ใน สาขา คณิตศาสตร์ของทฤษฎีการแยกสาขาการแยกสาขา แบบอานม้า การแยกสาขาแบบสัมผัสหรือการแยกสาขาแบบพับคือการแยกสาขาเฉพาะที่ซึ่งจุดคงที่ สองจุด (หรือสมดุล ) ของระบบพลวัตชนกันและทำลายล้างซึ่งกันและกัน คำว่า 'การแยกสาขาแบบอานม้า' มักใช้ในการอ้างอิงถึงระบบพลวัตแบบต่อเนื่อง ในระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่อง การแยกสาขาเดียวกันนี้มักเรียกว่าการแยกสาขาแบบพับ แทน อีกชื่อหนึ่งคือการแยกสาขาแบบท้องฟ้าสีฟ้าซึ่งหมายถึงการสร้างจุดคงที่สองจุดอย่างกะทันหัน^{[ 1 ]}

ถ้าปริภูมิเฟสมีมิติเดียว จุดสมดุลจุดหนึ่งจะไม่มีเสถียรภาพ (จุดอานม้า) ในขณะที่อีกจุดหนึ่งจะมีเสถียรภาพ (จุดโหนด)

การแตกแขนงแบบอานม้าอาจเกี่ยวข้องกับวงจรฮิสเทอรีซิสและหายนะได้

ตัวอย่างทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีการแตกแขนงแบบอานม้า (saddle-node bifurcation) คือ:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r+x^{2}.}$

นี่คือตัวแปรสถานะ และนี่คือพารามิเตอร์การแยกสาขา ${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$

• ถ้ามีจุดสมดุลสองจุด จุดสมดุลเสถียรอยู่ที่และจุดสมดุลไม่เสถียรอยู่ที่${\displaystyle r<0}$${\displaystyle -{\sqrt {-r}}}$${\displaystyle +{\sqrt {-r}}}$
• ณจุดแยกสาขา (bifurcation point) จะมีจุดสมดุลเพียงจุดเดียว ณ จุดนี้ จุดคงที่นั้นจะไม่ใช่จุดไฮเปอร์โบลิก อีกต่อไป ในกรณีนี้ จุดคงที่นั้นเรียกว่า จุดคงที่แบบอานม้า (saddle-node fixed point)${\displaystyle r=0}$
• หากไม่มีจุดสมดุล^{[ 2 ]}${\displaystyle r>0}$

อันที่จริง นี่เป็นรูปแบบปกติของการแยกสาขาแบบอานม้า สมการเชิงอนุพันธ์สเกลาร์ที่มีจุดคงที่ที่ สำหรับโดยที่เทียบเท่ากับ โทโพโลยีเฉพาะที่ กับ โดย มีเงื่อนไขว่าต้องเป็นไปตามและเงื่อนไขแรกคือเงื่อนไขการไม่เสื่อมสภาพ และเงื่อนไขที่สองคือเงื่อนไขการข้ามผ่าน^{[ 3 ]}${\displaystyle {\tfrac {dx}{dt}}=f(r,x)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=0}$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r\pm x^{2}}$${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}(0,0)\neq 0}$${\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial r}}(0,0)\neq 0}$

ตัวอย่างของการแตกแขนงแบบอานม้าในสองมิติเกิดขึ้นในระบบพลวัตสองมิติ:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\alpha -x^{2}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-y.}$

ดังที่เห็นได้จากภาพเคลื่อนไหวที่ได้จากการสร้างภาพพอร์ตเฟสโดยการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ ${\displaystyle \alpha }$

• เมื่อค่าเป็นลบ จะไม่มีจุดสมดุล${\displaystyle \alpha }$
• เมื่อนั้นจะมีจุดอานม้าอยู่${\displaystyle \alpha =0}$
• เมื่อมีค่าเป็นบวก จะมีจุดสมดุลสองจุด ได้แก่จุดอานม้า หนึ่งจุด และจุดบัพหนึ่งจุด (ซึ่งอาจเป็นจุดดึงดูดหรือจุดผลักดัน)${\displaystyle \alpha }$

ตัวอย่างอื่นๆ ได้แก่ การสร้างแบบจำลองสวิตช์ทางชีวภาพ^{[ 4 ]}เมื่อเร็วๆ นี้ พบว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการ สมการสนามของไอน์สไตน์ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปมีรูปแบบเดียวกับการแยกสาขาแบบพับ^{[ 5 ]}นอกจากนี้ยังมีการศึกษาการแยกสาขาแบบอานม้า-โหนดเวอร์ชันที่ไม่ขึ้นกับเวลา (กล่าวคือ พารามิเตอร์ขึ้นอยู่กับเวลา) ^{[ 6 ]}

• การแยกแบบส้อม
• การแยกสาขาเหนือวิกฤต
• การแยกสาขาฮอปฟ์
• จุดอานม้า