การต่อยอดเชิงตัวเลขเป็นวิธีการคำนวณหาคำตอบโดยประมาณของระบบสมการไม่เชิงเส้นที่มีพารามิเตอร์

${\displaystyle F(\mathbf {u} ,\lambda )=0.}$^{[ 1 ]}

พารามิเตอร์มักจะเป็นสเกลาร์ จริง และคำตอบจะเป็นเวกเตอร์nมิติ สำหรับค่าพารามิเตอร์ที่กำหนดไว้จะแปลงปริภูมิยูคลิด n มิติให้มาอยู่ในตัวมันเอง ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \lambda }$${\textstyle F(\cdot ,\แลมบ์ดา )}$

โดยทั่วไป การแมปดั้งเดิมมักเป็นการแปลงจากปริภูมิบานาคไปยังตัวมันเอง และปริภูมิยูคลิด n มิติก็เป็นปริภูมิบานาคที่มีมิติจำกัด ${\displaystyle F}$

สภาวะคงที่หรือจุดคงที่ของกลุ่มการไหลหรือแผนที่ที่มีพารามิเตอร์นั้นมีรูปแบบนี้ และโดยการแบ่งวิถีของการไหลออกเป็นส่วนย่อย หรือการทำซ้ำแผนที่วงโคจรแบบคาบ และวงโคจรแบบเฮเทอโรคลิกก็สามารถกำหนดเป็นคำตอบของสมการได้เช่นกัน ${\displaystyle F=0}$

ในระบบไม่เชิงเส้นบางระบบ พารามิเตอร์จะถูกระบุอย่างชัดเจน ในขณะที่บางระบบพารามิเตอร์จะถูกระบุโดยปริยาย และระบบสมการไม่เชิงเส้นจะถูกเขียนในรูปแบบนี้

${\displaystyle F(\mathbf {u} )=0}$

โดยที่เป็น เวกเตอร์ n มิติและภาพของมันเป็น เวกเตอร์ n −1 มิติ ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle F(\mathbf {u} )}$

สูตรนี้ซึ่งไม่มีพื้นที่พารามิเตอร์ ที่ระบุอย่างชัดเจน มักไม่เหมาะสมสำหรับสูตรในส่วนต่อไปนี้ เนื่องจากสูตรเหล่านั้นอ้างอิงถึงระบบพลวัตแบบ ไม่เชิงเส้นอิสระที่มีพารามิเตอร์ ในรูปแบบ:

${\displaystyle \mathbf {u} '=F(\mathbf {u} ,\lambda )}$

อย่างไรก็ตาม ในระบบพีชคณิตนั้นไม่มีความแตกต่างระหว่างตัวแปรที่ไม่ทราบค่าและพารามิเตอร์ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

การเคลื่อนที่แบบคาบเป็นเส้นโค้งปิดในปริภูมิเฟส นั่นคือ สำหรับคาบ หนึ่ง ๆ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \mathbf {u} '=F(\mathbf {u} ,\lambda ),\,\mathbf {u} (0)=\mathbf {u} (T).}$

ตัวอย่างในตำราเรียนของการเคลื่อนที่แบบเป็นคาบคือลูกตุ้มที่ไม่มีการ หน่วง

ถ้าปริภูมิเฟสเป็นคาบในพิกัดหนึ่งหรือมากกว่านั้น เช่น โดยมีเวกเตอร์ แล้วจะมีการเคลื่อนที่แบบคาบชนิดที่สองซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle \mathbf {u} (t)=\mathbf {u} (t+\Omega )}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \mathbf {u} '=\mathbf {F} (\mathbf {u} ,\lambda ),\,\mathbf {u} (0)=\mathbf {u} (T+N.\Omega )}$

