ในทางคณิตศาสตร์คำตอบของปัญหาที่กำหนดไว้อย่างดีจะต้องมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. มันมีอยู่จริง ;
2. มันมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว
3. พฤติกรรมของมันเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องตามเงื่อนไขเสริม เช่น ค่า เริ่มต้นหรือค่าขอบเขต

เกณฑ์เหล่านี้ได้รับการแนะนำครั้งแรกโดยJacques Hadamardในปี พ.ศ. 2445 ^{[ 1 ] : 131}

ตัวอย่างของปัญหาที่มี รูปแบบชัดเจนและเป็นต้นแบบ ได้แก่ ปัญหาของ Dirichlet สำหรับสมการของ Laplaceและสมการความร้อนที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนดไว้ ปัญหาเหล่านี้อาจถือได้ว่าเป็นปัญหา "ธรรมชาติ" เนื่องจากมีกระบวนการทางกายภาพที่จำลองโดยปัญหาเหล่านี้

ปัญหาที่ไม่สามารถระบุได้อย่างชัดเจนในความหมายข้างต้น เรียกว่า ปัญหาที่ไม่สามารถระบุได้อย่างชัดเจน (ill-posed ) ตัวอย่างง่ายๆ คือ ปัญหา การหาค่าเหมาะสมที่สุดทั่วโลก (global optimization problem) เพราะโดยทั่วไปแล้ว ตำแหน่งของค่าเหมาะสมที่สุดจะไม่ใช่ฟังก์ชันต่อเนื่องของพารามิเตอร์ที่ระบุวัตถุประสงค์ แม้ว่าวัตถุประสงค์เองจะเป็นฟังก์ชันที่ราบเรียบของพารามิเตอร์เหล่านั้นก็ตามปัญหาผกผันมักเป็นปัญหาที่ไม่สามารถระบุได้อย่างชัดเจน ตัวอย่างเช่น สมการความร้อนผกผัน ซึ่งใช้ในการหาการกระจายอุณหภูมิก่อนหน้าจากข้อมูลสุดท้าย เป็นปัญหาที่ไม่สามารถระบุได้อย่างชัดเจน เนื่องจากคำตอบมีความไวต่อการเปลี่ยนแปลงของข้อมูลสุดท้ายอย่างมาก

แบบจำลองต่อเนื่องมักจะต้องถูกทำให้เป็นแบบไม่ต่อเนื่องเพื่อให้ได้คำตอบเชิงตัวเลข แม้ว่าคำตอบอาจจะต่อเนื่องเมื่อเทียบกับเงื่อนไขเริ่มต้น แต่ก็อาจเกิดความไม่เสถียรเชิงตัวเลขเมื่อแก้ด้วยความแม่นยำ ที่จำกัด หรือมีข้อผิดพลาดในข้อมูล

แม้ว่าปัญหาจะถูกกำหนดไว้อย่างดีแล้ว แต่ก็อาจยังมีความไม่เสถียรได้ซึ่งหมายความว่าข้อผิดพลาดเล็กน้อยในข้อมูลเริ่มต้นอาจส่งผลให้เกิดข้อผิดพลาดที่ใหญ่กว่ามากในคำตอบ ปัญหาในระบบที่ซับซ้อนแบบ ไม่เชิงเส้น (ที่เรียกว่า ระบบ อลวน ) เป็นตัวอย่างที่รู้จักกันดีของความไม่เสถียร ปัญหาที่มีความไม่เสถียรจะแสดงให้เห็นได้จากค่าสภาพ (condition number ) ที่สูง

หากปัญหาได้รับการกำหนดอย่างดีแล้ว ก็มีโอกาสสูงที่จะสามารถหาคำตอบได้ด้วยคอมพิวเตอร์โดยใช้อัลกอริทึมที่เสถียรหากปัญหาไม่ได้รับการกำหนดอย่างดี ก็จำเป็นต้องกำหนดรูปแบบใหม่สำหรับการประมวลผลเชิงตัวเลข โดยทั่วไปแล้วจะต้องรวมสมมติฐานเพิ่มเติม เช่น ความเรียบของคำตอบ กระบวนการนี้เรียกว่าการทำให้เป็นระเบียบ (regularization ) ^{[ 2 ]}การทำให้เป็นระเบียบแบบ Tikhonovเป็นหนึ่งในวิธีการที่ใช้กันทั่วไปสำหรับการทำให้ปัญหาเชิงเส้นที่ไม่ได้รับการกำหนดอย่างดีเป็นระเบียบ

