ทฤษฎีการแยกสาขา

ทฤษฎีการแยกสาขา (Bifurcation theory)คือ การศึกษา ทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงในโครงสร้างเชิงคุณภาพหรือเชิงโทโพโลยีของกลุ่มเส้นโค้ง ที่กำหนด เช่นเส้นโค้งอินทิกรัลของกลุ่มเวกเตอร์ฟิลด์และคำตอบของกลุ่มสมการเชิงอนุพันธ์โดยทั่วไปแล้วจะใช้ใน การศึกษา ทางคณิตศาสตร์ของระบบพลวัต การ แยก สาขาเกิดขึ้นเมื่อการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยอย่างราบรื่นที่เกิดขึ้นกับค่าพารามิเตอร์ (พารามิเตอร์การแยกสาขา) ของระบบทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพหรือเชิงโทโพโลยีอย่างกะทันหันในพฤติกรรมของระบบ^{[ 1 ]}การแยกสาขาเกิดขึ้นได้ทั้งในระบบต่อเนื่อง (อธิบายโดยสมการเชิง อนุพันธ์สามัญ สมการเชิงอนุพันธ์ หน่วงเวลาหรือ สมการเชิงอนุพันธ์ ย่อย ) และระบบไม่ต่อเนื่อง (อธิบายโดยแผนที่)

ชื่อ "การแยกสาขา" (bifurcation) ได้รับการนำเสนอครั้งแรกโดยHenri Poincaréในปี พ.ศ. 2428 ในบทความแรกในวิชาคณิตศาสตร์ที่แสดงพฤติกรรมดังกล่าว^{[ 2 ]}

ประเภทการแยกสาขา

การแบ่งการแตกแขนงออกเป็นสองประเภทหลักนั้นมีประโยชน์:

การแตกแขนงเฉพาะที่ ซึ่งสามารถวิเคราะห์ได้อย่างสมบูรณ์ผ่านการเปลี่ยนแปลงในคุณสมบัติความเสถียรเฉพาะที่ของจุดสมดุลวงโคจรเป็นคาบ หรือเซตไม่เปลี่ยนแปลงอื่นๆ เมื่อพารามิเตอร์ต่างๆ ผ่านเกณฑ์วิกฤต
การแตกแขนงระดับโลก มักเกิดขึ้นเมื่อเซตคงที่ขนาดใหญ่ของระบบ "ชนกัน" หรือชนกับจุดสมดุลของระบบ การแตกแขนงเหล่านี้ไม่สามารถตรวจพบได้ด้วยการวิเคราะห์เสถียรภาพของจุดสมดุล ( จุดคงที่ ) เพียงอย่างเดียว

การแยกสาขาในท้องถิ่น

การแตกแขนงแบบลดคาบลงครึ่งหนึ่ง (ซ้าย) นำไปสู่ความเป็นระเบียบ ตามด้วยการแตกแขนงแบบเพิ่มคาบเป็นสองเท่า (ขวา) นำไปสู่ความโกลาหล

การแตกแขนงเฉพาะที่เกิดขึ้นเมื่อการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ทำให้เสถียรภาพของจุดสมดุล (หรือจุดคงที่) เปลี่ยนแปลงไป ในระบบต่อเนื่อง สิ่งนี้สอดคล้องกับส่วนจริงของค่าลักษณะเฉพาะของจุดสมดุลที่ผ่านศูนย์ ในระบบไม่ต่อเนื่อง (ที่อธิบายโดยแผนที่) สิ่งนี้สอดคล้องกับจุดคงที่ที่มีตัวคูณฟลอเกต์ที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับหนึ่ง ในทั้งสองกรณี จุดสมดุลจะไม่เป็นแบบไฮเปอร์โบลิกที่จุดแตกแขนง การเปลี่ยนแปลงทางโทโพโลยีในภาพเฟสของระบบสามารถจำกัดให้อยู่ในบริเวณใกล้เคียงจุดคงที่ที่แตกแขนงได้เล็กมาก โดยการเลื่อนพารามิเตอร์การแตกแขนงให้ใกล้กับจุดแตกแขนง (จึงเรียกว่า "เฉพาะที่")

