิมิตเชิงลำดับ" ไว้ ฟังก์ชันต่อเนื่องทุกฟังก์ชันมีความต่อเนื่องเชิงลำดับ ถ้าเป็นปริภูมิที่นับได้เป็นอันดับแรกและหลักการเลือกที่นับได้เป็นจริงข้อความกลับก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ ฟังก์ชันใดๆ ที่รักษาลิมิตเชิงลำดับไว้จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นปริภูมิเมตริก ความต่อเนื่องเชิงลำดับและความต่อเนื่องจะเทียบเท่ากัน สำหรับปริภูมิที่ไม่ใช่ปริภูมิที่นับได้เป็นอันดับแรก ความต่อเนื่องเชิงลำดับอาจอ่อนกว่าความต่อเนื่องอย่างเคร่งครัด (ปริภูมิที่สมบัติทั้งสองเทียบเท่ากันเรียกว่าปริภูมิเชิงลำดับ ) สิ่งนี้กระตุ้นให้พิจารณาเน็ตแทนลำดับในปริภูมิเชิงทอพอโลยีทั่วไป ฟังก์ชันต่อเนื่องรักษาลิมิตของเน็ต และสมบัตินี้เป็นลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันต่อเนื่อง ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}$${\displaystyle f(x).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ตัวอย่างเช่น พิจารณากรณีของฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริงหนึ่งตัว: ^{[ 16 ]}

ในแง่ของ ตัวดำเนินการ ภายในและ ตัวดำเนิน การปิดเรามีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้

ถ้าเรากำหนดว่าจุดหนึ่งอยู่ใกล้กับเซตย่อยก็ต่อเมื่อเงื่อนไขนี้ช่วยให้สามารถอธิบายความต่อเนื่องด้วยภาษาอังกฤษที่เข้าใจง่ายได้ กล่าว คือ จุดหนึ่งมีความต่อเนื่องก็ต่อเมื่อสำหรับทุกเซตย่อย จุดที่อยู่ใกล้กับเซต ย่อยหนึ่งจะอยู่ใกล้กับเซตย่อยอีกเซตหนึ่ง ในทำนอง เดียวกันจุดหนึ่งมีความต่อเนื่องที่จุดที่กำหนด ก็ต่อ เมื่อเมื่อใดก็ตามที่จุดหนึ่งอยู่ใกล้กับเซตย่อยหนึ่งแล้ว จุดนั้น จะอยู่ใกล้กับ เซตย่อยอีกเซตหนึ่ง${\displaystyle x}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(A).}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(A).}$

แทนที่จะระบุปริภูมิเชิงทอพอโลยีด้วยเซตย่อยเปิด ทอพอโลยีใดๆ บนสามารถกำหนดได้โดยตัวดำเนินการปิดหรือตัวดำเนินการภายในโดยเฉพาะอย่างยิ่ง แผนที่ที่ส่งเซตย่อยของปริภูมิเชิงทอพอโลยี ไปยัง การปิดเชิงทอพอโลยีของมันจะสอดคล้องกับสัจพจน์การปิดของ Kuratowskiในทางกลับกัน สำหรับตัวดำเนินการปิดใดๆจะมีทอพอโลยีที่ไม่ซ้ำกันบน(โดยเฉพาะ) เช่นนั้น สำหรับทุกเซตย่อยจะเท่ากับการปิดเชิงทอพอโลยีของในถ้าเซตและแต่ละเซตเกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการปิด (ทั้งสองแทนด้วย) แล้ว แผนที่จะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อสำหรับทุกเซตย่อย${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$${\displaystyle A\mapsto \operatorname {cl} A}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau :=\{X\setminus \operatorname {cl} A:A\subseteq X\}}$${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle \operatorname {cl} A}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,\tau )}A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (X,\tau ).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {cl} }$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f(\operatorname {cl} A)\subseteq \operatorname {cl} (f(A))}$${\displaystyle A\subseteq X.}$

ในทำนองเดียวกัน แผนที่ที่ส่งเซตย่อยของ ไปยัง ภายในเชิงโทโพโลยีของมันกำหนดตัวดำเนินการภายในในทางกลับกัน ตัวดำเนินการภายในใดๆ ก็ตามเหนี่ยวนำให้เกิดโทโพโลยีที่ไม่ซ้ำกันบน(โดยเฉพาะ) เช่นนั้น สำหรับทุกจะเท่ากับภายในเชิงโทโพโลยีของในถ้าเซตและแต่ละเซต เกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการภายใน (ทั้งสองแสดงด้วย) แล้ว แผนที่จะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อสำหรับทุกเซตย่อย^{[ 17 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A}$${\displaystyle A\mapsto \operatorname {int} A}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau :=\{\operatorname {int} A:A\subseteq X\}}$${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle \operatorname {int} A}$${\displaystyle \operatorname {int} _{(X,\tau )}A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (X,\tau ).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {int} }$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {int} B)\subseteq \operatorname {int} \left(f^{-1}(B)\right)}$${\displaystyle B\subseteq Y.}$

ความต่อเนื่องยังสามารถอธิบายได้ในแง่ของตัวกรองฟังก์ชันจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อเมื่อใดก็ตามที่ตัวกรองลู่เข้าสู่จุด หนึ่ง ตัวกรองก่อนหน้าจะลู่เข้าสู่จุดนั้นการอธิบายลักษณะนี้ยังคงเป็นจริงหากคำว่า "ตัวกรอง" ถูกแทนที่ด้วย "ตัวกรองก่อนหน้า" ^{[ 15 ]}${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle f({\mathcal {B}})}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f(x).}$