การวิเคราะห์ความเค้น-ความเครียด (หรือการวิเคราะห์ความเค้น ) เป็นสาขา วิชา วิศวกรรมศาสตร์ที่ใช้วิธีการมากมายในการวิเคราะห์ความเค้นและความเครียดในวัสดุและโครงสร้างที่รับแรงในกลศาสตร์ต่อเนื่องความเค้นคือปริมาณทางกายภาพ ที่แสดงถึง แรงภายใน ที่ อนุภาคข้างเคียงของวัสดุต่อเนื่องกระทำต่อกัน ในขณะที่ความเครียดคือการวัดการเสียรูปของวัสดุ

พูดอย่างง่าย เราสามารถนิยามความเค้น (stress) ว่าเป็นแรงต้านทานต่อหน่วยพื้นที่ที่วัตถุกระทำต่อการเปลี่ยนรูป ความเค้นคืออัตราส่วนของแรงต่อพื้นที่ (S = R/A โดยที่ S คือความเค้น R คือแรงต้านทานภายใน และ A คือพื้นที่หน้าตัด) ความเครียดคืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงความยาวต่อความยาวเดิม เมื่อวัตถุนั้นได้รับแรงภายนอก (ความเครียด = การเปลี่ยนแปลงความยาว ÷ ความยาวเดิม)

การวิเคราะห์ความเค้นเป็นงานหลักสำหรับ วิศวกร โยธา วิศวกรเครื่องกลและ วิศวกร การบินและอวกาศที่เกี่ยวข้องกับการออกแบบโครงสร้างทุกขนาด เช่น อุโมงค์ สะพาน และเขื่อน ตัวถังเครื่องบินและจรวดชิ้นส่วนเครื่องจักรกลและแม้แต่ช้อนส้อมและลวดเย็บกระดาษพลาสติกการวิเคราะห์ความเค้นยังใช้ในการบำรุงรักษาโครงสร้างเหล่านี้ และเพื่อตรวจสอบสาเหตุของความล้มเหลวของโครงสร้าง

โดยทั่วไป จุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ความเค้นคือ คำอธิบาย เชิงเรขาคณิตของโครงสร้าง คุณสมบัติของวัสดุที่ใช้ทำชิ้นส่วน วิธีการเชื่อมต่อชิ้นส่วน และแรงสูงสุดหรือแรงโดยทั่วไปที่คาดว่าจะกระทำต่อโครงสร้าง ข้อมูลผลลัพธ์โดยทั่วไปจะเป็นคำอธิบายเชิงปริมาณว่าแรงที่กระทำกระจายตัวไปทั่วโครงสร้างอย่างไร ส่งผลให้เกิดความเค้น ความเครียด และการโก่งตัวของโครงสร้างทั้งหมดและส่วนประกอบแต่ละส่วนของโครงสร้างนั้น การวิเคราะห์อาจพิจารณาแรงที่เปลี่ยนแปลงไปตามเวลา เช่น แรงสั่นสะเทือน ของเครื่องยนต์หรือน้ำหนักบรรทุกของยานพาหนะที่กำลังเคลื่อนที่ ในกรณีนี้ ความเค้นและการเสียรูปจะเป็นฟังก์ชันของเวลาและพื้นที่ด้วย

ในทางวิศวกรรม การวิเคราะห์ความเครียดมักเป็นเครื่องมือมากกว่าที่จะเป็นเป้าหมายในตัวเอง โดยเป้าหมายสูงสุดคือการออกแบบโครงสร้างและสิ่งประดิษฐ์ที่สามารถรับน้ำหนักตามที่กำหนด โดยใช้ปริมาณวัสดุขั้นต่ำที่สุด หรือเป็นไปตามเกณฑ์ความเหมาะสมบางประการ

การวิเคราะห์ความเครียดอาจดำเนินการได้โดยใช้เทคนิคทางคณิตศาสตร์แบบคลาสสิก การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์หรือการจำลองด้วยการคำนวณ การทดสอบเชิงทดลอง หรือการผสมผสานวิธีการหลายๆ วิธี

คำว่าการวิเคราะห์ความเครียดใช้ตลอดทั้งบทความนี้เพื่อความกระชับ แต่ควรเข้าใจว่าความเครียดและการโก่งตัวของโครงสร้างมีความสำคัญเท่าเทียมกัน และในความเป็นจริง การวิเคราะห์โครงสร้างอาจเริ่มต้นด้วยการคำนวณการโก่งตัวหรือความเครียด และจบลงด้วยการคำนวณความเครียด

การวิเคราะห์ความเค้นเกี่ยวข้องกับวัตถุของแข็งโดยเฉพาะ การศึกษาความเค้นในของเหลวและก๊าซเป็นหัวข้อของกลศาสตร์ ของไหล

การวิเคราะห์ความเค้นใช้มุมมองมหภาคของวัสดุที่เป็นลักษณะเฉพาะของกลศาสตร์ต่อเนื่องกล่าวคือ คุณสมบัติทั้งหมดของวัสดุมีความเป็นเนื้อเดียวกันในระดับที่เล็กพอ ดังนั้น แม้แต่อนุภาค ที่เล็กที่สุด ที่พิจารณาในการวิเคราะห์ความเค้นก็ยังคงมีจำนวนอะตอมมหาศาล และคุณสมบัติของอนุภาคเหล่านี้ก็เป็นค่าเฉลี่ยของคุณสมบัติของอะตอมเหล่านั้น

