ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ประยุกต์เชียร์เล็ตเป็นกรอบงานหลายระดับที่ช่วยให้สามารถเข้ารหัส คุณลักษณะ แบบแอนไอโซโทรปิก ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ใน คลาสปัญหา หลายตัวแปรเดิมทีเชียร์เล็ตได้รับการแนะนำในปี 2549 ^{[ 1 ]}สำหรับการวิเคราะห์และการประมาณค่าแบบเบาบางของฟังก์ชัน พวกมันเป็นส่วนขยายตามธรรมชาติของเวฟเล็ตเพื่อรองรับข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันหลายตัวแปรมักถูกควบคุมโดยคุณลักษณะแบบแอนไอโซโทรปิก เช่น ขอบในภาพ เนื่องจากเวฟเล็ตซึ่งเป็นวัตถุไอโซโทรปิกไม่สามารถจับปรากฏการณ์ดังกล่าวได้ ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$

เชียร์เล็ตถูกสร้างขึ้นโดยการปรับขนาด แบบพาราโบลา การเฉือน และการเลื่อน ที่ใช้กับ ฟังก์ชันก่อกำเนิดเพียงไม่กี่ ฟังก์ชัน ในระดับละเอียด เชียร์เล็ตจะได้รับการรองรับโดยพื้นฐานภายในสันที่แคบและมีทิศทางตามกฎการปรับขนาดแบบพาราโบลา ซึ่งเขียนได้ว่าความยาว² ≈ ความกว้างคล้ายกับเวฟเล็ต เชียร์เล็ตเกิดขึ้นจากกลุ่มแอฟฟินและช่วยให้สามารถจัดการกับสถานการณ์ต่อเนื่องและสถานการณ์ดิจิทัลได้อย่างเป็นเอกภาพ นำไปสู่การใช้งานที่ถูกต้องแม่นยำ แม้ว่าพวกมันจะไม่เป็นฐานเชิงตั้งฉากสำหรับ แต่ก็ยังเป็นกรอบที่ช่วยให้สามารถขยายฟังก์ชันใดๆ ได้อย่างเสถียร ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$

หนึ่งในคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของเชียร์เล็ตคือความสามารถในการให้การประมาณค่าแบบเบาบางที่เหมาะสมที่สุด (ในแง่ของความเหมาะสมใน^{[ 2 ]} ) สำหรับฟังก์ชันคล้ายการ์ตูน ในวิทยาศาสตร์การถ่ายภาพ ฟังก์ชันคล้ายการ์ตูนทำหน้าที่เป็นแบบจำลองสำหรับคุณลักษณะแบบแอนไอโซโทรปิกและได้รับการรองรับอย่างกะทัดรัดในขณะที่แยกออกจากเส้นโค้งเอกฐานแบบชิ้นส่วนปิดที่มีความโค้งจำกัด อัตราการลดลงของข้อผิดพลาดของค่าประมาณเชียร์เล็ตเทอมที่ได้จากการใช้สัมประสิทธิ์ที่ใหญ่ที่สุดจากการขยายเชียร์เล็ตนั้นเหมาะสมที่สุดจนถึงปัจจัยลอการิทึม: ^{[ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,1]^{2}}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle \|f-f_{N}\|_{L^{2}}^{2}\leq CN^{-2}(\log N)^{3},\quad N\to \infty ,}$

โดยที่ค่าคงที่ขึ้นอยู่กับความโค้งสูงสุดของเส้นโค้งเอกลักษณ์และขนาดสูงสุดของและอัตราการประมาณนี้ช่วยปรับปรุงอัตราการประมาณค่าเทอมที่ดีที่สุดของเวฟเล็ตได้อย่างมีนัยสำคัญ โดยให้เฉพาะฟังก์ชันประเภทดังกล่าว เท่านั้น${\displaystyle C}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f''.}$${\displaystyle N}$${\displaystyle O(N^{-1})}$

ปัจจุบัน Shearlets เป็นระบบการแสดงทิศทางเพียงระบบเดียวที่ให้การประมาณค่าแบบเบาบางของคุณลักษณะแบบแอนไอโซโทรปิก ในขณะเดียวกันก็ให้การจัดการแบบรวมของขอบเขตต่อเนื่องและดิจิทัลที่ช่วยให้สามารถนำไปใช้งานได้อย่างถูกต้องนอกจากนี้ยังมีส่วนขยายของระบบ shearlet อีกด้วย สามารถดูการนำเสนอทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ shearlets อย่างครอบคลุมได้ใน^{[ 5 ]}${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{d}),d\geq 2}$

