การเลี้ยวเบนคือการเบี่ยงเบนของคลื่นจากการแพร่กระจายเป็นเส้นตรงเนื่องจากสิ่งกีดขวางหรือผ่านช่องเปิดโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงพลังงานการเลี้ยวเบนเป็นปรากฏการณ์ทางกายภาพเช่นเดียวกับการแทรกสอดแต่โดยทั่วไปแล้วการแทรกสอดจะใช้สำหรับการซ้อนทับของคลื่นเพียงไม่กี่คลื่น ในขณะที่คำว่าการเลี้ยวเบนจะใช้เมื่อคลื่นจำนวนมากซ้อนทับกัน^{[ 1 ] : 433} คำว่ารูปแบบการเลี้ยวเบนใช้เพื่ออ้างถึงภาพหรือแผนที่ของทิศทางต่างๆ ของคลื่นหลังจากที่พวกมันเลี้ยวเบนแล้ว รูปแบบการเลี้ยวเบนจะเด่นชัดเมื่อคลื่นจากแหล่งกำเนิดที่สอดคล้องกัน (เช่น เลเซอร์) พบกับช่องแคบ/ช่องเปิดดังแสดงในภาพแรก

ในฟิสิกส์คลาสสิกการเลี้ยวเบนอธิบายโดยหลักการของ Huygens–Fresnelซึ่งถือว่าแต่ละจุดในหน้าคลื่น ที่แพร่กระจาย เป็นกลุ่มของ คลื่น ทรงกลม แต่ละลูก ^{[ 2 ]}รูปแบบต่างๆ เกิดจากการรวมกันเหนือจุดต่างๆ บนหน้าคลื่น (หรือเทียบเท่ากับคลื่นแต่ละลูก) ที่เดินทางตามเส้นทางที่มีความยาวต่างกันไปยังพื้นผิวที่บันทึก หากมีช่องเปิดที่อยู่ใกล้กันหลายช่อง อาจส่งผลให้เกิดรูปแบบที่ซับซ้อนที่มีความเข้มแตกต่างกันได้ ช่องเปิดหรือสิ่งกีดขวางประเภทอื่นๆ นำไปสู่รูปแบบที่แตกต่างกัน ซึ่งบางส่วนจะอธิบายในภายหลังในหน้านี้

ผลกระทบเหล่านี้เกิดขึ้นเมื่อคลื่นแสงเดินทางผ่านตัวกลางที่มีดัชนี หักเหแปรผัน หรือเมื่อคลื่นเสียงเดินทางผ่านตัวกลางที่มีความต้านทานเสียง แปรผัน – คลื่นทั้งหมดจะเกิดการเลี้ยวเบน^{[ 3 ]}รวมถึงคลื่นแรงโน้มถ่วง [ ^{4 ] คลื่น}น้ำและคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า อื่นๆ เช่นรังสีเอกซ์คลื่นวิทยุตลอดจนคลื่นสสารเช่นอิเล็กตรอนและนิวตรอนมันมีบทบาทในหลายด้าน ตั้งแต่อุปกรณ์รักษาความปลอดภัยบนบัตรเครดิตไปจนถึงวิธีการกำหนดโครงสร้างอะตอมของวัสดุในระดับ นาโน

นักวิทยาศาสตร์ชาวอิตาลีฟรานเชสโก มาเรีย กริมัลดีเป็นผู้บัญญัติศัพท์คำว่า "การเลี้ยวเบน" และเป็นคนแรกที่บันทึกการสังเกตปรากฏการณ์นี้อย่างแม่นยำในปี 1660 หลังจากนั้นก็มีการกำหนดสูตรที่เทียบเท่ากันต่างๆ ขึ้นมา ในทางคณิตศาสตร์ การเลี้ยวเบนสามารถอธิบายได้โดยการแก้สมการคลื่นสำหรับคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า หรือสมการของชโรดิงเกอร์สำหรับคลื่นสสาร ในบางกรณีอาจมีการแก้ไขเชิงสัมพัทธภาพด้วย

ผลกระทบของการเลี้ยวเบนของแสงได้รับการสังเกตและอธิบายอย่างละเอียดเป็นครั้งแรกโดยFrancesco Maria Grimaldiซึ่งเป็นผู้บัญญัติศัพท์คำว่าdiffractionจากภาษาละตินdiffringereซึ่งหมายถึง 'แตกเป็นชิ้นๆ' โดยอ้างถึงแสงที่แตกออกเป็นทิศทางต่างๆ^{[ 6 ]}ผลการสังเกตของ Grimaldi ได้รับการตีพิมพ์หลังการเสียชีวิตของเขาในปี1665 ^{[ 7 ] [ 8 ]} Isaac Newtonศึกษาผลกระทบเหล่านี้และระบุว่าเกิดจากการหักเหของรังสีแสงJames Gregory ( 1638 – 1675 ) สังเกตเห็นรูปแบบการเลี้ยวเบนที่เกิดจากขนนก ซึ่งถือเป็น ตะแกรงเลี้ยวเบนตัวแรกที่ถูกค้นพบ^{[ 9 ]}

โทมัส ยังพัฒนาวิธีการรักษาคลื่นแรกของการเลี้ยวเบนในปี ค.ศ. 1800 ในแบบจำลองของเขา ยังเสนอว่าริ้วที่สังเกตเห็นด้านหลังขอบคมที่ส่องสว่างเกิดจากการแทรกสอดระหว่างคลื่นระนาบที่ส่งผ่านโดยตรงและคลื่นทรงกระบอกที่ดูเหมือนจะปล่อยออกมาจากขอบ^{[ 10 ] : 57}