ในเชิงเทคนิคมากขึ้น ลองพิจารณาระบบพลวัตต่อเนื่องที่อธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ODE) ${\dot {x}}=f(x,\lambda )\quad f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}.$ เกิดการแยกสาขาเฉพาะที่ ณ $(x_{0},\lambda _{0})$ ถ้าเมทริกซ์จาโค เบียน ${\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}$ มีค่าไอเกนที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์ ถ้าค่าไอเกนเท่ากับศูนย์ การแยกสาขาจะเป็นการแยกสาขาแบบสภาวะคงที่ แต่ถ้าค่าไอเกนไม่เป็นศูนย์แต่เป็นจำนวนจินตนาการล้วนๆการแยกสาขานี้จะเป็นการแยกสาขาแบบฮอปฟ์

สำหรับระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่อง ให้พิจารณาระบบต่อไปนี้ $x_{n+1}=f(x_{n},\lambda ).$ จากนั้นจะเกิดการแยกสาขาเฉพาะที่ ณ $(x_{0},\lambda _{0})$ ถ้าเมทริกซ์ ${\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}$ มีค่าไอเกนที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับหนึ่ง ถ้าค่าไอเกนเท่ากับหนึ่ง การแตกแขนงจะเป็นแบบอานม้า (มักเรียกว่าการแตกแขนงแบบพับในแผนที่) แบบทรานส์คริติคอล หรือแบบพิทช์ฟอร์ก ถ้าค่าไอเกนเท่ากับ -1 จะเป็นแบบการเพิ่มคาบเป็นสองเท่า (หรือแบบพลิก) และถ้าเป็นอย่างอื่น จะเป็นแบบฮอปฟ์

ตัวอย่างของการแตกแขนงในระดับท้องถิ่น ได้แก่:

การแตกแขนง แบบอานม้า (รอยพับ)
การแยกสาขาเหนือวิกฤต
การแยกแบบส้อม
การแยกสาขา แบบเพิ่มระยะเวลาเป็นสองเท่า (พลิกกลับ)
การแยกสาขาฮอปฟ์
การแยกสาขา Neimark–Sacker (Hopf รอง)

การแยกสาขาทั่วโลก

ภาพแสดงเฟสก่อน ระหว่าง และหลังการแยกสาขาแบบโฮโมคลินิกใน 2 มิติ วงโคจรคาบจะขยายตัวจนกระทั่งชนกับจุดอานม้า ที่จุดแยกสาขา คาบของวงโคจรคาบจะเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์และกลายเป็นวงโคจรแบบโฮโมคลินิกหลังจากแยกสาขาแล้ว จะไม่มีวงโคจรคาบอีกต่อไป แผงด้านซ้าย: มีจุดอานม้าอยู่ที่จุดกำเนิดและวงจรจำกัดในควาดรันต์แรก แผงตรงกลาง: ที่ค่าพารามิเตอร์เฉพาะค่าหนึ่ง วงจรจำกัดจะตัดกับจุดอานม้าอย่างแม่นยำ ทำให้เกิดวงโคจรที่มีระยะเวลาอนันต์ แผงด้านขวา: เมื่อค่าพารามิเตอร์การแยกสาขาเพิ่มขึ้นอีก วงจรจำกัดจะหายไปอย่างสมบูรณ์

การแตกแขนงระดับโลกเกิดขึ้นเมื่อเซตไม่เปลี่ยนแปลงที่มีขนาด "ใหญ่กว่า" เช่น วงโคจรคาบ ชนกับจุดสมดุล ซึ่งก่อให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในโทโพโลยีของวิถีในปริภูมิเฟส ซึ่งไม่สามารถจำกัดอยู่เฉพาะบริเวณใกล้เคียงเล็กๆ ได้เหมือนกับการแตกแขนงระดับท้องถิ่น อันที่จริง การเปลี่ยนแปลงในโทโพโลยีจะขยายออกไปในระยะทางที่ไกลมาก (จึงเรียกว่า "ระดับโลก")

ตัวอย่างของการแยกสาขาในระดับโลก ได้แก่:

การแตกแขนงโฮโมคลินิกซึ่งวงจรจำกัดชนกับจุดอานม้า^{[ 3 ]}รูปแบบข้างต้นคือ การแตกแขนงโฮโมคลินิกแบบ "เล็ก" หรือ "ประเภท I" ใน 2 มิติ ยังมีการแตกแขนงโฮโมคลินิกแบบ "ใหญ่" หรือ "ประเภท II" ซึ่งวงโคจรโฮโมคลินิก "ดักจับ" ปลายอีกด้านของแมนิโฟลด์ที่ไม่เสถียรและเสถียรของจุดอานม้า ในสามมิติหรือมากกว่านั้น การแตกแขนงโคไดเมนชันที่สูงกว่าสามารถเกิดขึ้นได้ ทำให้เกิด พลวัต ที่ซับซ้อนและอาจวุ่นวาย
การแตกแขนงเฮเทอโรคลินซึ่งวงจรจำกัดชนกับจุดอานม้าสองจุดขึ้นไป เกี่ยวข้องกับวงจรเฮเทอโรคลิน [ ^{4 ] การ}แตกแขนงเฮเทอโรคลินมีสองประเภท ได้แก่ การแตกแขนงแบบเรโซแนนซ์และการแตกแขนงแบบขวาง การแตกแขนงทั้งสองประเภทจะส่งผลให้เสถียรภาพของวงจรเฮเทอโรคลินเปลี่ยนแปลงไป ในการแตกแขนงแบบเรโซแนนซ์ เสถียรภาพของวงจรจะเปลี่ยนแปลงเมื่อเงื่อนไขทางพีชคณิตเกี่ยวกับค่าลักษณะเฉพาะของจุดสมดุลในวงจรเป็นไปตามที่กำหนด ซึ่งมักจะเกิดขึ้นพร้อมกับการเกิดหรือการตายของวงโคจรคาบ การแตกแขนงแบบขวางของวงจรเฮเทอโรคลินเกิดขึ้นเมื่อส่วนจริงของค่าลักษณะเฉพาะแบบขวางของจุดสมดุลจุดหนึ่งในวงจรผ่านศูนย์ ซึ่งจะทำให้เสถียรภาพของวงจรเฮเทอโรคลินเปลี่ยนแปลงไปด้วย
การแตกแขนงแบบอนันต์คาบซึ่งจุดเสถียรและจุดอานม้าเกิดขึ้นพร้อมกันบนวงจรจำกัด^{[ 5 ]}เมื่อค่าจำกัดของพารามิเตอร์เข้าใกล้ค่าวิกฤตค่าหนึ่ง ความเร็วของการสั่นจะช้าลงและคาบจะเข้าใกล้ค่าอนันต์ การแตกแขนงแบบอนันต์คาบเกิดขึ้นที่ค่าวิกฤตนี้ เมื่อเกินค่าวิกฤต จุดคงที่สองจุดจะปรากฏขึ้นอย่างต่อเนื่องจากกันและกันบนวงจรจำกัดเพื่อขัดขวางการสั่นและก่อให้เกิดจุดอานม้า สอง จุด
หายนะท้องฟ้าสีครามที่วงจรจำกัดปะทะกับวงจรที่ไม่ใช่ไฮเปอร์โบลิก

การแตกแขนงระดับโลกอาจเกี่ยวข้องกับชุดที่ซับซ้อนกว่า เช่น ตัวดึงดูดแบบอลวน (เช่นวิกฤตการณ์ )

