วิธีองค์ประกอบขอบเขต (Boundary Element MethodหรือBEM ) เป็นวิธีการคำนวณเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้น (Linear Partial Differential Equationsหรือ PDEs) ที่เกิดขึ้นในงานวิศวกรรมและการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์วิธีนี้คล้ายกับวิธีองค์ประกอบจำกัด (Finite Element Method ) ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายมากกว่า โดยจะแบ่งวัตถุที่ศึกษาออกเป็นจุดต่างๆ ในอวกาศ แล้วทำการคำนวณซ้ำๆ ที่จุดเหล่านั้น

BEM แตกต่างจาก FEM (และวิธีการที่คล้ายคลึงกัน) ตรงที่ BEM อนุญาตให้คำนวณค่า ณ จุดภายในหรือภายนอกโดยใช้การคำนวณจากค่า ณ ขอบเขตที่กำหนด ซึ่งมักจะเป็นพื้นผิวด้านนอกของวัตถุหรือขอบเขตที่คล้ายคลึงกัน วิธีการนี้ทำได้โดยการแปลงสมการอนุพันธ์ย่อย (PDE) ให้เป็นสมการเชิงปริพันธ์ (เช่น ใน รูปแบบ ปริพันธ์ขอบเขต ) ซึ่งจะลดการคำนวณปริมาตรขนาดใหญ่ลงเหลือเพียงการคำนวณจากคำตอบ ณ ขอบเขต ซึ่งจะช่วยลดปริมาณการคำนวณทั้งหมดลงอย่างมาก ตัวอย่างเช่น ในการพิจารณาการส่งผ่านเสียงผ่านทะเลสาบ FEM จะต้องคำนวณจุดจำนวนมหาศาล ในขณะที่ BEM สามารถลดการคำนวณนี้ลงเหลือเพียงการคำนวณเงื่อนไขบนพื้นผิวด้านนอกของแหล่งกำเนิดเสียงเท่านั้น

BEM ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์ความเครียดกลศาสตร์ของไหล อะคูสติกและสาขาที่คล้ายคลึงกัน นอกจากนี้ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษาแม่เหล็กไฟฟ้าโดยเฉพาะอย่างยิ่งประสิทธิภาพของเสาอากาศวิทยุในกรณีนี้ มีการใช้กันอย่างแพร่หลายจนโดยทั่วไปจะเรียกด้วยคำอื่นว่าวิธีโมเมนต์ (MoM) ^{[ 1 ]}

วิธีองค์ประกอบขอบเขตยังเหมาะอย่างยิ่งสำหรับการวิเคราะห์กลศาสตร์การแตกหักและรอยแตกในของแข็ง และมีแนวทาง BEM หลายวิธีสำหรับปัญหารอยแตก แนวทางหนึ่งดังกล่าวคือการกำหนดเงื่อนไขของรอยแตกในรูปของสมการอินทิกรัลขอบเขตไฮเปอร์ซิงกูลาร์ ดู ( Ang 2013 ) และกลศาสตร์การสัมผัส^{[ 2 ] [ 3 ]}

สมการอินทิกรัลอาจถือได้ว่าเป็นคำตอบที่แน่นอนของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ควบคุมอยู่ วิธีการองค์ประกอบขอบเขตพยายามใช้เงื่อนไขขอบเขต ที่กำหนดให้ เพื่อปรับค่าขอบเขตให้เข้ากับสมการอินทิกรัล แทนที่จะใช้ค่าตลอดพื้นที่ที่กำหนดโดยสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เมื่อทำเช่นนี้แล้ว ในขั้นตอนการประมวลผลภายหลัง สมการอินทิกรัลสามารถนำมาใช้คำนวณคำตอบเชิงตัวเลขโดยตรง ณ จุดใด ๆ ที่ต้องการภายในโดเมนคำตอบได้อีกครั้ง