สำหรับจำนวนเต็มทุกตัว ${\displaystyle N}$

ขั้นตอนแรกในการเขียนระบบสมการปริยายสำหรับการเคลื่อนที่แบบคาบ คือการย้ายคาบจากเงื่อนไขขอบเขตไปยังสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ(ODE) : ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \mathbf {u} '=T\mathbf {F} (\mathbf {u} ,\lambda ),\,\mathbf {u} (0)=\mathbf {u} (1+N.\Omega ).}$

ขั้นตอนที่สองคือการเพิ่มสมการเพิ่มเติม ซึ่ง เป็นข้อจำกัดของเฟสที่สามารถมองได้ว่าเป็นการกำหนดคาบเวลา สิ่งนี้จำเป็นเพราะว่าคำตอบใดๆ ของปัญหาค่าขอบเขต ข้างต้น สามารถเลื่อนไปตามเวลาได้ในปริมาณที่กำหนด (เวลาไม่ได้ปรากฏในสมการกำหนด – ระบบพลวัตนี้เรียกว่าระบบอัตโนมัติ)

มีตัวเลือกหลายอย่างสำหรับข้อจำกัดของเฟส ถ้าเป็นวงโคจรคาบที่ทราบค่าพารามิเตอร์ใกล้เคียงแล้ว ปวงกาเรใช้ ${\displaystyle \mathbf {u} _{0}(t)}$${\displaystyle \lambda _{0}}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \langle \mathbf {u} (0)-\mathbf {u} _{0}(0),\mathbf {F} (\mathbf {u} _{0}(0),\lambda _{0})\rangle =0.}$

ซึ่งระบุว่าอยู่ในระนาบที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์สัมผัสของเส้นโค้งปิด ระนาบนี้เรียกว่าส่วนตัดปวงกาเร (Poincaré section ) ${\displaystyle \mathbf {u} }$

สำหรับปัญหาทั่วไป ข้อจำกัดเฟสที่ดีกว่าคือข้อจำกัดเชิงปริพันธ์ที่เสนอโดยยูเซบิอุส โดเดล ซึ่งเลือกเฟสเพื่อให้ระยะห่างระหว่างวงโคจรที่ทราบและไม่ทราบมีค่าน้อยที่สุด:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\langle \mathbf {u} (t)-\mathbf {u} _{0}(t),\mathbf {F} (\mathbf {u} _{0}(t),\lambda _{0})\rangle dt=0.}$

ส่วนประกอบคำตอบของระบบไม่เชิงเส้นคือเซตของจุดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขและ เชื่อมต่อกับคำตอบเริ่มต้นโดยเส้นทางคำตอบซึ่ง และ${\displaystyle \Gamma (\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (\mathbf {u} ,\lambda )}$${\displaystyle F(\mathbf {u} ,\lambda )=0}$${\displaystyle (\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})}$${\displaystyle (\mathbf {u} (s),\lambda (s))}$${\displaystyle (\mathbf {u} (0),\lambda (0))=(\mathbf {u} _{0},\lambda _{0}),\,(\mathbf {u} (1),\lambda (1))=(\mathbf {u} ,\lambda )}$${\displaystyle F(\mathbf {u} (s),\lambda (s))=0}$

การต่อยอดเชิงตัวเลขเป็นอัลกอริธึมที่รับระบบสมการไม่เชิงเส้นแบบมีพารามิเตอร์และผลเฉลยเริ่มต้น, , เป็นอินพุต และสร้างชุดจุดบนส่วนประกอบผลเฉลย ${\displaystyle (\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})}$${\displaystyle F(\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})=0}$${\displaystyle \Gamma (\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})}$

จุดปกติของคือจุดที่เมทริกซ์ จาโคเบียนของมีอันดับเต็ม${\displaystyle F}$${\displaystyle (\mathbf {u} ,\lambda )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (n)}$

บริเวณใกล้จุดปกติ ส่วนประกอบของคำตอบจะเป็นเส้นโค้งโดดเดี่ยวที่ผ่านจุดปกติ ( ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย ) ในรูปด้านบน จุดนั้นคือจุดปกติ ${\displaystyle (\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})}$