ตัวอย่างของการแยกสาขา
$การแยกสาขาแบบฮอปฟ์เกิดขึ้นในระบบ x ˙ = μ x + y − x 2 {\displaystyle {\dot {x}}=\mu x+yx^{2}} และ y ˙ = − x + μ y + 2 x 2 {\displaystyle {\dot {y}}=-x+\mu y+2x^{2}} เมื่อ μ = 0 {\displaystyle \mu =0} บริเวณจุดกำเนิด การแยกสาขาแบบโฮโมคลินิกเกิดขึ้นรอบๆ μ = 0.06605695 {\displaystyle \mu =0.06605695}$
เกิดการแยกสาขาแบบฮอปฟ์ (Hopf bifurcation) ในระบบ ${\dot {x}}=\mu x+yx^{2}$ และ ${\dot {y}}=-x+\mu y+2x^{2}$ , เมื่อไร $\mu =0$ บริเวณจุดกำเนิด การแยกสาขาแบบโฮโมคลินิกเกิดขึ้นบริเวณนั้น $\mu =0.06605695$ .
ภาพแสดงรายละเอียดของการแยกสาขาโฮโมคลินิก
$เมื่อ μ {\displaystyle \mu } เพิ่มขึ้นจากศูนย์ วงจรจำกัดที่เสถียรจะปรากฏขึ้นจากจุดกำเนิดผ่านการแยกสาขาแบบฮอปฟ์ ในที่นี้เราได้พล็อตวงจรจำกัดแบบพาราเมตริก จนถึงอันดับ μ 3 / 2 {\displaystyle \mu ^{3/2}} การคำนวณที่แน่นอนอธิบายไว้ในหน้าการแยกสาขาแบบฮอปฟ์$
เช่น $\mu$ เมื่อค่าเพิ่มขึ้นจากศูนย์ วงจรจำกัดที่เสถียรจะปรากฏขึ้นจากจุดกำเนิดผ่านการแยกสาขาแบบฮอปฟ์ ในที่นี้เราจะแสดงวงจรจำกัดในรูปแบบพาราเมตริก จนถึงลำดับ $\mu ^{3/2}$ วิธีการคำนวณโดยละเอียดอธิบายไว้ใน หน้า การแยกสาขาฮอปฟ์ (Hopf bifurcation )

มิติร่วมของการแตกแขนง

มิติร่วมของการแตกแขนง (bifurcation) คือจำนวนพารามิเตอร์ที่ต้องเปลี่ยนแปลงเพื่อให้เกิดการแตกแขนงขึ้น ซึ่งสอดคล้องกับมิติร่วมของชุดพารามิเตอร์ที่ทำให้เกิดการแตกแขนงขึ้นภายในพื้นที่พารามิเตอร์ทั้งหมด การแตกแขนงแบบอานม้า (saddle-node bifurcation) และการแตกแขนงแบบฮอปฟ์ (Hopf bifurcation) เป็นการแตกแขนงเฉพาะที่ทั่วไปเพียงสองแบบที่มีมิติร่วมเท่ากับหนึ่ง (แบบอื่นๆ มีมิติร่วมสูงกว่า) อย่างไรก็ตาม การแตกแขนงแบบทรานส์คริติคอล (transcritical bifurcation) และการแตกแขนงแบบพิทช์ฟอร์ก (pitchfork bifurcation) ก็มักถูกมองว่ามีมิติร่วมเท่ากับหนึ่งเช่นกัน เพราะรูปแบบปกติสามารถเขียนได้โดยใช้พารามิเตอร์เพียงตัวเดียว

ตัวอย่างหนึ่งของการแยกสาขาที่มีมิติร่วมสองซึ่งได้รับการศึกษามาเป็นอย่างดี คือ การแยก สาขาBogdanov–Takens

การประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์กึ่งคลาสสิกและฟิสิกส์ควอนตัม

