ฟังก์ชัน Dirichlet

ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันDirichlet ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}เป็นฟังก์ชันบ่งชี้ ของเซตของจำนวนตรรกยะเหนือเซตของจำนวนจริงกล่าวคือสำหรับจำนวนจริง $x$ ถ้า $x$ เป็นจำนวนตรรกยะ และถ้า $x$ ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ (กล่าวคือ เป็นจำนวนอตรรกยะ ) $\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=1$ $\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=0$ $\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\notin \mathbb {Q} \end{cases}}$

ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์Peter Gustav Lejeune Dirichlet [ ^{3 ] เป็น}ตัวอย่างของฟังก์ชันที่ผิดปกติซึ่งให้ตัวอย่างคัดค้านในหลายสถานการณ์

คุณสมบัติทางทอพอโลยี

ฟังก์ชัน Dirichlet ไม่ต่อเนื่องที่ใดเลยเราสามารถพิสูจน์ได้โดยอ้างอิงจากนิยามของฟังก์ชันต่อเนื่องซึ่งแสดงให้เห็นว่ามันละเมิดคุณสมบัติความต่อเนื่องทั้งในจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ:
การพิสูจน์
- ถ้า $y$ เป็นจำนวนตรรกยะ แล้ว $f (y) = 1$ เพื่อแสดงว่าฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องที่ $y$ เราต้องหาค่า $ε$ ที่ทำให้ไม่ว่าเราจะเลือก $δ$ ให้เล็กแค่ไหน ก็ จะมีจุด $z$ ภายใน $ระยะ δ$ จาก $y$ ที่ทำให้ $f (z)$ ไม่อยู่ภายใน $ระยะ ε$ จาก $f (y) = 1$ อันที่จริง1/2ก็เป็นค่า ε ดังกล่าว $เนื่องจาก$ จำนวนอตรรกยะมีความหนาแน่นในจำนวนจริง ไม่ว่า เราจะเลือก $δ ค่า ใด เราก็สามารถหาจุด$ $z$ ที่เป็นอตรรกยะภายในระยะ $δ$ จาก $y$ ได้เสมอ และ $f (z) = 0$ จะ อยู่ห่างจาก 1 อย่างน้อย1/2
- ถ้า $y$ เป็นจำนวนอตรรกยะ แล้ว $f (y) = 0$ อีกครั้ง เราสามารถใช้ $ε = 1/2$ และในครั้งนี้ เนื่องจากจำนวนตรรกยะมีความหนาแน่นในจำนวนจริง เราจึงสามารถเลือก $z$ $ให้$ เป็นจำนวนตรรกยะที่ใกล้เคียงกับ $y$ มากที่สุด เท่าที่ต้องการได้ อีกครั้ง $f$ $(z) = 1$ อยู่ห่างจาก $f$ $($ $y$ $)$ = 0มากกว่า1/2
ข้อจำกัดของฟังก์ชันนี้ต่อเซตของจำนวนตรรกยะและเซตของจำนวนอตรรกยะเป็นค่าคงที่ดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ฟังก์ชันดิริชเลต์เป็นตัวอย่างต้นแบบของทฤษฎีบทบลัมเบิร์ก
ฟังก์ชัน Dirichlet สามารถสร้างได้เป็นลิมิตแบบจุดคู่ของลำดับของฟังก์ชันต่อเนื่อง ดังนี้: สำหรับจำนวนเต็ม $j$ และ $k$ สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชัน Dirichlet เป็น ฟังก์ชัน Baire class 2 ไม่สามารถเป็นฟังก์ชัน Baire class 1 ได้ เพราะฟังก์ชัน Baire class 1 จะไม่ต่อเนื่องได้เฉพาะบนเซตที่จำกัดเท่านั้น^[⁴^] $\forall x\in \mathbb {R} ,\quad \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty }\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)$

ความเป็นคาบ

สำหรับจำนวนจริง $x$ ใดๆ และจำนวนตรรกยะบวก T ใดๆฟังก์ชัน $Dirichlet$ จึงเป็นตัวอย่างของฟังก์ชันคาบ จริง ที่ไม่คงที่ แต่เซตของคาบ ซึ่ง ก็ คือเซตของจำนวนตรรกยะ เป็นเซตย่อยหนาแน่นของ $\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x+T)=\mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)$ $\mathbb {R}$

คุณสมบัติการบูรณาการ

ฟังก์ชัน Dirichlet ไม่สามารถหาปริพันธ์แบบ Riemann ได้บนส่วนใด ๆ ของถึงแม้ว่าจะมีขอบเขตจำกัดก็ตาม เนื่องจากเซตของจุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันนั้นไม่สามารถละเลยได้ (สำหรับการวัดแบบ Lebesgue ) $\mathbb {R}$
ฟังก์ชัน Dirichlet มีทั้งปริพันธ์ Darboux บน (กล่าวคือ) และปริพันธ์ Darboux ล่าง (0) เหนือช่วงจำกัดใดๆ— แต่ปริพันธ์ทั้งสองจะไม่เท่ากันหากดังนั้นฟังก์ชัน Dirichlet จึงไม่สามารถหาปริพันธ์ Darboux ได้ (และด้วยเหตุนี้จึงไม่สามารถหาปริพันธ์ Riemann ได้) เหนือช่วงที่ไม่เสื่อมสภาพใดๆ $ba$ $[a,b]$ $a<b$
ฟังก์ชัน Dirichlet เป็นตัวอย่างค้านที่แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบโมโนโทนไม่เป็นจริงในบริบทของปริพันธ์ Riemann
การพิสูจน์
โดยใช้การแจงนับจำนวนตรรกยะระหว่าง 0 ถึง 1 เรากำหนดฟังก์ชัน $f n$ (สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ $n$ ทุกตัว ) เป็นฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตของพจน์ $n$ พจน์แรกของลำดับจำนวนตรรกยะนี้ ลำดับของฟังก์ชัน $f n$ ที่เพิ่มขึ้น (ซึ่งเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ หาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้ และมีค่าอินทิกรัลเป็นศูนย์) จะลู่เข้าสู่ฟังก์ชันดิริชเลต์แบบจุดต่อจุด ซึ่งไม่สามารถหาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้
ฟังก์ชัน Dirichlet สามารถหาปริพันธ์แบบ Lebesgue ได้บนและปริพันธ์ของฟังก์ชันนี้บนมีค่าเป็นศูนย์ เนื่องจากปริพันธ์มีค่าเป็นศูนย์ ยกเว้นบนเซตของจำนวนตรรกยะ ซึ่งมีค่าน้อยมากจนสามารถละเลยได้ (สำหรับการวัดแบบ Lebesgue) $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

ดูเพิ่มเติม

ฟังก์ชันของ Thomaeเป็นรูปแบบที่ไม่ต่อเนื่องเฉพาะที่จำนวนตรรกยะเท่านั้น

[ 1 ]

[ 2 ]

3 ] เป็น

[

ฟังก์ชัน Dirichlet

คุณสมบัติทางทอพอโลยี

ความเป็นคาบ

คุณสมบัติการบูรณาการ

ดูเพิ่มเติม

ข้อมูลสำคัญจากบทความ