ในการวิเคราะห์ความเค้น โดยทั่วไปแล้ว เราจะมองข้ามสาเหตุทางกายภาพของแรง หรือลักษณะเฉพาะของวัสดุ แต่จะสันนิษฐานว่าความเค้นสัมพันธ์กับความเครียดของวัสดุโดยสมการเชิงองค์ประกอบ ที่ทราบ แล้ว

ตามกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันแรงภายนอกใดๆ ที่กระทำต่อระบบจะต้องสมดุลกับแรงปฏิกิริยาภายในหรือทำให้อนุภาคในส่วนที่ได้รับผลกระทบเกิดความเร่ง ในวัตถุที่เป็นของแข็ง อนุภาคทั้งหมดต้องเคลื่อนที่อย่างสอดคล้องกันเพื่อรักษารูปร่างโดยรวมของวัตถุ ดังนั้นแรงใดๆ ที่กระทำต่อส่วนหนึ่งของวัตถุที่เป็นของแข็งจะต้องก่อให้เกิดแรงปฏิกิริยาภายในที่แพร่กระจายจากอนุภาคหนึ่งไปยังอีกอนุภาคหนึ่งไปทั่วส่วนที่ขยายออกไปของระบบ ยกเว้นในกรณีที่พบได้น้อยมาก (เช่น วัสดุ เฟอร์โรแมกเนติกหรือวัตถุขนาดดาวเคราะห์) แรงภายในเกิดจากอันตรกิริยาระหว่างโมเลกุลระยะสั้นมาก และจึงแสดงออกมาในรูปของแรงสัมผัสพื้นผิวระหว่างอนุภาคที่อยู่ติดกัน นั่นคือ ความเค้น

ปัญหาพื้นฐานในการวิเคราะห์ความเค้นคือการพิจารณาการกระจายตัวของความเค้นภายในทั่วทั้งระบบ โดยพิจารณาจากแรงภายนอกที่กระทำต่อระบบนั้น โดยหลักการแล้ว นั่นหมายถึงการพิจารณาเทนเซอร์ความเค้นโคชีณ ทุกจุด ไม่ว่าจะโดยนัยหรือโดยชัดแจ้ง

แรงภายนอกอาจเป็นแรงของวัตถุ (เช่น แรงโน้มถ่วงหรือแรงดึงดูดแม่เหล็ก) ที่กระทำตลอดปริมาตรของวัสดุหรือแรงรวมศูนย์ (เช่น แรงเสียดทานระหว่างเพลากับตลับลูกปืนหรือน้ำหนักของล้อรถไฟบนราง) ซึ่งจินตนาการให้กระทำบนพื้นที่สองมิติ หรือตามแนวเส้น หรือที่จุดเดียว แรงภายนอกสุทธิเดียวกันจะมีผลต่อความเค้นเฉพาะที่ต่างกัน ขึ้นอยู่กับว่าแรงรวมศูนย์นั้นกระจุกตัวหรือกระจายตัวออกไป

ในงานวิศวกรรมโยธา โดยทั่วไปจะถือว่าโครงสร้างอยู่ในภาวะสมดุลสถิตกล่าวคือ ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา หรือเปลี่ยนแปลงช้าจนความเค้นหนืดไม่สำคัญ (กึ่งสถิต) อย่างไรก็ตาม ในวิศวกรรมเครื่องกลและอวกาศ การวิเคราะห์ความเค้นมักต้องทำกับชิ้นส่วนที่อยู่ห่างไกลจากภาวะสมดุล เช่น แผ่นสั่นสะเทือน หรือล้อและเพลาที่หมุนอย่างรวดเร็ว ในกรณีเหล่านี้ สมการการเคลื่อนที่ต้องมีพจน์ที่อธิบายความเร่งของอนุภาค ในงานออกแบบโครงสร้าง มักพยายามให้แน่ใจว่าความเค้นอยู่ทุกจุดต่ำกว่าจุดครากของวัสดุ ในกรณีของแรงพลวัต จะต้องพิจารณา ความล้า ของวัสดุ ด้วย อย่างไรก็ตาม ข้อกังวลเหล่านี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของการวิเคราะห์ความเค้น ซึ่งครอบคลุมอยู่ในสาขาวิทยาศาสตร์วัสดุภายใต้ชื่อต่างๆ เช่นความแข็งแรงของวัสดุการวิเคราะห์ความล้า การกัดกร่อนจากความเค้น การสร้างแบบจำลอง การคืบและอื่นๆ

การวิเคราะห์ความเค้นสามารถทำได้โดยการทดลองโดยการใช้แรงกระทำกับชิ้นส่วนหรือโครงสร้างทดสอบ แล้วจึงประเมินความเค้นที่เกิดขึ้นโดยใช้เซ็นเซอร์ในกรณีนี้ กระบวนการนี้จะเรียกว่าการทดสอบ ( แบบทำลายหรือไม่ทำลาย ) วิธีการทดลองอาจใช้ในกรณีที่วิธีการทางคณิตศาสตร์ยุ่งยากหรือไม่แม่นยำ อุปกรณ์พิเศษที่เหมาะสมกับวิธีการทดลองจะถูกใช้เพื่อรับแรงกดแบบสถิตหรือแบบไดนามิก