ทฤษฎีการแยกสาขาได้ถูกนำมาใช้เพื่อเชื่อมโยงระบบควอนตัมเข้ากับพลวัตของระบบคลาสสิกที่คล้ายคลึงกันในระบบอะตอม^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}ระบบโมเลกุล^{[ 9 ]}และ ไดโอดอุโมงค์ เรโซแนนซ์^{[ 10 ]} ทฤษฎีการแยกสาขายังถูกนำมาใช้ในการศึกษาพลวัตของเลเซอร์^{[ 11 ]}และตัวอย่างทางทฤษฎีจำนวนหนึ่งที่ยากต่อการเข้าถึงในเชิงทดลอง เช่น ลูกข่างที่ถูกเตะ^{[ 12 ]}และบ่อควอนตัมที่เชื่อมต่อกัน^{[ 13 ]}เหตุผลหลักสำหรับการเชื่อมโยงระหว่างระบบควอนตัมและการแยกสาขาในสมการการเคลื่อนที่แบบคลาสสิกคือ ณ จุดแยกสาขา ลายเซ็นของวงโคจรแบบคลาสสิกจะมีขนาดใหญ่ ดังที่Martin Gutzwillerชี้ให้เห็นในงาน คลาสสิกของเขา ^{[ 14 ]} เกี่ยวกับ ความโกลาหลควอนตัม^{[ 15 ]}มีการศึกษาการแยกสาขาหลายประเภทที่เกี่ยวข้องกับการเชื่อมโยงระหว่างพลศาสตร์แบบคลาสสิกและควอนตัม รวมถึงการแยกสาขาแบบอานม้า การแยกสาขาแบบฮอปฟ์ การแยกสาขาแบบสะดือ การแยกสาขาแบบเพิ่มคาบ การแยกสาขาแบบเชื่อมต่อใหม่ การแยกสาขาแบบสัมผัส และการแยกสาขาแบบปลายแหลม

ดูเพิ่มเติม

แผนผังโลจิสติกส์สำหรับตัวอย่างการแนะนำอย่างง่ายเกี่ยวกับทางแยกแบบง่ายๆ บางประเภท
แผนภาพการแยกสาขา
หน่วยความจำแบบแยกสาขา
ทฤษฎีหายนะ
ค่าคงที่ของ Feigenbaum
การกลับทิศทางของสนามแม่เหล็กโลก
ภาพบุคคลระยะต่างๆ
ทฤษฎีไม้เทนนิส