จุดเอกลักษณ์ของ F คือจุดที่ เมทริก ซ์จาโคเบียนของ F ไม่ใช่เมทริกซ์เต็มอันดับ ${\displaystyle F}$${\displaystyle (\mathbf {u} ,\lambda )}$

บริเวณใกล้จุดเอกฐาน ส่วนประกอบของคำตอบอาจไม่ใช่เส้นโค้งเดี่ยวที่ผ่านจุดปกติ โครงสร้างเฉพาะที่ถูกกำหนดโดยอนุพันธ์อันดับสูงของในรูปด้านบน จุดที่เส้นโค้งสีน้ำเงินสองเส้นตัดกันคือจุดเอกฐาน ${\displaystyle F}$

โดยทั่วไปแล้ว ส่วนประกอบของคำตอบจะเป็นเส้นโค้งที่มีการแตกแขนงจุดแตกแขนงเหล่านี้เรียกว่าจุดเอกฐาน การหาเส้นโค้งคำตอบที่ออกจากจุดเอกฐานเรียกว่าการสลับแขนง ซึ่งใช้เทคนิคจากทฤษฎีการแตกแขนง ( ทฤษฎีเอกฐานทฤษฎีหายนะ ) ${\displaystyle \Gamma }$

สำหรับระบบที่มีมิติจำกัด (ตามที่นิยามไว้ข้างต้น) สามารถใช้การแยกส่วนแบบ Lyapunov-Schmidt เพื่อสร้างระบบสองระบบที่ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายสามารถนำไปใช้ได้ การแยกส่วนแบบ Lyapunov-Schmidt ใช้ข้อจำกัดของระบบไปยังส่วนเติมเต็มของปริภูมิว่างของเมทริกซ์ Jacobian และช่วงของเมทริกซ์ Jacobian

ถ้าคอลัมน์ของเมทริกซ์เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติสำหรับปริภูมิว่างของ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle J=\left[{\begin{array}{cc}F_{x}&F_{\lambda }\\\end{array}}\right]}$

และคอลัมน์ของเมทริกซ์เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติสำหรับปริภูมิว่างด้านซ้ายของแล้วระบบ สามารถเขียนใหม่ได้เป็น ${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle J}$${\displaystyle F(x,\lambda )=0}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{l}(I-\Psi \Psi ^{T})F(x+\Phi \xi +\eta )\\\Psi ^{T}F(x+\Phi \xi +\eta )\\\end{array}}\right]=0,}$

โดยที่อยู่ในส่วนเติมเต็มของปริภูมิว่างของ ${\displaystyle \eta }$${\displaystyle J}$${\displaystyle (\Phi ^{T}\,\eta =0)}$

ในสมการแรก ซึ่งมีการกำหนดพารามิเตอร์โดยปริภูมิว่างของเมทริกซ์จาโคเบียน ( ) เมทริกซ์จาโคเบียนที่เกี่ยวข้องกับ นั้นไม่เป็นเมทริกซ์เอกฐาน ดังนั้นทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายระบุว่ามีฟังก์ชันการแมปที่ทำให้และสมการที่สอง (โดยแทนที่ ด้วย ) เรียกว่าสมการการแยกสาขา (แม้ว่าอาจจะเป็นระบบสมการก็ได้) ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta (\xi )}$${\displaystyle \eta (0)=0}$${\displaystyle (I-\Psi \Psi ^{T})F(x+\Phi \xi +\eta (\xi ))=0)}$${\displaystyle \eta (\xi )}$

สมการการแยกสาขา (bifurcation equation) มีการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ที่ขาดพจน์คงที่และพจน์เชิงเส้น โดยการปรับขนาดสมการและปริภูมิว่างของเมทริกซ์ จาโคเบียนของระบบดั้งเดิม จะสามารถหาระบบที่มีเมทริกซ์จาโคเบียนที่ไม่เอกฐานได้ พจน์คงที่ในอนุกรมเทย์เลอร์ของสมการการแยกสาขาที่ปรับขนาดแล้วเรียกว่าสมการการแยกสาขาเชิงพีชคณิต และทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายที่ใช้กับสมการการแยกสาขาจะระบุว่า สำหรับแต่ละคำตอบที่แยกเดี่ยวของสมการการแยกสาขาเชิงพีชคณิต จะมีสาขาของคำตอบของปัญหาดั้งเดิมที่ผ่านจุดเอกฐาน