การมีอยู่ของคำตอบเฉพาะที่มักเป็นส่วนสำคัญของปัญหาความมีอยู่ของคำตอบ และเป็นพื้นฐานของวิธีการประมาณค่าหลายวิธี เช่น วิธีพลังงานที่กล่าวถึงด้านล่าง

มีผลลัพธ์มากมายเกี่ยวกับหัวข้อนี้ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบท Cauchy–Kowalevskiสำหรับปัญหาค่าเริ่มต้นของ Cauchy กล่าวโดยพื้นฐานว่า ถ้าพจน์ในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยประกอบด้วยฟังก์ชันวิเคราะห์ ทั้งหมด และเงื่อนไขความตั้งฉากบางอย่างเป็นไปตามที่กำหนด ( ระนาบหรือโดยทั่วไปคือพื้นผิวที่กำหนดข้อมูลเริ่มต้นจะต้องไม่เป็นลักษณะ เฉพาะ เมื่อเทียบกับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ย่อย) แล้วในบางบริเวณ จะต้องมีคำตอบที่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์อยู่ด้วย นี่เป็นผลลัพธ์พื้นฐานในการศึกษาเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงวิเคราะห์ อย่างไรก็ตาม ที่น่าประหลาดใจคือ ทฤษฎีบทนี้ใช้ไม่ได้ในกรณีของฟังก์ชันเรียบตัวอย่าง ที่ Hans Lewyค้นพบในปี 1957 ประกอบด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์เรียบ (กล่าวคือ มีอนุพันธ์ทุกอันดับ) แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันวิเคราะห์ ซึ่งไม่มีคำตอบอยู่ ดังนั้น ทฤษฎีบท Cauchy–Kowalevski จึงมีขอบเขตจำกัดเฉพาะฟังก์ชันวิเคราะห์เท่านั้น

วิธีพลังงานมีประโยชน์สำหรับการพิสูจน์ทั้งความเป็นเอกลักษณ์และความต่อเนื่องโดยสัมพันธ์กับเงื่อนไขเริ่มต้น (กล่าวคือ ไม่ได้พิสูจน์การมีอยู่) วิธีการนี้อาศัยการหาขอบเขตบนของฟังก์ชันที่มีลักษณะคล้ายพลังงานสำหรับปัญหาที่กำหนด

ตัวอย่าง : พิจารณาสมการการแพร่บนช่วงหน่วยที่มีเงื่อนไขขอบเขต Dirichlet ที่เป็นเอกพันธ์ และข้อมูลเริ่มต้นที่เหมาะสม(เช่น สำหรับ ซึ่ง) ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(0)=f(1)=0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{t}&=Du_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\u(x,0)&=f(x),\\u(0,t)&=0,\\u(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

คูณสมการด้วยและทำการอินทิเกรตในปริภูมิเหนือช่วงหน่วย เพื่อให้ได้ ${\displaystyle u_{t}=Du_{xx}}$${\displaystyle u}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\int _{0}^{1}uu_{t}dx&=D\int _{0}^{1}uu_{xx}dx\\\Longrightarrow &&\int _{0}^{1}{\frac {1}{2}}\partial _{t}u^{2}dx&=Duu_{x}{\Big |}_{0}^{1}-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\\\Longrightarrow &&{\frac {1}{2}}\partial _{t}\|u\|_{2}^{2}&=0-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\leq 0\end{aligned}}}$$

สิ่งนี้บอกเราว่า( p-norm ) ไม่สามารถเติบโตตามเวลาได้ โดยการคูณด้วยสองและทำการอินทิเกรตตามเวลา ตั้งแต่ถึง จะได้ว่า ${\displaystyle \|u\|_{2}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \|u(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq \|f(\cdot )\|_{2}^{2}}$$

ผลลัพธ์นี้คือค่าประมาณพลังงานสำหรับปัญหานี้

เพื่อแสดงให้เห็นถึงความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบ สมมติว่ามีคำตอบที่แตกต่างกันสองคำตอบสำหรับปัญหานี้ เรียกคำตอบเหล่านั้นว่าและโดยแต่ละคำตอบสอดคล้องกับข้อมูลเริ่มต้นเดียวกัน เมื่อกำหนดแล้ว ผ่านความเป็นเชิงเส้นของสมการ จะพบว่าสอดคล้องกับ ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w=uv}$${\displaystyle w}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{t}&=Dw_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\w(x,0)&=0,\\w(0,t)&=0,\\w(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

