ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันแบบแบ่งช่วง (เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันที่กำหนดแบบแบ่งช่วงฟังก์ชันไฮบริดหรือฟังก์ชันที่กำหนดโดยกรณีต่างๆ ) คือฟังก์ชันที่มีโดเมนถูกแบ่งออกเป็นช่วงหลายช่วง (“โดเมนย่อย”) ซึ่งฟังก์ชันสามารถกำหนดได้แตกต่างกันใน แต่ละช่วง ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}การกำหนดแบบแบ่งช่วงนั้นเป็นวิธีหนึ่งในการระบุฟังก์ชัน มากกว่าจะเป็นลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันที่ได้เอง เนื่องจากทุกฟังก์ชันที่มีโดเมนอย่างน้อยสองจุดสามารถเขียนใหม่เป็นฟังก์ชันแบบแบ่งช่วงได้ ย่อหน้าสามย่อหน้าแรกของบทความนี้จะกล่าวถึงเฉพาะความหมายแรกของคำว่า “แบ่งช่วง” เท่านั้น

คำศัพท์เช่นpiecewise linear , piecewise smooth , piecewise continuousและอื่นๆ ก็เป็นที่ใช้กันทั่วไปเช่นกัน ความหมายของฟังก์ชันที่เป็น piecewise สำหรับคุณสมบัติหนึ่งๆ คือ โดเมนของฟังก์ชันสามารถแบ่งออกเป็นส่วนๆ ซึ่งคุณสมบัตินั้นเป็นจริง แต่คำนี้ถูกใช้ในความหมายที่แตกต่างกันเล็กน้อยโดยผู้เขียนแต่ละคน^{[ 4 ] [ 5 ]}ต่างจากความหมายแรก นี่เป็นคุณสมบัติของฟังก์ชันเอง ไม่ใช่เพียงวิธีการระบุเท่านั้น บางครั้งคำนี้ถูกใช้ในความหมายที่กว้างขึ้นซึ่งเกี่ยวข้องกับการแบ่งสามเหลี่ยม ดูpiecewise linear manifold ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

ฟังก์ชันแบบแบ่งช่วงสามารถกำหนดได้โดยใช้สัญกรณ์ฟังก์ชัน ทั่วไป โดยที่ตัวฟังก์ชันเป็นอาร์เรย์ของฟังก์ชันและโดเมนย่อยที่เกี่ยวข้อง เครื่องหมายเซมิโคลอนหรือเครื่องหมายจุลภาคอาจตามหลังคอลัมน์ฟังก์ชันย่อยหรือโดเมนย่อย^{[ 2 ]}เครื่องหมายor มักจะไม่ถูกละเว้นที่จุดเริ่มต้นของคอลัมน์ด้านขวา^{[ 2 ]}${\displaystyle {\text{if}}}$${\displaystyle {\text{for}}}$

โดเมนย่อยทั้งหมดต้องครอบคลุมโดเมน ทั้งหมด บางครั้งอาจจำเป็นต้องแยกกันเป็นคู่ๆ กล่าวคือต้องสร้างการแบ่งส่วนของโดเมน^{[ 6 ]}แค่นี้ก็เพียงพอแล้วสำหรับฟังก์ชันที่จะ "กำหนดโดยกรณีต่างๆ" แต่เพื่อให้ฟังก์ชันโดยรวมเป็น "แบบเป็นช่วงๆ" โดเมนย่อยมักจะต้องเป็นช่วงที่ไม่ว่างเปล่า (บางช่วงอาจเป็นช่วงที่เสื่อมสภาพ กล่าวคือ จุดเดียวหรือช่วงที่ไม่มีขอบเขต) และมักจะไม่อนุญาตให้มีโดเมนย่อยจำนวนอนันต์ในช่วงที่มีขอบเขตใดๆ ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันที่มีโดเมนที่มีขอบเขตจะมีโดเมนย่อยเพียงจำนวนจำกัด ในขณะที่ฟังก์ชันที่มีโดเมนที่ไม่มีขอบเขตสามารถมีโดเมนย่อยจำนวนอนันต์ได้ ตราบใดที่กระจายออกไปอย่างเหมาะสม

ตัวอย่างเช่น พิจารณาคำจำกัดความแบบแยกส่วนของ ฟังก์ชัน ค่าสัมบูรณ์ : ^{[ 2 ]} สำหรับค่าทั้งหมดที่น้อยกว่าศูนย์ จะใช้ฟังก์ชันย่อยแรก ( ) ซึ่งจะกลับเครื่องหมายของค่าอินพุต ทำให้จำนวนลบกลายเป็นบวก สำหรับค่าทั้งหมดที่ มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ จะใช้ ฟังก์ชันย่อยที่สอง( ) ซึ่งจะประเมินค่าเป็นค่าอินพุตเองอย่างง่ายๆ$${\displaystyle |x|={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x<0\\+x,&{\text{if }}x\geq 0.\end{cases}}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle -x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

