ในพีชคณิตเชิงเส้น เฟรมของปริภูมิผลคูณภายในเป็นการวางนัยทั่วไปของฐานของปริภูมิเวกเตอร์ไปยังเซตที่อาจขึ้นอยู่เชิงเส้นในศัพท์เฉพาะของการประมวลผลสัญญาณเฟรมให้วิธีการแสดงสัญญาณ ที่ซ้ำซ้อนและ เสถียร^{[ 1 ]}เฟรมถูกใช้ในการตรวจจับและแก้ไขข้อผิดพลาดและการออกแบบและการวิเคราะห์ฟิลเตอร์แบงค์ และ ^โดยทั่วไปในคณิตศาสตร์ประยุกต์วิทยาการคอมพิวเตอร์และวิศวกรรม [ ^{2 ]}

เนื่องจากองค์ประกอบทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับเฟรม ทฤษฎีเฟรมจึงมีรากฐานมาจาก การวิเคราะห์ฮา ร์มอนิกและฟังก์ชัน^{ทฤษฎี}ตัวดำเนินการพีชคณิตเชิงเส้นและทฤษฎีเมทริกซ์^{[ 3} ]

การแปลงฟูริเยร์ถูกใช้มานานกว่าศตวรรษในฐานะวิธีการแยกส่วนและขยายสัญญาณ อย่างไรก็ตาม การแปลงฟูริเยร์จะบดบังข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับช่วงเวลาของการปล่อยและระยะเวลาของสัญญาณ ในปี พ.ศ. 2489 เดนนิส กาบอร์สามารถแก้ไขปัญหานี้ได้โดยใช้เทคนิคที่ช่วยลดสัญญาณรบกวน ให้ความยืดหยุ่น และสร้างการควอนไทเซชัน ไปพร้อมๆ กับการเก็บรักษาลักษณะสำคัญของสัญญาณ^{[ 1 ]}การค้นพบนี้ถือเป็นความพยายามร่วมกันครั้งแรกในทฤษฎีเฟรม

เงื่อนไขเฟรมได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยRichard DuffinและAlbert Charles Schaefferในบทความปี 1952 เกี่ยวกับอนุกรมฟูริเยร์ ที่ไม่ใช่ฮาร์มอนิก ในฐานะวิธีการคำนวณสัมประสิทธิ์ในการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ของเซตแผ่ขยายที่ขึ้นอยู่เชิงเส้น (ในศัพท์ของพวกเขาคือ " เฟรม พื้นที่ฮิลเบิร์ต ") ^{[ 4 ]}ในช่วงทศวรรษ 1980 Stéphane Mallat , Ingrid DaubechiesและYves Meyerใช้เฟรมเพื่อวิเคราะห์เวฟเล็ตปัจจุบันเฟรมมีความเกี่ยวข้องกับเวฟเล็ตการประมวล ผลสัญญาณและภาพ และการบีบอัดข้อมูล

สมมติว่าเรามีปริภูมิเวกเตอร์ เหนือฟิลด์ หนึ่ง และเราต้องการแสดงองค์ประกอบใดๆในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์นั่นคือ การหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ทำให้ ${\displaystyle V}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}\subset V}$${\displaystyle \{c_{k}\}\subset F}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}.}$

ถ้าเซตไม่ครอบคลุมแล้วสัมประสิทธิ์ดังกล่าวจะไม่มีอยู่สำหรับทุก ๆถ้าครอบคลุมและเป็นอิสระเชิงเส้น ด้วย เซตนี้จะเป็นฐานของและสัมประสิทธิ์จะถูกกำหนดโดย อย่างไม่ซ้ำกันอย่างไรก็ตาม ถ้าครอบคลุมแต่ ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น คำถามเกี่ยวกับวิธีการกำหนดสัมประสิทธิ์จะมีความชัดเจนน้อยลง โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้ามีมิติอนันต์ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle c_{k}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

เนื่องจากเซตนั้นครอบคลุมเซตย่อยและเป็นอิสระเชิงเส้น กลยุทธ์หนึ่งคือการลบเวกเตอร์ออกจากเซตจนกว่าเซตนั้นจะกลายเป็นอิสระเชิงเส้นและก่อตัวเป็นฐาน อย่างไรก็ตาม แผนการนี้มีปัญหาอยู่บ้าง: ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$${\displaystyle V}$