การนำการประมาณค่าพลังงานมาใช้จะบอกเราว่าซึ่งหมายความว่า( เกือบทุกที่ ) ${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq 0}$${\displaystyle u=v}$

ในทำนองเดียวกัน เพื่อแสดงความต่อเนื่องโดยสัมพันธ์กับเงื่อนไขเริ่มต้น สมมติว่าและเป็นคำตอบที่สอดคล้องกับข้อมูลเริ่มต้นที่แตกต่างกันและเมื่อพิจารณาอีกครั้ง จะพบว่าสอดคล้องกับสมการเดียวกันกับข้างต้น แต่มีซึ่งนำไปสู่การประมาณค่าพลังงานที่สร้างความต่อเนื่อง (กล่าวคือ เมื่อและเข้าใกล้กันมากขึ้น โดยวัดจากค่าปกติของผลต่างระหว่างทั้งสองค่าแล้ว) ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$${\displaystyle v(x,0)=g(x)}$${\displaystyle w=uv}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w(x,0)=f(x)-g(x)}$${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq D\|f(\cdot )-g(\cdot )\|_{2}^{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}\to 0}$

หลักการค่าสูงสุดเป็นแนวทางทางเลือกในการพิสูจน์ความเป็นเอกลักษณ์และความต่อเนื่องของคำตอบโดยสัมพันธ์กับเงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับตัวอย่างนี้ การมีอยู่ของคำตอบสำหรับปัญหานี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้อนุกรมฟูริเยร์

ถ้าเป็นไปได้ที่จะแสดงคำตอบของปัญหาโคชีโดยที่Aเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่แมปปริภูมิย่อยเชิงเส้นหนาแน่นD(A)ของXไปยังX (ดูแผนที่เชิงเส้นที่ไม่ต่อเนื่อง ) โดยที่เป็นตระกูลของตัวดำเนินการเชิงเส้นบนXที่สอดคล้องกับ ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=Au,u(0)=u_{0}{\text{ (1)}}}$${\displaystyle u(t)=S(t)u_{0}}$${\displaystyle \{S(t);t\geq 0\}}$

• ${\displaystyle S(0)=I}$
• ${\displaystyle S(a+b)=S(a)S(b)=S(b)S(a)}$สำหรับใดๆ${\displaystyle a,b\geq 0}$
• ${\displaystyle t\mapsto S(t)w}$ต่อเนื่องสำหรับทุกๆใน${\displaystyle w}$${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}S(t)w=AS(t)w}$สำหรับทุกคนใน${\displaystyle w}$${\displaystyle X}$

ดังนั้น (1) จึงตั้งคำถามได้ดี

ทฤษฎีบทฮิลเล-โยซิดาระบุเกณฑ์สำหรับAเพื่อให้ a ดังกล่าวมีอยู่จริง ${\displaystyle \{S(t);t\geq 0\}}$

• สเปกโทรสโกปีการดูดกลืนทั้งหมด – ตัวอย่างหนึ่งของปัญหาผกผันหรือปัญหาที่ไม่เหมาะสมในสถานการณ์จริง ซึ่งแก้ไขได้โดยใช้อัลกอริธึมการคาดการณ์และการทำให้สูงสุด

• ฮาดามาร์ด, ฌาคส์ (1902) Sur les problèmes aux dérivées partielles และ leur ความหมายทางกายภาพกระดานข่าวมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน หน้า  49–52 .
• Parker, Sybil B., บรรณาธิการ (1989) [1974]. พจนานุกรมศัพท์วิทยาศาสตร์และเทคนิคของ McGraw-Hill (ฉบับที่ 4). นิวยอร์ก: McGraw-Hill. ISBN 0-07-045270-9.
• Tikhonov, AN; Arsenin, VY (1977). วิธีแก้ปัญหาที่ตั้งเงื่อนไขไม่ชัดเจน . นิวยอร์ก: Winston. ISBN 0-470-99124-0.
• Strauss, Walter A. (2008). สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย; บทนำ (ฉบับที่ 2). โฮโบเคน: ไวลีย์. ISBN 978-0470-05456-7.
• อีแวนส์, ลอว์เรนซ์ ซี. (1998). สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDF) . พรอวิเดนซ์ (โรดไอส์แลนด์): สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน. ISBN 0-8218-0772-2.