ผลทางเรขาคณิตของการปรับขนาดแบบพาราโบลาและการเฉือนด้วยพารามิเตอร์ a และ s หลายตัว

การสร้างระบบเชียร์เล็ตแบบต่อเนื่องนั้นอาศัยเมทริกซ์การปรับขนาดแบบพาราโบลา

${\displaystyle A_{a}={\begin{bmatrix}a&0\\0&a^{1/2}\end{bmatrix}},\quad a>0}$

เพื่อเป็นวิธีการเปลี่ยนความละเอียดบนเมทริกซ์เฉือน

${\displaystyle S_{s}={\begin{bmatrix}1&s\\0&1\end{bmatrix}},\quad s\in \mathbb {R} }$

โดยเป็นวิธีการเปลี่ยนทิศทาง และสุดท้ายคือการเปลี่ยนตำแหน่งด้วยการเลื่อน เมื่อเปรียบเทียบกับcurveletsแล้ว shearlets ใช้การเฉือนแทนการหมุน ข้อดีคือตัวดำเนินการเฉือนจะ ไม่เปลี่ยนแปลง โครงสร้างแลตทิซจำนวนเต็มในกรณีเช่นสิ่งนี้ช่วยให้สามารถจัดการโลกต่อเนื่องและโลกดิจิทัลได้อย่างเป็นเอกภาพ จึงรับประกันการนำไปใช้งานดิจิทัลที่ถูกต้องแม่นยำ ${\displaystyle S_{s}}$${\displaystyle s\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle S_{s}\mathbb {Z} ^{2}\subseteq \mathbb {Z} ^{2}.}$

สำหรับระบบshearlet ต่อเนื่องที่สร้างขึ้นโดยนั้น จะถูกกำหนดให้เป็น ${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \operatorname {SH} _{\mathrm {cont} }(\psi )=\{\psi _{a,s,t}=a^{3/4}\psi (S_{s}A_{a}(\cdot -t))\mid a>0,s\in \mathbb {R} ,t\in \mathbb {R} ^{2}\},}$

และการแปลงเชียร์เล็ตแบบต่อเนื่องที่ สอดคล้องกัน จะได้รับจากแผนที่

${\displaystyle f\mapsto {\mathcal {SH}}_{\psi }f(a,s,t)=\langle f,\psi _{a,s,t}\rangle ,\quad f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2}),\quad (a,s,t)\in \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}.}$

สามารถสร้างระบบเชียร์เล็ตแบบไม่ต่อเนื่องได้โดยตรงจาก การแบ่ง ชุดพารามิเตอร์ ออกเป็นแบบไม่ต่อเนื่องมีวิธีการมากมายสำหรับเรื่องนี้ แต่ที่นิยมที่สุดคือวิธีที่กำหนดโดย ${\displaystyle \operatorname {SH} _{\mathrm {cont} }(\psi )}$${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}.}$

${\displaystyle \{(2^{j},k,A_{2^{j}}^{-1}S_{k}^{-1}m)\mid j\in \mathbb {Z} ,k\in \mathbb {Z} ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\}\subseteq \mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}.}$

จากนี้ระบบเชียร์เล็ตแบบแยกส่วนที่เกี่ยวข้องกับเครื่องกำเนิดเชียร์เล็ตจะถูกกำหนดโดย ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )=\{\psi _{j,k,m}=2^{3j/4}\psi (S_{k}A_{2^{j}}\cdot {}-m)\mid j\in \mathbb {Z} ,k\in \mathbb {Z} ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\},}$

และการแปลงเชียร์เล็ตแบบไม่ต่อเนื่อง ที่เกี่ยวข้อง จะถูกกำหนดโดย

${\displaystyle f\mapsto {\mathcal {SH}}_{\psi }f(j,k,m)=\langle f,\psi _{j,k,m}\rangle ,\quad f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2}),\quad (j,k,m)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{2}.}$

การรองรับความถี่รูปสี่เหลี่ยมคางหมูของเชียร์เล็ตแบบคลาสสิก

การเรียงความถี่ของระบบเชียร์เล็ตแบบคลาสสิก (แบบไม่ต่อเนื่อง)

ให้เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับเงื่อนไข Calderón แบบไม่ต่อเนื่องกล่าวคือ ${\displaystyle \psi _{1}\in L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \sum _{j\in \mathbb {Z} }|{\hat {\psi }}_{1}(2^{-j}\xi )|^{2}=1,{\text{for a.e. }}\xi \in \mathbb {R} ,}$

