ในทางคณิตศาสตร์ลิมิตล่างและลิมิตบน (หรือlimes inferiorและlimes superior ) ของลำดับสามารถคิดได้ว่าเป็นขอบเขตจำกัด (กล่าวคือ ขอบเขตสุดท้ายและขอบเขตสุดขีด) ของลำดับนั้น สามารถคิดในทำนองเดียวกันสำหรับฟังก์ชันได้ (ดูลิมิตของฟังก์ชัน ) สำหรับเซต ลิมิต ล่างและลิมิต บนคือค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของจุดลิมิต ของเซต ตามลำดับ โดยทั่วไป เมื่อมีวัตถุหลายชิ้นที่ลำดับ ฟังก์ชัน หรือเซตสะสมอยู่ ลิมิตล่างและลิมิตบนจะดึงค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดออกมา ประเภทของวัตถุและการวัดขนาดขึ้นอยู่กับบริบท แต่แนวคิดของลิมิตสุดขีดนั้นไม่เปลี่ยนแปลง ลิมิตล่างเรียกอีกอย่างว่าinfimum limit , limit infimum , liminf , inferior limit , lower limitหรือinner limit ; ลิมิตบนเรียกอีกอย่างว่าsupremum limit , limit supremum , limsup , superior limit , upper limitหรือouter limit

ลิมิตล่างของลำดับจะใช้สัญลักษณ์ และลิมิตบนของลำดับจะใช้สัญลักษณ์ ${\displaystyle (x_{n})}$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{หรือ}}\quad \varliminf _{n\to \infty }x_{n},}$$${\displaystyle (x_{n})}$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{หรือ}}\quad \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}.}$$

เดอะค่าลิมิตล่างของลำดับถูกกำหนดโดย หรือ ${\displaystyle (x_{n})}$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }\!{\Big (}\inf _{m\geq n}x_{m}{\Big )}}$$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{m\geq n}x_{m}=\sup \,\{\,\inf \,\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.}$$

ในทำนองเดียวกันขีดจำกัดเหนือกว่าถูกกำหนดโดย หรือ ${\displaystyle (x_{n})}$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }\!{\Big (}\sup _{m\geq n}x_{m}{\Big )}}$$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{m\geq n}x_{m}=\inf \,\{\,\sup \,\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.}$$

หรืออีกทางเลือกหนึ่ง บางครั้งอาจใช้ สัญลักษณ์และ แทน${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }x_{n}:=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}:=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$

ขีดจำกัดบนและล่างสามารถกำหนดได้อย่างเทียบเท่าโดยใช้แนวคิดของขีดจำกัดต่อเนื่องของลำดับ^{[ 1} ] องค์ประกอบของจำนวนจริงที่ขยายเป็นขีดจำกัดต่อเนื่องของถ้ามีลำดับจำนวนธรรมชาติ^ที่ เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด เช่นนั้นถ้าเป็นเซตของขีดจำกัดต่อเนื่องทั้งหมดของแล้ว ${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle (n_{k})}$${\displaystyle \xi =\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}}$${\displaystyle E\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=\sup E}$

และ

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\inf E.}$

ถ้าพจน์ในลำดับเป็นจำนวนจริงลิมิตบนและลิมิตล่างจะมีอยู่เสมอ เนื่องจากจำนวนจริงรวมกับ ±∞ (กล่าวคือเส้นจำนวนจริงที่ขยายออกไป ) เป็นจำนวนสมบูรณ์โดยทั่วไปแล้ว นิยามเหล่านี้มีความหมายในเซตที่มีลำดับบางส่วน ใดๆ ก็ตาม ตราบ ใดที่ ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดมีอยู่ เช่น ใน แลตทิ ซ สมบูรณ์

เมื่อใดก็ตามที่ลิมิตปกติมีอยู่ ลิมิตล่างและลิมิตบนก็จะเท่ากับลิมิตปกติ ดังนั้น ลิมิตทั้งสองจึงถือได้ว่าเป็นการขยายความของลิมิตปกติ ซึ่งมีความน่าสนใจเป็นพิเศษในกรณีที่ลิมิตไม่มีอยู่โดยทั่วไปแล้ว

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}.}$

ลิมิตล่างและลิมิตบนมีความเกี่ยวข้องกับสัญกรณ์บิ๊กโอตรงที่มันจำกัดลำดับได้เฉพาะ "ในลิมิต" เท่านั้น ลำดับอาจเกินขอบเขตได้ อย่างไรก็ตาม ในสัญกรณ์บิ๊กโอ ลำดับจะเกินขอบเขตได้เฉพาะในส่วนนำหน้าจำกัดของลำดับเท่านั้น ในขณะที่ลิมิตบนของลำดับเช่น e ^{− n}อาจน้อยกว่าทุกองค์ประกอบของลำดับก็ได้ ข้อแม้เพียงอย่างเดียวคือ ส่วนท้ายของลำดับบางส่วนสามารถถูกจำกัดบนด้วยลิมิตบนบวกกับค่าคงที่บวกที่เล็กมาก ๆ และถูกจำกัดล่างด้วยลิมิตล่างลบด้วยค่าคงที่บวกที่เล็กมาก ๆ

ลิมิตบนและลิมิตล่างของลำดับเป็นกรณีพิเศษของลิมิตบนและลิมิตล่างของฟังก์ชัน (ดูด้านล่าง)

ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ลิมิตบนและลิมิตล่างเป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับการศึกษาลำดับของจำนวนจริงเนื่องจากค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของเซตจำนวนจริงที่ไม่มีขอบเขตอาจไม่มีอยู่จริง (จำนวนจริงไม่ใช่แลตทิซที่สมบูรณ์) จึงสะดวกที่จะพิจารณาลำดับในระบบจำนวนจริงที่ขยายแบบแอฟฟิน : เราเพิ่มอนันต์บวกและอนันต์ลบเข้าไปในเส้นจำนวนจริงเพื่อให้ได้เซตที่มีลำดับ สมบูรณ์ [−∞,∞] ซึ่งเป็นแลตทิซที่สมบูรณ์

พิจารณาลำดับที่ประกอบด้วยจำนวนจริง สมมติว่าลิมิตบนและลิมิตล่างเป็นจำนวนจริง (ไม่ใช่ค่าอนันต์) ${\displaystyle (x_{n})}$

• ลิมิตสูงสุดของลำดับคือจำนวนจริงที่เล็กที่สุดที่ทำให้ สำหรับจำนวนจริงบวกใดๆจะมีจำนวนธรรมชาติอยู่จำนวนหนึ่งที่ทำให้สำหรับทุกกล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนใดๆ ที่มากกว่าลิมิตสูงสุดจะเป็นขอบเขตบนสุดท้ายของลำดับ มีเพียงจำนวนจำกัดของสมาชิกในลำดับเท่านั้นที่มากกว่า${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle N}$${\displaystyle x_{n}<b+\varepsilon }$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle b+\varepsilon }$
• ลิมิตล่างของลำดับคือจำนวนจริงที่มากที่สุดที่ทำให้ สำหรับจำนวนจริงบวกใดๆจะมีจำนวนธรรมชาติที่ทำให้สำหรับทุกกล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนใดๆ ที่ต่ำกว่าลิมิตล่างจะเป็นขอบล่างสุดท้ายของลำดับ มีเพียงจำนวนจำกัดของสมาชิกในลำดับเท่านั้นที่น้อยกว่า${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle N}$${\displaystyle x_{n}>b-\varepsilon }$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle b-\varepsilon }$

ความสัมพันธ์ระหว่างลิมิตล่างและลิมิตบนสำหรับลำดับของจำนวนจริงมีดังนี้: $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(-x_{n}\right)=-\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$$

ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ การขยาย ไปยังนั้นสะดวกกว่าจากนั้นจะลู่เข้า ก็ต่อ เมื่อ ซึ่ง ในกรณีนี้จะเท่ากับค่าร่วมของพวกมัน (โปรดทราบว่าเมื่อทำงานเฉพาะในการลู่เข้าสู่หรือจะไม่ถือว่าเป็นการลู่เข้า) เนื่องจากลิมิตล่างมีค่าไม่เกินลิมิตบน เงื่อนไขต่อไปนี้จึงเป็นจริง${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle [-\infty ,\infty ].}$${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\liminf _{n\to \infty }x_{n}&=\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ,\\[0.3ex]\limsup _{n\to \infty }x_{n}&=-\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty .\end{alignedat}}}$$

ถ้าและแล้วช่วงนั้นไม่จำเป็นต้องมีตัวเลขใดๆ อยู่แต่การขยายเล็กน้อยสำหรับค่าที่เล็กมากตามอำเภอใจจะครอบคลุมตัวเลขทั้งหมด ยกเว้นดัชนีจำนวนจำกัดเท่านั้นอันที่จริง ช่วงนั้นเป็นช่วงปิดที่เล็กที่สุดที่มีคุณสมบัตินี้ เราสามารถกำหนดคุณสมบัตินี้อย่างเป็นทางการได้ดังนี้: มีลำดับย่อยและของ(โดยที่และเป็นลำดับที่เพิ่มขึ้น) ซึ่งเรามี${\displaystyle I=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle S=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle [I,S]}$${\displaystyle x_{n},}$${\displaystyle [I-\epsilon ,S+\epsilon ],}$${\displaystyle \epsilon >0,}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle [I,S]}$${\displaystyle x_{k_{n}}}$${\displaystyle x_{h_{n}}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle k_{n}}$${\displaystyle h_{n}}$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon >x_{h_{n}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{k_{n}}>\limsup _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon }$$

ในทางกลับกัน มีอยู่จริงที่ทำให้สำหรับทุกๆ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n\geq n_{0}}$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon <x_{n}<\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon }$$

สรุปได้ดังนี้:

• ถ้ามีค่ามากกว่าขีดจำกัดบน จะมีค่ามากกว่าอยู่จำนวนจำกัดเท่านั้นแต่ถ้ามีค่าน้อยกว่า จะมีค่ามากกว่าอยู่จำนวนอนันต์${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \Lambda ;}$
• ถ้ามีค่าน้อยกว่าขีดจำกัดล่าง จะมีค่าน้อยกว่าอยู่จำนวนจำกัดเท่านั้น แต่ ถ้ามีค่ามากกว่า จะมี ค่าน้อยกว่าอยู่จำนวนอนันต์${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \lambda ;}$

ในทางกลับกัน ก็สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า:

• ถ้ามีจำนวนอนันต์ที่มากกว่าหรือเท่ากับ แล้วจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับค่าสูงสุดของลิมิต แต่ถ้ามีจำนวนจำกัดที่มากกว่าแล้วจะมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับค่าสูงสุดของลิมิต${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Lambda }$
• ถ้ามีจำนวนอนันต์ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ แล้วจะมากกว่าหรือเท่ากับลิมิตล่าง ถ้ามีจำนวนจำกัดที่น้อยกว่าแล้วจะน้อยกว่าหรือเท่ากับลิมิตล่าง^{[ 2 ]}${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

โดยทั่วไปliminf และ limsup ของลำดับจะเป็นจุดคลัสเตอร์ ที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุด ตาม ลำดับ ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \inf _{n}x_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}\leq \sup _{n}x_{n}.}$$

• สำหรับลำดับของจำนวนจริงสองลำดับใดๆลิมิตบนจะสอดคล้องกับคุณสมบัติการบวกย่อยเมื่อใดก็ตามที่ด้านขวาของอสมการถูกกำหนด (นั่นคือ ไม่ใช่หรือ):${\displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$${\displaystyle \infty -\infty }$${\displaystyle -\infty +\infty }$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}+\ \limsup _{n\to \infty }b_{n}.}$$

ในทำนองเดียวกัน ลิมิตที่ต่ำกว่าจะสอดคล้องกับคุณสมบัติการบวกยิ่งยวด : ในกรณีเฉพาะที่ลำดับหนึ่งลู่เข้าจริง ๆ เช่นแล้วอสมการข้างต้นจะกลายเป็นสมการ (โดยที่หรือถูกแทนที่ด้วย) $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\geq \liminf _{n\to \infty }a_{n}+\ \liminf _{n\to \infty }b_{n}.}$$${\displaystyle a_{n}\to a,}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }a_{n}}$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}}$${\displaystyle a}$

• สำหรับลำดับจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบสองลำดับใดๆอสมการและ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\leq \left(\limsup _{n\to \infty }a_{n}\!\right)\!\!\left(\limsup _{n\to \infty }b_{n}\!\right)}$$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\geq \left(\liminf _{n\to \infty }a_{n}\right)\!\!\left(\liminf _{n\to \infty }b_{n}\right)}$$

ถือไว้เมื่อใดก็ตามที่ด้านขวามือไม่ได้อยู่ในรูปแบบที่กำหนด${\displaystyle 0\cdot \infty .}$

ถ้ามีอยู่ (รวมถึงกรณีนั้นด้วย) และโดยที่ไม่ได้อยู่ในรูปแบบนั้น${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A}$${\displaystyle A=+\infty }$${\displaystyle B=\limsup _{n\to \infty }b_{n},}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(a_{n}b_{n}\right)=AB}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle 0\cdot \infty .}$

• ยกตัวอย่างเช่น พิจารณาลำดับที่กำหนดโดย ฟังก์ชัน ไซน์ : โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าπเป็นจำนวนอตรรกยะจะได้ว่าและ(เนื่องจากลำดับนี้มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ mod 2πซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบทการกระจายอย่างสม่ำเสมอ )${\displaystyle x_{n}=\sin(n).}$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=-1}$$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=+1.}$$${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}$

• ตัวอย่างจากทฤษฎีจำนวนคือโดยที่คือจำนวนเฉพาะ ลำดับ ที่$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(p_{n+1}-p_{n}),}$$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle n}$

ค่าของขีดจำกัดล่างนี้คาดว่าจะเป็น 2 – นี่คือสมมติฐานจำนวนเฉพาะคู่แฝด – แต่ ณ เดือนเมษายน 2557 ได้รับการพิสูจน์ แล้ว ว่ามีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 246 เท่านั้น^{[ 4 ]}ขีดจำกัดบนที่สอดคล้องกันคือเนื่องจากมีช่องว่างขนาดใหญ่มากระหว่างจำนวนเฉพาะที่ต่อเนื่องกัน${\displaystyle +\infty }$

สมมติว่าฟังก์ชันถูกกำหนดจากเซตย่อยของจำนวนจริงไปยังจำนวนจริง เช่นเดียวกับกรณีของลำดับ ลิมิตล่างและลิมิตบนจะถูกกำหนดไว้อย่างดีเสมอหากเราอนุญาตให้มีค่า +∞ และ −∞ ในความเป็นจริง หากทั้งสองสอดคล้องกัน ลิมิตจะมีอยู่และเท่ากับค่าร่วมกัน (ซึ่งอาจรวมถึงอนันต์ด้วย) ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดเราจะได้และความแตกต่างระหว่างทั้งสองเป็นการวัดคร่าวๆ ว่าฟังก์ชันแกว่ง "อย่างรุนแรง" เพียงใด และจากการสังเกตข้อเท็จจริงนี้ จึงเรียกว่าการแกว่งของfที่ 0 แนวคิดของการแกว่งนี้เพียงพอที่จะกำหนดลักษณะของ ฟังก์ชันที่สามารถ หาปริพันธ์แบบรีมันน์ได้ว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องยกเว้นบนเซตที่ มีการวัด เป็นศูนย์^{[ 5 ]} โปรดทราบว่าจุดที่มีการแกว่งไม่เป็นศูนย์ (เช่น จุดที่f " มีพฤติกรรมไม่ดี ") คือจุดไม่ต่อเนื่องซึ่งประกอบเป็น เซตย่อย ที่ ไม่สำคัญ${\displaystyle f(x)=\sin(1/x)}$${\displaystyle \limsup _{x\to 0}f(x)=1}$${\displaystyle \liminf _{x\to 0}f(x)=-1}$

ลิมิตบนของฟังก์ชันค่าจริงที่กำหนดบนช่วงที่มีจุดคือ^{[ 6 ]} และลิมิตล่างคือ ยิ่งไปกว่านั้น ยังมีเวอร์ชันด้านเดียวสำหรับฟังก์ชันที่กำหนดบนช่วงที่มีจุดปลายคือ: ${\displaystyle x_{0}}$$${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\inf _{a>0}\sup f((x_{0}-a,x_{0}+a)),}$$$${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)=\sup _{a>0}\inf f((x_{0}-a,x_{0}+a)).}$$${\displaystyle a}$$${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\inf _{a>0}\sup f((x_{0},x_{0}+a)),}$$$${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\inf _{a>0}\sup f((x_{0}-a,x_{0})),}$$$${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\sup _{a>0}\inf f((x_{0},x_{0}+a)),}$$$${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\sup _{a>0}\inf f((x_{0}-a,x_{0})).}$$

มีแนวคิดของ limsup และ liminf สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดบนปริภูมิเมตริกซึ่งความสัมพันธ์กับลิมิตของฟังก์ชันค่าจริงสะท้อนความสัมพันธ์ระหว่าง limsup, liminf และลิมิตของลำดับจริง พิจารณาปริภูมิเมตริกปริภูมิย่อยที่อยู่ในและฟังก์ชันกำหนด สำหรับจุดใด ๆของการปิดของ^{[ 7 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:E\to {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle E}$

$${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\}\right)}$$ และ

$${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\}\right)}$$

โดยที่หมายถึงทรงกลมเมตริก ที่มี รัศมีรอบจุด ${\displaystyle B(a,\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle a}$

โปรดทราบว่าเมื่อεหดตัวลง ค่าสูงสุดของฟังก์ชันบนทรงกลมจะไม่เพิ่มขึ้น (ลดลงอย่างเคร่งครัดหรือคงที่) ดังนั้นเราจึงได้

$${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf _{\varepsilon >0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\}\right)}$$ และในทำนองเดียวกัน $${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup _{\varepsilon >0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\}\right).}$$

นิยามของ limsup และ liminf ในปริภูมิเมตริกสามารถเขียนใหม่ได้อย่างเทียบเท่าดังนี้:

• ลิมิตเหนือกว่าของas คือค่าสูงสุดของที่หาได้จากลำดับทั้งหมดที่มีแนวโน้มเข้าสู่.${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\to x_{0}}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }f(x_{n})}$${\displaystyle x_{0}}$
• ลิมิตที่ต่ำกว่าของas คือค่าต่ำสุดของที่คำนวณจากลำดับทั้งหมดที่มีแนวโน้มเข้าสู่.${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\to x_{0}}$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }f(x_{n})}$${\displaystyle x_{0}}$

ในที่สุดสิ่งนี้ก็กระตุ้นให้เกิดคำจำกัดความสำหรับพื้นที่โทโพโลยี ทั่วไป พิจารณาX , Eและaเหมือนเดิม แต่คราวนี้ให้Xเป็นพื้นที่โทโพโลยี ในกรณีนี้ เราจะแทนที่ลูกบอลเมตริกด้วยย่านใกล้เคียง : ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf \,\{\,\sup \,\{f(x):x\in E\cap U\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U\}}$

${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup \,\{\,\inf \,\{f(x):x\in E\cap U\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U\}}$

(มีวิธีเขียนสูตรโดยใช้ "lim" โดยใช้เน็ตและตัวกรองย่านใกล้เคียง ) เวอร์ชันนี้มักมีประโยชน์ในการอภิปรายเรื่องความต่อเนื่องกึ่งซึ่งมักเกิดขึ้นในการวิเคราะห์ค่อนข้างบ่อย ข้อสังเกตที่น่าสนใจคือ เวอร์ชันนี้ครอบคลุมเวอร์ชันแบบลำดับโดยพิจารณาลำดับเป็นฟังก์ชันจากจำนวนธรรมชาติในฐานะปริภูมิย่อยเชิงโทโพโลยีของเส้นจำนวนจริงที่ขยายออกไปในปริภูมิ (การปิดของNใน [−∞,∞] เส้นจำนวนจริงที่ขยายออกไปคือ  N  ∪ {∞})

เซตกำลัง ℘( X ) ของเซตXคือแลตทิซสมบูรณ์ที่เรียงลำดับโดยการรวมเซตดังนั้น ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของเซตย่อยใดๆ (ในแง่ของการรวมเซต) จึงมีอยู่เสมอ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตย่อยY ทุกเซต ของXมีขอบเขตบนโดยXและขอบเขตล่างโดยเซตว่าง ∅ เนื่องจาก ∅ ⊆ Y ⊆ Xดังนั้นจึงเป็นไปได้ (และบางครั้งก็มีประโยชน์) ที่จะพิจารณาขีดจำกัดบนและล่างของลำดับใน ℘( X ) (เช่น ลำดับของเซตย่อยของX )

มีสองวิธีทั่วไปในการกำหนดลิมิตของลำดับของเซต ในทั้งสองกรณี:

• ลำดับนี้สะสมอยู่รอบๆ กลุ่มของจุดต่างๆ มากกว่าจุดเดี่ยวๆ กล่าวคือ เนื่องจากแต่ละองค์ประกอบของลำดับนั้นเป็นเซตอยู่แล้ว จึงมีเซต สะสมอยู่ ซึ่งอยู่ใกล้กับองค์ประกอบของลำดับจำนวนอนันต์ในลักษณะใดลักษณะหนึ่ง
• ค่าสูงสุด/ขีดจำกัดบน/ขีดจำกัดนอกสุด คือเซตที่เชื่อมเซตสะสมเหล่านี้เข้าด้วยกัน กล่าวคือ มันคือการรวมกันของเซตสะสมทั้งหมด เมื่อเรียงลำดับตามการรวมเซต ค่าสูงสุดจะเป็นขอบเขตบนที่น้อยที่สุดของเซตจุดสะสม เพราะมันประกอบด้วย จุดสะสม แต่ละจุด ดังนั้น มันจึงเป็นค่าสูงสุดของจุดลิมิต
• ค่าต่ำสุด/ขีดจำกัดล่าง/ขีดจำกัดภายใน คือเซตที่เซตสะสมทั้งหมดเหล่านี้มาบรรจบกันกล่าวคือ มันคือจุดตัดของเซตสะสมทั้งหมด เมื่อเรียงลำดับตามการรวมเซต ค่าต่ำสุด/ขีดจำกัดภายในจะเป็นขอบล่างที่ใหญ่ที่สุดของเซตจุดสะสม เนื่องจากมันบรรจุอยู่ในทุกจุดสะสม ดังนั้น มันจึงเป็นค่าต่ำสุดของจุดลิมิต
• เนื่องจากการเรียงลำดับเป็นไปตามการรวมเซต ดังนั้นลิมิตภายนอกจึงครอบคลุมลิมิตภายในเสมอ (กล่าวคือ lim inf X _n ⊆ lim sup X _n ) ดังนั้น เมื่อพิจารณาการลู่เข้าของลำดับของเซต โดยทั่วไปแล้วการพิจารณาการลู่เข้าของลิมิตภายนอกของลำดับนั้นก็เพียงพอแล้ว

ความแตกต่างระหว่างคำจำกัดความทั้งสองนั้นอยู่ที่วิธี การกำหนด โทโพโลยี (เช่น วิธีการวัดระยะห่าง) อันที่จริง คำจำกัดความที่สองนั้นเหมือนกับคำจำกัดความแรกเมื่อใช้เมตริกแบบไม่ต่อเนื่อง เพื่อสร้างโทโพ โล ยีบน X

ลำดับของเซตในปริภูมิเมตริก จะเข้าใกล้เซตจำกัดเมื่อสมาชิกของแต่ละเซตในลำดับนั้นเข้าใกล้สมาชิกของเซตจำกัด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นลำดับของเซตย่อยของแล้ว: ${\displaystyle X}$${\displaystyle (X_{n})}$${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle \limsup X_{n},}$ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าลิมิตภายนอกประกอบด้วยองค์ประกอบที่เป็นลิมิตของจุดในที่เลือกมาจากจำนวนอนันต์ (นับได้)นั่นคือก็ต่อเมื่อมีลำดับของจุดและลำดับย่อยของที่ทำให้และ${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle x\in \limsup X_{n}}$${\displaystyle (x_{k})}$${\displaystyle (X_{n_{k}})}$${\displaystyle (X_{n})}$${\displaystyle x_{k}\in X_{n_{k}}}$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=x.}$
• ${\displaystyle \liminf X_{n},}$ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าลิมิตภายในประกอบด้วยองค์ประกอบเหล่านั้นที่เป็นลิมิตของจุดในสำหรับทุก ๆ ยกเว้นจำนวนจำกัด(นั่นคือจำนวนโคฟินิ ตี้ ) กล่าวคือก็ต่อเมื่อมีลำดับของจุด อยู่ เช่นนั้นและ${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x\in \liminf X_{n}}$${\displaystyle (x_{k})}$${\displaystyle x_{k}\in X_{k}}$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=x.}$

ขีดจำกัดมีอยู่ก็ต่อเมื่อและสอดคล้องกัน ซึ่งในกรณีนี้^{[ 9 ]}ขีดจำกัดภายนอกและภายในไม่ควรสับสนกับขีดจำกัดเชิงเซตที่สูงกว่าและต่ำกว่า เนื่องจากเซตหลังไม่ไวต่อโครงสร้างเชิงโทโพโลยีของพื้นที่ ${\displaystyle \lim X_{n}}$${\displaystyle \liminf X_{n}}$${\displaystyle \limsup X_{n}}$${\displaystyle \lim X_{n}=\limsup X_{n}=\liminf X_{n}.}$

นี่คือคำจำกัดความที่ใช้ในทฤษฎีการวัดและความน่าจะเป็น การอภิปรายเพิ่มเติมและตัวอย่างจากมุมมองทางทฤษฎีเซต ซึ่งแตกต่างจากมุมมองทางโทโพโลยีที่กล่าวถึงด้านล่าง อยู่ในหัวข้อขีดจำกัดทางทฤษฎีเซต

ตามนิยามนี้ ลำดับของเซตจะเข้าใกล้เซตจำกัดก็ต่อเมื่อเซตจำกัดนั้นมีสมาชิกที่อยู่ในทุกเซตยกเว้นเพียงจำนวนจำกัดของเซตในลำดับนั้นและไม่มีสมาชิกที่อยู่ในทุกเซตยกเว้นเพียงจำนวนจำกัดของเซตส่วนเติมเต็มของเซตในลำดับนั้น กล่าวคือ กรณีนี้เป็นกรณีเฉพาะของนิยามทั่วไปเมื่อโทโพโลยีบนเซตXถูกสร้างขึ้นจากเมตริกแบบไม่ต่อเนื่อง

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับจุดx , y ∈ Xเมตริกแบบไม่ต่อเนื่องจะถูกกำหนดโดย

${\displaystyle d(x,y):={\begin{cases}0&{\text{if }}x=y,\\1&{\text{if }}x\neq y,\end{cases}}}$

ภายใต้เงื่อนไขที่ว่า ลำดับของจุด ( x, _k ) จะลู่เข้าสู่จุดx ∈ Xก็ต่อเมื่อx, _k = x สำหรับทุก k ยกเว้น kจำนวนจำกัดเท่านั้นดังนั้นถ้าเซตลิมิตมีอยู่จริงมันจะประกอบด้วยจุดและเฉพาะจุดที่อยู่ในเซตของลำดับทั้งหมด ยกเว้น k จำนวนจำกัดเท่านั้น เนื่องจากการลู่เข้าในเมตริกแบบไม่ต่อเนื่องเป็นรูปแบบการลู่เข้าที่เข้มงวดที่สุด (กล่าวคือ ต้องการเงื่อนไขมากที่สุด) ดังนั้นคำจำกัดความของเซตลิมิตนี้จึงเป็นคำจำกัดความที่เข้มงวดที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

ถ้า ( Xn ₎เป็นลำดับของเซตย่อยของXแล้วสิ่งต่อไปนี้จะมีอยู่เสมอ:

• lim sup X _nประกอบด้วยสมาชิกของXที่เป็นของX _nสำหรับn จำนวนอนันต์ (ดูที่อนันต์นับได้ ) กล่าวคือx ∈ lim sup X _nก็ต่อเมื่อมีลำดับย่อย ( X _{n k} ) ของ ( X _n ) อยู่ ซึ่งx ∈ X _{n k}สำหรับทุกk
• lim inf X _nประกอบด้วยสมาชิกของXที่อยู่ในX _nสำหรับทุก n ยกเว้นจำนวนจำกัดของn (กล่าวคือ สำหรับจำนวนโคฟินิตี้ ของ n ) นั่นคือx ∈ lim inf X _nก็ต่อเมื่อมีm > 0 บางตัวที่ทำให้x ∈ X _nสำหรับทุกn > m

สังเกตว่าx ∈ lim sup X _n ก็ ต่อ เมื่อx ∉ lim inf X _n ^{c เท่านั้น}

• lim X _nมีอยู่ก็ต่อเมื่อ lim inf X _nและ lim sup X n _{ตรงกัน}ซึ่งในกรณีนี้ lim X _n = lim sup X _n = lim inf X _n

ในแง่นี้ ลำดับจะมีขีดจำกัดตราบใดที่ทุกจุดในX ปรากฏใน X _nทั้งหมด ยกเว้นจำนวนจำกัดหรือปรากฏในX _n ^c ทั้งหมด ยกเว้น จำนวนจำกัด ^{[ 10 ]}

ตามศัพท์มาตรฐานของทฤษฎีเซตการรวมเซตให้ลำดับบางส่วนบนกลุ่มของเซตย่อยทั้งหมดของXซึ่งทำให้การตัดกันของเซตสร้างขอบล่างที่มากที่สุด และการรวมเซตสร้างขอบบนที่น้อยที่สุด ดังนั้น ค่าต่ำสุดหรือค่าที่ตัดกันของกลุ่มเซตย่อยคือขอบล่างที่มากที่สุด ในขณะที่ค่าสูงสุดหรือ ค่า ที่รวมกันคือขอบบนที่น้อยที่สุด ในบริบทนี้ ลิมิตภายใน lim inf X _nคือค่าที่ตัดกันมากที่สุดของส่วนท้ายของลำดับ และลิมิตภายนอก lim sup X _nคือค่าที่รวมกันน้อยที่สุดของส่วนท้ายของลำดับ ต่อไปนี้จะทำให้ชัดเจนยิ่งขึ้น

• ให้I _nเป็นผลรวมของ ส่วนหาง ^ที่nของลำดับ นั่นคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}&=\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcap _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cap X_{n+1}\cap X_{n+2}\cap \cdots .\end{aligned}}}$

ลำดับ ( I _n ) เป็นลำดับที่ไม่ลดลง (กล่าวคือI _n ⊆ I _{n +1} ) เพราะแต่ละI _{n +1}เป็นจุดตัดของเซตที่น้อยกว่าI _nขอบบนน้อยที่สุดของลำดับของจุดตัดของหางนี้คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}\liminf _{n\to \infty }X_{n}&=\sup \,\{\,\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}}$

ดังนั้นค่าลิมิตต่ำสุดจึงประกอบด้วยเซตย่อยทั้งหมดที่เป็นขอบล่างสำหรับเซตเกือบทั้งหมดของลำดับ ยกเว้นเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น

• ในทำนองเดียวกัน ให้J _nเป็นการเชื่อมต่อของ ส่วนท้ายลำดับ ^ที่nของลำดับ นั่นคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}&=\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcup _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cup X_{n+1}\cup X_{n+2}\cup \cdots .\end{aligned}}}$

ลำดับ ( J _n ) เป็นลำดับที่ไม่เพิ่มขึ้น (กล่าวคือJ _n ⊇ J _{n +1} ) เนื่องจากแต่ละJ _{n +1}เป็นการรวมกันของเซตจำนวนน้อยกว่าJ _nขอบล่างสูงสุดของลำดับการรวมกันของหางนี้คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{n\to \infty }X_{n}&=\inf \,\{\,\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}}$

ดังนั้น ค่าสูงสุดของลิมิตจึงบรรจุอยู่ในเซตย่อยทั้งหมดซึ่งเป็นขอบเขตบนสำหรับเซตเกือบทั้งหมดของลำดับ ยกเว้นเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างการลู่เข้าของเซตหลายตัวอย่าง โดยได้แบ่งออกเป็นส่วนๆ ตามเมตริกที่ใช้ในการสร้างโทโพโลยีบนเซต X

โดยใช้เมตริกแบบไม่ต่อเนื่อง

• ทฤษฎีบทเสริม ของโบเรล-แคนเทลลีเป็นตัวอย่างหนึ่งของการประยุกต์ใช้โครงสร้างเหล่านี้

โดยใช้เมตริกแบบไม่ต่อเนื่องหรือเมตริกแบบยุคลิด ก็ได้

• พิจารณาเซตX = {0,1} และลำดับของเซตย่อยดังต่อไปนี้:

${\displaystyle (X_{n})=(\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).}$

องค์ประกอบ "คี่" และ "คู่" ของลำดับนี้ก่อให้เกิดลำดับย่อยสองลำดับ คือ ({0}, {0}, {0}, ...) และ ({1}, {1}, {1}, ...) ซึ่งมีจุดลิมิตคือ 0 และ 1 ตามลำดับ ดังนั้นลิมิตภายนอกหรือลิมิตบนคือเซต {0,1} ของจุดทั้งสองนี้ อย่างไรก็ตาม ไม่มีจุดลิมิตใดที่สามารถนำมาจากลำดับ ( X _n ) ทั้งหมดได้ ดังนั้นลิมิตภายในหรือลิมิตล่างคือเซตว่าง { } นั่นคือ

• lim sup X _n = {0,1}
• lim inf X _n = { }

อย่างไรก็ตาม สำหรับ ( Y _n ) = ({0}, {0}, {0}, ...) และ ( Z _n ) = ({1}, {1}, {1}, ...):

• lim sup Y _n = lim inf Y _n = lim Y _n = {0}
• lim sup Z _n = lim inf Z _n = lim Z _n = {1}

• พิจารณาเซตX = {50, 20, −100, −25, 0, 1} และลำดับของเซตย่อยดังต่อไปนี้:

${\displaystyle (X_{n})=(\{50\},\{20\},\{-100\},\{-25\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).}$

เช่นเดียวกับในสองตัวอย่างก่อนหน้านี้

• lim sup X _n = {0,1}
• lim inf X _n = { }

กล่าวคือ องค์ประกอบทั้งสี่ที่ไม่ตรงกับรูปแบบจะไม่ส่งผลต่อลิมิตอินฟินิตี้และลิมิตซูพฟินิตี้ เนื่องจากมีจำนวนจำกัดเท่านั้น อันที่จริง องค์ประกอบเหล่านี้สามารถวางไว้ที่ใดก็ได้ในลำดับ ตราบใดที่ส่วนท้ายของลำดับยังคงอยู่ ลิมิตภายนอกและภายในก็จะไม่เปลี่ยนแปลง แนวคิดที่เกี่ยวข้องกับลิมิตภายในและภายนอกที่สำคัญ ซึ่งใช้ ซูพเรมัมที่สำคัญและอินฟิมัมที่สำคัญนั้น ให้การปรับเปลี่ยนที่สำคัญซึ่ง "บีบอัด" ส่วนเพิ่มเติมระหว่างกลางที่มีจำนวนมากนับได้ (แทนที่จะเป็นเพียงจำนวนจำกัด)

โดยใช้เมตริกแบบยุคลิด

• พิจารณาลำดับของเซตย่อยของจำนวนตรรกยะต่อไปนี้ :

${\displaystyle (X_{n})=(\{0\},\{1\},\{1/2\},\{1/2\},\{2/3\},\{1/3\},\{3/4\},\{1/4\},\dots ).}$

องค์ประกอบ "คี่" และ "คู่" ของลำดับนี้ก่อให้เกิดลำดับย่อยสองลำดับ คือ ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) และ ({1}, {1/2}, {1/3}, {1/4}, ...) ซึ่งมีจุดลิมิตคือ 1 และ 0 ตามลำดับ ดังนั้นลิมิตภายนอกหรือลิมิตบนคือเซต {0,1} ของจุดทั้งสองนี้ อย่างไรก็ตาม ไม่มีจุดลิมิตใดที่สามารถนำมาจากลำดับ ( X _n ) ทั้งหมดได้ ดังนั้นลิมิตภายในหรือลิมิตล่างคือเซตว่าง { } ดังนั้น เช่นเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้

• lim sup X _n = {0,1}
• lim inf X _n = { }

อย่างไรก็ตาม สำหรับ ( Y _n ) = ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) และ ( Z _n ) = ({1}, {1/2}, {1/3}, {1/4}, ...):

• lim sup Y _n = lim inf Y _n = lim Y _n = {1}
• lim sup Z _n = lim inf Z _n = lim Z _n = {0}

ในแต่ละกรณีทั้งสี่นี้ สมาชิกของเซตจำกัดจะไม่ใช่สมาชิกของเซตใดๆ จากลำดับเดิม

• ขีดจำกัด Ω (เช่นชุดขีดจำกัด ) ของคำตอบของระบบไดนามิกคือขีดจำกัดภายนอกของวิถีคำตอบของระบบ^{[ 9 ] : 50–51} เนื่องจากวิถีเข้าใกล้ชุดขีดจำกัดนี้มากขึ้นเรื่อยๆ หางของวิถีเหล่านี้จึงลู่เข้าสู่ชุดขีดจำกัด

• ตัวอย่างเช่น ระบบ LTI ที่เกิดจากการต่ออนุกรม ของระบบ เสถียรหลาย ระบบเข้ากับ ระบบ LTIอันดับสองที่ไม่มีการหน่วง(กล่าวคืออัตราส่วนการหน่วง เป็นศูนย์ ) จะสั่นอย่างไม่สิ้นสุดหลังจากถูกรบกวน (เช่น ระฆังในอุดมคติหลังจากถูกตี) ดังนั้น หากพล็อตตำแหน่งและความเร็วของระบบนี้เทียบกัน วิถีการเคลื่อนที่จะเข้าใกล้รูปวงกลมในปริภูมิสถานะวงกลมนี้ ซึ่งเป็นเซตขีดจำกัด Ω ของระบบ เป็นขีดจำกัดภายนอกของวิถีการเคลื่อนที่ของระบบ วงกลมนี้แสดงถึงตำแหน่งของวิถีการเคลื่อนที่ที่สอดคล้องกับเอาต์พุตเสียงไซน์บริสุทธิ์ กล่าวคือ เอาต์พุตของระบบเข้าใกล้/ประมาณค่าเสียงบริสุทธิ์

คำจำกัดความข้างต้นไม่เพียงพอสำหรับการใช้งานทางเทคนิคหลายอย่าง อันที่จริง คำจำกัดความข้างต้นเป็นการจำแนกประเภทเฉพาะของคำจำกัดความต่อไปนี้

ลิมิตต่ำสุดของเซตX  ⊆ Yคือค่าต่ำสุด ของ จุดลิมิตทั้งหมดของเซตนั้น กล่าวคือ

${\displaystyle \liminf X:=\inf \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

ในทำนองเดียวกัน ค่าลิมิตสูงสุดของXคือค่าสูงสุดของจุดลิมิตทั้งหมดของเซตนั้น นั่นคือ

${\displaystyle \limsup X:=\sup \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

โปรดทราบว่าเซตXจำเป็นต้องถูกกำหนดให้เป็นเซตย่อยของ เซต Y ที่ มีลำดับบางส่วน และเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี ด้วย เพื่อให้คำจำกัดความเหล่านี้มีความหมาย นอกจากนี้ เซต X ต้องเป็นแลตทิซสมบูรณ์เพื่อให้ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดมีอยู่เสมอ ในกรณีนั้น ทุกเซตจะมีลิมิตบนและลิมิตล่าง โปรดทราบด้วยว่าลิมิตล่างและลิมิตบนของเซตไม่จำเป็นต้องเป็นสมาชิกของเซตนั้น

พิจารณาปริภูมิเชิงทอพอโลยีXและฐานตัวกรองBในปริภูมินั้น เซตของจุดคลัสเตอร์ ทั้งหมด สำหรับฐานตัวกรองนั้นกำหนดโดย

${\displaystyle \bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

โดยที่คือเซตปิดของ. เห็นได้ชัดว่าเป็นเซตปิดและคล้ายกับเซตของจุดลิมิตของเซต สมมติว่าXก็เป็นเซตที่มีลำดับบางส่วน เช่นกัน ลิมิตสูงสุดของฐานตัวกรองBถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle {\overline {B}}_{0}}$${\displaystyle B_{0}}$

${\displaystyle \limsup B:=\sup \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

เมื่อค่าสูงสุดนั้นมีอยู่ เมื่อXมีลำดับสมบูรณ์เป็นแลตทิซที่สมบูรณ์และมี โทโพโล ยี ลำดับ

${\displaystyle \limsup B=\inf \,\{\sup B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

ในทำนองเดียวกัน ขีดจำกัดล่างของฐานตัวกรองBถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle \liminf B:=\inf \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

เมื่อค่าต่ำสุดนั้นมีอยู่จริง ถ้าXเป็นลิมิตที่มีลำดับสมบูรณ์ เป็นแลตทิซที่สมบูรณ์ และมีโทโพโลยีลำดับแล้ว

${\displaystyle \liminf B=\sup \,\{\inf B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

ถ้าขีดจำกัดล่างและขีดจำกัดบนตรงกัน แสดงว่าต้องมีจุดคลัสเตอร์เพียงจุดเดียว และขีดจำกัดของฐานตัวกรองจะเท่ากับจุดคลัสเตอร์จุดเดียวนี้

โปรดทราบว่าฐานตัวกรองเป็นการวางนัยทั่วไปของเน็ตซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของลำดับดังนั้น คำจำกัดความเหล่านี้จึงให้ลิมิตล่างและลิมิตบนของเน็ตใดๆ (และด้วยเหตุนี้ลำดับใดๆ) ด้วยเช่นกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณาปริภูมิเชิงทอพอโลยีและเน็ตโดยที่เป็นเซตทิศทางและสำหรับทุกฐานตัวกรอง ("ของหาง") ที่สร้างโดยเน็ตนี้ถูกกำหนดโดย ${\displaystyle X}$${\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}}$${\displaystyle (A,{\leq })}$${\displaystyle x_{\alpha }\in X}$${\displaystyle \alpha \in A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle B:=\{\{x_{\alpha }:\alpha _{0}\leq \alpha \}:\alpha _{0}\in A\}.\,}$

ดังนั้น ลิมิตล่างและลิมิตบนของเน็ตจึงเท่ากับลิมิตบนและลิมิตล่างของตามลำดับ ในทำนองเดียวกัน สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีให้ใช้ลำดับโดยที่สำหรับใดๆฐานตัวกรอง ("ของหาง") ที่สร้างโดยลำดับนี้ถูกกำหนดโดย ${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x_{n}\in X}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle C}$

${\displaystyle C:=\{\{x_{n}:n_{0}\leq n\}:n_{0}\in \mathbb {N} \}.\,}$

ดังนั้น ค่าลิมิตล่างและค่าลิมิตบนของลำดับจึงเท่ากับค่าลิมิตบนและค่าลิมิตล่างของลำดับตามลำดับ ${\displaystyle C}$

• ความสำคัญสูงสุดและสำคัญสูงสุด
• ซอง (คลื่น)
• ขีดจำกัดด้านเดียว
• อนุพันธ์ของ Dini
• ขีดจำกัดเชิงเซต

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับLimit inferior และ limit superior

• "ขีดจำกัดบนและล่าง" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]