1. การลบเวกเตอร์ใดๆ ออกจากเซตอาจทำให้เซตนั้นไม่สามารถครอบคลุมได้ก่อนที่จะกลายเป็นอิสระเชิงเส้น${\displaystyle V}$
2. ถึงแม้ว่าจะสามารถคิดค้นวิธีการเฉพาะในการลบเวกเตอร์ออกจากเซตจนกระทั่งกลายเป็นฐานได้ แต่ในทางปฏิบัติแล้ว วิธีการนี้อาจใช้ไม่ได้ผลหากเซตมีขนาดใหญ่หรือเป็นอนันต์
3. ในบางแอปพลิเคชัน การใช้เวกเตอร์มากกว่าที่จำเป็นในการแสดงค่าอาจเป็นข้อดีหมายความว่าเราต้องการหาค่าสัมประสิทธิ์โดยไม่ต้องลบองค์ประกอบในค่าสัมประสิทธิ์จะไม่ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงโดยอีกต่อไปดังนั้น เวกเตอร์จึงสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของ ได้มากกว่าหนึ่งวิธี${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle c_{k}}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$${\displaystyle c_{k}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

ให้เป็นปริภูมิผลคูณภายในและเป็นเซตของเวกเตอร์ในเซตเป็นเฟรมของ ถ้าเป็นไปตาม เงื่อนไขเฟรมที่เรียกว่า นั่นคือ ถ้ามีค่าคงที่สองค่าที่^{[ 5 ]}${\displaystyle V}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\__{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\__{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 0<A\leq B<\infty }$

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \sum _{k\in \mathbb {N} }\left|\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \right|^{2}\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2},\quad \forall \mathbf {v} \in V.}$

เฟรมจะเรียกว่าสมบูรณ์เกินไป (หรือซ้ำซ้อน ) หากไม่ใช่ฐาน Rieszสำหรับปริภูมิเวกเตอร์ ความซ้ำซ้อนของเฟรมจะวัดจากขอบเขตเฟรมล่างและบน (หรือปัจจัยความซ้ำซ้อน ) และตามลำดับ^{[ 6 ]} นั่นคือ เฟรมของเวกเตอร์ปกติในปริภูมิ n มิติจะมีขอบเขตเฟรมที่ตรงตามเงื่อนไข ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle K\geq N}$${\displaystyle \|\mathbf {e} _{k}\|=1}$${\displaystyle N}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle 0<A\leq {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{K}|\langle \mathbf {e} _{k},\mathbf {e} _{k}\rangle |^{2}={\frac {K}{N}}\leq B<\infty .}$

ถ้าเฟรมเป็นฐาน Riesz และเป็นอิสระเชิงเส้นแล้ว. ${\displaystyle A\leq 1\leq B}$

ขอบเขตของกรอบไม่เป็นเอกลักษณ์ เนื่องจากตัวเลขที่น้อยกว่าและมากกว่าก็เป็นขอบเขตของกรอบที่ถูกต้องเช่นกันขอบเขตล่างที่เหมาะสมที่สุดคือค่าสูงสุดของขอบเขตล่างทั้งหมด และขอบเขตบนที่เหมาะสมที่สุดคือค่าต่ำสุดของขอบเขตบนทั้งหมด ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

หากเงื่อนไขเฟรมเป็นไปตามที่กำหนด ตัวดำเนินการเชิงเส้นจะถูกกำหนดเป็น^{[ 7 ]}

${\displaystyle \mathbf {T} :V\to \ell ^{2},\quad \mathbf {v} \mapsto \mathbf {T} \mathbf {v} =\{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e_{k}} \rangle \__{k\in \mathbb {N} },}$

การแมปไปยังลำดับของสัมประสิทธิ์เฟรมเรียกว่าตัวดำเนินการวิเคราะห์โดยใช้คำจำกัดความนี้ เงื่อนไขเฟรมสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้ ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$${\displaystyle c_{k}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e_{k}} \rangle }$

