ในฟิสิกส์และวิศวกรรมซองสัญญาณของการสั่น เป็นเส้นโค้งเรียบที่แสดงถึงค่าสุดขั้ว^{[ 1 ]}ดังนั้นซองสัญญาณจึงเป็นการขยายแนวคิดของแอมพลิจูด คงที่ ไปสู่แอมพลิจูดทันทีรูปนี้แสดงให้เห็นคลื่นไซน์ ที่ถูกปรับเปลี่ยน ซึ่งแปรผันระหว่างซองสัญญาณบนและซองสัญญาณล่างฟังก์ชันซองสัญญาณอาจเป็นฟังก์ชันของเวลา พื้นที่ มุม หรือตัวแปรใดๆ ก็ได้

สถานการณ์ทั่วไปที่ส่งผลให้เกิดฟังก์ชันซองในทั้งพื้นที่xและเวลาtคือการซ้อนทับของคลื่นสองลูกที่มีความยาวคลื่นและความถี่เกือบเท่ากัน: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,\ t)&=\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda -\Delta \lambda }}-(f+\Delta f)t\right)\right]+\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda +\Delta \lambda }}-(f-\Delta f)t\right)\right]\\[6pt]&\approx 2\cos \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\right]\ \sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\right]\end{aligned}}}$

ซึ่งใช้สูตรตรีโกณมิติสำหรับการบวกคลื่นไซน์สองคลื่นและการประมาณค่า Δ λ  ≪  λ :

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda \pm \Delta \lambda }}={\frac {1}{\lambda }}\ {\frac {1}{1\pm \Delta \lambda /\lambda }}\approx {\frac {1}{\lambda }}\mp {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}.}$

ความยาวคลื่นการมอดูเลชันλ _modถูกกำหนดโดย: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \lambda _{\rm {mod}}={\frac {\lambda ^{2}}{\Delta \lambda }}\ .}$

ดังนั้น

ที่ไหน

ความยาวคลื่นของการมอดูเลชันเป็นสองเท่าของความยาวคลื่นของซองสัญญาณเอง เนื่องจากความยาวคลื่นครึ่งหนึ่งของคลื่นโคไซน์มอดูเลชันแต่ละคลื่นจะควบคุมทั้งค่าบวกและค่าลบของคลื่นไซน์มอดูเลชัน ในทำนองเดียวกันความถี่บีต คือความถี่ของซองสัญญาณ ซึ่งเป็นสองเท่าของความถี่ของคลื่นมอดูเล ชันหรือ2Δf ^{[ 4 ]}

ถ้าคลื่นนี้เป็นคลื่นเสียง หูจะได้ยินความถี่ที่เกี่ยวข้องกับfและแอมพลิจูดของเสียงนี้จะแปรผันตามความถี่บีต^{[ 4 ]}

ค่าอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันไซน์ข้างต้น นอกเหนือจากตัวประกอบ 2π แล้วมีดังนี้:

${\displaystyle \xi _{C}=\left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\ ,}$

${\displaystyle \xi _{E}=\left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\ ,}$

โดยที่ตัวห้อยCและEหมายถึงคลื่นพาหะและคลื่นซอง แอมพลิจูด Fเดียวกันของคลื่นเกิดจากค่า ξ _Cและ ξ _E ที่เท่ากัน ซึ่งแต่ละค่าอาจกลับมามีค่าเดิมได้เมื่อเลือกค่าxและt ที่แตกต่างกันแต่มีความสัมพันธ์กันอย่างเหมาะสม ความไม่เปลี่ยนแปลงนี้หมายความว่าเราสามารถติดตามรูปคลื่นเหล่านี้ในอวกาศเพื่อหาความเร็วของตำแหน่งที่มีแอมพลิจูดคงที่ขณะที่มันเคลื่อนที่ไปตามเวลา เงื่อนไขที่จะทำให้ค่าอาร์กิวเมนต์ของคลื่นพาหะคงที่คือ:

${\displaystyle \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)=\left({\frac {x+\Delta x}{\lambda }}-f(t+\Delta t)\right)\ ,}$

_{ซึ่งแสดงให้เห็นว่าในการ รักษา}แอมพลิจูดให้คงที่ ระยะทาง Δx จะสัมพันธ์กับช่วงเวลา Δt โดยความเร็วเฟส vpที่เรียกว่า

${\displaystyle v_{\rm {p}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda f\ .}$

ในทางกลับกัน การพิจารณาแบบเดียวกันนี้แสดงให้เห็นว่าซองจะแพร่กระจายด้วยความเร็วกลุ่ม ที่เรียกว่า v _g : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda _{\rm {mod}}\Delta f=\lambda ^{2}{\frac {\Delta f}{\Delta \lambda }}\ .}$

สูตรที่ใช้กันทั่วไปมากกว่าสำหรับความเร็วกลุ่มได้มาจากการแนะนำเวกเตอร์คลื่นk :

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\แลมบ์ดา }}\ .}$

เราสังเกตว่าสำหรับการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย Δ λขนาดของการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยที่สอดคล้องกันในเวกเตอร์คลื่น เช่น Δ kคือ:

${\displaystyle \Delta k=\left|{\frac {dk}{d\lambda }}\right|\Delta \lambda =2\pi {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}\ ,}$

ดังนั้นความเร็วกลุ่มจึงสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {2\pi \Delta f}{\Delta k}}={\frac {\Delta \omega }{\Delta k}}\ ,}$

โดยที่ωคือความถี่ในหน่วยเรเดียน/วินาที: ω = 2 π fในทุกตัวกลาง ความถี่และเวกเตอร์คลื่นมีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์การกระจายตัว ω = ω ( k ) และความเร็วกลุ่มสามารถเขียนได้ดังนี้ :

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {d\omega (k)}{dk}}\ .}$

ในตัวกลางเช่นสุญญากาศแบบคลาสสิกความสัมพันธ์การกระจายตัวของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าคือ:

${\displaystyle \omega =c_{0}k}$

โดยที่c ₀คือความเร็วแสงในสุญญากาศแบบคลาสสิก สำหรับกรณีนี้ ความเร็วเฟสและความเร็วกลุ่มต่างก็เป็น c ₀

ใน ตัวกลางที่เรียกว่า ตัวกลางกระจายตัว ความสัมพันธ์การกระจายตัวอาจเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนของเวกเตอร์คลื่น และความเร็วเฟสและความเร็วกลุ่มจะไม่เหมือนกัน ตัวอย่างเช่น สำหรับคลื่นหลายประเภทที่แสดงโดยการสั่นสะเทือนของอะตอม ( โฟนอน ) ในGaAsความสัมพันธ์การกระจายตัวแสดงอยู่ในรูปสำหรับทิศทางต่างๆของเวกเตอร์คลื่นkในกรณีทั่วไป ความเร็วเฟสและความเร็วกลุ่มอาจมีทิศทางที่แตกต่างกัน^{[ 7 ]}

ในฟิสิกส์สสารควบแน่นฟังก์ชันเฉพาะพลังงานสำหรับตัวนำประจุ เคลื่อนที่ ในผลึกสามารถแสดงได้ในรูปคลื่นบล็อก :

${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,}$

โดยที่nคือดัชนีของแถบ (เช่น แถบนำไฟฟ้าหรือแถบวาเลนซ์) rคือตำแหน่งในอวกาศ และkคือเวกเตอร์คลื่น ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นฟังก์ชันที่แปรผันแบบไซน์ ซึ่งสอดคล้องกับซองคลื่นที่แปรผันช้าๆ ซึ่งปรับเปลี่ยนส่วนที่แปรผันอย่างรวดเร็วของฟังก์ชันคลื่นu _{n , k}ที่อธิบายพฤติกรรมของฟังก์ชันคลื่นใกล้กับแกนกลางของอะตอมในโครงสร้างผลึก ซองคลื่นถูกจำกัดด้วย ค่า kภายในช่วงที่จำกัดโดยโซนบริลลูอินของผลึก และนั่นจำกัดความเร็วในการแปรผันตามตำแหน่ง r

ในการกำหนดพฤติกรรมของตัวนำโดยใช้กลศาสตร์ควอนตัม โดยทั่วไปจะใช้การประมาณ ซองคลื่นซึ่งสมการชโรดิงเกอร์จะถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยอ้างอิงถึงพฤติกรรมของซองคลื่นเท่านั้น และเงื่อนไขขอบเขตจะถูกนำไปใช้กับฟังก์ชันซองคลื่นโดยตรง แทนที่จะใช้กับฟังก์ชันคลื่นทั้งหมด^{[ 9 ]}ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันคลื่นของตัวนำที่ถูกดักจับใกล้กับสิ่งเจือปนจะถูกควบคุมโดยฟังก์ชันซองคลื่นFที่ควบคุมการซ้อนทับของฟังก์ชัน Bloch:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,}$

โดยที่ส่วนประกอบฟูริเยร์ของซอง F ( k ) พบได้จากสมการชโรดิงเกอร์โดยประมาณ^{[ 10 ]}ในบางแอปพลิเคชัน ส่วนที่เป็นคาบu _kจะถูกแทนที่ด้วยค่าใกล้ขอบแถบ เช่นk = k ₀แล้ว: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\approx \left(\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }\right)u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )=F(\mathbf {r} )u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )\ .}$

รูปแบบการเลี้ยวเบนจากช่องแคบหลายช่องจะมีซองที่กำหนดโดยรูปแบบการเลี้ยวเบนของช่องแคบเดี่ยว สำหรับช่องแคบเดี่ยว รูปแบบจะกำหนดโดย: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle I_{1}=I_{0}\sin ^{2}\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)^{2}\ ,}$

โดยที่ α คือมุมการเลี้ยวเบนdคือความกว้างของช่อง และ λ คือความยาวคลื่น สำหรับช่องหลายช่อง รูปแบบจะเป็น^{[ 11 ]}

${\displaystyle I_{q}=I_{1}\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)\ ,}$

โดยที่qคือจำนวนช่อง และgคือค่าคงที่ของตะแกรง ปัจจัยแรก ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของช่องเดี่ยวI ₁จะปรับเปลี่ยนปัจจัยที่สองซึ่งเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วกว่า โดยปัจจัยที่สองนี้ขึ้นอยู่กับจำนวนช่องและระยะห่างระหว่างช่อง

ตัวตรวจจับซองสัญญาณ (Envelope Detector)คือวงจรที่พยายามแยกซองสัญญาณออกจากสัญญาณอนาล็อก

ในการประมวลผลสัญญาณดิจิทัลซองสัญญาณอาจได้รับการประมาณโดยใช้การแปลงฮิลเบิร์ตหรือแอมพลิจูด RMSที่เคลื่อนที่^{[ 12 ]}

• สัญญาณวิเคราะห์ § ซองสัญญาณ/เบสแบนด์ที่ซับซ้อน
• การแยกองค์ประกอบเชิงประจักษ์
• ซองจดหมาย (คณิตศาสตร์)
• การติดตามซองจดหมาย
• เฟสทันที
• การปรับสัญญาณ
• คณิตศาสตร์ของการสั่น
• กำลังสูงสุดของซองจดหมาย
• ซองสเปกตรัม