หมายเหตุ

↑ Blanchard, P.; Devaney, RL ; Hall, GR (2006). สมการเชิงอนุพันธ์ . ลอนดอน: Thompson. หน้า96–111 . ISBN 978-0-495-01265-8.
↑อองรี ปัวอินกาเร (ก.ย. 1885) "L'Équilibre d'une Masse Fluide Animée d'un Mouvement de Rotation" Acta Mathematica (ในภาษาฝรั่งเศส) 7 : 259– 380. ดอย : 10.1007/ BF02402204
↑ Strogatz, Steven H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos . Addison-Wesley . หน้า262. ISBN 0-201-54344-3.
↑ Luo, Dingjun (1997). ทฤษฎีการแยกสาขาและวิธีการของระบบพลวัต . World Scientific. หน้า26. ISBN 981-02-2094-4.
↑ James P. Keener, "การแตกแขนงแบบช่วงเวลาอนันต์และการแตกแขนงแบบทั่วโลก", SIAM Journal on Applied Mathematics , Vol. 41, No. 1 (สิงหาคม 1981), หน้า 127 – 144
↑ Gao, J.; Delos, JB (1997). "การแสดงออกเชิงควอนตัมของการแตกแขนงของวงโคจรปิดในสเปกตรัมการดูดกลืนแสงของอะตอมในสนามไฟฟ้า" . Phys. Rev. A . 56 (1): 356– 364. Bibcode : 1997PhRvA..56..356G . doi : 10.1103/PhysRevA.56.356 . S2CID 120255640 .
↑ Peters, AD; Jaffé, C.; Delos, JB (1994). "การแสดงออกเชิงควอนตัมของการแตกแขนงของวงโคจรคลาสสิก: แบบจำลองที่แก้ได้อย่างแม่นยำ" . Phys. Rev. Lett . 73 (21): 2825– 2828. Bibcode : 1994PhRvL..73.2825P . doi : 10.1103/PhysRevLett.73.2825 . PMID 10057205 . S2CID 1641622 .
↑ Courtney, Michael; Jiao, Hong; Spellmeyer, Neal; Kleppner, Daniel; Gao, J.; Delos, JB; และคณะ (1995). "การแยกวงโคจรปิดในสเปกตรัม Stark ต่อเนื่อง" . Phys. Rev. Lett . 74 (9): 1538– 1541. Bibcode : 1995PhRvL..74.1538C . doi : 10.1103/PhysRevLett.74.1538 . PMID 10059054 . S2CID 21573702 .
↑ Founargiotakis, M.; Farantos, SC; Skokos, Ch.; Contopoulos, G. (1997). "แผนภาพการแยกสาขาของวงโคจรคาบสำหรับระบบโมเลกุลที่ไม่มีพันธะ: FH2" Chemical Physics Letters . 277 ( 5– 6): 456– 464. Bibcode : 1997CPL...277..456F . doi : 10.1016/S0009-2614(97)00931-7 .
↑ Monteiro, TS & Saraga, DS (2001). "Quantum Wells in Tilted Fields: Semiclassical Amplitudes and Phase Coherence Times". Foundations of Physics . 31 (2): 355– 370. Bibcode : 2001FoPh...31..355M . doi : 10.1023/A:1017546721313 . S2CID 120968155 .
↑ Wieczorek, S.; Krauskopf, B.; Simpson, TB & Lenstra, D. (2005). "ความซับซ้อนเชิงพลวัตของเลเซอร์เซมิคอนดักเตอร์ที่ฉีดด้วยแสง" Physics Reports . 416 ( 1– 2): 1– 128. Bibcode : 2005PhR...416....1W . doi : 10.1016/j.physrep.2005.06.003 .
↑ Stamatiou, G. & Ghikas, DPK (2007). "การพึ่งพาของควอนตัมเอนแทงเกิลเมนต์ต่อการแยกสาขาและรอยแผลเป็นในระบบที่ไม่เป็นอิสระ กรณีของควอนตัมคิกท็อป" Physics Letters A . 368 ( 3– 4): 206– 214. arXiv : quant-ph/0702172 . Bibcode : 2007PhLA..368..206S . doi : 10.1016/j.physleta.2007.04.003 . S2CID 15562617 .
↑ Galan, J.; Freire, E. (1999). "ความโกลาหลในแบบจำลองสนามเฉลี่ยของบ่อควอนตัมที่เชื่อมโยงกัน; การแตกแขนงของวงโคจรคาบในระบบแฮมิลโทเนียนสมมาตร" รายงานเกี่ยวกับฟิสิกส์คณิตศาสตร์ 44 ( 1– 2 ): 87– 94. Bibcode : 1999RpMP...44...87G . doi : 10.1016/S0034-4877(99)80148-7 .
↑ Kleppner, D.; Delos, JB (2001). "Beyond quantum mechanics: Insights from the work of Martin Gutzwiller". Foundations of Physics . 31 (4): 593– 612. Bibcode : 2001FoPh...31..593K . doi : 10.1023/A:1017512925106 . S2CID 116944147 .
↑ Gutzwiller, Martin C. (1990). ความโกลาหลในกลศาสตร์คลาสสิกและกลศาสตร์ควอนตัมนิวยอร์ก: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97173-5.

ลิงก์ภายนอก

พลศาสตร์ไม่เชิงเส้น
การแตกแขนงและการไหลสองมิติโดย เอลเมอร์ จี. ไวนส์
บทนำสู่ทฤษฎีการแยกสาขาโดย จอห์น เดวิด ครอว์ฟอร์ด

[1] Blanchard, P.; Devaney, RL ; Hall, GR (2006). สมการเชิงอนุพันธ์ . ลอนดอน: Thompson. หน้า96–111 . ISBN 978-0-495-01265-8.

[2] อองรี ปัวอินกาเร (ก.ย. 1885) "L'Équilibre d'une Masse Fluide Animée d'un Mouvement de Rotation" Acta Mathematica (ในภาษาฝรั่งเศส) 7 : 259– 380. ดอย : 10.1007/ BF02402204

[3] Strogatz, Steven H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos . Addison-Wesley . หน้า262. ISBN 0-201-54344-3.

[4] Luo, Dingjun (1997). ทฤษฎีการแยกสาขาและวิธีการของระบบพลวัต . World Scientific. หน้า26. ISBN 981-02-2094-4.