มีวิธีการทดลองหลายวิธีที่อาจใช้ได้:

• การทดสอบแรงดึงเป็นการทดสอบพื้นฐานทางวัสดุศาสตร์ซึ่งตัวอย่างจะถูกทดสอบภายใต้แรงดึงแกนเดียวจนกระทั่งเกิดการแตกหัก ผลการทดสอบนี้มักใช้ในการเลือกวัสดุสำหรับการใช้งานการควบคุมคุณภาพหรือการคาดการณ์ปฏิกิริยาของวัสดุภายใต้แรงประเภทอื่นๆ คุณสมบัติที่วัดได้โดยตรงผ่านการทดสอบแรงดึง ได้แก่ความต้านทานแรงดึงสูงสุดการยืดตัวสูงสุด และการลดลงของ พื้นที่ หน้าตัดจากการวัดเหล่านี้ เราสามารถกำหนดคุณสมบัติต่างๆ เช่น โมดูลั ส ของ ยังอัตราส่วนปัวซองความแข็งแรง คราก และ คุณสมบัติ การแข็งตัวของความเครียดของตัวอย่าง
• สเตรนเกจสามารถใช้ในการทดลองหาค่าการเสียรูปของชิ้นส่วนทางกายภาพ สเตรนเกจที่ใช้กันทั่วไปคือตัวต้านทาน แบบแบนบาง ที่ติดอยู่บนพื้นผิวของชิ้นส่วน และวัดค่าความเครียดในทิศทางที่กำหนด จากการวัดค่าความเครียดบนพื้นผิวในสามทิศทาง เราสามารถคำนวณสภาวะความเค้นที่เกิดขึ้นในชิ้นส่วนได้
• การเลี้ยวเบนของนิวตรอนเป็นเทคนิคที่ใช้ในการกำหนดความเครียดใต้ผิวดินในส่วนหนึ่ง

• วิธีโฟโตอิลาสติกอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่าวัสดุบางชนิดแสดง การหักเหแสงแบบไบรีฟริงเจนซ์เมื่อเกิดแรงเค้น และขนาดของดัชนีหักเหแสงที่แต่ละจุดในวัสดุจะสัมพันธ์โดยตรงกับสถานะของแรงเค้น ณ จุดนั้น แรงเค้นในโครงสร้างสามารถกำหนดได้โดยการสร้างแบบจำลองโครงสร้างจากวัสดุโฟโตอิลาสติกดังกล่าว
• การวิเคราะห์เชิงกลแบบไดนามิก (DMA) เป็นเทคนิคที่ใช้ศึกษาและจำแนกลักษณะ ของวัสดุ หนืดหยุ่นโดยเฉพาะอย่างยิ่งพอลิเมอร์ สมบัติหนืดหยุ่นของพอลิเมอร์ศึกษาโดยการวิเคราะห์เชิงกลแบบไดนามิก ซึ่งใช้แรงไซน์ (ความเค้น) กระทำกับวัสดุ และวัดค่าการกระจัด (ความเครียด) ที่เกิดขึ้น สำหรับของแข็งที่มีความยืดหยุ่นอย่างสมบูรณ์ ความเครียดและความเค้นที่เกิดขึ้นจะอยู่ในเฟสเดียวกันอย่างสมบูรณ์ สำหรับของไหลที่มีความหนืดล้วน จะมีค่าความล้าของเฟส 90 องศาเมื่อเทียบกับความเค้น พอลิเมอร์หนืดหยุ่นมีคุณสมบัติที่อยู่ระหว่างค่าความล้าของเฟสระหว่างการทดสอบ DMA

แม้ว่าเทคนิคการทดลองจะถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย แต่การวิเคราะห์ความเค้นส่วนใหญ่จะทำโดยวิธีทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะในระหว่างการออกแบบ

ปัญหาการวิเคราะห์ความเค้นพื้นฐานสามารถกำหนดได้โดยสมการการเคลื่อนที่ของออยเลอร์สำหรับวัตถุต่อเนื่อง (ซึ่งเป็นผลจากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้นและโมเมนตัมเชิงมุม ของนิวตัน ) และหลักการความเค้นของออยเลอร์-โคชีร่วมกับสมการองค์ประกอบที่เหมาะสม

กฎเหล่านี้ก่อให้เกิดระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่เชื่อมโยงสนามเทนเซอร์ความเค้นกับ สนาม เทนเซอร์ ความเครียด เป็นฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าที่ต้องกำหนด การแก้สมการหาค่าใดค่าหนึ่งจะทำให้สมการหนึ่งสามารถแก้สมการหาค่าอีกสมการหนึ่งได้โดยใช้ชุดสมการอีกชุดหนึ่งที่เรียกว่าสมการเชิงประกอบ (constitutive equations) โดยปกติแล้ว ทั้งสนามเทนเซอร์ความเค้นและความเครียดจะต่อเนื่องกันภายในแต่ละส่วนของระบบ และส่วนนั้นสามารถถือได้ว่าเป็นตัวกลางต่อเนื่องที่มีสมการเชิงประกอบที่แปรผันอย่างราบรื่น