Augustin-Jean Fresnelได้กลับมาพิจารณาปัญหาอีกครั้งและคิดค้นทฤษฎีคลื่นทางเลือกโดยอิงจากหลักการของ Huygens ในแบบจำลองนี้ แหล่งกำเนิดแสงแบบจุดจะกระจายไปจนถึงขอบการเลี้ยวเบนแต่ไม่อยู่ในสิ่งกีดขวาง แหล่งกำเนิดแสงแบบจุดเหล่านี้ถูกขับเคลื่อนโดยคลื่นระนาบที่เข้ามาและเกิดการแทรกสอดกันเกินสิ่งกีดขวาง Fresnel ได้พัฒนาวิธีการทางคณิตศาสตร์จากแนวทางของเขา และแบบจำลองของ Young ในตอนแรกถือว่าไม่ถูกต้อง ต่อมางานวิจัยแสดงให้เห็นว่าแนวทางทางกายภาพของ Young เทียบเท่ากับแนวทางทางคณิตศาสตร์ของ Fresnel ^{[ 10 ] : 58}

ในปี พ.ศ. 2361 ผู้สนับสนุน ทฤษฎีอนุภาคของแสงเสนอให้คำถามรางวัลของสถาบันปารีส เกี่ยวกับการเลี้ยวเบน โดยคาดหวังว่าทฤษฎีคลื่นจะพ่ายแพ้ เมื่อการนำเสนอของเฟรสเนลเกี่ยวกับทฤษฎีใหม่ของเขาซึ่งอิงจากการแพร่กระจายของคลื่นดูเหมือนว่าจะได้รับรางวัล ซิเมออน เดนิส ปัวซงได้ท้าทายทฤษฎีของเฟรสเนลโดยแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีดังกล่าวทำนายแสงในเงาด้านหลังสิ่งกีดขวางทรงกลม โดมินิก-ฟรองซัวส์-ฌอง อาราโกดำเนินการสาธิตเชิงทดลองว่าแสงดังกล่าวสามารถมองเห็นได้ซึ่งเป็นการยืนยันแบบจำลองการเลี้ยวเบนของเฟรสเนล^{[ 11 ] : xxiii [ 12 ]}

ในปี พ.ศ. 2392 เฮอร์มันน์ ฟอน เฮล์มโฮลทซ์และต่อมาในปี พ.ศ. 2325 กุสตาฟ เคิร์ชฮอฟฟ์ได้พัฒนาสมการอินทิกรัลสำหรับการเลี้ยวเบนโดยอาศัยแนวคิดที่เสนอโดยเฟรสเนล รวมถึงการประมาณค่าที่จำเป็นในการนำไปใช้ โดยทั่วไป วิธีการเหล่านี้ทั้งหมดจำเป็นต้องกำหนดปัญหาในแง่ของแหล่งกำเนิดเสมือน กรณีเช่นกรณีที่มีสิ่งกีดขวางการดูดซับต้องใช้วิธีการที่พัฒนาขึ้นในช่วงปี พ.ศ. 2483 โดยอาศัยการแพร่กระจายแอมพลิจูดตามขวาง^{[ 10 ] : 58}

การเลี้ยวเบนเป็นปรากฏการณ์ทั่วไปของคลื่น เกิดขึ้นเมื่อใดก็ตามที่คลื่นพบกับสิ่งกีดขวาง สิ่งกีดขวางอาจเป็นของแข็งที่ปิดกั้นคลื่น หรือโปร่งใสและเปลี่ยนเฟสของคลื่นโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงพลังงาน ( การกระเจิงแบบยืดหยุ่น ) คลื่นที่อยู่เลยสิ่งกีดขวางไปจะเกิดการแทรกสอดกัน ทำให้เกิดรูปแบบการเลี้ยวเบน รูปแบบการเลี้ยวเบนไม่สามารถทำนายได้จากวิถีเส้นตรงของทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตตัวอย่างง่ายๆ เช่น แหล่งกำเนิดแสงที่สว่างจ้าซึ่งถูกปิดกั้นด้วยวัตถุแข็ง จะไม่แสดงเงาดำที่คมชัดเมื่อตรวจสอบอย่างละเอียด^{[ 1 ] : 433}

แบบจำลองที่เหมาะสมสำหรับการเลี้ยวเบนขึ้นอยู่กับลักษณะของคลื่นและสิ่งกีดขวาง แบบจำลองที่ง่ายที่สุดใช้หลักการของ Huygens–Fresnelส่วนของ Huygens แสดงให้เห็นภาพการแพร่กระจายของคลื่นโดยพิจารณาทุกจุดบนหน้าคลื่นเป็นแหล่งกำเนิดของคลื่นทรงกลมทุติย ภูมิ ซึ่งเรียกว่าคลื่นย่อยของ Huygensส่วนของ Fresnel คือการซ้อนทับ (ผลรวมเชิงเส้น) ของคลื่นทุติยภูมิเหล่านี้และการรบกวนที่เกิดขึ้น^{[ 1 ] : 434}

ในกรณีที่ไม่มีสิ่งกีดขวาง หลักการของฮุยเกนส์เพียงอย่างเดียวสามารถทำนายการแพร่กระจายของหน้าคลื่นได้^{[ 1 ] : 104} เมื่อคลื่นทุติยภูมิบางส่วนถูกปิดกั้นด้วยสิ่งกีดขวาง ส่วนที่เหลือจะสร้างทั้งการแพร่กระจายของหน้าคลื่นในทิศทางที่ไม่ถูกปิดกั้นและคลื่นด้านหลังสิ่งกีดขวางซึ่งก่อให้เกิดรูปแบบการเลี้ยวเบน

เป็นไปได้ที่จะเข้าใจปรากฏการณ์การเลี้ยวเบนหลายอย่างในเชิงคุณภาพโดยพิจารณาว่าเฟสสัมพัทธ์ของแหล่งกำเนิดคลื่นทุติยภูมิแต่ละแหล่งเปลี่ยนแปลงอย่างไร และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเงื่อนไขที่ความแตกต่างของเฟสเท่ากับครึ่งรอบ ซึ่งในกรณีนี้คลื่นจะหักล้างกัน เมื่อคลื่นถูกรวมเข้าด้วยกัน ผลรวมของคลื่นจะถูกกำหนดโดยเฟส สัมพัทธ์ของคลื่นแต่ละแหล่ง รวมถึงแอมพลิจูดของคลื่นแต่ละแหล่ง ดังนั้นแอมพลิจูดที่รวมกันจึงสามารถมีค่าใดก็ได้ระหว่างศูนย์และผลรวมของแอมพลิจูดแต่ละแหล่ง ดังนั้นรูปแบบการเลี้ยวเบนจึงมักมีจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดเป็นชุด^{[ 1 ] : 435}