โดยที่และ แทน การแปลง ฟูริเยร์ของตัวอย่างเช่น เราสามารถเลือกให้เป็นเวฟเล็ตเมเยอร์ได้ นอกจากนี้ ให้เป็นเช่นนั้นและ ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{1}\in C^{\infty }(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {supp} {\hat {\psi }}_{1}\subseteq [-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{16}}]\cup [{\tfrac {1}{16}},{\tfrac {1}{2}}],}$${\displaystyle {\hat {\psi }}_{1}}$${\displaystyle \psi _{1}.}$${\displaystyle \psi _{1}}$${\displaystyle \psi _{2}\in L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\hat {\psi }}_{2}\in C^{\infty }(\mathbb {R} ),}$${\displaystyle \operatorname {supp} {\hat {\psi }}_{2}\subseteq [-1,1]}$

${\displaystyle \sum _{k=-1}^{1}|{\hat {\psi }}_{2}(\xi +k)|^{2}=1,{\text{for a.e. }}\xi \in \left[-1,1\right].}$

โดยทั่วไปมักเลือกใช้ฟังก์ชันนูน เรียบ จากนั้นกำหนดโดย ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{2}}$${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$

${\displaystyle {\hat {\psi }}(\xi )={\hat {\psi }}_{1}(\xi _{1}){\hat {\psi }}_{2}\left({\tfrac {\xi _{2}}{\xi _{1}}}\right),\quad \xi =(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2},}$

เรียกว่าshearlet แบบคลาสสิกสามารถแสดงได้ว่าระบบ shearlet แบบไม่ต่อเนื่องที่สอดคล้องกันนั้นประกอบเป็นเฟรม Parsevalสำหรับฟังก์ชัน ที่ มีขอบเขตแบนด์วิดท์^{[ 5 ]}${\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$

อีกตัวอย่างหนึ่งคือ ระบบเชียร์เล็ต ที่รองรับอย่างกะทัดรัด ซึ่ง สามารถเลือกฟังก์ชันที่รองรับอย่างกะทัดรัดได้ เพื่อ ให้เกิดเป็นเฟรมสำหรับ^{[ 4 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}ในกรณีนี้ องค์ประกอบเชียร์เล็ตทั้งหมดในจะได้รับการรองรับอย่างกะทัดรัด ทำให้มีการระบุตำแหน่งเชิงพื้นที่ที่ดีกว่าเมื่อเทียบกับเชียร์เล็ตแบบคลาสสิกซึ่งมีแบนด์วิดท์จำกัด แม้ว่าระบบเชียร์เล็ตที่รองรับอย่างกะทัดรัดโดยทั่วไปจะไม่ก่อให้เกิดเฟรม Parseval แต่ฟังก์ชันใดๆก็สามารถแสดงได้ด้วยการขยายเชียร์เล็ตเนื่องจากคุณสมบัติของเฟรม ${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$${\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$${\displaystyle \operatorname {SH} (\psi )}$${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$

ข้อเสียประการหนึ่งของเชียร์เล็ตที่กำหนดไว้ข้างต้นคือ ความเอนเอียงเชิงทิศทางขององค์ประกอบเชียร์เล็ตที่เกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์การเฉือนขนาดใหญ่ ผลกระทบนี้สามารถสังเกตได้แล้วในการเรียงความถี่ของเชียร์เล็ตแบบคลาสสิก (ดูรูปในส่วน#ตัวอย่าง ) ซึ่งการรองรับความถี่ของเชียร์เล็ตจะเรียงตัวตามแกน x มากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อพารามิเตอร์การเฉือนเข้าสู่ค่าอนันต์ ซึ่งก่อให้เกิดปัญหาอย่างร้ายแรงเมื่อวิเคราะห์ฟังก์ชันที่มีการแปลงฟูริเยร์กระจุกตัวอยู่รอบแกน x ${\displaystyle \xi _{2}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \xi _{2}}$

เพื่อแก้ไขปัญหานี้ โดเมนความถี่จึงถูกแบ่งออกเป็นส่วนความถี่ต่ำและบริเวณรูปกรวยสองส่วน (ดูรูป):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {R}}&=\left\{(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid |\xi _{1}|,|\xi _{2}|\leq 1\right\},\\{\mathcal {C}}_{\mathrm {h} }&=\left\{(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid |\xi _{2}/\xi _{1}|\leq 1,|\xi _{1}|>1\right\},\\{\mathcal {C}}_{\mathrm {v} }&=\left\{(\xi _{1},\xi _{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid |\xi _{1}/\xi _{2}|\leq 1,|\xi _{2}|>1\right\}.\end{aligned}}}$

ระบบเชียร์เล็ตแบบไม่ต่อเนื่องที่ปรับให้เข้ากับรูปทรงกรวยที่เกี่ยวข้องนั้นประกอบด้วยสามส่วน แต่ละส่วนสอดคล้องกับโดเมนความถี่หนึ่งๆ ระบบนี้สร้างขึ้นจากฟังก์ชันสามฟังก์ชันและปัจจัยการสุ่มตัวอย่างแบบแลตติส${\displaystyle \phi ,\psi ,{\tilde {\psi }}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$${\displaystyle c=(c_{1},c_{2})\in (\mathbb {R} _{>0})^{2}:}$

${\displaystyle \operatorname {SH} (\phi ,\psi ,{\tilde {\psi }};c)=\Phi (\phi ;c_{1})\cup \Psi (\psi ;c)\cup {\tilde {\Psi }}({\tilde {\psi }};c),}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\phi ;c_{1})&=\{\phi _{m}=\phi (\cdot {}-c_{1}m)\mid m\in \mathbb {Z} ^{2}\},\\\Psi (\psi ;c)&=\{\psi _{j,k,m}=2^{3j/4}\psi (S_{k}A_{2^{j}}\cdot {}-M_{c}m)\mid j\geq 0,|k|\leq \lceil 2^{j/2}\rceil ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\},\\{\tilde {\Psi }}({\tilde {\psi }};c)&=\{{\tilde {\psi }}_{j,k,m}=2^{3j/4}\psi ({\tilde {S}}_{k}{\tilde {A}}_{2^{j}}\cdot {}-{\tilde {M}}_{c}m)\mid j\geq 0,|k|\leq \lceil 2^{j/2}\rceil ,m\in \mathbb {Z} ^{2}\},\end{aligned}}}$

กับ

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\tilde {A}}_{a}={\begin{bmatrix}a^{1/2}&0\\0&a\end{bmatrix}},\;a>0,\quad {\tilde {S}}_{s}={\begin{bmatrix}1&0\\s&1\end{bmatrix}},\;s\in \mathbb {R} ,\quad M_{c}={\begin{bmatrix}c_{1}&0\\0&c_{2}\end{bmatrix}},\quad {\text{and}}\quad {\tilde {M}}_{c}={\begin{bmatrix}c_{2}&0\\0&c_{1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

ระบบทั้งสองแตกต่างกันโดยพื้นฐานในบทบาทที่กลับกันของและดังนั้นจึงสอดคล้องกับบริเวณรูปกรวยและตามลำดับ สุดท้ายฟังก์ชันการปรับขนาดจะเกี่ยวข้องกับส่วนความถี่ต่ำ ${\displaystyle \Psi (\psi )}$${\displaystyle {\tilde {\Psi }}({\tilde {\psi }})}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {h} }}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {v} }}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

• การประมวลผลภาพและวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์^{[ 5 ]}
  • การลดสัญญาณรบกวน
  • ปัญหาผกผัน
  • การปรับปรุงภาพ
  • การตรวจจับขอบ
  • การลงสีภายใน
  • การแยกภาพ
• สมการอนุพันธ์ย่อย^{[ 5 ]}
  • ความละเอียดของชุดหน้าคลื่น
  • สมการการขนส่ง
• ทฤษฎีโคออร์บิทการกำหนดลักษณะของพื้นที่เรียบ^{[ 5 ]}
• เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ : การเรียนรู้แมนิโฟลด์

• 3D-Shearlets ^{[ 7 ] [ 9 ]}
• ${\displaystyle \alpha }$-เชียร์เล็ต^{[ 7 ]}
• โมเลกุลพาราโบลิก^{[ 10 ]}
• เชียร์เล็ตทรงกระบอก^{[ 11 ] [ 12 ]}

• การแปลงเวฟเล็ต
• การแปลงเคอร์ฟเล็ต
• การแปลงคอนทัวร์เล็ต
• การแปลงแบนเดเล็ต
• การแปลงเสียงร้องของนก
• การแปลง Noiselet

• หน้าแรกของ Gitta Kutyniok
• หน้าแรกของเดเมทริโอ ลาบาเต้