การต่อแบบซิมพลิเชียลหรือการต่อแบบเชิงเส้นเป็นช่วงๆ (Allgower และ Georg) ^{[ 1 ] [ 2 ]} เป็น วิธีการต่อแบบพารามิเตอร์เดียวซึ่งเหมาะสำหรับพื้นที่ฝังตัวขนาดเล็กถึงปานกลาง อัลกอริทึมนี้ได้รับการขยายให้สามารถคำนวณแมนิโฟลด์มิติสูงได้โดย (Allgower และ Gnutzman) ^{[ 3 ]}และ (Allgower และ Schmidt) ^{[ 4 ]}

อัลกอริทึมสำหรับการวาดเส้นขอบคืออัลกอริทึมการต่อเนื่องเชิงซิมพลิเชียล และเนื่องจากสามารถมองเห็นภาพได้ง่าย จึงใช้เป็นบทนำที่ดีสำหรับอัลกอริทึมนี้ได้

ปัญหาการพล็อตเส้นชั้นความสูงคือการหาค่าศูนย์ (เส้นชั้นความสูง) ของ( ฟังก์ชันค่าสเกลาร์เรียบ) ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ${\displaystyle f(x,y)=0\,}$${\displaystyle f(\cdot )\,}$${\displaystyle 0\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1\,}$

สี่เหลี่ยมจัตุรัสถูกแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมเล็กๆ โดยปกติแล้วจะใช้วิธีการกำหนดจุดที่มุมของตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติสร้างตารางค่าของที่แต่ละมุมแล้วแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสแต่ละอันออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูป ค่าของที่มุมของสามเหลี่ยมจะกำหนดค่าประมาณเชิงเส้นแบบแบ่งส่วนที่ไม่ซ้ำกันสำหรับแต่ละสามเหลี่ยม วิธีหนึ่งในการเขียนค่าประมาณนี้บนสามเหลี่ยมที่มีมุม คือชุดสมการ ${\displaystyle ih_{x}\leq x\leq (i+1)h_{x}\,}$${\displaystyle jh_{y}\leq y\leq (j+1)h_{y}\,}$${\displaystyle f(x_{i},y_{j})\,}$${\displaystyle (i,j)\,}$${\displaystyle f(x_{i},y_{j})\,}$${\displaystyle lf(x,y)\,}$${\displaystyle f(\cdot )\,}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}),~(x_{1},y_{1}),~(x_{2},y_{2})\,}$

${\displaystyle (x,y)=(x_{0},y_{0})+(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0})s+(x_{2}-x_{0},y_{2}-y_{0})t\,}$

${\displaystyle 0\leq s\,}$

${\displaystyle 0\leq t\,}$

${\displaystyle s+t\leq 1\,}$

${\displaystyle lf(x,y)=f(x_{0},y_{0})+(f(x_{1},y_{1})-f(x_{0},y_{0}))s+(f(x_{2},y_{2})-f(x_{0},y_{0}))t\,}$

สมการสี่สมการแรกสามารถหาคำตอบได้(ซึ่งจะแปลงรูปสามเหลี่ยมเดิมให้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน่วย) จากนั้นสมการที่เหลือจะให้ค่าประมาณของ โดยค่าประมาณเชิงเส้นแบบแบ่งส่วนนี้จะมีความต่อเนื่องตลอดทั้งโครงข่ายรูปสามเหลี่ยม ${\displaystyle (s,t)\,}$${\displaystyle f(\cdot )\,}$

เส้นโค้งของเส้นประมาณค่าบนรูปสามเหลี่ยมแต่ละรูปคือส่วนของเส้นตรง (ซึ่งเป็นช่วงบนจุดตัดของระนาบสองระนาบ) สามารถหาสมการของเส้นตรงได้ แต่จุดที่เส้นตรงตัดกับขอบของรูปสามเหลี่ยมจะเป็นจุดปลายของส่วนของเส้นตรงนั้น

เส้นโค้งของตัวประมาณค่าเชิงเส้นแบบแบ่งส่วนคือชุดของเส้นโค้งที่ประกอบขึ้นจากส่วนของเส้นตรงเหล่านี้ จุดใดๆ บนขอบที่เชื่อมต่อและสามารถเขียนได้เป็น ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\,}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})\,}$

${\displaystyle (x,y)=(x_{0},y_{0})+t(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0}),\,}$

โดยที่และค่าประมาณเชิงเส้นบนขอบคือ ${\displaystyle t\,}$${\displaystyle (0,1)\,}$

${\displaystyle f\sim f_{0}+t(f_{1}-f_{0})\,}$

ดังนั้นการตั้งค่า${\displaystyle f=0\,}$

${\displaystyle t=-f_{0}/(f_{1}-f_{0})\,}$และ${\displaystyle (x,y)=(x_{0},y_{0})-f_{0}*(x_{1}-x_{0},y_{1}-y_{0})/(f_{1}-f_{0})\,}$