ในกลศาสตร์ควอนตัมการเลี้ยวเบนยังถูกอธิบายในแง่ของคลื่นด้วย แต่ฟังก์ชันคลื่นแสดงถึงแอมพลิจูดความน่าจะเป็นซึ่งค่ากำลังสองของสัมบูรณ์คือความน่าจะเป็นของการตรวจจับ บริเวณสว่างและมืดในรูปแบบการเลี้ยวเบนจึงเป็นบริเวณที่ควอนตัมมีโอกาสถูกตรวจจับมากหรือน้อย^{[ 13 ]}

แบบจำลองเชิงปริมาณที่ช่วยให้สามารถคำนวณการเลี้ยวเบนได้ ได้แก่สมการการเลี้ยวเบนของ Kirchhoff (ที่ได้มาจากสมการคลื่น ) ^{[ 14 ]}การ ประมาณการ เลี้ยวเบนของ Fraunhoferของสมการ Kirchhoff (ใช้ได้กับสนามไกล ) ^{[ 11 ] : 427} และ การประมาณการ เลี้ยวเบนของ Fresnel (ใช้ได้กับสนามใกล้ ) ^{[ 11 ]} การกำหนดค่าส่วนใหญ่ไม่สามารถแก้ได้ด้วยวิธีวิเคราะห์ แต่สามารถให้ผลลัพธ์เชิงตัวเลขได้โดยใช้ วิธี ไฟไนต์เอเลเมนต์และบาวน์ดารีเอเลเมนต์ในหลายกรณีจะถือว่ามีเหตุการณ์การกระเจิงเพียงครั้งเดียว ซึ่งเรียกว่าการเลี้ยวเบนแบบจลนพลศาสตร์โดย ใช้การสร้าง ทรงกลมของ Ewaldเพื่อแสดงว่าไม่มีการเปลี่ยนแปลงพลังงานในระหว่างกระบวนการเลี้ยวเบน^{[ 15 ]}สำหรับคลื่นสสาร จะใช้วิธีการที่คล้ายกันแต่แตกต่างกันเล็กน้อยโดยอิงจากรูปแบบที่แก้ไขตามสัมพัทธภาพของสมการ Schrödinger [ ^{16 ]} ดังที่ Hans Betheได้อธิบายไว้เป็นครั้ง^{แรก[ 17 ]}ขีดจำกัด Fraunhofer และ Fresnel มีอยู่สำหรับสิ่งเหล่านี้เช่นกัน แม้ว่าจะสอดคล้องกับการประมาณค่าฟังก์ชัน Green ของ คลื่นสสาร ( ตัวแพร่กระจาย ) ^{[ 13 ]}สำหรับสมการ Schrödinger มากกว่าก็ตาม ^{[ 15 ] [ 18 ]}จำเป็นต้องใช้แบบจำลองการกระเจิงหลายครั้งในการเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอน หลายประเภท [ ^{19 ]}ในบางกรณี แบบจำลองการเลี้ยวเบนแบบไดนามิกที่คล้ายกัน^ก็ใช้ สำหรับรังสีเอกซ์ด้วย^{[ 20 ] [ 21 ]}

คำอธิบายที่ง่ายที่สุดของการเลี้ยวเบนคือสถานการณ์ที่สามารถลดทอนให้เหลือเพียงปัญหาแบบสองมิติ สำหรับคลื่นน้ำนี่เป็นกรณีอยู่แล้ว คลื่นน้ำแพร่กระจายเฉพาะบนผิวน้ำเท่านั้น^{[ 22 ]}สำหรับแสง เรามักจะสามารถละเลยทิศทางหนึ่งได้หากวัตถุที่เลี้ยวเบนขยายออกไปในทิศทางนั้นเป็นระยะทางที่มากกว่าความยาวคลื่นมาก ในกรณีของแสงที่ส่องผ่านรูวงกลมเล็กๆ เราต้องคำนึงถึงลักษณะสามมิติของปัญหาทั้งหมด

• 
  รูปแบบการเลี้ยวเบนจากช่องเปิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
• 
  รูปแบบการแทรกสอดจากการเลี้ยวเบนของช่องคู่
• 
  การเลี้ยวเบนแบบสองช่อง
• 
  รูปแบบการเลี้ยวเบนของแสง
• 
  สีในใยแมงมุมเนื่องจากการเลี้ยวเบน^{[ 23 ]}

ผลกระทบของการเลี้ยวเบนนั้นมักพบเห็นได้ในชีวิตประจำวัน ตัวอย่างของการเลี้ยวเบนที่พบเห็นได้บ่อยที่สุดคือตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับแสง เช่น แทร็กที่อยู่ใกล้กันบนซีดีหรือดีวีดีซึ่งทำหน้าที่เป็นตะแกรงเลี้ยวเบนเพื่อสร้างลวดลายสีรุ้งที่คุ้นเคยเมื่อมองดูแผ่นดิสก์^{[ 24 ]}หลักการนี้สามารถขยายไปสู่การออกแบบตะแกรงที่มีโครงสร้างเพื่อให้เกิดรูปแบบการเลี้ยวเบนใดๆ ที่ต้องการได้โฮโลแกรมบนบัตรเครดิตเป็นตัวอย่างหนึ่ง^{[ 25 ]}