จุดเอกลักษณ์อีกประเภทหนึ่งคือจุดแยกแบบหักเหหรือจุดแยกแบบอานม้าซึ่งทิศทางของพารามิเตอร์ จะกลับทิศทางเมื่อติดตามเส้นโค้ง เส้นโค้งสีแดงในรูปด้านบนแสดงให้เห็นถึงจุดหักเหดังกล่าว ${\displaystyle \lambda }$

วิธีการแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้นส่วนใหญ่เป็นวิธีการวนซ้ำโดยจะใช้การแมปซ้ำๆ กับค่าเริ่มต้นที่กำหนดไว้สำหรับค่าพารามิเตอร์ค่าหนึ่งหากวิธีการนี้ลู่เข้าและมีความสอดคล้องกัน ในที่สุดการวนซ้ำจะเข้าใกล้คำตอบของสมการ ${\displaystyle \lambda _{0}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{0}}$${\displaystyle F(\mathbf {u} ,\lambda _{0})=0}$

การต่อยอดพารามิเตอร์ตามธรรมชาติเป็นการดัดแปลงตัวแก้ปัญหาแบบวนซ้ำอย่างง่าย ๆ สำหรับปัญหาที่มีพารามิเตอร์ โดยใช้ผลลัพธ์ที่ค่าหนึ่งของ เป็นค่าเริ่มต้นสำหรับการหาผลลัพธ์ที่ เมื่อมีค่าเล็กพอ การวนซ้ำที่ใช้กับค่าเริ่มต้นควรจะลู่เข้า ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda +\Delta \lambda }$${\displaystyle \Delta \lambda }$

ข้อดีอย่างหนึ่งของการต่อยอดพารามิเตอร์ธรรมชาติคือการใช้วิธีการแก้ปัญหาแบบกล่องดำ สิ่งที่จำเป็นคือต้องมีคำตอบเริ่มต้น (ตัวแก้ปัญหาบางตัวเคยเริ่มต้นที่การคาดเดาเริ่มต้นที่กำหนดไว้เสมอ) มีงานวิจัยมากมายในด้านการต่อยอดขนาดใหญ่เกี่ยวกับการประยุกต์ใช้อัลกอริธึมที่ซับซ้อนมากขึ้นกับตัวแก้ปัญหาแบบกล่องดำ (ดูตัวอย่างเช่นLOCA )

อย่างไรก็ตาม การต่อขยายพารามิเตอร์ตามธรรมชาติจะล้มเหลวที่จุดเปลี่ยนทิศทาง ซึ่งเป็นจุดที่กิ่งของคำตอบหักเลี้ยว ดังนั้นสำหรับปัญหาที่มีจุดเปลี่ยนทิศทาง จึงต้องใช้วิธีการที่ซับซ้อนกว่า เช่น การต่อขยายความยาวส่วนโค้งเทียม (ดูด้านล่าง)

การต่อยอดเชิงซิมพลิเชียล หรือการต่อยอดเชิงเส้นแบบแบ่งส่วน (Allgower และ Georg) นั้นมีพื้นฐานมาจากผลลัพธ์พื้นฐานสามประการ

ประการแรกคือ

ถ้าแปลงเป็นจะมีตัวประมาณค่าเชิงเส้นที่ไม่ซ้ำกันบนซิมเพล็กซ์มิติซึ่งสอดคล้องกับค่าฟังก์ชันที่จุดยอดของซิมเพล็กซ์ ${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$${\displaystyle (n-1)}$

ผลลัพธ์ที่สองคือ:

สามารถทดสอบซิมเพล็กซ์มิติ n เพื่อตรวจสอบว่าค่าประมาณเชิงเส้นที่ไม่ซ้ำกันมีค่าอยู่ภายในซิมเพล็กซ์หรือไม่ ${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle 0}$

โปรดดูบทความเกี่ยวกับ การต่อเส้นตรงแบบแบ่งช่วงเพื่อดูรายละเอียดเพิ่มเติม

ด้วยการดำเนินการสองอย่างนี้ อัลกอริทึมการต่อเนื่องนี้จึงสามารถระบุได้ง่าย (ถึงแม้ว่าการใช้งานที่มีประสิทธิภาพจะต้องใช้วิธีการที่ซับซ้อนกว่านี้ก็ตาม ดู [B1]) สมมติว่ามีซิมเพล็กซ์เริ่มต้นที่กำหนดมาจากการแยกส่วนซิมพลิเชียลอ้างอิงของซิมเพล็กซ์เริ่มต้นจะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งหน้าที่ประกอบด้วยค่าศูนย์ของตัวแทรกเชิงเส้นที่ไม่ซ้ำกันบนหน้านั้น จากนั้นจะทำการทดสอบหน้าอื่นๆ ของซิมเพล็กซ์ และโดยทั่วไปจะมีหน้าเพิ่มเติมอีกหนึ่งหน้าที่มีค่าศูนย์อยู่ภายใน จากนั้นซิมเพล็กซ์เริ่มต้นจะถูกแทนที่ด้วยซิมเพล็กซ์ที่อยู่บนหน้าใดหน้าหนึ่งที่มีค่าศูนย์ และกระบวนการจะถูกทำซ้ำ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

เอกสารอ้างอิง: Allgower และ Georg [B1] ให้คำอธิบายที่ชัดเจนและกระชับเกี่ยวกับอัลกอติห์ม

วิธีการนี้อิงจากการสังเกตว่าการกำหนดพารามิเตอร์ "ในอุดมคติ" ของเส้นโค้งคือความยาวส่วนโค้ง ความยาวส่วนโค้งเสมือนเป็นค่าประมาณของความยาวส่วนโค้งในปริภูมิสัมผัสของเส้นโค้ง วิธีการต่อเนื่องตามธรรมชาติที่ได้รับการปรับปรุงนี้จะทำการก้าวไปทีละขั้นด้วยความยาวส่วนโค้งเสมือน (แทนที่จะเป็นความยาวส่วนโค้งจริง) ตัวแก้ปัญหาแบบวนซ้ำจำเป็นต้องหาจุดที่ความยาวส่วนโค้งเสมือนที่กำหนด ซึ่งต้องเพิ่มข้อจำกัดเพิ่มเติม (ข้อจำกัดความยาวส่วนโค้งเสมือน) เข้าไปในเมทริกซ์จาโคเบียน วิธีนี้จะสร้างเมทริกซ์จาโคเบียนกำลังสอง และหากขนาดขั้นตอนเล็กพอ เมทริกซ์จาโคเบียนที่ได้รับการปรับปรุงจะมีอันดับเต็ม ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$

วิธีการต่อความยาวส่วนโค้งเสมือน (Pseudo-arclength continuation) ได้รับการพัฒนาขึ้นโดยอิสระโดย Edward Riks และ Gerald Wempner สำหรับการประยุกต์ใช้ไฟไนต์เอเลเมนต์ในช่วงปลายทศวรรษ 1960 และตีพิมพ์ในวารสารในช่วงต้นทศวรรษ 1970 โดย HB Keller รายละเอียดเกี่ยวกับการพัฒนาในช่วงแรกเหล่านี้มีอยู่ในตำราเรียนของ MA Crisfield เรื่อง Nonlinear Finite Element Analysis of Solids and Structures, Vol 1: Basic Concepts, Wiley, 1991 Crisfield เป็นหนึ่งในผู้พัฒนาที่กระตือรือร้นที่สุดของวิธีการประเภทนี้ ซึ่งปัจจุบันเป็นขั้นตอนมาตรฐานของโปรแกรมไฟไนต์เอเลเมนต์แบบไม่เชิงเส้นเชิงพาณิชย์