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \left\|\mathbf {T} \mathbf {v} \right\|^{2}=\sum _{k}\left|\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \right|^{2}\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}.}$

ตัวผกผันของตัวดำเนินการวิเคราะห์เรียกว่าตัวดำเนินการสังเคราะห์ของเฟรมและกำหนดเป็น^{[ 8 ]}

${\displaystyle \mathbf {T} ^{*}:\ell ^{2}\to V,\quad \{c_{k}\__{k\in \mathbb {N} }\mapsto \sum _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}.}$

การประกอบกันของตัวดำเนินการวิเคราะห์และตัวดำเนินการสังเคราะห์นำไปสู่ตัวดำเนินการเฟรมซึ่งกำหนดไว้ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {S} :V\rightarrow V,\quad \mathbf {v} \mapsto \mathbf {S} \mathbf {v} =\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.}$

จากนิยามนี้และความเป็นเส้นตรงในอาร์กิวเมนต์แรกของผลคูณภายใน เงื่อนไขเฟรมจึงให้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \left\|\mathbf {T} \mathbf {v} \right\|^{2}=\langle \mathbf {S} \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}.}$

ถ้าตัวดำเนินการวิเคราะห์มีอยู่ ตัวดำเนินการเฟรมและตัวผกผันก็ มีอยู่เช่น กัน ทั้งและเป็น ตัวดำเนินการ บวกแน่นอนมีขอบเขต และสมมาตรในตัวเองส่งผลให้และเป็นค่าต่ำสุดและสูงสุดของสเปกตรัมของ^{[ 9} ] ในมิติจำกัด ตัวดำเนินการเฟรมจะเป็นคลาสร่องรอย โดยอัตโนมัติ โดยและ สอดคล้องกับ ^ค่าลักษณะเฉพาะที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของหรือเทียบเท่ากับค่าเอกลักษณ์ที่เล็กที่สุดและ^ใหญ่ที่สุดของ[ ^{10 ]}${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle \mathbf {S} ^{-1}}$${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle \mathbf {S} ^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle \mathbf {T} }$

เงื่อนไขเฟรมเป็นการขยายความทั่วไปของเอกลักษณ์ของ Parsevalซึ่งรักษาความเท่าเทียมกันของบรรทัดฐานระหว่างสัญญาณในและลำดับของสัมประสิทธิ์ใน ${\displaystyle V}$${\displaystyle \ell ^{2}}$

ถ้าเซตนั้นเป็นเฟรมของมันจะครอบคลุมมิฉะนั้นจะมีอย่างน้อยหนึ่งค่าที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งตั้งฉากกับทุกค่าที่ทำให้ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq 0\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2};}$

ไม่ว่าจะเป็นการละเมิดเงื่อนไขของกรอบหรือข้อสมมติฐานที่ว่า. ${\displaystyle \mathbf {v} \neq 0}$

อย่างไรก็ตาม เซตแผ่คลุมของไม่จำเป็นต้องเป็นเฟรมเสมอไป ตัวอย่างเช่น พิจารณาโดยที่ผลคูณดอทและเซตอนันต์ที่กำหนดโดย ${\displaystyle V}$${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

${\displaystyle \left\{(1,0),\,(0,1),\,\left(0,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),\,\left(0,{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right),\dotsc \right\}.}$

ชุดนี้ครอบคลุมตั้งแต่... ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \sum _{k}\left|\langle \mathbf {e} _{k},(0,1)\rangle \right|^{2}=0+1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dotsb =\infty ,}$

เราไม่สามารถเลือกขอบเขตบนของเฟรมที่มีค่าจำกัดB ได้ ดังนั้น เซตนี้จึงไม่ใช่เฟรม ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

ให้เป็นเฟรมที่สอดคล้องกับเงื่อนไขของเฟรม จากนั้นตัวดำเนินการคู่จะถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

${\displaystyle {\widetilde {\mathbf {T} }}\mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }__{k}\rangle ,}$

กับ

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}=(\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} )^{-1}\mathbf {e} _{k}=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{k},}$