[5] James P. Keener, "การแตกแขนงแบบช่วงเวลาอนันต์และการแตกแขนงแบบทั่วโลก", SIAM Journal on Applied Mathematics , Vol. 41, No. 1 (สิงหาคม 1981), หน้า 127 – 144

[6] Gao, J.; Delos, JB (1997). "การแสดงออกเชิงควอนตัมของการแตกแขนงของวงโคจรปิดในสเปกตรัมการดูดกลืนแสงของอะตอมในสนามไฟฟ้า" . Phys. Rev. A . 56 (1): 356– 364. Bibcode : 1997PhRvA..56..356G . doi : 10.1103/PhysRevA.56.356 . S2CID 120255640 .

[7] Peters, AD; Jaffé, C.; Delos, JB (1994). "การแสดงออกเชิงควอนตัมของการแตกแขนงของวงโคจรคลาสสิก: แบบจำลองที่แก้ได้อย่างแม่นยำ" . Phys. Rev. Lett . 73 (21): 2825– 2828. Bibcode : 1994PhRvL..73.2825P . doi : 10.1103/PhysRevLett.73.2825 . PMID 10057205 . S2CID 1641622 .

[8] Courtney, Michael; Jiao, Hong; Spellmeyer, Neal; Kleppner, Daniel; Gao, J.; Delos, JB; และคณะ (1995). "การแยกวงโคจรปิดในสเปกตรัม Stark ต่อเนื่อง" . Phys. Rev. Lett . 74 (9): 1538– 1541. Bibcode : 1995PhRvL..74.1538C . doi : 10.1103/PhysRevLett.74.1538 . PMID 10059054 . S2CID 21573702 .

[9] Founargiotakis, M.; Farantos, SC; Skokos, Ch.; Contopoulos, G. (1997). "แผนภาพการแยกสาขาของวงโคจรคาบสำหรับระบบโมเลกุลที่ไม่มีพันธะ: FH2" Chemical Physics Letters . 277 ( 5– 6): 456– 464. Bibcode : 1997CPL...277..456F . doi : 10.1016/S0009-2614(97)00931-7 .

[10] Monteiro, TS & Saraga, DS (2001). "Quantum Wells in Tilted Fields: Semiclassical Amplitudes and Phase Coherence Times". Foundations of Physics . 31 (2): 355– 370. Bibcode : 2001FoPh...31..355M . doi : 10.1023/A:1017546721313 . S2CID 120968155 .

[11] Wieczorek, S.; Krauskopf, B.; Simpson, TB & Lenstra, D. (2005). "ความซับซ้อนเชิงพลวัตของเลเซอร์เซมิคอนดักเตอร์ที่ฉีดด้วยแสง" Physics Reports . 416 ( 1– 2): 1– 128. Bibcode : 2005PhR...416....1W . doi : 10.1016/j.physrep.2005.06.003 .

[12] Stamatiou, G. & Ghikas, DPK (2007). "การพึ่งพาของควอนตัมเอนแทงเกิลเมนต์ต่อการแยกสาขาและรอยแผลเป็นในระบบที่ไม่เป็นอิสระ กรณีของควอนตัมคิกท็อป" Physics Letters A . 368 ( 3– 4): 206– 214. arXiv : quant-ph/0702172 . Bibcode : 2007PhLA..368..206S . doi : 10.1016/j.physleta.2007.04.003 . S2CID 15562617 .

[13] Galan, J.; Freire, E. (1999). "ความโกลาหลในแบบจำลองสนามเฉลี่ยของบ่อควอนตัมที่เชื่อมโยงกัน; การแตกแขนงของวงโคจรคาบในระบบแฮมิลโทเนียนสมมาตร" รายงานเกี่ยวกับฟิสิกส์คณิตศาสตร์ 44 ( 1– 2 ): 87– 94. Bibcode : 1999RpMP...44...87G . doi : 10.1016/S0034-4877(99)80148-7 .

[14] Kleppner, D.; Delos, JB (2001). "Beyond quantum mechanics: Insights from the work of Martin Gutzwiller". Foundations of Physics . 31 (4): 593– 612. Bibcode : 2001FoPh...31..593K . doi : 10.1023/A:1017512925106 . S2CID 116944147 .

[15] Gutzwiller, Martin C. (1990). ความโกลาหลในกลศาสตร์คลาสสิกและกลศาสตร์ควอนตัมนิวยอร์ก: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97173-5.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

4 ] การ

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]