ตารางต่อไปนี้แสดงฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ที่ค่าบางค่าของ: ${\displaystyle x}$

x	เอฟ ( x )	ฟังก์ชันย่อยที่ใช้
−3	3	${\displaystyle -x}$
-0.1	0.1	${\displaystyle -x}$
0	0	${\displaystyle x}$
1/2	1/2	${\displaystyle x}$
5	5	${\displaystyle x}$

ในการประเมินฟังก์ชันที่กำหนดแบบเป็นช่วง ณ ค่าอินพุตที่กำหนด จำเป็นต้องเลือกโดเมนย่อยที่เหมาะสมเพื่อเลือกฟังก์ชันย่อยที่ถูกต้อง และสร้างค่าเอาต์พุตที่ถูกต้อง

• ฟังก์ชันขั้นบันไดหรือฟังก์ชันค่าคงที่แบบเป็นช่วง ซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันย่อยที่เป็นค่าคงที่
• ฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งช่วงซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันย่อยเชิงเส้น
• กฎกำลังที่แตกหักคือ ฟังก์ชันที่ประกอบด้วยฟังก์ชันย่อยที่เป็นกฎกำลัง
• สปลายน์ (Spline)คือฟังก์ชันที่ประกอบด้วยฟังก์ชันย่อยพหุนาม ซึ่งมักถูกจำกัดให้มีความเรียบเนียนบริเวณรอยต่อระหว่างชิ้นส่วนต่างๆ
  • บี-สไปลน์
• พีดีเอฟ
• ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$และ ฟังก์ชัน Bumpทั่วไปอื่นๆ ฟังก์ชัน เหล่านี้สามารถหาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง แต่ความเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์นั้นใช้ได้เฉพาะแบบเป็นช่วงๆ เท่านั้น

ฟังก์ชันที่กำหนดเป็นช่วงๆ จะต่อเนื่องบนช่วงที่กำหนดในโดเมนของฟังก์ชันนั้น ถ้าเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

• ฟังก์ชันย่อยของมันมีความต่อเนื่องบนช่วงเวลา (โดเมนย่อย) ที่สอดคล้องกัน
• ไม่มีความไม่ต่อเนื่อง ณ จุดสิ้นสุดของโดเมนย่อยใดๆ ภายในช่วงเวลานั้น

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่แสดงในภาพ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นช่วงๆ ตลอดช่วงโดเมนย่อย แต่ไม่ต่อเนื่องบนโดเมนทั้งหมด เนื่องจากมีจุดไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดที่วงกลมทึบแสดงว่าค่าของฟังก์ชันย่อยด้านขวาถูกนำมาใช้ในตำแหน่งนี้ ${\displaystyle x_{0}}$

สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดเป็นช่วงๆ ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์ได้ในช่วงที่กำหนดในโดเมนของฟังก์ชันนั้น จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้เพิ่มเติมจากเงื่อนไขความต่อเนื่องข้างต้น:

• ฟังก์ชันย่อยของมันสามารถหาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด ที่สอดคล้องกัน
• อนุพันธ์ด้านเดียวมีอยู่ ณ จุดปลายของทุกช่วงเวลา
• ณ จุดที่ช่วงย่อยสองช่วงสัมผัสกัน อนุพันธ์ด้านเดียวที่สอดคล้องกันของช่วงย่อยที่อยู่ติดกันทั้งสองจะตรงกัน^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ประยุกต์ พบว่าฟังก์ชัน "แบบปกติเป็นช่วงๆ" สอดคล้องกับแบบจำลองระบบการมองเห็นของมนุษย์ หลายแบบ โดยที่ภาพจะถูกรับรู้ในขั้นแรกว่าประกอบด้วยบริเวณเรียบๆ ที่คั่นด้วยขอบ (เหมือนในภาพการ์ตูน ) ^{[ 10 ]} ฟังก์ชันคล้ายการ์ตูนเป็น ฟังก์ชัน C ²ซึ่งเรียบ ยกเว้นการมีอยู่ของเส้นโค้งที่ไม่ต่อเนื่อง^{[ 11 ]} โดยเฉพาะอย่างยิ่งshearletsถูกใช้เป็นระบบการแสดงผลเพื่อให้การประมาณค่าแบบเบาบางของคลาสแบบจำลองนี้ใน 2 มิติและ 3 มิติ

ฟังก์ชันที่กำหนดแบบเป็นช่วงๆ มักถูกนำมาใช้ในการประมาณค่าในช่วง เช่น ใน การประมาณค่าในช่วง โดย ใช้เพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด

Wikibooks มีหนังสือเกี่ยวกับหัวข้อนี้: Gnuplot#ฟังก์ชันที่กำหนดแบบเป็นช่วงๆ

• การต่อเชิงเส้นแบบแบ่งช่วง
• ทุกหน้าที่มีชื่อเรื่องขึ้นต้นด้วยPiecewise