• 
  พิกเซลบนหน้าจอสมาร์ทโฟนทำหน้าที่เสมือนตะแกรงเลี้ยวเบน
• 
  ข้อมูลที่อยู่ในรูปของหลุมบนแผ่นซีดี ทำหน้าที่เป็นองค์ประกอบที่ทำให้เกิดการเลี้ยวเบนของแสง
• 
  โคโรนาของดวงจันทร์
• 
  ปรากฏการณ์แสงอาทิตย์ รุ่งโรจน์ มองเห็นจากเครื่องบิน

การเลี้ยวเบนในชั้นบรรยากาศโดยอนุภาคขนาดเล็กสามารถทำให้เกิดโคโรนาซึ่งเป็นแผ่นดิสก์สว่างและวงแหวนรอบแหล่งกำเนิดแสง เช่น ดวงอาทิตย์หรือดวงจันทร์ ในทางตรงกันข้าม อาจสังเกตเห็นกลอรี่ ซึ่งเป็นวงแหวนสว่างรอบเงาของผู้สังเกต ในทางตรงกันข้ามกับโคโรนา กลอรี่ต้องการให้อนุภาคเป็นทรงกลมโปร่งใส (เช่น ละอองหมอก) เนื่องจาก แสงที่ กระเจิงกลับซึ่งก่อให้เกิดกลอรี่นั้นเกี่ยวข้องกับการหักเหและการสะท้อนภายในของละออง^{[ 26 ]}

อีกตัวอย่างหนึ่งที่พบได้บ่อยคือหนามแหลมจากการเลี้ยวเบนซึ่งเกิดจากกระบวนการต่างๆ รวมถึงรูรับแสง ที่ไม่เป็นวงกลม ในกล้อง หรือจากโครงค้ำยันในกล้องโทรทรรศน์ในการมองเห็นปกติ การเลี้ยวเบนผ่านขนตาอาจทำให้เกิดหนามแหลมที่คล้ายกันได้^{[ 27 ]}

เมื่อเนื้อเดลี่ปรากฏเป็นสีรุ้งผลกระทบนี้เกิดจากการเลี้ยวเบนจากเส้นใยของเนื้อ^{[ 28 ]}

แม้ว่าการเลี้ยวเบนของแสงจะเป็นกรณีที่พบได้บ่อยที่สุด แต่การเลี้ยวเบนสามารถเกิดขึ้นได้กับคลื่นทุกชนิด ตัวอย่างเช่น คลื่นในมหาสมุทรจะเลี้ยวเบนรอบท่าเทียบเรือและสิ่งกีดขวางอื่นๆ^{[ 29 ]}

คลื่นเสียงสามารถเลี้ยวเบนรอบวัตถุได้ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมเราถึงยังได้ยินเสียงคนเรียกแม้จะซ่อนตัวอยู่หลังต้นไม้ก็ตาม^{[ 30 ]}

ตัวอย่างอื่นๆ ของการเลี้ยวเบนจะกล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง

รูปแบบการเลี้ยวเบนขึ้นอยู่กับลักษณะของสิ่งกีดขวางที่คลื่นพบเจอ ทั้งมิติทางกายภาพและวิธีที่สิ่งกีดขวางเหล่านั้นเปลี่ยนแปลงเฟสและ/หรือทิศทางของคลื่น สิ่งกีดขวางที่ง่ายที่สุดคือช่องแคบหรือช่องเปิดที่ปิดกั้นส่วนหนึ่งของคลื่น^{[ 1 ] : 444} ในบริเวณสนามไกล / บริเวณฟราวน์โฮเฟอร์ หลักการของฮุยเกนส์ที่ใช้กับบริเวณเปิดรอบสิ่งกีดขวางดังกล่าวกล่าวว่ารูปแบบการเลี้ยวเบนของสนามไกลคือการแปลงฟูริเยร์ เชิงพื้นที่ ของรูปร่างบริเวณเปิด นี่เป็นผลพลอยได้โดยตรงจากการใช้การประมาณรังสีขนาน ซึ่งเหมือนกับการแยกส่วนคลื่นระนาบของสนามระนาบข้ามบริเวณเปิด (ดูทัศนศาสตร์ฟูริเยร์ ) ^{[ 15 ]}

ช่องแสงที่ส่องสว่างซึ่งมีความกว้างมากกว่าความยาวคลื่นจะทำให้เกิดปรากฏการณ์การแทรกสอดในพื้นที่ด้านล่างของช่องแสง สมมติว่าช่องแสงมีพฤติกรรมเสมือนมีแหล่งกำเนิดแสงแบบจุดจำนวนมากที่กระจายอย่างสม่ำเสมอตามความกว้างของช่องแสง ปรากฏการณ์การแทรกสอดสามารถคำนวณได้ หากแสงตกกระทบมีความยาวคลื่นเดียวและมีความสอดคล้องกันแหล่งกำเนิดแสงเหล่านี้จะมีเฟสเดียวกันทั้งหมด แสงในพื้นที่ด้านล่างของช่องแสงประกอบด้วยส่วนประกอบจากแหล่งกำเนิดแสงแบบจุดแต่ละแหล่ง หากเฟสสัมพัทธ์ของส่วนประกอบจากแหล่งกำเนิดแสงแบบจุดแต่ละแหล่งแตกต่างกันเนื่องจากความแตกต่างของความยาวเส้นทาง ความเข้มที่ได้ก็จะแตกต่างกัน ลองจินตนาการว่าช่องแสงเป็นแกนy โดยมีแกน zขวางช่องแสงและ แกน xชี้ไปทางด้านล่าง จะเห็นค่าความเข้มต่ำสุดและสูงสุดตามแนวแกนzสำหรับค่าx ที่มาก ^{[ 1 ]} : ⁴⁴⁴