แรงภายนอกของวัตถุจะปรากฏเป็นพจน์อิสระ ("ด้านขวามือ") ในสมการเชิงอนุพันธ์ ในขณะที่แรงรวมศูนย์จะปรากฏเป็นเงื่อนไขขอบเขต แรงพื้นผิวภายนอก (ที่กระทำ) เช่น ความดันบรรยากาศหรือแรงเสียดทาน สามารถนำมาคำนวณเป็นค่าของเทนเซอร์ความเค้นที่ถูกกำหนดบนพื้นผิวนั้นได้ แรงภายนอกที่ระบุเป็นแรงแนวเส้น (เช่น แรงดึง) หรือแรงจุด (เช่น น้ำหนักของคนที่ยืนอยู่บนหลังคา) จะทำให้เกิดภาวะเอกฐานในสนามความเค้น และอาจนำมาใช้โดยสมมติว่าแรงเหล่านี้กระจายไปทั่วปริมาตรหรือพื้นที่ผิวขนาดเล็ก ดังนั้น ปัญหาการวิเคราะห์ความเค้นพื้นฐานจึงเป็น ปัญหา ค่า ขอบเขต

ระบบจะเรียกว่ายืดหยุ่นหากการเสียรูปใดๆ ที่เกิดจากแรงที่กระทำนั้นหายไปเองและสมบูรณ์เมื่อแรงที่กระทำนั้นถูกกำจัดออกไป การคำนวณความเค้น (การวิเคราะห์ความเค้น) ที่เกิดขึ้นภายในระบบดังกล่าวอาศัยทฤษฎีความยืดหยุ่นและทฤษฎีความเครียดอนันต์เมื่อแรงที่กระทำทำให้เกิดการเสียรูปถาวร จำเป็นต้องใช้สมการเชิงองค์ประกอบที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งสามารถอธิบายกระบวนการทางกายภาพที่เกี่ยวข้องได้ ( เช่น การไหล แบบพลาสติกการแตกหักการเปลี่ยนเฟสเป็นต้น)

โครงสร้างทางวิศวกรรมมักได้รับการออกแบบให้ค่าความเค้นสูงสุดที่คาดว่าจะเกิดขึ้นอยู่ในขอบเขตของพฤติกรรมยืดหยุ่นเชิงเส้น (ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของกฎของฮุกสำหรับตัวกลางต่อเนื่อง) ของวัสดุที่จะสร้างโครงสร้าง กล่าวคือ การเสียรูปที่เกิดจากความเค้นภายในจะสัมพันธ์เชิงเส้นกับแรงกระทำที่กระทำ ในกรณีนี้ สมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดเทนเซอร์ความเค้นก็เป็นสมการเชิงเส้นเช่นกัน สมการเชิงเส้นเข้าใจได้ดีกว่าสมการไม่เชิงเส้นมาก ประการหนึ่ง คำตอบของสมการ (การคำนวณความเค้น ณ จุดใดๆ ที่ต้องการภายในโครงสร้าง) จะเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของแรงกระทำที่กระทำด้วย สำหรับแรงกระทำที่น้อยเพียงพอ แม้แต่ระบบที่ไม่เชิงเส้นก็มักจะถือว่าเป็นเชิงเส้นได้

โครงสร้างรับน้ำหนักล่วงหน้า คือ โครงสร้างที่มีแรงภายใน ความเค้น และความเครียดกระทำต่อโครงสร้างด้วยวิธีการต่างๆ ก่อนที่จะมีแรงภายนอกเข้ามากระทำ ตัวอย่างเช่น โครงสร้างอาจมีสายเคเบิลที่ถูกรัดให้แน่น ทำให้เกิดแรงภายในโครงสร้างก่อนที่จะมีการรับน้ำหนักอื่นๆ กระจกนิรภัยเป็นตัวอย่างที่พบได้ทั่วไปของโครงสร้างรับน้ำหนักล่วงหน้า ซึ่งมีแรงดึงและความเค้นกระทำบนระนาบของกระจกและในระนาบกลางของกระจก ซึ่งทำให้เกิดแรงอัดกระทำบนพื้นผิวภายนอกของกระจก

ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่นำเสนอมักจะถูกตั้งคำถามอย่างไม่ถูกต้องเนื่องจากมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน อันที่จริง ในวัตถุแข็งสามมิติใดๆ อาจมีสนามเทนเซอร์ความเค้นที่ไม่เป็นศูนย์จำนวนมากมาย (และมีความซับซ้อนนับไม่ถ้วน) ซึ่งอยู่ในภาวะสมดุลที่เสถียร แม้จะไม่มีแรงภายนอก สนามความเค้นเหล่านี้มักเรียกว่าสนามความเค้นไฮเปอร์สแตติกและมีอยู่ร่วมกับสนามความเค้นที่สมดุลแรงภายนอก ในความยืดหยุ่นเชิงเส้น จำเป็นต้องมีสนามความเค้นเหล่านี้เพื่อให้เป็นไปตามข้อกำหนดความเข้ากันได้ของความเครียด/การกระจัด และในการวิเคราะห์ขีดจำกัด จำเป็นต้องมีสนามความเค้นเหล่านี้เพื่อเพิ่มขีดความสามารถในการรับน้ำหนักของโครงสร้างหรือส่วนประกอบให้สูงสุด

ความเครียดภายในดังกล่าวอาจเกิดขึ้นเนื่องจากสาเหตุทางกายภาพหลายประการ ทั้งในระหว่างการผลิต (ในกระบวนการต่างๆ เช่นการอัดรีดการหล่อหรือการขึ้นรูปเย็น ) หรือภายหลังการผลิต (เช่น การให้ความร้อนที่ไม่สม่ำเสมอ หรือการเปลี่ยนแปลงของปริมาณความชื้นหรือองค์ประกอบทางเคมี) อย่างไรก็ตาม หากสามารถสันนิษฐานได้ว่าระบบทำงานในลักษณะเชิงเส้นเมื่อเทียบกับการรับน้ำหนักและการตอบสนองของระบบ ก็สามารถอธิบายผลของการรับน้ำหนักล่วงหน้าได้โดยการรวมผลลัพธ์ของโครงสร้างที่รับน้ำหนักล่วงหน้าและโครงสร้างที่ไม่ได้รับน้ำหนักล่วงหน้าเดียวกัน

อย่างไรก็ตาม หากไม่สามารถสันนิษฐานความเป็นเส้นตรงได้ ความเค้นภายในใดๆ อาจส่งผลกระทบต่อการกระจายแรงภายในที่เกิดจากแรงกระทำ (เช่น การเปลี่ยนแปลงความแข็งประสิทธิผลของวัสดุ) หรืออาจถึงขั้นทำให้วัสดุเสียหายโดยไม่คาดคิด ด้วยเหตุผลเหล่านี้ จึงมีการพัฒนาเทคนิคต่างๆ ขึ้นมากมายเพื่อหลีกเลี่ยงหรือลดความเค้นภายใน เช่นการอบอ่อนชิ้นส่วนกระจกและโลหะที่ผ่านการขึ้นรูปเย็นรอยต่อแบบขยายตัวในอาคาร และรอยต่อแบบลูกกลิ้งสำหรับสะพาน

การวิเคราะห์ความเค้นจะง่ายขึ้นเมื่อขนาดทางกายภาพและการกระจายตัวของแรงทำให้โครงสร้างสามารถพิจารณาเป็นมิติเดียวหรือสองมิติได้ ในการวิเคราะห์สะพาน โครงสร้างสามมิติอาจถูกทำให้เป็นโครงสร้างระนาบเดียวในอุดมคติ หากแรงทั้งหมดกระทำในระนาบของโครงถักของสะพาน นอกจากนี้ ชิ้นส่วนแต่ละชิ้นของโครงสร้างโครงถักอาจถูกพิจารณาเป็นชิ้นส่วนมิติเดียว โดยมีแรงกระทำตามแนวแกนของชิ้นส่วนแต่ละชิ้น ในกรณีนี้ สมการเชิงอนุพันธ์จะลดลงเหลือชุดสมการจำกัดที่มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าจำนวนจำกัด

หากสามารถถือว่าการกระจายของความเค้นเป็นแบบสม่ำเสมอ (หรือคาดเดาได้ หรือไม่สำคัญ) ในทิศทางเดียว ก็สามารถถือว่ามีพฤติกรรมของความเค้นระนาบและความเครียดระนาบได้และสมการที่อธิบายสนามความเค้นจะเป็นฟังก์ชันของพิกัดสองค่าเท่านั้น แทนที่จะเป็นสามค่า

แม้ภายใต้สมมติฐานพฤติกรรมยืดหยุ่นเชิงเส้นของวัสดุ ความสัมพันธ์ระหว่างเทนเซอร์ความเค้นและความเครียดโดยทั่วไปจะแสดงด้วยเทนเซอร์ความแข็ง อันดับที่สี่ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์อิสระ 21 ค่า (เมทริกซ์ความแข็งแบบสมมาตร 6 × 6) ความซับซ้อนนี้อาจจำเป็นสำหรับวัสดุแอนไอโซทรอปิกทั่วไป แต่สำหรับวัสดุทั่วไปหลายชนิด ความซับซ้อนนี้สามารถลดลงได้ สำหรับวัสดุออร์โธทรอปิกเช่น ไม้ ซึ่งความแข็งสมมาตรเทียบกับระนาบตั้งฉากทั้งสามระนาบ ค่าสัมประสิทธิ์เก้าค่าก็เพียงพอที่จะแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียด สำหรับวัสดุไอโซทรอปิก ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้จะลดลงเหลือเพียงสองค่า

เราอาจสามารถกำหนดล่วงหน้าได้ว่าในบางส่วนของระบบ ความเค้นจะมีลักษณะเฉพาะ เช่นแรงดึงหรือแรงอัด แกนเดียว แรงเฉือน แบบธรรมดาแรงอัดหรือแรงดึงแบบไอโซทรอปิกแรงบิดการดัดฯลฯ ในส่วนเหล่านั้น สนามความเค้นอาจแสดงด้วยตัวเลขน้อยกว่าหกตัว และอาจมีเพียงตัวเดียวก็ได้

ไม่ว่าในกรณีใด สำหรับโดเมนสองมิติหรือสามมิติ จำเป็นต้องแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยโดยมีเงื่อนไขขอบเขตที่กำหนดไว้ คำตอบเชิงวิเคราะห์ (รูปแบบปิด) ของสมการเชิงอนุพันธ์สามารถหาได้เมื่อรูปทรงเรขาคณิต ความสัมพันธ์เชิงองค์ประกอบ และเงื่อนไขขอบเขตมีความเรียบง่ายเพียงพอ สำหรับปัญหาที่ซับซ้อนกว่านั้น โดยทั่วไปจำเป็นต้องใช้การประมาณค่าเชิงตัวเลข เช่นวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์วิธีผลต่างไฟไนต์และวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์

วัตถุประสงค์สูงสุดของการวิเคราะห์ใดๆ คือการเปรียบเทียบความเค้น ความเครียด และการโก่งตัวที่เกิดขึ้นกับค่าที่ยอมรับได้ตามเกณฑ์การออกแบบ โครงสร้างและส่วนประกอบทั้งหมดต้องได้รับการออกแบบให้มีขีดความสามารถรับน้ำหนักได้มากกว่าที่คาดว่าจะเกิดขึ้นในระหว่างการใช้งานเพื่อป้องกันความเสียหาย ความเค้นที่คำนวณได้จะก่อตัวขึ้นในส่วนประกอบจะถูกนำไปเปรียบเทียบกับความแข็งแรงของวัสดุที่ใช้สร้างส่วนประกอบนั้น โดยการคำนวณอัตราส่วนความแข็งแรงของวัสดุต่อความเค้นที่คำนวณได้ อัตราส่วนนี้ต้องมากกว่า 1.0 อย่างชัดเจน หากส่วนประกอบนั้นจะไม่เกิดความเสียหาย อย่างไรก็ตาม อัตราส่วนของความเค้นที่ยอมรับได้ต่อความเค้นที่เกิดขึ้นจะต้องมากกว่า 1.0 เนื่องจากปัจจัยด้านความปลอดภัย (ปัจจัยการออกแบบ) จะระบุไว้ในข้อกำหนดการออกแบบสำหรับโครงสร้าง โครงสร้างทั้งหมดได้รับการออกแบบให้รับน้ำหนักเกินกว่าที่คาดว่าจะได้รับระหว่างการใช้งาน ปัจจัยการออกแบบ (ตัวเลขที่มากกว่า 1.0) แสดงถึงระดับความไม่แน่นอนของค่าแรง ความแข็งแรงของวัสดุ และผลที่ตามมาของความเสียหาย ความเค้น (หรือภาระ หรือการโก่งตัว) ที่โครงสร้างคาดว่าจะได้รับนั้น เรียกว่า แรงขณะทำงาน แรงออกแบบ หรือแรงจำกัด ตัวอย่างเช่น แรงจำกัดจะถูกเลือกให้มีค่าเป็นเศษส่วนของความแข็งแรงจุดครากของวัสดุที่ใช้สร้างโครงสร้าง อัตราส่วนของความแข็งแรงสูงสุดของวัสดุต่อแรงที่ยอมรับได้ ถูกกำหนดให้เป็นปัจจัยด้านความปลอดภัยต่อความเสียหายขั้นสุดท้าย

โดยทั่วไปแล้ว การทดสอบในห้องปฏิบัติการมักดำเนินการกับตัวอย่างวัสดุเพื่อประเมินผลผลิตและความแข็งแรงสูงสุดของวัสดุเหล่านั้น การวิเคราะห์ทางสถิติของความแข็งแรงของตัวอย่างวัสดุหลายๆ ตัวอย่างจะถูกดำเนินการเพื่อคำนวณความแข็งแรงเฉพาะของวัสดุนั้นๆ การวิเคราะห์นี้ช่วยให้สามารถกำหนดความแข็งแรงของวัสดุได้อย่างมีเหตุผล และให้ผลลัพธ์ที่น้อยกว่า เช่น 99.99% ของค่าจากตัวอย่างที่ทดสอบ ด้วยวิธีนี้ ในแง่หนึ่ง ได้มีการนำปัจจัยความปลอดภัยที่แยกต่างหากมาใช้ นอกเหนือไปจากปัจจัยความปลอดภัยในการออกแบบที่ใช้กับการออกแบบเฉพาะที่ใช้วัสดุดังกล่าว

วัตถุประสงค์ของการรักษาปัจจัยความปลอดภัยสำหรับความแข็งแรงคราก (Yield Strength) คือเพื่อป้องกันการเสียรูปอันเป็นอันตรายที่จะส่งผลกระทบต่อการใช้งานโครงสร้าง เครื่องบินที่มีปีกโค้งงอถาวรอาจไม่สามารถขยับพื้นผิวควบคุมได้ จึงไม่สามารถใช้งานได้ แม้ว่าวัสดุของโครงสร้างที่ครากอาจทำให้โครงสร้างใช้งานไม่ได้ แต่ก็ไม่ได้นำไปสู่การพังทลายของโครงสร้างเสมอไป ปัจจัยความปลอดภัยสำหรับความแข็งแรงแรงดึงสูงสุดคือเพื่อป้องกันการแตกหักและการพังทลายอย่างกะทันหัน ซึ่งจะส่งผลให้เกิดความสูญเสียทางเศรษฐกิจที่มากขึ้นและอาจเกิดการสูญเสียชีวิต