อัลกอริทึมนี้เป็นวิธีการทำนายและแก้ไข ขั้นตอนการทำนายจะหาจุด(ใน) ซึ่งเป็นขั้นตอนขนาดตามเวกเตอร์สัมผัสการทำนายจะได้รับการแก้ไขโดยการค้นหาในทิศทางตั้งฉากกับเวกเตอร์สัมผัส โดยทั่วไปแล้ววิธีของนิวตันจะถูกใช้ในการแก้ระบบสมการไม่เชิงเส้น ${\displaystyle (u,\lambda )=(u_{0},\lambda _{0})+\Delta s\cdot ({\dot {u}}_{0},{\dot {\lambda }}_{0})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle \Delta s}$${\displaystyle ({\dot {u}}_{0},{\dot {\lambda }}_{0})}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}F(u,\lambda )=0\\{\dot {u}}_{0}(u-u_{0})+{\dot {\lambda }}_{0}(\lambda -\lambda _{0})=\Delta s\\\end{array}}}$

โดยมีค่าเดาเริ่มต้นเมทริกซ์จาโคเบียนของระบบนี้คือเมทริกซ์ที่มีขอบเขต ${\displaystyle (u,\lambda )=(u_{0},\lambda _{0})+\Delta s\cdot ({\dot {u}}_{0},{\dot {\lambda }}_{0})}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}F_{u}&F_{\lambda }\\{\dot {u}}^{*}&{\dot {\lambda }}\\\end{array}}\right]}$

ณ จุดปกติที่เมทริกซ์จาโคเบียนที่ไม่ถูกแก้ไขมีอันดับเต็ม เวกเตอร์สัมผัสจะครอบคลุมปริภูมิว่างของแถวบนสุดของเมทริกซ์จาโคเบียนใหม่นี้ การเพิ่มเวกเตอร์สัมผัสเป็นแถวสุดท้ายสามารถมองได้ว่าเป็นการกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ของเวกเตอร์ว่างในคำตอบทั่วไปของระบบนิวตัน (คำตอบเฉพาะบวกกับผลคูณโดยพลการของเวกเตอร์ว่าง)

วิธีนี้เป็นรูปแบบหนึ่งของการต่อความยาวส่วนโค้งเสมือน แทนที่จะใช้เส้นสัมผัสที่จุดเริ่มต้นในข้อจำกัดความยาวส่วนโค้ง จะใช้เส้นสัมผัสที่คำตอบปัจจุบันแทน ซึ่งเทียบเท่ากับการใช้ผกผันเสมือนของเมทริกซ์จาโคเบียนในวิธีของนิวตัน และช่วยให้สามารถก้าวไปได้ไกลขึ้น [B17]

พารามิเตอร์ในอัลกอริธึมที่อธิบายไว้ข้างต้นเป็นค่าสเกลาร์จริง โดยทั่วไปแล้วปัญหาทางฟิสิกส์และการออกแบบส่วนใหญ่จะมีพารามิเตอร์มากกว่าหนึ่งตัว การต่อยอดในมิติที่สูงกว่าหมายถึงกรณีที่เป็นเวกเตอร์ k มิติ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

คำศัพท์เดียวกันนี้ใช้ได้คำตอบปกติคือคำตอบที่เมทริกซ์จาโคเบียนมีอันดับเต็มคำตอบเอกฐานคือคำตอบที่เมทริกซ์จาโคเบียนมีอันดับน้อยกว่าอันดับเต็ม ${\displaystyle (n)}$

คำตอบปกติจะอยู่บนพื้นผิว k มิติ ซึ่งสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ด้วยจุดในปริภูมิสัมผัส (ปริภูมิว่างของเมทริกซ์จาโคเบียน) นี่เป็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายอย่างตรงไปตรงมาอีกครั้งหนึ่ง

เทคนิคการต่อยอดเชิงตัวเลขได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางในการศึกษาเกี่ยวกับระบบพลวัตแบบอลวนและระบบอื่นๆ ที่อยู่ในขอบเขตของทฤษฎีหายนะเหตุผลของการใช้งานดังกล่าวมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า ระบบพลวัตแบบไม่เชิงเส้นต่างๆ มีพฤติกรรมที่แน่นอนและคาดการณ์ได้ภายในช่วงพารามิเตอร์ที่รวมอยู่ในสมการของระบบ อย่างไรก็ตาม สำหรับค่าพารามิเตอร์บางค่า ระบบจะเริ่มมีพฤติกรรมอลวน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องติดตามพารามิเตอร์นั้นเพื่อที่จะสามารถถอดรหัสเหตุการณ์ที่ระบบเริ่มไม่สามารถคาดการณ์ได้ และอะไรกันแน่ (ในทางทฤษฎี) ที่ทำให้ระบบไม่เสถียร

การวิเคราะห์การต่อเนื่องของพารามิเตอร์สามารถนำไปสู่ข้อมูลเชิงลึกเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแยกสาขาที่เสถียร/วิกฤต การศึกษาการแยกสาขาแบบอานม้า-โหนด, ทรานส์คริติคอล, พิตช์ฟอร์ก, การเพิ่มคาบเป็นสองเท่า, ฮอปฟ์, ฮอปฟ์รอง (นีมาร์ค) ของโซลูชันที่เสถียรช่วยให้สามารถอภิปรายเชิงทฤษฎีเกี่ยวกับสถานการณ์และเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นที่จุดวิกฤต การต่อเนื่องของพารามิเตอร์ยังให้ระบบที่น่าเชื่อถือมากขึ้นในการวิเคราะห์ระบบพลวัต เนื่องจากมีความเสถียรมากกว่าโซลูชันเชิงตัวเลขแบบโต้ตอบและแบบก้าวเวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่ระบบพลวัตมีแนวโน้มที่จะระเบิดที่ค่าพารามิเตอร์บางค่า (หรือการรวมกันของค่าสำหรับพารามิเตอร์หลายตัว) ^{[ 2 ]}

การศึกษาเกี่ยวกับการค้นพบคำตอบที่มีเสถียรภาพ (ดึงดูดหรือผลักดัน) ในการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นนั้น ให้ข้อมูลเชิงลึกอย่างมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่การคำนวณแบบขั้นเวลาในรูปแบบของอัลกอริทึม Crank-Nicolson ใช้เวลานานมากและไม่เสถียรในกรณีที่ตัวแปรตามในระบบมีการเติบโตแบบไม่เชิงเส้น นอกจากนี้ การศึกษาเรื่องความปั่นป่วนก็เป็นอีกสาขาหนึ่งที่ใช้เทคนิคการต่อเนื่องเชิงตัวเลข (Numerical Continuation) ในการศึกษาการเกิดความปั่นป่วนในระบบที่เริ่มต้นจากเลขเรย์โนลด์ต่ำ งานวิจัยที่ใช้เทคนิคเหล่านี้ยังเปิดโอกาสให้ค้นพบแมนิโฟลด์ที่มีเสถียรภาพและการแตกแขนงไปสู่ทอรัสไม่แปรเปลี่ยนในกรณีของปัญหาวัตถุสามชิ้นแบบจำกัด ในแรงโน้มถ่วงแบบนิวตัน และยังให้ข้อมูลเชิงลึกที่น่าสนใจและลึกซึ้งเกี่ยว กับ พฤติกรรมของระบบต่างๆ เช่นสมการลอเรนซ์

(อยู่ระหว่างการก่อสร้าง) ดูรายชื่อกลุ่มกิจกรรมด้านระบบพลวัตของ SIAM ได้ที่ http://www.dynamicalsystems.org/sw/sw/