เรียกว่าเฟรมคู่ (หรือเฟรมคู่ควบ ) เป็นเฟรมคู่แบบแคนอนิกของ(คล้ายกับฐานคู่ของฐาน) โดยมีคุณสมบัติว่า^{[ 11 ]}${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tilde {e}} _{k}=\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {\tilde {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k},}$

และสภาพเฟรมที่ตามมา

${\displaystyle {\frac {1}{B}}\|\mathbf {v} \|^{2}\leq \sum _{k}|\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle |^{2}=\langle \mathbf {T} \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} ,\mathbf {T} \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \leq {\frac {1}{A}}\|\mathbf {v} \|^{2},\quad \forall \mathbf {v} \in V.}$

ความเป็นคู่แบบแคนอนิกคือความสัมพันธ์แบบต่างตอบแทน กล่าวคือ ถ้าเฟรมหนึ่งเป็นคู่แบบแคนอนิกของ อีกเฟรมหนึ่ง แล้ว เฟรมนั้นก็จะเป็นคู่แบบแคนอนิก ของอีกเฟรมหนึ่งด้วย เพื่อให้เห็นว่าสิ่งนี้สมเหตุสมผล ให้เป็นสมาชิกของและให้ ${\displaystyle \{\mathbf {\tilde {e}} _{k}\}}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\},}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$${\displaystyle \{\mathbf {\tilde {e}} _{k}\}.}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}.}$

ดังนั้น

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle (\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{k})=\mathbf {S} ^{-1}\left(\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}\right)=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {S} \mathbf {v} =\mathbf {v} ,}$

พิสูจน์ว่า

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}.}$

หรืออีกทางเลือกหนึ่ง ให้

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.}$

การนำคุณสมบัติของและส่วนกลับของมันมาใช้ จะแสดงให้เห็นว่า ${\displaystyle \mathbf {S} }$

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}=\sum _{k}\langle \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}=\mathbf {S} (\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} )=\mathbf {v} ,}$

และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.}$

เฟรมที่สมบูรณ์เกินไป ช่วยให้เรามีอิสระในการเลือกสัมประสิทธิ์ได้บ้างโดยที่นั่นคือ มีเฟรมคู่ของ อยู่ ซึ่ง ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$${\displaystyle c_{k}\neq \langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle }$${\textstyle \mathbf {v} =\sum _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}}$${\displaystyle \{\mathbf {g} _{k}\}\neq \{{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\}}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {g} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k},\quad \forall \mathbf {v} \in V.}$

สมมติว่าเป็นปริภูมิย่อยของปริภูมิฮิลเบิร์ตและให้และเป็นเฟรมและเฟรมคู่ของตามลำดับ ถ้าไม่ขึ้นอยู่กับเฟรมคู่จะคำนวณได้ดังนี้ ${\displaystyle V}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \{{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$${\displaystyle f\in H}$

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}=(\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} _{V})^{-1}\mathbf {e} _{k},}$

โดยที่หมายถึงการจำกัดของไปยังเช่นนั้นจึงสามารถผกผันได้บนการประมาณเชิงเส้นที่ดีที่สุดของใน จะได้จากการฉายภาพเชิงตั้งฉากของไปยังซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle \mathbf {T} _{V}}$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} _{V}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f\in H}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle P_{V}f=\sum _{k}\langle f,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tilde {e}} _{k}=\sum _{k}\langle f,\mathbf {\tilde {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.}$

ตัวดำเนินการสังเคราะห์เฟรมคู่ถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle P_{V}f={\widetilde {\mathbf {T} }}^{*}\mathbf {T} f=(\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} _{V})^{-1}\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} f=\sum _{k}\langle f,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tilde {e}} _{k},}$

และการฉายภาพเชิงตั้งฉากจะคำนวณจากสัมประสิทธิ์ของเฟรมในการวิเคราะห์แบบคู่ การฉายภาพเชิงตั้งฉากจะคำนวณจากดังนี้ ${\displaystyle \langle f,\mathbf {e} _{k}\rangle }$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

${\displaystyle P_{V}f=\mathbf {T} ^{*}{\widetilde {\mathbf {T} }}f=\sum _{k}\langle f,\mathbf {\tilde {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}}$