สำหรับจุดที่อยู่ใกล้มากแหล่งกำเนิดจุดทั้งหมดจะอยู่ในเฟสเดียวกัน นี่คือลำแสงที่ไม่เลี้ยวเบน ทำให้เกิดค่าสูงสุด เมื่อเคลื่อนห่างจากแกน ความยาวเส้นทางจากแหล่งกำเนิดจุดตรงกลางและแหล่งกำเนิดจุดที่ขอบของช่องจะแตกต่างกัน เมื่อความแตกต่างของเส้นทางเท่ากับแหล่งกำเนิดตรงกลางจะหักล้างกับแหล่งกำเนิดที่ขอบด้วยการรบกวนแบบทำลายล้าง สำหรับมุมที่เบี่ยงเบนจากแกนของความแตกต่างของเส้นทางจะมีค่าประมาณดังนั้นความเข้มต่ำสุดจะเกิดขึ้นที่มุมที่กำหนดโดย โดย ที่คือความกว้างของช่อง และคือความยาวคลื่นของแสง^{[ 1 ] : 444} ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lambda /2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\frac {d\sin(\theta )}{2}}}$${\displaystyle \theta _{\text{min}}}$$${\displaystyle d\,\sin \theta _{\text{min}}=\lambda ,}$$${\displaystyle d}$${\displaystyle \lambda }$

สามารถคำนวณโปรไฟล์ความเข้มทั้งหมด ได้โดยใช้สมการ การเลี้ยวเบนของฟราวน์โฮเฟอร์ดังนี้

$${\displaystyle I(\theta )=I_{0}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {d\pi }{\lambda }}\sin \theta \right),}$$ โดยที่คือความเข้มที่มุมที่กำหนดคือความเข้มที่จุดสูงสุดตรงกลาง( )ซึ่งเป็นปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานของโปรไฟล์ความเข้มที่สามารถกำหนดได้โดยการอินทิเกรตจากถึงและการอนุรักษ์พลังงาน และซึ่งเป็นฟังก์ชัน sinc ที่ไม่ได้ทำให้เป็นมาตรฐาน [ ^{1 ] : 443} ${\displaystyle I(\theta )}$${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle \theta =0}$${\textstyle \theta =-{\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin x}{x}}}$

การวิเคราะห์นี้ใช้ได้เฉพาะกับสนามไกล ( การเลี้ยวเบนของฟราวน์โฮเฟอร์ ) ซึ่งก็คือที่ระยะทางที่ไกลกว่าความกว้างของช่องมาก^{[ 1 ] : 443}

รูปแบบการเลี้ยวเบนระยะไกลของคลื่นระนาบที่ตกกระทบช่องเปิดวงกลมเรียกว่าจานแอร์รี (Airy disk ) จานแอร์รีมีการกระจายความเข้มดังต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันของมุม θ: ^{[ 1 ] : 461} โดยที่คือรัศมีของช่องเปิดวงกลมเท่ากับและคือฟังก์ชันเบสเซลยิ่งช่องเปิดเล็กลง ขนาดจุดที่ระยะทางที่กำหนดก็จะยิ่งใหญ่ขึ้น และการกระจายตัวของลำแสงที่เลี้ยวเบนก็จะยิ่งมากขึ้น สำหรับเส้นผ่านศูนย์กลางของช่องเปิดที่ใกล้เคียงกับความยาวคลื่นของแสง จานแอร์รีจะเริ่มทำหน้าที่เหมือนแหล่งกำเนิดแสงแบบจุดที่มีการกระจายตัวของลำแสงที่เลี้ยวเบนมาก^{[ 1 ] : 461} $${\displaystyle I(\theta )=I_{0}\left({\frac {2J_{1}(ka\sin \theta )}{ka\sin \theta }}\right)^{2},}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 2\pi /\lambda }$${\displaystyle J_{1}}$

วัตถุทึบแสงและรูที่มีขนาดและรูปร่างเดียวกันกับวัตถุทึบแสงเรียกว่า ช่อง เปิดเสริม : เมื่อรวมกันแล้ว ช่องเปิดเหล่านี้จะทำให้เกิดพื้นที่เปิดโล่งอย่างสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น หน้าจอที่มีรูวงกลมจะเป็นช่องเปิดเสริมกับแผ่นดิสก์วงกลมที่มีขนาดเท่ากับรู ผลทางแสงของช่องเปิดเหล่านี้จะรวมกัน ทำให้เกิดผลทางแสงเหมือนไม่มีสิ่งกีดขวาง นี่คือหลักการของ Babinet ซึ่งใช้ได้ดีในขีดจำกัดการเลี้ยวเบนของ Fraunhofer เมื่อเป็นเช่นนั้น ความเข้มในสองรูปแบบจะเท่ากันทุกที่ เมื่อฉายภาพแหล่งกำเนิดแสงแบบจุดผ่านช่องเปิดใดช่องหนึ่ง จะได้รูปแบบเดียวกันทุกที่ ยกเว้นตรงจุดโฟกัส^{[ 1 ] : 500 [ 11 ] : §8.3} ${\displaystyle E}$$${\displaystyle E_{\textrm {opaque}}+E_{\textrm {hole}}=E_{0}}$$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle E_{0}\approx 0,}$${\displaystyle E_{\textrm {opaque}}=-E_{\textrm {hole}}}$

ปรากฏการณ์ขอบมีดหรือการเลี้ยวเบนขอบมีดคือการตัดทอนส่วนหนึ่งของรังสี ตกกระทบ ที่กระทบกับสิ่งกีดขวางที่คมชัด เช่น เทือกเขาหรือกำแพงอาคาร การเลี้ยวเบนขอบมีดเป็นผลสืบเนื่องมาจาก " ปัญหา ครึ่งระนาบ " ซึ่งเดิมทีได้รับการแก้ไขโดยArnold Sommerfeldโดยใช้สูตรสเปกตรัมคลื่นระนาบ การขยายความของปัญหาครึ่งระนาบคือ "ปัญหาลิ่ม" ซึ่งสามารถแก้ไขได้ในฐานะปัญหาค่าขอบเขตในพิกัดทรงกระบอก ต่อมาJoseph B. Keller ได้ขยายการแก้ปัญหาในพิกัดทรงกระบอกไปยังระบอบแสง โดย เขาได้แนะนำแนวคิดของสัมประสิทธิ์การเลี้ยวเบนผ่านทฤษฎีการเลี้ยวเบนทางเรขาคณิต (GTD) ของเขา ในปี 1974 Prabhakar Pathak และRobert Kouyoumjianได้ขยายสัมประสิทธิ์ Keller (เอกพจน์) ผ่านทฤษฎีการเลี้ยวเบนแบบเอกรูป (UTD) ^{[ 31 ] [ 32 ]}