ปีกเครื่องบินอาจได้รับการออกแบบโดยมีค่าปัจจัยความปลอดภัยเท่ากับ 1.25 สำหรับความแข็งแรงครากของปีก และมีค่าปัจจัยความปลอดภัยเท่ากับ 1.5 สำหรับความแข็งแรงสูงสุด อุปกรณ์ทดสอบที่รับน้ำหนักดังกล่าวกับปีกในระหว่างการทดสอบอาจได้รับการออกแบบโดยมีค่าปัจจัยความปลอดภัยเท่ากับ 3.0 สำหรับความแข็งแรงสูงสุด ในขณะที่โครงสร้างที่ปกป้องอุปกรณ์ทดสอบอาจมีค่าปัจจัยความปลอดภัยเท่ากับ 10 ค่าเหล่านี้สะท้อนถึงระดับความเชื่อมั่นที่หน่วยงานผู้รับผิดชอบมีต่อความเข้าใจในสภาพแวดล้อมการรับน้ำหนัก ความแน่นอนของความแข็งแรงของวัสดุ ความแม่นยำของเทคนิคการวิเคราะห์ที่ใช้ในการวิเคราะห์ มูลค่าของโครงสร้าง มูลค่าของชีวิตของผู้ที่บิน ผู้ที่อยู่ใกล้กับอุปกรณ์ทดสอบ และผู้ที่อยู่ภายในอาคาร

ปัจจัยด้านความปลอดภัยใช้ในการคำนวณค่าความเครียดสูงสุดที่อนุญาต: $${\displaystyle {\text{maximum allowable stress}}={\frac {\text{ultimate tensile strength}}{\text{factor of safety}}}}$$

การประเมินภาระและความเค้นภายในโครงสร้างมุ่งเน้นไปที่การหาเส้นทางการถ่ายโอนภาระ ภาระจะถูกถ่ายโอนโดยการสัมผัสทางกายภาพระหว่างส่วนประกอบต่างๆ และภายในโครงสร้าง การถ่ายโอนภาระสามารถระบุได้ด้วยสายตาหรือด้วยตรรกะอย่างง่ายสำหรับโครงสร้างอย่างง่าย สำหรับโครงสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้น อาจจำเป็นต้องใช้วิธีการที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่นกลศาสตร์ของแข็ง เชิงทฤษฎี หรือวิธีการเชิงตัวเลข วิธีเชิงตัวเลขประกอบด้วยวิธีความแข็งโดยตรงซึ่งเรียกอีกอย่างหนึ่งว่าวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์

วัตถุประสงค์คือเพื่อกำหนดความเค้นวิกฤตในแต่ละชิ้นส่วนและเปรียบเทียบกับความแข็งแรงของวัสดุ (ดูความแข็งแรงของวัสดุ )

สำหรับชิ้นส่วนที่ชำรุดเสียหายระหว่างการใช้งาน จะมีการดำเนินการ ทางวิศวกรรมนิติวิทยาศาสตร์หรือการวิเคราะห์ความเสียหายเพื่อระบุจุดอ่อน โดยวิเคราะห์หาสาเหตุของความเสียหาย วิธีการนี้มุ่งค้นหาชิ้นส่วนที่อ่อนแอที่สุดในเส้นทางการรับน้ำหนัก หากชิ้นส่วนนั้นเป็นชิ้นส่วนที่เสียหายจริง ก็อาจใช้หลักฐานอิสระที่ยืนยันถึงความเสียหายนั้นได้ หากไม่เป็นเช่นนั้น จำเป็นต้องหาคำอธิบายอื่น เช่น ชิ้นส่วนที่ชำรุดและมีความต้านทานแรงดึง ต่ำ กว่าที่ควรจะเป็น เป็นต้น

องค์ประกอบเชิงเส้นของโครงสร้างคือองค์ประกอบที่มีมิติเดียวโดยพื้นฐาน และมักรับแรงกระทำตามแนวแกนเท่านั้น เมื่อองค์ประกอบโครงสร้างถูกดึงหรือถูกกด ความยาวของมันจะมีแนวโน้มยืดออกหรือสั้นลง และพื้นที่หน้าตัดจะเปลี่ยนแปลงไปตามอัตราส่วนปัวซองของวัสดุ ในงานวิศวกรรม ชิ้นส่วนโครงสร้างจะเกิดการเสียรูปเล็กน้อย และการลดลงของพื้นที่หน้าตัดจะน้อยมากจนสามารถละเลยได้ กล่าวคือ พื้นที่หน้าตัดจะคงที่ในระหว่างการเสียรูป ในกรณีนี้ ความเค้นเรียกว่าความเค้นทางวิศวกรรมหรือความเค้นปกติและคำนวณโดยใช้พื้นที่หน้าตัดเดิม โดยที่ P คือแรงที่กระทำ และ A _oคือพื้นที่หน้าตัดเดิม $${\displaystyle \sigma _{\mathrm {e} }={\tfrac {P}{A_{o}}}}$$

ในบางกรณี เช่น วัสดุอีลาสโตเมอร์และ วัสดุ พลาสติกการเปลี่ยนแปลงพื้นที่หน้าตัดมีนัยสำคัญ สำหรับกรณีของวัสดุที่ปริมาตรคงที่ (เช่นอัตราส่วนปัวซอง = 0.5) หาก ต้องการ ความเค้นจริงจะต้องคำนวณโดยใช้พื้นที่หน้าตัดจริงแทนพื้นที่หน้าตัดเริ่มต้น ดังนี้ : $${\displaystyle \sigma _{\mathrm {true} }=(1+\varepsilon _{\mathrm {e} })(\sigma _{\mathrm {e} }),}$$

ความสัมพันธ์ระหว่างความเครียดที่แท้จริงและความเครียดทางวิศวกรรมกำหนดโดย $${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {true} }=\ln(1+\varepsilon _{\mathrm {e} }).}$$

ในแรงดึงแกนเดียว ความเค้นจริงจะมากกว่าความเค้นปกติ ในทางกลับกันในกรณีของแรงอัด

วงกลมของมอร์ , รูปทรงรีของความเค้นของแลม (พร้อมกับพื้นผิวตัวกำหนดความเค้น ) และรูปสี่เหลี่ยมของความเค้นของคอชี ล้วนเป็นภาพกราฟิกสองมิติที่แสดงสถานะของความเค้น ณ จุดหนึ่งซึ่งทำให้สามารถกำหนดขนาดของเทนเซอร์ความเค้น ณ จุดที่กำหนดสำหรับระนาบทั้งหมดที่ผ่านจุดนั้นในรูปแบบกราฟิก วงกลมของมอร์เป็นวิธีกราฟิกที่ใช้กันมากที่สุด

วงกลมของมอร์ตั้งชื่อตามคริสเตียน ออตโต มอร์คือตำแหน่งของจุดที่แสดงถึงสถานะของความเค้นบนระนาบแต่ละระนาบ ณ ทิศทางทั้งหมดแกน x , x และแกน x ของแต่ละจุดบนวงกลมคือองค์ประกอบของความเค้นตั้งฉากและความเค้นเฉือน ตามลำดับ ซึ่งกระทำบนระนาบตัดเฉพาะที่มีเวกเตอร์หนึ่งหน่วยและมีองค์ประกอบx ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$${\displaystyle \left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)\,\!}$

พื้นผิวของทรงรีแสดงถึงตำแหน่งของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ความเค้นทั้งหมดที่กระทำบนทุกระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดในตัวคอนตินิวอัม กล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ความเค้นทั้งหมดที่จุดที่กำหนดในตัวคอนตินิวอัมจะตั้งอยู่บนพื้นผิวทรงรีความเค้น กล่าวคือ เวกเตอร์รัศมีจากจุดศูนย์กลางของทรงรี ณ จุดวัสดุที่พิจารณา ไปยังจุดบนพื้นผิวของทรงรีมีค่าเท่ากับเวกเตอร์ความเค้นบนระนาบใดระนาบหนึ่งที่ผ่านจุดนั้น ในสองมิติ พื้นผิวจะแสดงด้วยวงรี (ดังรูป)

พื้นผิวความเค้นกำลังสองของโคชี หรือเรียกอีกอย่างว่าพื้นผิวความเค้นเป็นพื้นผิวลำดับที่สองที่ติดตามการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์ความเค้นปกติเมื่อทิศทางของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดเปลี่ยนไป ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$

สภาวะความเค้นที่สมบูรณ์ในวัตถุ ณ ตำแหน่งที่ผิดรูปเฉพาะเจาะจง กล่าวคือ ณ เวลาใดเวลาหนึ่งระหว่างการเคลื่อนที่ของวัตถุ หมายถึงการทราบองค์ประกอบอิสระหกประการของเทนเซอร์ความเค้นหรือความเค้นหลักสามประการณ จุดวัสดุแต่ละจุดในวัตถุ ณ เวลานั้น อย่างไรก็ตาม การวิเคราะห์เชิงตัวเลขและวิธีการวิเคราะห์อนุญาตให้คำนวณเทนเซอร์ความเค้น ณ จุดวัสดุที่แยกจากกันจำนวนหนึ่งเท่านั้น เพื่อแสดงภาพเชิงกราฟิกในสองมิติสามารถใช้ ชุด เส้นชั้น ความสูงที่แตกต่างกันได้ดังนี้: ${\displaystyle (\sigma _{11},\sigma _{22},\sigma _{33},\sigma _{12},\sigma _{23},\sigma _{13})\,\!}$${\displaystyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})\,\!}$

• ไอโซบาร์คือเส้นโค้งซึ่งความเค้นหลักมีค่าคงที่${\displaystyle \sigma _{1}}$
• ไอโซโครมาติกส์ คือเส้นโค้งที่ ความเค้นเฉือนสูงสุด คง ที่เส้นโค้งเหล่านี้ถูกกำหนดโดยตรงโดยใช้วิธีโฟโตอิลาสติกซิตี
• ไอโซแพคคือเส้นโค้งซึ่งความเค้นปกติเฉลี่ยจะคงที่
• ไอโซสแตติกหรือวิถีความเค้นเป็นระบบเส้นโค้งซึ่งแต่ละจุดวัสดุสัมผัสกับแกนหลักของความเค้น - ดูรูปภาพ
• ไอโซคลินิก (Isoclinics)คือเส้นโค้งที่แกนหลักทำมุมคงที่โดยมีทิศทางอ้างอิงคงที่ เส้นโค้งเหล่านี้สามารถหาได้โดยตรงด้วยวิธีโฟโตอิลาสติกซิตี
• เส้นลื่นเป็นเส้นโค้งซึ่งมีความเค้นเฉือนสูงสุด