ด้วยตัว ดำเนินการวิเคราะห์เฟรมคู่^{[ 12 ]}${\displaystyle \{{\widetilde {\mathbf {T} }}f\}_{k}=\langle f,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle }$

ในการประมวลผลสัญญาณเป็นเรื่องปกติที่จะแสดงสัญญาณเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิฮิลเบิร์ตในการตีความนี้ เวกเตอร์ที่แสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เฟรมถือเป็น สัญญาณ ที่ซ้ำซ้อนการแสดงสัญญาณอย่างเคร่งครัดด้วยชุดเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นอาจไม่ใช่รูปแบบที่กระชับที่สุดเสมอไป^{[ 13 ]}การใช้เฟรมทำให้สามารถสร้างการแสดงสัญญาณที่เรียบง่ายและเบาบางกว่าเมื่อเทียบกับตระกูลของสัญญาณพื้นฐาน ดังนั้นเฟรมจึงให้ "ความทนทาน" เนื่องจากเฟรมให้วิธีการสร้างเวกเตอร์เดียวกันภายในปริภูมิ สัญญาณจึงสามารถเข้ารหัสได้หลายวิธี ซึ่งช่วยให้ทนต่อความผิดพลาดและมีความยืดหยุ่นต่อการสูญเสียสัญญาณ สุดท้าย ความซ้ำซ้อนสามารถใช้เพื่อลดสัญญาณรบกวนซึ่งเกี่ยวข้องกับการฟื้นฟู การปรับปรุง และการสร้างสัญญาณขึ้นใหม่

จากการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกเป็นที่ทราบกันว่าระบบตรีโกณมิติเชิงซ้อน ก่อให้เกิดฐานตั้งฉากปกติสำหรับดังนั้น จึงเป็นกรอบ (แน่น) สำหรับที่มีขอบเขต^{[ 14 ]}${\textstyle \{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{ikx}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$${\textstyle \{e^{ikx}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$${\displaystyle A=B=2\pi }$

ระบบยังคงเสถียรภายใต้การรบกวนที่ "เล็กพอ" และกรอบอ้างอิงจะก่อให้เกิดฐาน Riesz สำหรับดังนั้น ทุกฟังก์ชันในจะมีการแสดง อนุกรมฟูริเยร์แบบไม่ฮาร์มอนิกที่ไม่ ซ้ำกัน${\displaystyle \{\lambda _{k}-k\}}$${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$${\displaystyle f}$${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{k}e^{i\lambda _{k}x},}$

โดยและเรียกว่าเฟรมฟูริเยร์ (หรือเฟรมของเลขชี้กำลัง ) สิ่งที่ถือว่า "เล็กพอ" นั้นอธิบายได้ด้วยทฤษฎีบทต่อไปนี้ ซึ่งตั้งชื่อตามมิคาอิล คาเดตส์^{[ 15 ]}${\textstyle \sum |c_{k}|^{2}<\infty }$${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$

ทฤษฎีบทนี้สามารถขยายไปยังเฟรมได้อย่างง่ายดาย โดยแทนที่จำนวนเต็มด้วยลำดับของจำนวนจริงอื่น ๆดังนี้^{[ 16 ] [ 17 ]}${\textstyle \{\mu _{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$

${\displaystyle |\lambda _{k}-\mu _{k}|\leq L<{\frac {1}{4}},\quad \forall k\in \mathbb {Z} ,\quad {\text{and}}\quad 1-\cos(\pi L)+\sin(\pi L)<{\sqrt {\frac {A}{B}}},}$

จากนั้นจะเป็นกรอบที่มีขอบเขต ${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$

${\displaystyle A(1-{\sqrt {\frac {B}{A}}}(1-\cos(\pi L)+\sin(\pi L)))^{2},\quad B(2-\cos(\pi L)+\sin(\pi L))^{2}.}$

การมีเฟรมซ้ำซ้อนนั้นมีประโยชน์ในการลดสัญญาณรบกวนที่เกิดจากสัมประสิทธิ์ของเฟรม ให้แทนเวกเตอร์ที่คำนวณด้วยสัมประสิทธิ์ของเฟรมที่มีสัญญาณรบกวน จากนั้นสัญญาณรบกวนจะถูกลดทอนลงโดยการฉายภาพ ลงบนภาพของ${\displaystyle \mathbf {a} \in \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {T} }$