ตะแกรงเลี้ยวเบนเป็นส่วนประกอบทางแสงที่มีรูปแบบปกติ รูปแบบของแสงที่เลี้ยวเบนโดยตะแกรงขึ้นอยู่กับโครงสร้างขององค์ประกอบและจำนวนองค์ประกอบที่มีอยู่ แต่ตะแกรงทั้งหมดจะมีค่าความเข้มสูงสุดที่มุมθ _mซึ่งกำหนดโดยสมการตะแกรง^{[ 33 ] [ 34 ]} โดยที่คือมุมที่แสงตกกระทบคือระยะห่างระหว่างองค์ประกอบตะแกรง และคือจำนวนเต็มซึ่งสามารถเป็นบวกหรือลบก็ได้ $${\displaystyle d\left(\sin {\theta _{m}}\pm \sin {\theta _{i}}\right)=m\lambda ,}$$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle m}$

แสงที่เลี้ยวเบนผ่านตะแกรงนั้นได้มาจากการรวมแสงที่เลี้ยวเบนจากแต่ละองค์ประกอบของตะแกรง และโดยพื้นฐานแล้วเป็นการรวมกันของรูปแบบการเลี้ยวเบนและการแทรกสอด รูปแสดงแสงที่เลี้ยวเบนผ่านตะแกรง 2 องค์ประกอบและ 5 องค์ประกอบ โดยที่ระยะห่างระหว่างองค์ประกอบเท่ากัน จะเห็นได้ว่าจุดสูงสุดอยู่ที่ตำแหน่งเดียวกัน แต่โครงสร้างโดยละเอียดของความเข้มแสงนั้นแตกต่างกัน

แนวทางทางคณิตศาสตร์ที่มากขึ้นเกี่ยวข้องกับการจัดการปัญหาเป็นการรวมคลื่นทรงกลมที่ได้มาจากสมการคลื่นที่เกี่ยวข้อง ดูรายละเอียดเพิ่มเติม ได้จาก Born และ Wolf ^{[ 11 ]}คลื่นที่เกิดขึ้นจากแหล่งกำเนิดจุดจะมีแอมพลิจูดที่ตำแหน่งที่กำหนดโดยผลเฉลยของสมการคลื่นโดเมนความถี่สำหรับแหล่งกำเนิดจุด ( สมการเฮล์มโฮลทซ์ ) โดยที่คือฟังก์ชันเดลต้า 3 มิติ โดยการแทนค่าโดยตรง สามารถแสดงได้ว่าคำตอบของสมการนี้คือฟังก์ชันกรีนแบบสเกลาร์ซึ่งในระบบพิกัดทรงกลม (และใช้ข้อกำหนดเวลาทางฟิสิกส์) คือ ซึ่งเป็นคลื่นทรงกลมที่แผ่ออกมาจากจุดกำเนิด ซึ่งเป็นรูปแบบทางคณิตศาสตร์ของเวฟเล็ตของฮุยเกนส์ในแนวทางของฮุยเกนส์-เฟรสเนล คำตอบนี้สมมติว่าแหล่งกำเนิดฟังก์ชันเดลต้าอยู่ที่จุดกำเนิด หากแหล่งกำเนิดอยู่ที่จุดแหล่งกำเนิดใดๆ ซึ่งแทนด้วยเวกเตอร์และจุดสนามอยู่ที่จุดแล้วเราสามารถแทนฟังก์ชันกรีนแบบสเกลาร์ (สำหรับตำแหน่งแหล่งกำเนิดใดๆ) ได้ดังนี้ ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +k^{2}\psi =\delta (\mathbf {r} ),}$$${\displaystyle \delta (\mathbf {r} )}$${\displaystyle e^{-i\omega t}}$$${\displaystyle \psi (r)={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}.}$$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}$$

ในบริเวณไกลออกไป ซึ่งมีค่ามาก ฟังก์ชันกรีนจะลดรูปเหลือเพียง ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}e^{-ik(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {\hat {r}} )}}$$ดังนั้นสูตรสำหรับคลื่นระยะไกล (บริเวณฟราวน์โฮเฟอร์) จึงเป็นดังนี้ $${\displaystyle \Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limits _{\mathrm {aperture} }\!\!E_{\mathrm {inc} }(x',y')e^{-ik(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {\hat {r}} )}\,dx'\,dy'.}$$

โดยมีสนามไฟฟ้าตกกระทบที่ช่องเปิดในกรณีของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ในบริเวณสนามไกล/ฟราวน์โฮเฟอร์ สิ่งนี้จะกลายเป็นการแปลงฟูริเยร์ เชิงพื้นที่ ของช่องเปิด หลักการของฮุยเกนส์เมื่อนำไปใช้กับช่องเปิดกล่าวอย่างง่าย ๆ ว่ารูปแบบการเลี้ยวเบนในสนามไกลคือการแปลงฟูริเยร์เชิงพื้นที่ของรูปร่างช่องเปิด และนี่เป็นผลพลอยได้โดยตรงจากการใช้การประมาณรังสีขนาน ซึ่งเหมือนกับการแยกส่วนคลื่นระนาบของสนามระนาบของช่องเปิด (ดูทัศนศาสตร์ฟูริเยร์ ) ในสนามไกล ซึ่งrมีค่าคงที่โดยพื้นฐานแล้ว สมการ: เทียบเท่ากับการทำการแปลงฟูริเยร์บนช่องว่างในสิ่งกีดขวาง^{[ 35 ]}สามารถหาแบบฟอร์มที่คล้ายกันได้สำหรับสสารและคลื่นประเภทอื่น ๆ^{[ 15 ]}ตัวอย่างเช่น สำหรับการเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอน ช่องเปิดจะถูกแทนที่ด้วยศักย์ไฟฟ้าสถิต ในขณะที่สำหรับการเลี้ยวเบนของรังสีเอกซ์ จะเป็นความหนาแน่นประจุของอิเล็กตรอน ${\displaystyle E_{\mathrm {inc} }(x,y)}$$${\displaystyle \Psi =\int _{\mathrm {aperture} }{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,d\mathrm {aperture} }$$