วิธี BEM สามารถนำไปใช้กับปัญหาที่สามารถคำนวณฟังก์ชันของกรีน ได้ ซึ่งโดยทั่วไปเกี่ยวข้องกับสนามในตัวกลางเอก พันธุ์เชิงเส้น สิ่งนี้ทำให้เกิดข้อจำกัดอย่างมากต่อขอบเขตและความทั่วไปของปัญหาที่สามารถนำองค์ประกอบขอบเขตมาใช้ได้อย่างมีประโยชน์ สามารถรวมความไม่เป็นเชิงเส้นเข้าไว้ในสูตรได้ แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะทำให้เกิดปริพันธ์ปริมาตร ซึ่งจำเป็นต้องแบ่งปริมาตรออกเป็นส่วนย่อยก่อนที่จะพยายามหาคำตอบ ซึ่งจะทำให้ข้อดีที่กล่าวถึงบ่อยที่สุดของ BEM หายไป เทคนิคที่มีประโยชน์สำหรับการจัดการปริพันธ์ปริมาตรโดยไม่ต้องแบ่งปริมาตรออกเป็นส่วนย่อยคือวิธีการผกผันแบบคู่ (dual-reciprocity method ) เทคนิคนี้ประมาณส่วนหนึ่งของตัวอินทิกรัลโดยใช้ฟังก์ชันฐานรัศมี (ฟังก์ชันการประมาณค่าเฉพาะที่) และแปลงปริพันธ์ปริมาตรเป็นปริพันธ์ขอบเขตหลังจากกำหนดตำแหน่งร่วมกันที่จุดที่เลือกซึ่งกระจายอยู่ทั่วโดเมนปริมาตร (รวมถึงขอบเขต) ใน BEM แบบผกผันแบบคู่ แม้ว่าจะไม่จำเป็นต้องแบ่งปริมาตรออกเป็นตาข่าย แต่ตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่จุดที่เลือกภายในโดเมนคำตอบจะเกี่ยวข้องกับสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่ประมาณปัญหาที่กำลังพิจารณาอยู่

องค์ประกอบของฟังก์ชันกรีนที่เชื่อมต่อคู่ของบริเวณแหล่งกำเนิดและบริเวณสนามที่กำหนดโดยตาข่ายจะก่อให้เกิดเมทริกซ์ ซึ่งสามารถแก้ได้ด้วยวิธีเชิงตัวเลข เว้นแต่ว่าฟังก์ชันกรีนจะมีพฤติกรรมที่ดี อย่างน้อยสำหรับคู่ของบริเวณที่อยู่ใกล้กัน ฟังก์ชันกรีนจะต้องถูกอินทิเกรตเหนือบริเวณแหล่งกำเนิดหรือบริเวณสนาม หรือทั้งสองอย่าง รูปแบบของวิธีการที่การอินทิเกรตเหนือบริเวณแหล่งกำเนิดและบริเวณสนามเหมือนกันเรียกว่า " วิธีของกาเลอร์กิน " วิธีของกาเลอร์กินเป็นวิธีการที่ชัดเจนสำหรับปัญหาที่มีความสมมาตรเกี่ยวกับการสลับจุดแหล่งกำเนิดและจุดสนาม ในแม่เหล็กไฟฟ้าในโดเมนความถี่ สิ่งนี้ได้รับการรับรองโดยหลักการแลกเปลี่ยนทางแม่เหล็กไฟฟ้าต้นทุนการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับการใช้งานกาเลอร์กินแบบง่ายๆ มักจะค่อนข้างสูง เราต้องวนซ้ำแต่ละคู่ขององค์ประกอบ (ดังนั้นเราจึงได้ปฏิสัมพันธ์ n² ⁾และสำหรับแต่ละคู่ขององค์ประกอบ เราจะวนซ้ำผ่านจุดเกาส์ในองค์ประกอบที่สร้างตัวคูณที่เป็นสัดส่วนกับจำนวนจุดเกาส์ยกกำลังสอง นอกจากนี้ การประเมินค่าฟังก์ชันที่จำเป็นมักมีค่าใช้จ่ายค่อนข้างสูง โดยเกี่ยวข้องกับการเรียกใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ/ไฮเปอร์โบลิก อย่างไรก็ตาม แหล่งที่มาหลักของต้นทุนการคำนวณคือการวนซ้ำสองรอบบนองค์ประกอบต่างๆ เพื่อสร้างเมทริกซ์ที่เติมเต็มอย่างสมบูรณ์

ฟังก์ชันของกรีนหรือผลเฉลยพื้นฐานมักเป็นปัญหาในการหาปริพันธ์ เนื่องจากขึ้นอยู่กับผลเฉลยของสมการระบบที่อยู่ภายใต้ภาระเอกฐาน (เช่น สนามไฟฟ้าที่เกิดจากประจุจุด) การหาปริพันธ์ของสนามเอกฐานดังกล่าวไม่ใช่เรื่องง่าย สำหรับรูปทรงเรขาคณิตขององค์ประกอบที่เรียบง่าย (เช่น สามเหลี่ยมระนาบ) สามารถใช้การหาปริพันธ์เชิงวิเคราะห์ได้ สำหรับองค์ประกอบที่ซับซ้อนกว่านั้น สามารถออกแบบวิธีการเชิงตัวเลขล้วนๆ ที่ปรับให้เข้ากับเอกฐานได้ แต่ต้องใช้ต้นทุนการคำนวณสูงมาก แน่นอนว่า เมื่อจุดกำเนิดและองค์ประกอบเป้าหมาย (ที่ทำการหาปริพันธ์) อยู่ห่างกันมาก ความชันเฉพาะที่รอบจุดนั้นไม่จำเป็นต้องระบุปริมาณอย่างแม่นยำ และสามารถหาปริพันธ์ได้ง่ายขึ้นเนื่องจากการลดลงอย่างราบเรียบของผลเฉลยพื้นฐาน คุณสมบัตินี้มักถูกนำมาใช้ในวิธีการที่ออกแบบมาเพื่อเร่งการคำนวณปัญหาองค์ประกอบขอบเขต

การหาฟังก์ชันกรีนในรูปแบบปิดมีความสำคัญเป็นพิเศษในวิธีการองค์ประกอบขอบเขต โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านแม่เหล็กไฟฟ้า โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิเคราะห์สื่อแบบหลายชั้น การหาฟังก์ชันกรีนในโดเมนเชิงพื้นที่จำเป็นต้องมีการผกผันฟังก์ชันกรีนในโดเมนสเปกตรัมที่หาได้ทางคณิตศาสตร์ผ่านปริพันธ์เส้นทางของ Sommerfeld ปริพันธ์นี้ไม่สามารถประเมินได้ทางคณิตศาสตร์ และการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขมีค่าใช้จ่ายสูงเนื่องจากพฤติกรรมที่แกว่งไปมาและลู่เข้าช้า สำหรับการวิเคราะห์ที่แข็งแกร่ง ฟังก์ชันกรีนเชิงพื้นที่จะถูกประมาณเป็นเลขชี้กำลังเชิงซ้อนด้วยวิธีการต่างๆ เช่นวิธีของ Pronyหรือฟังก์ชันดินสอทั่วไปและปริพันธ์จะถูกประเมินด้วยเอกลักษณ์ของ Sommerfeld [ ^{4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] วิธี}นี้เรียกว่าวิธีภาพเชิงซ้อนแบบไม่ต่อเนื่อง^{[ 6 ] [ 7 ]}

วิธีองค์ประกอบขอบเขตมักมีประสิทธิภาพมากกว่าวิธีอื่นๆ รวมถึงวิธีองค์ประกอบจำกัด ในแง่ของทรัพยากรการคำนวณสำหรับปัญหาที่มีอัตราส่วนพื้นผิวต่อปริมาตรน้อย^{[ 8 ]}ในเชิงแนวคิด วิธีนี้ทำงานโดยการสร้าง " ตาข่าย " บนพื้นผิวที่จำลอง อย่างไรก็ตาม สำหรับปัญหาหลายๆ ปัญหา วิธีองค์ประกอบขอบเขตมีประสิทธิภาพน้อยกว่าวิธีการแบ่งส่วนปริมาตร ( วิธีองค์ประกอบจำกัดวิธีผลต่างจำกัดวิธีปริมาตรจำกัด ) อย่างมาก ตัวอย่างที่ดีของการประยุกต์ใช้วิธีองค์ประกอบขอบเขตคือการคำนวณความถี่ธรรมชาติของการกระฉอกของของเหลวในถัง อย่างมีประสิทธิภาพ ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}วิธีองค์ประกอบขอบเขตเป็นหนึ่งในวิธีที่มีประสิทธิภาพที่สุดสำหรับการจำลองเชิงตัวเลขของปัญหาการสัมผัส^{[ 12 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการจำลองการสัมผัสแบบยึดติด^{[ 13 ]}

โดยทั่วไปแล้ว การกำหนดสูตรด้วยวิธีองค์ประกอบขอบเขตจะทำให้เกิดเมทริกซ์ที่มีข้อมูลครบถ้วน ซึ่งหมายความว่าความต้องการพื้นที่จัดเก็บและเวลาในการคำนวณจะเพิ่มขึ้นตามกำลังสองของขนาดปัญหา ในทางตรงกันข้าม เมทริกซ์ของวิธีองค์ประกอบจำกัดมักจะเป็นแบบแถบ (องค์ประกอบเชื่อมต่อกันเฉพาะในพื้นที่) และความต้องการพื้นที่จัดเก็บสำหรับเมทริกซ์ของระบบมักจะเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงตามขนาดของปัญหา เทคนิคการบีบอัด (เช่น การขยายแบบมัลติโพล หรือการประมาณค่าไขว้แบบปรับได้/ เมทริกซ์แบบลำดับชั้น ) สามารถนำมาใช้เพื่อบรรเทาปัญหาเหล่านี้ได้ แม้ว่าจะต้องแลกมาด้วยความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้น และอัตราความสำเร็จขึ้นอยู่กับลักษณะของปัญหาที่กำลังแก้ไขและรูปทรงเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องเป็นอย่างมาก

• วิธีองค์ประกอบเชิงวิเคราะห์
• แม่เหล็กไฟฟ้าเชิงคำนวณ
• วิธีการไร้ตาข่าย
• วิธีขอบเขตที่จมอยู่ใต้น้ำ
• วิธีการกริดแบบยืด
• วิธีการรวมเชิงรัศมีที่ดัดแปลง^{[ 14 ] [ 15 ]}

• Ang, Whye-Teong (2007), หลักสูตรเบื้องต้นเกี่ยวกับวิธีองค์ประกอบขอบเขต , โบคา ราตัน, ฟลอริดา: Universal Publishers , ISBN 978-1-58112-974-8.
• Ang, Whye-Teong (2013), สมการอินทิกรัลไฮเปอร์ซิงกูลาร์ในการวิเคราะห์การแตกหัก , อ็อกซ์ฟอร์ด: สำนักพิมพ์ Woodhead , ISBN 978-0-85709-479-7.
• Banerjee, Prasanta Kumar (1994), วิธีองค์ประกอบขอบเขตในงานวิศวกรรม (ฉบับที่ 2), ลอนดอน ฯลฯ: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-707769-3.
• เบียร์, เกอร์นอต; สมิธ, เอียน; ดูเอ็นเซอร์, คริสเตียน (8 เมษายน 2551), วิธีองค์ประกอบขอบเขตด้วยการเขียนโปรแกรม: สำหรับวิศวกรและนักวิทยาศาสตร์ , เบอร์ลิน – ไฮเดลเบิร์ก – นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-เวอร์แลก , หน้า XIV+494, ISBN 978-3-211-71574-1
• Cheng, Alexander H.-D.; Cheng, Daisy T. (2005), "มรดกและประวัติศาสตร์ช่วงต้นของวิธีองค์ประกอบขอบเขต", การวิเคราะห์ทางวิศวกรรมด้วยองค์ประกอบขอบเขต , 29 (3): 268– 302, doi : 10.1016/j.enganabound.2004.12.001 , Zbl  1182.65005สามารถดูได้ที่นี่ เช่น กัน
• Gibson, Walton C (2008), วิธีการของโมเมนต์ในแม่เหล็กไฟฟ้า , โบคา ราตัน, ฟลอริดา: Chapman & Hall / CRC Press , หน้า xv+272, ISBN 978-1-4200-6145-1MR  2503144 , Zbl  1175.78002​.
• Katsikadelis, John T. (2002), ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้องค์ประกอบขอบเขต , อัมสเตอร์ดัม: Elsevier , หน้า XIV+336, ISBN 978-0-080-44107-8.
• Wrobel, LC; Aliabadi, MH (2002), วิธีองค์ประกอบขอบเขต , นิวยอร์ก: John Wiley & Sons , หน้า 1066, ISBN 978-0-470-84139-6(ในสองเล่ม)

• Constanda, Christian; Doty, Dale; Hamill, William (2016). วิธีสมการอินทิกรัลขอบเขตและการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข: แผ่นบางบนฐานรองรับยืดหยุ่น . นิวยอร์ก: Springer. ISBN 978-3-319-26307-6.

• แหล่งข้อมูลออนไลน์สำหรับองค์ประกอบขอบเขต
• อะไรซ่อนอยู่เบื้องล่างพื้นผิว? คู่มือวิธีองค์ประกอบขอบเขตและฟังก์ชันของกรีนสำหรับนักศึกษาและผู้เชี่ยวชาญ
• หลักสูตรเบื้องต้นเกี่ยวกับ BEM (พร้อมบทหนึ่งเกี่ยวกับฟังก์ชันของกรีน)
• องค์ประกอบขอบเขตสำหรับปัญหาการแตกร้าวในระนาบ
• เว็บไซต์เกี่ยวกับการจำลองแบบแม่เหล็กไฟฟ้าของมหาวิทยาลัยเคลมสัน (รวมถึงรายชื่อซอฟต์แวร์ที่มีให้ใช้งานในปัจจุบัน)
• ซอฟต์แวร์วิเคราะห์องค์ประกอบขอบเขต Concept Analyst
• Klimpke, Bruce A. โปรแกรมแก้ปัญหาสนามแม่เหล็กแบบไฮบริดโดยใช้โปรแกรมแก้ปัญหาสนามแบบผสมผสานระหว่างวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์ และวิธีบาวน์ดารีเอเลเมนต์ การประชุมสมาคมแม่เหล็กแห่งสหราชอาณาจักร ปี 2003ซึ่งเปรียบเทียบวิธีการ FEM และ BEM รวมถึงวิธีการแบบไฮบริด

• Bembelคือซอฟต์แวร์ BEM แบบโอเพนซอร์ส 3 มิติ ไอโซจีโอเมตริก ลำดับสูง สำหรับปัญหา Laplace, Helmholtz และ Maxwell โดยใช้วิธีมัลติโพลแบบเร็วเพื่อการบีบอัดและลดต้นทุนการคำนวณ
• boundary-element-method.comซอฟต์แวร์ BEM แบบโอเพนซอร์สสำหรับแก้ปัญหาทางด้านเสียง/เฮล์มโฮลทซ์ และลาปลาส
• Puma-EMเป็นโปรแกรมขนานแบบโอเพนซอร์สและประสิทธิภาพสูงสำหรับวิธีการคำนวณโมเมนต์/วิธีการมัลติเลเวล ฟาสต์ มัลติโพล เมธอด
• AcouSTO Acoustics Simulation TOol คือโปรแกรมแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบบขนาน BEM ที่ใช้ซอร์สโค้ดและไม่มีค่าใช้จ่าย สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ Kirchhoff-Helmholtz (KHIE)
• FastBEMโปรแกรมองค์ประกอบขอบเขตแบบมัลติโพลที่รวดเร็วและฟรี สำหรับแก้ปัญหาศักยภาพ ความยืดหยุ่น การไหลของสโตกส์ และปัญหาเสียงใน 2 มิติ/3 มิติ
• ParaFEMประกอบด้วยตัวแก้ปัญหา BEM แบบขนานโอเพนซอร์สและใช้งานได้ฟรี สำหรับปัญหาความยืดหยุ่น ซึ่งอธิบายไว้ในหนังสือของ Gernot Beer, Ian Smith, Christian Duenser เรื่องThe Boundary Element Method with Programming: For Engineers and Scientistsสำนักพิมพ์ Springer, ISBN 978-3-211-71574-1(2008)
• ไลบรารีแม่แบบองค์ประกอบขอบเขต (BETL) คือไลบรารีซอฟต์แวร์ C++ อเนกประสงค์สำหรับการแบ่งส่วนย่อยของตัวดำเนินการอินทิกรัลขอบเขต
• Nemohคือซอฟต์แวร์ BEM ด้านอุทกพลศาสตร์แบบโอเพนซอร์ส ที่ออกแบบมาเพื่อคำนวณแรงคลื่นอันดับแรกบนโครงสร้างนอกชายฝั่ง (มวลเพิ่ม การลดทอนการแผ่รังสี แรงเลี้ยวเบน)
• Bemppซอฟต์แวร์ BEM แบบโอเพนซอร์สสำหรับปัญหา Laplace, Helmholtz และ Maxwell แบบ 3 มิติ
• MNPBEMคือชุดเครื่องมือ Matlab แบบโอเพนซอร์สสำหรับแก้สมการของแม็กซ์เวลล์สำหรับโครงสร้างนาโนที่มีรูปร่างใดๆ ก็ได้
• โปรแกรม จำลองกลไกการสัมผัสและไตรโบโลยีฟรี ซอฟต์แวร์ที่ใช้ BEM
• MultiFEBEคือตัวแก้ปัญหา BEM-FEM สำหรับกลศาสตร์เชิงคำนวณ ซึ่งช่วยให้สามารถเชื่อมโยงสื่อหนืดหยุ่นหรือสื่อพรุนหยุ่นแบบ 2 มิติและ 3 มิติเข้ากับองค์ประกอบโครงสร้างคานและเปลือก (เช่น สำหรับปัญหาปฏิสัมพันธ์ระหว่างดินและโครงสร้างแบบไดนามิก)
• BE-STATIKโปรแกรม BE ฟรี สำหรับแก้ปัญหาศักย์ไฟฟ้า ความยืดหยุ่น และการดัดแผ่นใน 2 มิติ (Kirchhoff)