พื้นที่ลำดับและ(เช่น) เป็นพื้นที่ฮิลเบิร์ตเคอร์เนลที่สร้างซ้ำได้โดยมีเคอร์เนลที่กำหนดโดยเมทริกซ์[ ^{9 ] ด้วย}เหตุนี้ สมการข้างต้นจึงเรียกว่าสมการเคอร์เนลที่สร้างซ้ำได้ และแสดงถึงความซ้ำซ้อนของสัมประสิทธิ์เฟรม^{[ 18 ]}${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle \operatorname {im} (\mathbf {T} )}$${\displaystyle \operatorname {im} (\mathbf {T} )\subseteq \ell ^{2}}$${\displaystyle M_{k,p}=\langle \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{p},\mathbf {e} _{k}\rangle }$

เฟรมหนึ่งเรียกว่าเฟรมแน่นถ้าเฟรมแน่นที่มีขอบเขตเฟรมจะมีคุณสมบัติว่า ${\displaystyle A=B}$${\textstyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k=1}^{\infty }}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{A}}\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k},\quad \forall \mathbf {v} \in V.}$

ตัวอย่างเช่น การรวมกันของฐานออร์โทนอร์มอลที่ไม่ทับซ้อนกันของปริภูมิเวกเตอร์คือเฟรมแน่นที่สมบูรณ์เกินไป ที่มี เฟรมแน่นเป็นเฟรม Parsevalถ้า[ ^{19 ]}ฐานออร์โทนอร์มอลแต่ละฐานเป็นเฟรม Parseval (สมบูรณ์) แต่ในทางกลับกันไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอ^{ไป[ 20 ]}${\displaystyle k}$${\displaystyle A=B=k}$${\displaystyle A=B=1}$

เฟรมเป็นเฟรมบรรทัดฐานเท่ากันถ้ามีค่าคงที่เช่นนั้นสำหรับแต่ละเฟรมบรรทัดฐานเท่ากันเป็นเฟรมมาตรฐาน (บางครั้งเรียกว่าเฟรมบรรทัดฐานหน่วย ) ถ้า[ ^{21 ] เฟรม} Parseval บรรทัดฐานหน่วยเป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติ เฟรมดังกล่าวเป็นไปตามเอกลักษณ์ของ Parseval ${\displaystyle c}$${\displaystyle \|\mathbf {e} _{k}\|=c}$${\displaystyle k}$${\displaystyle c=1}$

เฟรมเป็นเฟรมมุมเท่ากันถ้ามีค่าคงที่ที่ทำให้สำหรับทุก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฐานตั้งฉากปกติทุกฐานเป็นฐานมุมเท่ากัน^{[ 22 ]}${\displaystyle c}$${\displaystyle |\langle \mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\rangle |=c}$${\displaystyle i\neq j}$

เฟรมจะเป็นเฟรมที่แน่นอนก็ต่อเมื่อไม่มีเซตย่อยที่แท้จริงของเฟรมนั้นครอบคลุมปริภูมิผลคูณภายใน ฐานแต่ละฐานสำหรับปริภูมิผลคูณภายในเป็นเฟรมที่แน่นอนสำหรับปริภูมินั้น (ดังนั้นฐานจึงเป็นกรณีพิเศษของเฟรม)

บางครั้งอาจไม่สามารถปฏิบัติตามขอบเขตเฟรมทั้งสองพร้อมกันได้ เฟรมกึ่งบน (หรือเฟรมกึ่งล่าง) คือเซตที่ตรงตามอสมการเฟรมบน (หรือเฟรมกึ่งล่าง) เท่านั้น^{[ 9 ]}ลำดับเบสเซลเป็นตัวอย่างของเซตของเวกเตอร์ที่ตรงตามอสมการเฟรมบนเท่านั้น

สำหรับการสร้างเวกเตอร์ขึ้นใหม่จากสัมประสิทธิ์นั้นเพียงพอแล้วหากมีค่าคงที่อยู่ค่าหนึ่งซึ่งทำให้ ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$${\displaystyle \{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \}_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle A>0}$