• AUTO: การคำนวณหาคำตอบของปัญหาค่าขอบเขตสองจุด (TPBVPs) ที่มีข้อจำกัดเชิงปริพันธ์https://sourceforge.net/projects/auto-07p/ มีให้ใช้งานบน SourceForge
• HOMCONT: การคำนวณวงโคจรโฮโมคลินิกและเฮเทอโรคลินิก รวมอยู่ใน AUTO
• MATCONT: กล่องเครื่องมือ Matlab สำหรับการต่อเนื่องเชิงตัวเลขและการแยกสาขา[1] มีให้ใช้งานบน SourceForge
• DDEBIFTOOL: การคำนวณหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์แบบหน่วงเวลา แพ็กเกจ MATLAB สามารถดาวน์โหลดได้จาก KU Leuven
• PyCont: ชุดเครื่องมือ Python สำหรับการต่อยอดเชิงตัวเลขและการแยกสาขา อัลกอริทึม Python ดั้งเดิมสำหรับการต่อยอดจุดตรึง อินเทอร์เฟซที่ซับซ้อนสำหรับ AUTO สำหรับปัญหาประเภทอื่นๆ รวมอยู่ในPyDSTool
• ลูกอม/QA: มีจำหน่ายที่มหาวิทยาลัยพอทสดัม [A16]
• MANPAK: สามารถดาวน์โหลดได้จาก Netlib [A15]
• PDDE-ต่อ: http://seis.bris.ac.uk/~rs1909/pdde/
• Multifario: http://multifario.sourceforge.net/
• LOCA: https://trilinos.org/packages/nox-and-loca/
• DSTool
• ไกโอ
• OSCILL8: Oscill8 เป็นเครื่องมือระบบพลวัตที่ช่วยให้ผู้ใช้สามารถสำรวจพื้นที่พารามิเตอร์มิติสูงของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญแบบไม่เชิงเส้นโดยใช้เทคนิคการวิเคราะห์การแยกสาขาสามารถดาวน์โหลดได้จาก SourceForge
• MANLAB: การคำนวณหาคำตอบสมดุล คำตอบคาบ และคำตอบกึ่งคาบของสมการเชิงอนุพันธ์ โดยใช้ การพัฒนาคำตอบด้วย อนุกรมฟูริเยร์ (วิธีสมดุลฮาร์มอนิก) และการพัฒนาคำตอบด้วยอนุกรมเทย์เลอร์ (วิธีเชิงตัวเลขแบบไม่จำกัด) มีจำหน่ายที่ LMA Marseille
• BifurcationKit.jl: แพ็กเกจ Julia นี้มีจุดมุ่งหมายเพื่อทำการวิเคราะห์การแยกสาขาอัตโนมัติของสมการมิติขนาดใหญ่F(u,λ)=0โดยใช้ประโยชน์จากวิธีการวนซ้ำ การกำหนดสูตรแบบเบาบาง และฮาร์ดแวร์เฉพาะ (เช่น GPU) [2]${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$
• COCO: Continuation Core and Toolboxes แพลตฟอร์มการพัฒนาและชุดเครื่องมือสำหรับการต่อยอดพารามิเตอร์ เช่น การวิเคราะห์การแยกสาขาของระบบพลวัต และการเพิ่มประสิทธิภาพการออกแบบภายใต้ข้อจำกัดสามารถดาวน์โหลดได้จาก SourceForge

ปัญหาการหาจุดที่Fแมปไปยังจุดกำเนิดนี้ ปรากฏในกราฟิกคอมพิวเตอร์ในรูปแบบของปัญหาการวาดแผนที่เส้นชั้นความสูง (n=2) หรือพื้นผิวไอโซ (n=3) เส้นชั้นความสูงที่มีค่าhคือเซตของส่วนประกอบคำตอบทั้งหมดของFh=0

• การต่อเนื่องจากโฮโมโทปี