ในกรณีที่กล่าวถึงข้างต้น ถือว่าคลื่นจะพบกับสิ่งกีดขวางหรือสิ่งกีดขวางเพียงสิ่งเดียว แล้วจึงเกิดการเลี้ยวเบน ในความเป็นจริง คลื่นอาจพบกับสิ่งกีดขวางหลายอย่างตามทิศทางที่มันเคลื่อนที่ การเลี้ยวเบนของคลื่นที่สิ่งกีดขวางแรกที่มันพบ อาจนำไปสู่การเลี้ยวเบนที่สิ่งกีดขวางถัดไป และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป กรณีที่เกิดการเลี้ยวเบนเพียงครั้งเดียวเรียกว่าการเลี้ยวเบนแบบจลนพลศาสตร์ (kinematical diffraction ) ส่วนกรณีทั่วไปเรียกว่าการเลี้ยวเบนแบบพลศาสตร์ (dynamical diffraction ) การเลี้ยวเบนแบบพลศาสตร์ได้รับการพัฒนาอย่างดีสำหรับรังสีเอกซ์^{[ 20 ] [ 21 ]}และสำหรับอิเล็กตรอนด้วย^{[ 15 ] [ 18 ] [ 19 ]}ดังที่ได้กล่าวไว้อย่างกว้างขวางในเอกสารและบทวิจารณ์ที่มีอยู่ ผลลัพธ์ของการเลี้ยวเบนแบบพลศาสตร์อาจแตกต่างจากผลลัพธ์เมื่อพิจารณาเฉพาะการกระเจิงเพียงครั้งเดียว นอกจากนี้ยังสามารถเกิดขึ้นได้กับแสง ตัวอย่างหนึ่งคือโอปอลและผลึกโฟตอนิก^{[ 36 ]}

ตามทฤษฎีควอนตัม อนุภาคทุกชนิดแสดงคุณสมบัติของคลื่นและสามารถเกิดการเลี้ยวเบนได้ การเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอนและนิวตรอนเป็นหนึ่งในข้อโต้แย้งที่ทรงพลังที่สนับสนุนกลศาสตร์ควอนตัม ความยาวคลื่นที่เกี่ยวข้องกับอนุภาคที่ไม่สัมพันธ์กับสัมพัทธภาพคือความยาวคลื่นเดอ บรอยล์^{[ 13 ]} โดยที่คือค่าคงที่ของพลังค์และคือโมเมนตัมของอนุภาค (มวล × ความเร็วสำหรับอนุภาคที่เคลื่อนที่ช้า) ตัวอย่างเช่น อะตอมโซเดียมที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วประมาณ 300 ม./วินาที จะมีความยาวคลื่นเดอ บรอยล์ประมาณ 50 พิโคเมตร $${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}\,,}$$${\displaystyle h}$${\displaystyle p}$

การเลี้ยวเบนของคลื่นสสารได้รับการสังเกตสำหรับอนุภาคขนาดเล็ก เช่น อิเล็กตรอน นิวตรอน อะตอม และแม้แต่โมเลกุลขนาดใหญ่ ความยาวคลื่นสั้นของคลื่นสสารเหล่านี้ทำให้เหมาะอย่างยิ่งสำหรับการศึกษาโครงสร้างอะตอมของของแข็ง โมเลกุล และโปรตีน^{[ 15 ]}

การเลี้ยวเบนจากโครงสร้างคาบสามมิติขนาดใหญ่ เช่น อะตอมหลายพันอะตอมในผลึก เรียกว่าการเลี้ยวเบนแบบแบรกก์^{[ 37 ]}ซึ่งคล้ายกับสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อคลื่นกระเจิงจากตะแกรง เลี้ยว เบน การเลี้ยวเบนแบบแบรกก์เป็นผลมาจากการแทรกสอดระหว่างคลื่นที่สะท้อนจากระนาบผลึกที่แตกต่างกันหลายระนาบ เงื่อนไขของการแทรกสอดแบบเสริมกันนั้นกำหนดโดยกฎของแบรกก์ : โดยที่คือความยาวคลื่นคือระยะห่างระหว่างระนาบผลึกคือมุมของคลื่นที่เลี้ยวเบน และคือจำนวนเต็มที่เรียกว่าลำดับของลำแสงที่เลี้ยวเบน $${\displaystyle m\lambda =2d\sin \theta ,}$$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle d}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle m}$

การเลี้ยวเบนของแบร็กอาจดำเนินการโดยใช้รังสีแม่เหล็กไฟฟ้าที่มีความยาวคลื่นสั้นมาก เช่นรังสีเอกซ์หรือคลื่นสสาร เช่นนิวตรอนซึ่งมีความยาวคลื่นอยู่ในระดับเดียวกับ (หรือเล็กกว่ามาก) ระยะห่างระหว่างอะตอม^{[ 15 ]}รูปแบบที่เกิดขึ้นจะให้ข้อมูลเกี่ยวกับการแยกตัวของระนาบผลึกทำให้สามารถอนุมานโครงสร้างผลึกได้ ${\displaystyle d}$

เพื่อความสมบูรณ์ การเลี้ยวเบนของแบร็กเป็นข้อจำกัดสำหรับอะตอมจำนวนมากด้วยรังสีเอกซ์หรือนิวตรอน และแทบจะไม่ใช้ได้กับการเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอนหรืออนุภาคของแข็งในช่วงขนาดที่น้อยกว่า 50 นาโนเมตร^{[ 15 ]}

คำอธิบายของการเลี้ยวเบนอาศัยการรบกวนของคลื่นที่แผ่ออกมาจากแหล่งกำเนิดเดียวกันซึ่งใช้เส้นทางที่แตกต่างกันไปยังจุดเดียวกันบนหน้าจอ ในคำอธิบายนี้ ความแตกต่างของเฟสระหว่างคลื่นที่ใช้เส้นทางที่แตกต่างกันจะขึ้นอยู่กับความยาวเส้นทางที่มีประสิทธิภาพเท่านั้น ซึ่งไม่ได้คำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าคลื่นที่มาถึงหน้าจอในเวลาเดียวกันนั้นถูกปล่อยออกมาจากแหล่งกำเนิดในเวลาที่ต่างกัน เฟสเริ่มต้นที่แหล่งกำเนิดปล่อยคลื่นออกมาสามารถเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาในลักษณะที่ไม่สามารถคาดเดาได้ ซึ่งหมายความว่าคลื่นที่ปล่อยออกมาจากแหล่งกำเนิดในเวลาที่ห่างกันมากเกินไปจะไม่สามารถสร้างรูปแบบการรบกวนที่คงที่ได้อีกต่อไป เนื่องจากความสัมพันธ์ระหว่างเฟสของพวกมันไม่เป็นอิสระจากเวลาอีกต่อไป^{[ 38 ] : 919}

ความยาวที่เฟสในลำแสงมีความสัมพันธ์กันเรียกว่าความยาวโคเฮเรนซ์เพื่อให้เกิดการแทรกสอด ความแตกต่างของความยาวเส้นทางต้องน้อยกว่าความยาวโคเฮเรนซ์ บางครั้งเรียกว่า โคเฮเรนซ์เชิงสเปกตรัม เนื่องจากเกี่ยวข้องกับการมีส่วนประกอบความถี่ที่แตกต่างกันในคลื่น ในกรณีของแสงที่ปล่อยออกมาจากการเปลี่ยนสถานะของอะตอมความยาวโคเฮเรนซ์จะสัมพันธ์กับอายุของสถานะกระตุ้นที่อะตอมเปลี่ยนสถานะ^{[ 39 ] : 71–74 [ 1 ] : 314–316}

หากคลื่นถูกปล่อยออกมาจากแหล่งกำเนิดที่ขยายออกไป สิ่งนี้อาจนำไปสู่ความไม่สอดคล้องกันในทิศทางตามขวาง เมื่อพิจารณาส่วนตัดขวางของลำแสง ความยาวที่เฟสมีความสัมพันธ์กันเรียกว่าความยาวความสอดคล้องตามขวาง ในกรณีของการทดลองช่องคู่ของ Young นั่นหมายความว่าหากความยาวความสอดคล้องตามขวางมีขนาดเล็กกว่าระยะห่างระหว่างช่องทั้งสอง รูปแบบที่เกิดขึ้นบนหน้าจอจะดูเหมือนรูปแบบการเลี้ยวเบนของช่องเดี่ยวสองช่อง^{[ 39 ] : 74–79}

ในกรณีของอนุภาคเช่นอิเล็กตรอน นิวตรอน และอะตอม ความยาวของการคงตัวจะสัมพันธ์กับขอบเขตเชิงพื้นที่ของฟังก์ชันคลื่นที่อธิบายอนุภาค^{[ 40 ] : 107}

• ทฤษฎีพลศาสตร์ของการเลี้ยวเบน  – การเลี้ยวเบนหลายครั้งของคลื่น
• การเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอน  – การเบี่ยงเบนของลำแสงอิเล็กตรอนเนื่องจากปฏิกิริยาทางไฟฟ้าสถิตกับสสาร
• การเลี้ยวเบนแบบฟราวน์โฮเฟอร์  – การเลี้ยวเบนในระยะไกล
• การเลี้ยวเบนแบบเฟรสเนล  – การเลี้ยวเบนในระยะใกล้
• การเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอนในแก๊ส  – วิธีการสังเกตโครงสร้างอะตอมของแก๊ส
• การเลี้ยวเบนแบบตกกระทบเฉียง  – การเลี้ยวเบนโดยใช้มุมตกกระทบเล็กๆ
• การกระเจิงของอะตอมฮีเลียม  – การเลี้ยวเบนของฮีเลียมจากพื้นผิว
• การเลี้ยวเบนเชิงจลนศาสตร์  – การเลี้ยวเบนแบบกระเจิงเดี่ยวPages displaying short descriptions of redirect targets
• การเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอนพลังงานต่ำ  – เทคนิคสำหรับการกำหนดโครงสร้างพื้นผิวPages displaying short descriptions of redirect targets
• การเลี้ยวเบนของนิวตรอน  – เทคนิคในการตรวจสอบโครงสร้างอะตอมโดยใช้การกระเจิงของนิวตรอน
• การเลี้ยวเบนของผง  – วิธีการทดลองในการเลี้ยวเบนของรังสีเอกซ์
• การเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอนพลังงานสูงแบบสะท้อน  – การเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอนโดยการสะท้อนจากพื้นผิว
• การเลี้ยวเบนของรังสีเอกซ์  – ปฏิสัมพันธ์แบบยืดหยุ่นระหว่างรังสีเอกซ์กับอิเล็กตรอน

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์การเลี้ยวเบนของแสง

• หนังสือบรรยายวิชาฟิสิกส์ของเฟย์นแมน เล่มที่ 1 บทที่ 30: การเลี้ยวเบน
• "การกระเจิงและการเลี้ยวเบน" ผลึกศาสตร์สหภาพผลึกศาสตร์ระหว่างประเทศ
• การใช้แผ่นซีดีเป็นตะแกรงเลี้ยวเบนใน YouTube