${\displaystyle A\|x-y\|^{2}\leq \|Tx-Ty\|^{2},\quad \forall x,y\in V.}$

โดยการกำหนดและใช้ความเป็นเชิงเส้นของตัวดำเนินการวิเคราะห์ เงื่อนไขนี้จะเทียบเท่ากับ: ${\displaystyle \mathbf {v} =x-y}$

${\displaystyle A\|\mathbf {v} \|^{2}\leq \|T\mathbf {v} \|^{2},\quad \forall \mathbf {v} \in V,}$

ซึ่งก็คือเงื่อนไขขอบเขตล่างของเฟรมนั่นเอง

เฟรมฟิวชั่นนั้นเข้าใจได้ดีที่สุดว่าเป็นส่วนขยายของตัวดำเนินการสังเคราะห์และวิเคราะห์เฟรมคู่ โดยแทนที่จะพิจารณาเพียงซับสเปซเดียว จะพิจารณา ชุดของซับสเปซปิดที่มีน้ำหนักสเกลาร์เป็นบวก เฟรมฟิวชั่นคือตระกูลที่ตรงตามเงื่อนไขของเฟรม ${\displaystyle V\subseteq H}$${\displaystyle \{W_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }\subseteq H}$${\displaystyle \{w_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \{W_{i},w_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle A\|f\|^{2}\leq \sum _{i}w_{i}^{2}\|P_{W_{i}}f\|^{2}\leq B\|f\|^{2},\quad \forall f\in H,}$

โดยที่แสดงถึงการฉายภาพเชิงตั้งฉากบนปริภูมิย่อย^{[ 23 ]}${\displaystyle P_{W_{i}}}$${\displaystyle W_{i}}$

สมมติให้เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตเป็นปริภูมิกระชับเฉพาะที่และเป็นมาตรวัดบอเรล จำกัดเฉพาะที่ บนแล้วเซตของเวกเตอร์ในที่มีมาตรวัดจะเรียกว่าเป็นเฟรมต่อเนื่อง ถ้ามีค่าคงที่ อยู่จริงโดยที่ ${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \{f_{x}\}_{x\in X}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle 0<A\leq B}$

${\displaystyle A||f||^{2}\leq \int _{X}|\langle f,f_{x}\rangle |^{2}d\mu (x)\leq B||f||^{2},\quad \forall f\in H.}$

เพื่อให้เห็นว่าเฟรมต่อเนื่องนั้นเป็นการขยายความตามธรรมชาติของเฟรมที่กล่าวถึงข้างต้น ให้พิจารณาเซตแบบไม่ต่อเนื่องและมาตรวัดโดยที่คือมาตรวัดของ Diracจากนั้นเงื่อนไขเฟรมต่อเนื่องจะลดลงเหลือ ${\displaystyle \Lambda \subset X}$${\displaystyle \mu =\delta _{\Lambda }}$${\displaystyle \delta _{\Lambda }}$

${\displaystyle A||f||^{2}\leq \sum _{\lambda \in \Lambda }|\langle f,f_{\lambda }\rangle |^{2}\leq B||f||^{2},\quad \forall f\in H.}$

เช่นเดียวกับในกรณีแบบไม่ต่อเนื่อง เราสามารถกำหนดตัวดำเนินการวิเคราะห์ สังเคราะห์ และเฟรมได้เมื่อจัดการกับเฟรมแบบต่อเนื่อง

เมื่อกำหนดกรอบต่อเนื่องตัวดำเนินการวิเคราะห์ต่อเนื่องคือตัวดำเนินการที่แมปไปยังฟังก์ชันบนกรอบที่กำหนดดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \{f_{x}\}_{x\in X}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle T:H\to L^{2}(X,\mu )}$โดย. ${\displaystyle f\mapsto \langle f,f_{x}\rangle _{x\in X}}$

ตัวดำเนินการผกผันของตัวดำเนินการวิเคราะห์ต่อเนื่องคือตัวดำเนินการสังเคราะห์ต่อเนื่องซึ่งก็คือแผนที่