เนื่องจากค่าที่ได้ขึ้นอยู่กับค่าบนขอบเท่านั้น สามเหลี่ยมทุกรูปที่ใช้ขอบเดียวกันจะสร้างจุดเดียวกัน ดังนั้นเส้นโค้งจะต่อเนื่องกัน สามารถตรวจสอบสามเหลี่ยมแต่ละรูปได้อย่างอิสระ และหากตรวจสอบครบทุกรูป ก็จะสามารถค้นหาเส้นโค้งทั้งหมดได้

การต่อเส้นตรงแบบแบ่งส่วนคล้ายกับการพล็อตเส้นชั้นความสูง (Dobkin, Levy, Thurston และ Wilks) ^{[ 5 ]}แต่ในมิติที่สูงกว่า อัลกอริทึมนี้อิงตามผลลัพธ์ต่อไปนี้:

ถ้า F(x) แปลงเป็นจะมีตัวประมาณค่าเชิงเส้นที่ไม่ซ้ำกันบนซิมเพล็ก ซ์มิติ '(n-1)' ซึ่งสอดคล้องกับค่าฟังก์ชันที่จุดยอดของซิมเพล็กซ์ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$

ซิมเพล็กซ์มิติ '(n-1)' มีจุดยอด n จุด และฟังก์ชัน F กำหนดเวกเตอร์ 'n' ให้กับแต่ละจุดยอด ซิมเพล็กซ์นี้เป็นแบบนูนและจุดใดๆ ภายในซิมเพล็กซ์เป็นผลรวมแบบนูนของจุดยอด นั่นคือ:

ถ้า x อยู่ภายในซิมเพล็กซ์มิติ (n-1) ที่มี n จุดยอดจะมีค่าสเกลาร์บวกอยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้ ${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle 0<\alpha _{i}}$

ถ้าจุดยอดของซิมเพล็กซ์เป็นอิสระเชิงเส้นค่าสเกลาร์ที่ไม่เป็นลบจะมีค่าเฉพาะสำหรับแต่ละจุด x และเรียกว่าพิกัดแบรีเซนทริกของ x ค่าเหล่านี้จะกำหนดค่าของตัวประมาณค่า เฉพาะ โดยใช้สูตร: ${\displaystyle \alpha }$

โดยพื้นฐานแล้วมีการทดสอบสองแบบ แบบแรกที่ใช้กันคือการกำหนดป้ายกำกับให้กับจุดยอดของซิมเพล็กซ์ด้วยเวกเตอร์ของเครื่องหมาย (+/-) ของพิกัดของจุดยอดนั้น ตัวอย่างเช่น จุดยอด (.5,-.2,1.) จะมีป้ายกำกับเป็น (+,-,+) ซิมเพล็กซ์จะเรียกว่ามีป้ายกำกับสมบูรณ์หากมีจุดยอดที่ป้ายกำกับเริ่มต้นด้วยสตริงของเครื่องหมาย "+" ที่มีความยาว 0,1,2,3,4,...n ซิมเพล็กซ์ที่มีป้ายกำกับสมบูรณ์จะครอบคลุมบริเวณใกล้เคียงของจุดกำเนิด นี่อาจฟังดูน่าประหลาดใจ แต่สิ่งที่อยู่เบื้องหลังผลลัพธ์นี้คือ สำหรับแต่ละพิกัดของซิมเพล็กซ์ที่มีป้ายกำกับสมบูรณ์ จะมีเวกเตอร์ที่มี "+" และอีกเวกเตอร์หนึ่งที่มี "-" กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลูกบาศก์ที่เล็กที่สุดที่มีขอบขนานกับแกนพิกัดและครอบคลุมซิมเพล็กซ์นั้น จะมีคู่ของหน้าอยู่ด้านตรงข้ามของ 0. (กล่าวคือ "+" และ "-" สำหรับแต่ละพิกัด)

แนวทางที่สองเรียกว่าการติดป้ายเวกเตอร์วิธีนี้ใช้พิกัดแบรีเซนทริกของจุดยอดของซิมเพล็กซ์เป็นพื้นฐาน ขั้นตอนแรกคือการหาพิกัดแบรีเซนทริกของจุดกำเนิด จากนั้นการทดสอบว่าซิมเพล็กซ์นั้นมีจุดกำเนิดอยู่หรือไม่นั้นทำได้ง่ายๆ โดยการตรวจสอบว่าพิกัดแบรีเซนทริกทั้งหมดเป็นค่าบวกและผลรวมน้อยกว่า 1

มีการสร้างสามเหลี่ยม (การสร้างสามเหลี่ยม Coxeter-Freudenthal-Kuhn [1]) ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การดำเนินการหมุน ${\displaystyle P_{v_{i}}(v_{0},v_{1},...,v_{n}):=(v_{0},v_{1},...,v_{i-1},{\tilde {v}__{i},v_{i+1},...,v_{n})}$ ที่ไหน ${\displaystyle {\tilde {v}__{i}=\left\{{\begin{array}{lcl}v_{1}+v_{n}-v_{0}&&i=0\\v_{i+1}+v_{i-1}-v_{i}&\qquad \qquad &0\\v_{n-1}+v_{0}-v_{n}&&i=n\\\end{array}}\right.}$