${\displaystyle T^{*}:L^{2}(X,\mu )\to H}$โดย.${\displaystyle a_{x}\mapsto \int _{X}a_{x}f_{x}d\mu (x)}$

ตัวดำเนินการวิเคราะห์ต่อเนื่องและตัวดำเนินการสังเคราะห์ต่อเนื่องรวมกันเรียกว่า ตัวดำเนินการเฟรมต่อเนื่อง สำหรับเฟรมต่อเนื่องนั้น กำหนดไว้ดังนี้: ${\displaystyle \{f_{x}\}_{x\in X}}$

${\displaystyle S:H\to H}$โดย${\displaystyle Sf:=\int _{X}\langle f,f_{x}\rangle f_{x}d\mu (x).}$

ในกรณีนี้ โปรเจ็กเตอร์เฟรมต่อเนื่องคือการฉายภาพเชิงตั้งฉากที่กำหนดโดย ${\displaystyle P:L^{2}(x,\mu )\to \operatorname {im} (T)}$

${\displaystyle P:=TS^{-1}T^{*}.}$

โปรเจ็กเตอร์เป็นตัวดำเนินการอิน ทิกรัล ที่มีเคอร์เนลแบบสร้างซ้ำดังนั้นจึงเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตเคอร์เนลแบบสร้างซ้ำ^{[ 9 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle K(x,y)=\langle S^{-1}f_{x},f_{y}\rangle }$${\displaystyle \operatorname {im} (T)}$

กำหนดให้เฟรมต่อเนื่องและเฟรมต่อเนื่องอีกเฟรมหนึ่งแล้ว จะเรียกว่าเป็นเฟรมคู่ต่อเนื่องของถ้าเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้สำหรับทุก: ${\displaystyle \{f_{x}\}_{x\in X}}$${\displaystyle \{g_{x}\}_{x\in X}}$${\displaystyle \{g_{x}\}_{x\in X}}$${\displaystyle \{f_{x}\}}$${\displaystyle f,h\in H}$

${\displaystyle \langle f,h\rangle =\int _{X}\langle f,f_{x}\rangle \langle g_{x},h\rangle d\mu (x).}$

เช่นเดียวกับที่เฟรมเป็นการขยายความตามธรรมชาติของฐานไปยังเซตที่อาจขึ้นอยู่กันเชิงเส้นการวัดค่าตัวดำเนินการเชิงบวก (POVM) ก็เป็นการขยายความตามธรรมชาติของการวัดค่าการฉายภาพ (PVM) ในแง่ที่ว่าองค์ประกอบของ POVM ไม่จำเป็นต้องเป็นการฉายภาพเชิงตั้งฉากเสมอไป

สมมติว่าเป็นปริภูมิที่วัดได้ซึ่งมี พีชคณิต บอเรล σบนและให้เป็น POVM จากไปยังปริภูมิของตัวดำเนินการบวกบนโดยมีคุณสมบัติเพิ่มเติมว่า ${\displaystyle (X,M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle M}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle 0<AI\leq F(M)\leq BI<\infty ,}$

โดยที่ตัวดำเนินการเอกลักษณ์คือ จากนั้นเรียกว่าPOVM แบบมีกรอบ^{[ 23 ]}${\displaystyle I}$${\displaystyle F}$

ในกรณีที่เกิดภาวะเฟรมเชื่อมต่อกัน จะทำให้สามารถทำการทดแทนได้

${\displaystyle F(m)=\sum _{i\in m}w_{i}P_{W_{i}},\quad m\in M.}$

สำหรับตัวดำเนินการเฟรมต่อเนื่อง POVM ที่มีเฟรมจะเป็น^{[ 24 ]}

${\displaystyle \langle F(M)f_{x},f_{y}\rangle =\int _{M}\langle Sf_{x},f_{y}\rangle d\mu (x).}$

• เฟรมk
• เวฟเล็ตไบออร์โธโกนอล
• เวฟเล็ตเชิงตั้งฉาก
• คุณสมบัติไอโซเมตรีแบบจำกัด
• ฐานชอเดอร์
• การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก
• การวิเคราะห์ฟูริเยร์
• การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน