การเลี้ยวเบนจากช่องแคบ (Learn how and when to remove this message ) กระบวนการเลี้ยวเบนที่ส่งผลต่อคลื่น นั้นสามารถอธิบายและวิเคราะห์ได้ในเชิงปริมาณ วิธีการดังกล่าวใช้กับคลื่นที่ผ่านช่องแคบหนึ่งช่องหรือมากกว่านั้น โดยความกว้างของ ช่องแคบจะกำหนดเป็นสัดส่วนของความยาวคลื่น อาจใช้การประมาณค่าเชิงตัวเลข ได้ รวมถึงการประมาณค่าของ เฟรสเนล และฟราวน์โฮ เฟอร์
การเลี้ยวเบนของคลื่นสเกลาร์ที่ผ่านช่องแคบกว้าง 1 ความยาวคลื่น การเลี้ยวเบนของคลื่นสเกลาร์ที่ผ่านช่องแคบกว้าง 4 เท่าของความยาวคลื่น
การเลี้ยวเบนทั่วไป เนื่องจากการเลี้ยวเบนเป็นผลมาจากการรวมกันของคลื่นทั้งหมด (ที่มีความยาวคลื่นที่กำหนด) ตามเส้นทางที่ไม่มีสิ่งกีดขวางทั้งหมด ขั้นตอนปกติจึงเป็นการพิจารณาการมีส่วนร่วมของบริเวณรอบข้างที่มีขนาดเล็กมาก (โดยทั่วไปเรียกว่าเวฟเล็ต ) แล้วทำการอินทิเกรตตลอดทุกเส้นทาง (= รวมเวฟเล็ตทั้งหมด) จากแหล่งกำเนิดไปยังตัวตรวจจับ (หรือจุดที่กำหนดบนหน้าจอ)
ดังนั้น เพื่อที่จะกำหนดรูปแบบที่เกิดจากการเลี้ยวเบน จึงต้องคำนวณเฟสและแอมพลิจูดของคลื่นย่อยแต่ละคลื่น นั่นคือ ณ แต่ละจุดในอวกาศ เราต้องกำหนดระยะห่างไปยังแหล่งกำเนิดอย่างง่ายแต่ละแหล่งบนหน้าคลื่นขาเข้า หากระยะห่างไปยังแหล่งกำเนิดอย่างง่ายแต่ละแหล่งแตกต่างกันด้วยจำนวนเต็มของความยาวคลื่น คลื่นย่อยทั้งหมดจะอยู่ในเฟสเดียวกัน ส่งผลให้เกิดการแทรกสอดแบบเสริมกัน หากระยะห่างไปยังแหล่งกำเนิดแต่ละแหล่งเป็นจำนวนเต็มบวกครึ่งหนึ่งของความยาวคลื่น จะเกิดการแทรกสอดแบบหักล้างกันอย่างสมบูรณ์ โดยปกติแล้ว การกำหนดค่าต่ำสุดและสูงสุดเหล่านี้ก็เพียงพอที่จะอธิบายปรากฏการณ์การเลี้ยวเบนที่สังเกตได้
คำอธิบายที่ง่ายที่สุดของการเลี้ยวเบนคือคำอธิบายที่สถานการณ์สามารถลดทอนลงเหลือเพียงปัญหาแบบสองมิติ สำหรับคลื่นน้ำนั้นเป็นเช่นนั้นอยู่แล้ว เนื่องจากคลื่นน้ำแพร่กระจายเฉพาะบนผิวน้ำเท่านั้น สำหรับแสง เรามักจะสามารถละเลยมิติหนึ่งได้หากวัตถุที่ทำให้เกิดการเลี้ยวเบนแผ่ขยายไปในทิศทางนั้นเป็นระยะทางที่มากกว่าความยาวคลื่นมาก ในกรณีของแสงที่ส่องผ่านรูวงกลมเล็กๆ เราจะต้องคำนึงถึงลักษณะสามมิติของปัญหาอย่างเต็มรูปแบบ
โดยทั่วไปแล้ว สามารถสังเกตปรากฏการณ์การเลี้ยวเบนในเชิงคุณภาพได้หลายประการ:
ระยะห่างเชิงมุมของลักษณะต่างๆ ในรูปแบบการเลี้ยวเบนแปรผกผันกับขนาดของวัตถุที่ทำให้เกิดการเลี้ยวเบน กล่าวคือ ยิ่งวัตถุที่ทำให้เกิดการเลี้ยวเบนมีขนาดเล็กเท่าใด รูปแบบการเลี้ยวเบนที่ได้ก็จะยิ่งกว้างขึ้นเท่านั้น และในทางกลับกัน (กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ เป็นจริงสำหรับค่าไซน์ ของมุมต่างๆ) มุมการเลี้ยวเบนจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการปรับขนาด กล่าวคือ มุมการเลี้ยวเบนจะขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของความยาวคลื่นต่อขนาดของวัตถุที่ทำให้เกิดการเลี้ยวเบนเท่านั้น เมื่อวัตถุที่ทำให้เกิดการเลี้ยวเบนมีโครงสร้างเป็นคาบ เช่น ในตะแกรงเลี้ยวเบน ลักษณะต่างๆ โดยทั่วไปจะคมชัดขึ้น ตัวอย่างเช่น ภาพที่สี่แสดงการเปรียบเทียบ รูปแบบที่เกิดจาก ช่องคู่ กับรูปแบบที่เกิดจากช่องห้าช่อง โดยทั้งสองชุดช่องมีระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของช่องหนึ่งกับช่องถัดไปเท่ากัน
การประมาณค่า ปัญหาของการคำนวณว่าคลื่นที่เลี้ยวเบนมีลักษณะอย่างไร คือปัญหาของการกำหนดเฟสของแหล่งกำเนิดอย่างง่ายแต่ละแหล่งบนหน้าคลื่นขาเข้า ในทางคณิตศาสตร์ การพิจารณากรณีการเลี้ยวเบนระยะไกลหรือการเลี้ยวเบนแบบฟราวน์โฮเฟอร์ นั้นง่ายกว่า เนื่องจากจุดสังเกตอยู่ไกลจากจุดของสิ่งกีดขวางที่ทำให้เกิดการเลี้ยวเบน และด้วยเหตุนี้จึงเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนน้อยกว่ากรณีทั่วไปของการเลี้ยวเบนระยะใกล้หรือการเลี้ยวเบนแบบเฟรสเนล เพื่อให้ข้อความนี้มีความเป็นเชิงปริมาณมากขึ้น ลองพิจารณาวัตถุที่ทำให้เกิดการเลี้ยวเบนที่จุดกำเนิดซึ่งมีขนาดเพื่อความชัดเจน สมมติว่าเรากำลังเลี้ยวเบนแสงและเราสนใจว่าความเข้มของแสงมีลักษณะอย่างไรบนหน้าจอที่อยู่ห่างจากวัตถุ ที่จุดใดจุดหนึ่งบนหน้าจอ ความยาวของเส้นทางไปยังด้านหนึ่งของวัตถุจะกำหนดโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส a {\displaystyle a} L {\displaystyle L}
S = L 2 + ( x + a / 2 ) 2 {\displaystyle S={\sqrt {L^{2}+(x+a/2)^{2}}}} ถ้าเราพิจารณาสถานการณ์ที่ความยาวของเส้นทางจะกลายเป็น นี่คือการประมาณของเฟรสเนล เพื่อทำให้ง่ายขึ้นไปอีก: ถ้าวัตถุที่ทำให้เกิดการเลี้ยวเบนมีขนาดเล็กกว่าระยะทางมากพจน์สุดท้ายจะส่งผลต่อความยาวของเส้นทางน้อยกว่าความยาวคลื่นมาก และจะไม่เปลี่ยนแปลงเฟสอย่างเห็นได้ชัด นั่นคือผลลัพธ์คือการประมาณของฟราวน์โฮเฟอร์ ซึ่งใช้ได้เฉพาะในระยะไกลมากจากวัตถุเท่านั้น ขึ้นอยู่กับขนาดของวัตถุที่ทำให้เกิดการเลี้ยวเบน ระยะห่างจากวัตถุ และความยาวคลื่น การประมาณของเฟรสเนล การประมาณของฟราวน์โฮเฟอร์ หรืออาจใช้ไม่ได้ทั้งสองแบบก็ได้ เมื่อระยะห่างระหว่างจุดที่วัดการเลี้ยวเบนและจุดกีดขวางเพิ่มขึ้น รูปแบบการเลี้ยวเบนหรือผลลัพธ์ที่คาดการณ์ไว้จะลู่เข้าหาการเลี้ยวเบนของฟราวน์โฮเฟอร์ ซึ่งมักพบเห็นได้ในธรรมชาติเนื่องจากความยาวคลื่นของแสงที่มองเห็นได้นั้นเล็กมาก L ≫ ( x + a / 2 ) {\displaystyle L\gg (x+a/2)} S ≈ ( L + ( x + a / 2 ) 2 2 L ) = L + x 2 2 L + x a 2 L + a 2 8 L {\displaystyle S\approx \left(L+{\frac {(x+a/2)^{2}}{2L}}\right)=L+{\frac {x^{2}}{2L}}+{\frac {xa}{2L}}+{\frac {a^{2}}{8L}}} L {\displaystyle L} a 2 L ≪ λ {\displaystyle {\frac {a^{2}}{L}}\ll \lambda } S ≈ L + x 2 2 L + x a 2 L {\displaystyle S\approx L+{\frac {x^{2}}{2L}}+{\frac {xa}{2L}}}
ช่องแคบหลายช่อง
คำอธิบายเชิงปริมาณอย่างง่าย แผนภาพแสดงปัญหาการเลี้ยวเบนของแสงผ่านช่องแคบสองช่อง โดยแสดงมุมไปยังจุดต่ำสุดแรก ซึ่งความแตกต่างของความยาวเส้นทางครึ่งหนึ่งของความยาวคลื่นจะทำให้เกิดการแทรกสอดแบบหักล้างกัน การจัดเรียงช่องแคบหลายช่องสามารถพิจารณาได้ทางคณิตศาสตร์ว่าเป็นแหล่งกำเนิดคลื่นอย่างง่ายหลายแหล่ง หากช่องแคบเหล่านั้นแคบพอ สำหรับแสง ช่องแคบคือช่องเปิดที่ขยายออกไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุดในมิติเดียว และสิ่งนี้มีผลในการลดปัญหาคลื่นในพื้นที่ 3 มิติให้เป็นปัญหาที่ง่ายกว่าในพื้นที่ 2 มิติ กรณีที่ง่ายที่สุดคือช่องแคบแคบสองช่องที่เว้นระยะห่างกัน เพื่อหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของแอมพลิจูด เราต้องกำหนดความแตกต่างของระยะทางไปยังช่องแคบแรกและช่องแคบที่สอง ในการประมาณของฟราวน์โฮเฟอร์ เมื่อผู้สังเกตอยู่ห่างจากช่องแคบ ความแตกต่างของความยาวเส้นทางไปยังช่องแคบทั้งสองสามารถมองเห็นได้จากภาพ ค่า สูงสุดของความเข้มจะเกิดขึ้นหากความแตกต่างของความยาวเส้นทางนี้เป็นจำนวนเต็มของความยาวคลื่น a {\displaystyle \ a} Δ S = a sin θ {\displaystyle \Delta S={a}\sin \theta }
a sin θ = n λ {\displaystyle a\sin \theta =n\lambda }
n {\displaystyle n} จำนวนเต็มที่ ระบุลำดับ ของ ค่า สูงสุดแต่ละค่าλ {\displaystyle \lambda } a {\displaystyle a} θ {\displaystyle \theta } จุดต่ำสุดที่สอดคล้องกันจะอยู่ที่ผลต่างของเส้นทางเป็นจำนวนเต็มบวกครึ่งหนึ่งของความยาวคลื่น: a sin θ = λ ( n + 1 / 2 ) . {\displaystyle a\sin \theta =\lambda (n+1/2)\,.}
สำหรับชุดช่องแคบ ตำแหน่งของค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดจะไม่เปลี่ยนแปลง อย่างไรก็ตาม แถบ การแทรกสอด ที่ปรากฏบนหน้าจอจะคมชัดขึ้น ดังที่เห็นได้ในภาพ
การเลี้ยวเบนของแสงเลเซอร์สีแดงผ่านช่อง 2 ช่องและ 5 ช่อง
คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ ในการคำนวณรูปแบบความเข้มนี้ จำเป็นต้องใช้วิธีการที่ซับซ้อนกว่านี้ การแสดงทางคณิตศาสตร์ของคลื่นรัศมีกำหนดโดย โดย ที่ คือความยาวคลื่นคือความถี่ของคลื่น และคือเฟสของคลื่นที่ช่องแคบ ณ เวลาt = 0 คลื่นที่หน้าจอซึ่งอยู่ห่างจากระนาบของช่องแคบนั้นได้จากผลรวมของคลื่นที่แผ่ออกมาจากแต่ละช่องแคบ เพื่อให้ปัญหานี้ง่ายขึ้นเล็กน้อย เราจึงแนะนำคลื่นเชิงซ้อนซึ่งส่วนจริงเท่ากับ ค่าสัมบูรณ์ของฟังก์ชันนี้ให้แอมพลิจูดของคลื่น และเฟสเชิงซ้อนของฟังก์ชันสอดคล้องกับเฟสของคลื่นเรียกว่าแอมพลิจูดเชิงซ้อน สำหรับช่องแคบ คลื่นทั้งหมดที่จุดบนหน้าจอคือ E ( r ) = A cos ( k r − ω t + ϕ ) / r {\displaystyle E(r)=A\cos(kr-\omega t+\phi )/r} k = 2 π λ {\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}} λ {\displaystyle \lambda } ω {\displaystyle \omega } ϕ {\displaystyle \phi } Ψ {\displaystyle \Psi } E {\displaystyle E} Ψ ( r ) = A e i ( k r − ω t + ϕ ) / r {\displaystyle \Psi (r)=Ae^{i(kr-\omega t+\phi )}/r} E ( r ) = Re ( Ψ ( r ) ) {\displaystyle E(r)=\operatorname {Re} (\Psi (r))} Ψ {\displaystyle \Psi } N {\displaystyle N} x {\displaystyle \ x} Ψ total = A e i ( − ω t + ϕ ) ∑ n = 0 N − 1 e i k ( x − n a ) 2 + L 2 ( x − n a ) 2 + L 2 . {\displaystyle \Psi _{\text{total}}=Ae^{i(-\omega t+\phi )}\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {e^{ik{\sqrt {(x-na)^{2}+L^{2}}}}}{\sqrt {\left(x-na\right)^{2}+L^{2}}}}.}
เนื่องจากในขณะนี้เราสนใจเฉพาะแอมพลิจูดและเฟสสัมพัทธ์เท่านั้น เราจึงสามารถละเลยปัจจัยเฟสโดยรวมใดๆ ที่ไม่ขึ้นอยู่กับหรือ ได้เราประมาณค่าในขีดจำกัดของฟราวน์โฮเฟอร์ เราสามารถละเลยพจน์อันดับในเลขชี้กำลัง และพจน์ใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับ หรือในตัวส่วน ผลรวมจึงกลายเป็น x {\displaystyle x} n {\displaystyle n} ( x − n a ) 2 + L 2 ≈ L + ( x − n a ) 2 / 2 L {\displaystyle {\sqrt {(x-na)^{2}+L^{2}}}\approx L+(x-na)^{2}/2L} a 2 2 L {\displaystyle {\frac {a^{2}}{2L}}} a / L {\displaystyle a/L} x / L {\displaystyle x/L} Ψ = A e i ( k ( x 2 2 L + L ) − ω t + ϕ ) L ∑ n = 0 N − 1 e − i k x n a L {\displaystyle \Psi =A{\frac {e^{i\left(k({\frac {x^{2}}{2L}}+L)-\omega t+\phi \right)}}{L}}\sum _{n=0}^{N-1}e^{-ik{\frac {xna}{L}}}}
ผลรวมมีรูปแบบเป็นผลรวมเรขาคณิต และสามารถคำนวณหาค่าได้ดังนี้ Ψ = A e i ( k ( x 2 − ( N − 1 ) a x 2 L + L ) − ω t + ϕ ) L sin ( N k a x 2 L ) sin ( k a x 2 L ) {\displaystyle \Psi =A{\frac {e^{i\left(k({\frac {x^{2}-(N-1)ax}{2L}}+L)-\omega t+\phi \right)}}{L}}{\frac {\sin \left({\frac {Nkax}{2L}}\right)}{\sin \left({\frac {kax}{2L}}\right)}}}
ความเข้มจะ กำหนด โดยค่าสัมบูรณ์ของกำลังสองของแอมพลิจูดเชิงซ้อน โดยที่หมายถึง ค่า สังยุคเชิงซ้อน ของI ( x ) = Ψ Ψ ∗ = | Ψ | 2 = I 0 ( sin ( N k a x 2 L ) sin ( k a x 2 L ) ) 2 {\displaystyle I(x)=\Psi \Psi ^{*}=|\Psi |^{2}=I_{0}\left({\frac {\sin \left({\frac {Nkax}{2L}}\right)}{\sin \left({\frac {kax}{2L}}\right)}}\right)^{2}} Ψ ∗ {\displaystyle \Psi ^{*}} Ψ {\displaystyle \Psi }
ช่องเดียว การประมาณค่าเชิงตัวเลขของรูปแบบการเลี้ยวเบนจากช่องแคบที่มีความกว้างเท่ากับความยาวคลื่นของคลื่นระนาบตกกระทบในรูปแบบภาพ 3 มิติสีน้ำเงิน การประมาณเชิงตัวเลขของรูปแบบการเลี้ยวเบนจากช่องแคบที่มีความกว้างสี่เท่าของความยาวคลื่น โดยมีคลื่นระนาบตกกระทบ ลำแสงหลักตรงกลาง จุดศูนย์ และการกลับเฟสปรากฏให้เห็นอย่างชัดเจน กราฟและภาพแสดงการเลี้ยวเบนของแสงผ่านช่องแคบเดี่ยว ตัวอย่างเช่น ขณะนี้สามารถหาได้สมการที่แม่นยำสำหรับความเข้มของรูปแบบการเลี้ยวเบนเป็นฟังก์ชันของมุมในกรณีของการเลี้ยวเบนผ่านช่องแคบเดี่ยวได้แล้ว
สามารถใช้ การแสดงหลักการของฮุยเกนส์ ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์เพื่อเริ่มต้นสมการได้
พิจารณาคลื่นระนาบ เชิงซ้อนเอก สี ที่มีความยาวคลื่นλ ตกกระทบช่องแคบที่มีความกว้างa Ψ ′ {\displaystyle \Psi ^{\prime }}
ถ้าช่องแคบอยู่ในระนาบ x′-y′ โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ก็สามารถสันนิษฐานได้ว่าการเลี้ยวเบนก่อให้เกิดคลื่นเชิงซ้อน ψ ซึ่งเคลื่อนที่ในแนวรัศมีในทิศทาง r ออกจากช่องแคบ และกำหนดโดย: Ψ = ∫ s l i t i r λ Ψ ′ e − i k r d s l i t {\displaystyle \Psi =\int _{\mathrm {slit} }{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,d\mathrm {slit} }
ให้( x ′, y ′, 0) เป็นจุดภายในช่องแคบที่กำลังทำการอินทิเกรต ถ้า( x , 0, z ) คือตำแหน่งที่กำลังคำนวณความเข้มของรูปแบบการเลี้ยวเบน ช่องแคบจะทอดยาวจากถึง และจากถึงx ′ = − a / 2 {\displaystyle x'=-a/2} + a / 2 {\displaystyle +a/2\,} y ′ = − ∞ {\displaystyle y'=-\infty } ∞ {\displaystyle \infty }
ระยะห่างr จากช่องแคบคือ: r = ( x − x ′ ) 2 + y ′ 2 + z 2 {\displaystyle r={\sqrt {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}+z^{2}}}} r = z ( 1 + ( x − x ′ ) 2 + y ′ 2 z 2 ) 1 2 {\displaystyle r=z\left(1+{\frac {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}
หากสมมติว่า เกิด การเลี้ยวเบนแบบฟราวน์โฮเฟอร์ จะได้ข้อสรุปว่า กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ระยะห่างจากเป้าหมายนั้นมากกว่าความกว้างของการเลี้ยวเบนบนเป้าหมายมาก โดยใช้ กฎ การกระจายทวินาม โดยไม่สนใจพจน์กำลังสองและสูงกว่านั้น ปริมาณทางด้านขวาสามารถประมาณได้ดังนี้: z ≫ | ( x − x ′ ) | {\displaystyle z\gg {\big |}\left(x-x^{\prime }\right){\big |}}
r ≈ z ( 1 + 1 2 ( x − x ′ ) 2 + y ′ 2 z 2 ) {\displaystyle r\approx z\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-x'\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)} r ≈ z + ( x − x ′ ) 2 + y ′ 2 2 z {\displaystyle r\approx z+{\frac {\left(x-x'\right)^{2}+y^{\prime 2}}{2z}}}
จะเห็นได้ว่า 1/ r ที่อยู่หน้าสมการไม่มีการแกว่ง นั่นคือ การมีส่วนร่วมของมันต่อขนาดของความเข้มมีน้อยเมื่อเทียบกับปัจจัยเลขชี้กำลังของเรา ดังนั้น เราจะสูญเสียความแม่นยำเพียงเล็กน้อยหากประมาณค่า มัน เป็น 1/ z
Ψ = i Ψ ′ z λ ∫ − a 2 a 2 ∫ − ∞ ∞ e − i k [ z + ( x − x ′ ) 2 + y ′ 2 2 z ] d y ′ d x ′ = i Ψ ′ z λ e − i k z ∫ − a 2 a 2 e − i k [ ( x − x ′ ) 2 2 z ] d x ′ ∫ − ∞ ∞ e − i k [ y ′ 2 2 z ] d y ′ = Ψ ′ i z λ e − i k x 2 2 z ∫ − a 2 a 2 e i k x x ′ z e − i k x ′ 2 2 z d x ′ {\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &={\frac {i\Psi '}{z\lambda }}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ik\left[z+{\frac {\left(x-x'\right)^{2}+y^{\prime 2}}{2z}}\right]}\,dy'\,dx'\\&={\frac {i\Psi ^{\prime }}{z\lambda }}e^{-ikz}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{-ik\left[{\frac {\left(x-x'\right)^{2}}{2z}}\right]}\,dx^{\prime }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ik\left[{\frac {y^{\prime 2}}{2z}}\right]}\,dy'\\&=\Psi ^{\prime }{\sqrt {\frac {i}{z\lambda }}}e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikxx'}{z}}e^{\frac {-ikx^{\prime 2}}{2z}}\,dx'\end{aligned}}}
เพื่อให้สมการดูเรียบร้อยขึ้น จึงใช้สัญลักษณ์C แทนค่าคงที่ สิ่งสำคัญที่ควรจำไว้คือC อาจมีจำนวนจินตนาการ ดังนั้นฟังก์ชันคลื่น จึง จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน อย่างไรก็ตาม ในตอนท้ายψ จะถูกใส่วงเล็บเพื่อกำจัดส่วนที่เป็นจำนวนจินตนาการออกไป
ในการเลี้ยวเบนแบบฟราวน์โฮเฟอร์ ค่านี้มีขนาดเล็ก ดังนั้น(โปรดทราบว่ามีส่วนร่วมในฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลนี้และกำลังถูกอินทิเกรต) k x ′ 2 / z {\displaystyle kx^{\prime 2}/z} e − i k x ′ 2 2 z ≈ 1 {\displaystyle e^{\frac {-ikx^{\prime 2}}{2z}}\approx 1} x ′ {\displaystyle x^{\prime }}
ในทางตรงกันข้าม สามารถตัด พจน์นี้ ออกจากสมการได้ เนื่องจากเมื่อใส่วงเล็บแล้วจะได้ค่าเป็น 1e − i k x 2 2 z {\displaystyle e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}} ⟨ e − i k x 2 2 z | e − i k x 2 2 z ⟩ = e − i k x 2 2 z ( e − i k x 2 2 z ) ∗ = e − i k x 2 2 z e + i k x 2 2 z = e 0 = 1 {\displaystyle \left\langle e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}|e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\right\rangle =e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\left(e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\right)^{*}=e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}e^{\frac {+ikx^{2}}{2z}}=e^{0}=1}
(ด้วยเหตุผลเดียวกันนี้ เราจึงได้ตัดคำนั้นออกไปด้วย) e − i k z {\displaystyle e^{-ikz}}
การนำผลลัพธ์ไปพิจารณา: C = Ψ ′ i z λ {\displaystyle C=\Psi ^{\prime }{\sqrt {\frac {i}{z\lambda }}}} Ψ = C ∫ − a 2 a 2 e i k x x ′ z d x ′ = C e i k a x 2 z − e − i k a x 2 z i k x z {\displaystyle \Psi =C\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikxx^{\prime }}{z}}\,dx^{\prime }=C{\frac {e^{\frac {ikax}{2z}}-e^{\frac {-ikax}{2z}}}{\frac {ikx}{z}}}}
จาก สูตรของออยเลอร์ และอนุพันธ์ของสูตรดังกล่าว จะเห็นได้ ว่า
sin x = e i x − e − i x 2 i {\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}} และจากเรขาคณิตที่
sin θ = x z {\displaystyle \sin \theta ={\frac {x}{z}}} ดังนั้น เราจึงมี
Ψ = a C sin k a sin θ 2 k a sin θ 2 = a C [ sinc ( k a sin θ 2 ) ] {\displaystyle \Psi =aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}=aC\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {ka\sin \theta }{2}}\right)\right]} โดยที่ ฟังก์ชัน sinc (ที่ยังไม่ได้ปรับให้เป็นมาตรฐาน) ถูกกำหนดโดย. sinc ( x ) = d e f sin ( x ) x {\displaystyle \operatorname {sinc} (x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\sin(x)}{x}}}
เมื่อแทนค่าลงไปความเข้ม (กำลังสองของแอมพลิจูด) ของคลื่นเลี้ยวเบนที่มุมθ จะได้ดังนี้: 2 π λ = k {\displaystyle {\frac {2\pi }{\lambda }}=k} I {\displaystyle I} I ( θ ) = I 0 [ sinc ( π a λ sin θ ) ] 2 {\displaystyle I(\theta )=I_{0}{\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta \right)\right]}^{2}}
รอยแยกหลายรอย การเลี้ยวเบนของแสงเลเซอร์สีแดงผ่านช่องคู่ การเลี้ยวเบนแบบ 2 ช่องและ 5 ช่อง เรามาเริ่มต้นกันใหม่ด้วยการนำเสนอหลักการของฮุยเกนส์ ใน รูปแบบทางคณิตศาสตร์กันอีกครั้งΨ = ∫ s l i t i r λ Ψ ′ e − i k r d s l i t {\displaystyle \Psi =\int _{\mathrm {slit} }{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,d\mathrm {slit} }
พิจารณาช่องแคบในระนาบหลักที่มีขนาดและระยะห่าง เท่ากัน กระจายอยู่ตามแนวแกน ดังที่กล่าวมาข้างต้น ระยะห่างจากช่องแคบที่ 1 คือ: N {\displaystyle N} a {\displaystyle a} d {\displaystyle d} x ′ {\displaystyle x^{\prime }} r {\displaystyle r} r = z ( 1 + ( x − x ′ ) 2 + y ′ 2 z 2 ) 1 2 {\displaystyle r=z\left(1+{\frac {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}
เพื่อขยายแนวคิดนี้ไปยังช่องแคบ เราสังเกตว่าในขณะที่และยังคงที่ การเปลี่ยนแปลงจะเกิดขึ้นโดย N {\displaystyle N} z {\displaystyle z} y {\displaystyle y} x ′ {\displaystyle x^{\prime }} x j = 0 ⋯ n − 1 ′ = x 0 ′ − j d {\displaystyle x_{j=0\cdots n-1}^{\prime }=x_{0}^{\prime }-jd}
ดังนั้น ผลรวมของส่วนประกอบทั้งหมดที่ส่งผลต่อฟังก์ชันคลื่นคือ: r j = z ( 1 + ( x − x ′ − j d ) 2 + y ′ 2 z 2 ) 1 2 {\displaystyle r_{j}=z\left(1+{\frac {\left(x-x^{\prime }-jd\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}} N {\displaystyle N} Ψ = ∑ j = 0 N − 1 C ∫ − a / 2 a / 2 e i k x ( x ′ − j d ) z e − i k ( x ′ − j d ) 2 2 z d x ′ {\displaystyle \Psi =\sum _{j=0}^{N-1}C\int _{-{a}/{2}}^{{a}/{2}}e^{\frac {ikx\left(x'-jd\right)}{z}}e^{\frac {-ik\left(x'-jd\right)^{2}}{2z}}\,dx^{\prime }}
สังเกตอีกครั้งว่ามีขนาดเล็ก ดังนั้นเราจึงได้: k ( x ′ − j d ) 2 z {\displaystyle {\frac {k\left(x^{\prime }-jd\right)^{2}}{z}}} e − i k ( x ′ − j d ) 2 2 z ≈ 1 {\displaystyle e^{\frac {-ik\left(x'-jd\right)^{2}}{2z}}\approx 1} Ψ = C ∑ j = 0 N − 1 ∫ − a / 2 a / 2 e i k x ( x ′ − j d ) z d x ′ = a C ∑ j = 0 N − 1 ( e i k a x 2 z − i j k x d z − e − i k a x 2 z − i j k x d z ) 2 i k a x 2 z = a C ∑ j = 0 N − 1 e i j k x d z ( e i k a x 2 z − e − i k a x 2 z ) 2 i k a x 2 z = a C sin k a sin θ 2 k a sin θ 2 ∑ j = 0 N − 1 e i j k d sin θ {\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &=C\sum _{j=0}^{N-1}\int _{-{a}/{2}}^{{a}/{2}}e^{\frac {ikx\left(x^{\prime }-jd\right)}{z}}\,dx^{\prime }\\&=aC\sum _{j=0}^{N-1}{\frac {\left(e^{{\frac {ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}}}-e^{{\frac {-ikax}{2z}}-{\frac {ijkxd}{z}}}\right)}{\frac {2ikax}{2z}}}\\&=aC\sum _{j=0}^{N-1}e^{\frac {ijkxd}{z}}{\frac {\left(e^{\frac {ikax}{2z}}-e^{\frac {-ikax}{2z}}\right)}{\frac {2ikax}{2z}}}\\&=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\sum _{j=0}^{N-1}e^{ijkd\sin \theta }\end{aligned}}}
ตอนนี้ เราสามารถใช้เอกลักษณ์ต่อไปนี้ได้ ∑ j = 0 N − 1 e x j = 1 − e N x 1 − e x . {\displaystyle \sum _{j=0}^{N-1}e^{xj}={\frac {1-e^{Nx}}{1-e^{x}}}.}
เมื่อแทนค่าลงในสมการ เราจะได้: Ψ = a C sin k a sin θ 2 k a sin θ 2 ( 1 − e i N k d sin θ 1 − e i k d sin θ ) = a C sin k a sin θ 2 k a sin θ 2 ( e − i N k d sin θ 2 − e i N k d sin θ 2 e − i k d sin θ 2 − e i k d sin θ 2 ) ( e i N k d sin θ 2 e i k d sin θ 2 ) = a C sin k a sin θ 2 k a sin θ 2 e − i N k d sin θ 2 − e i N k d sin θ 2 2 i e − i k d sin θ 2 − e i k d sin θ 2 2 i ( e i ( N − 1 ) k d sin θ 2 ) = a C sin ( k a sin θ 2 ) k a sin θ 2 sin ( N k d sin θ 2 ) sin ( k d sin θ 2 ) e i ( N − 1 ) k d sin θ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\left({\frac {1-e^{iNkd\sin \theta }}{1-e^{ikd\sin \theta }}}\right)\\[1ex]&=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\left({\frac {e^{-iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{e^{-ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}}\right)\left({\frac {e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}}\right)\\[1ex]&=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\frac {e^{-iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{2i}}{\frac {e^{-ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{2i}}}\left(e^{i(N-1)kd{\frac {\sin \theta }{2}}}\right)\\[1ex]&=aC{\frac {\sin \left({\frac {ka\sin \theta }{2}}\right)}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\sin \left({\frac {Nkd\sin \theta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {kd\sin \theta }{2}}\right)}}e^{i\left(N-1\right)kd{\frac {\sin \theta }{2}}}\end{aligned}}}
ตอนนี้เราทำการแทนที่เหมือนเดิม และแทนค่าคงที่ที่ไม่แกว่งทั้งหมดด้วยตัวแปรเช่นเดียวกับการเลี้ยวเบนแบบ 1 ช่อง และใส่ผลลัพธ์ไว้ในวงเล็บ จำไว้ว่า k {\displaystyle k} I 0 {\displaystyle I_{0}} ⟨ e i x | e i x ⟩ = e 0 = 1 {\displaystyle \left\langle e^{ix}{\Big |}e^{ix}\right\rangle =e^{0}=1}
วิธีนี้ช่วยให้เราสามารถตัดเลขชี้กำลังส่วนท้ายออกไปได้ และเราก็ได้คำตอบแล้ว: I ( θ ) = I 0 [ sinc ( π a λ sin θ ) ] 2 ⋅ [ sin ( N π d λ sin θ ) sin ( π d λ sin θ ) ] 2 {\displaystyle I\left(\theta \right)=I_{0}\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta \right)\right]^{2}\cdot \left[{\frac {\sin \left({\frac {N\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}{\sin \left({\frac {\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}}\right]^{2}}
กรณีทั่วไปสำหรับสนามระยะไกล ส่วนต่อไปนี้ใช้แนวทางทางคณิตศาสตร์มากขึ้น โดยพิจารณาปัญหาเป็นผลรวมของคลื่นทรงกลมที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ ซึ่งได้มาจากสมการคลื่นที่เกี่ยวข้อง ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ ใน Born และ Wolf [ 1 ] สมการคลื่น ในโดเมนความถี่ สำหรับแหล่งกำเนิดจุด ( สมการเฮล์มโฮลทซ์ ) โดยที่คือฟังก์ชันเดลต้า 3 มิติ ฟังก์ชันเดลต้ามีการพึ่งพาเฉพาะรัศมีเท่านั้น ดังนั้นตัวดำเนินการลาปลาส (หรือที่เรียกว่าลาปลาเซียนสเกลาร์) ในระบบพิกัดทรงกลม จึงลดรูปเหลือเพียง ψ {\displaystyle \psi } r {\displaystyle \mathbf {r} } ∇ 2 ψ + k 2 ψ = δ ( r ) , {\displaystyle \nabla ^{2}\psi +k^{2}\psi =\delta (\mathbf {r} ),} δ ( r ) {\displaystyle \delta (\mathbf {r} )} ∇ 2 ψ = 1 r ∂ 2 ∂ r 2 ( r ψ ) . {\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi ).}
(ดูdel ในพิกัดทรงกระบอกและพิกัดทรงกลม ) โดยการแทนค่าโดยตรง สามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่าคำตอบของสมการนี้คือฟังก์ชันกรีนแบบสเกลาร์ ซึ่งในระบบพิกัดทรงกลม (และใช้ข้อกำหนดเวลาทางฟิสิกส์) คือ e − i ω t {\displaystyle e^{-i\omega t}} ψ ( r ) = e i k r 4 π r . {\displaystyle \psi (r)={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}.}
ซึ่งเป็นคลื่นทรงกลมที่แผ่ออกมาจากจุดกำเนิด วิธีแก้ปัญหานี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าแหล่งกำเนิดฟังก์ชันเดลต้าอยู่ที่จุดกำเนิด หากแหล่งกำเนิดอยู่ที่จุดกำเนิดใดๆ ซึ่งแทนด้วยเวกเตอร์และจุดสนามอยู่ที่จุดเราสามารถแทนฟังก์ชันกรีนแบบสเกลาร์ (สำหรับตำแหน่งแหล่งกำเนิดใดๆ) ได้ดังนี้ r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} r {\displaystyle \mathbf {r} } ψ ( r | r ′ ) = e i k | r − r ′ | 4 π | r − r ′ | . {\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}
ดังนั้น หากสนามไฟฟ้า ตกกระทบที่ช่องเปิด สนามที่เกิดจากการกระจายตัวของช่องเปิดนี้จะกำหนดโดยปริพันธ์บนพื้นผิว E i n c ( x , y ) {\displaystyle E_{\mathrm {inc} }(x,y)} Ψ ( r ) ∝ ∬ a p e r t u r e E i n c ( x ′ , y ′ ) e i k | r − r ′ | 4 π | r − r ′ | d x ′ d y ′ , {\displaystyle \Psi (r)\propto \iint \limits _{\mathrm {aperture} }\!\!E_{\mathrm {inc} }(x',y')~{\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,dx'\,dy',}
ในการคำนวณฟิลด์ของภูมิภาคฟราวน์โฮเฟอร์ โดยที่จุดกำเนิดในช่องรับแสงถูกกำหนดโดยเวกเตอร์ r ′ = x ′ x ^ + y ′ y ^ . {\displaystyle \mathbf {r} '=x'\mathbf {\hat {x}} +y'\mathbf {\hat {y}} .}
ในบริเวณไกลซึ่งสามารถใช้การประมาณรังสีขนานได้ ฟังก์ชันของกรีนจะ ลดรูปเหลือ ดังที่เห็นได้ในรูปด้านข้าง ψ ( r | r ′ ) = e i k | r − r ′ | 4 π | r − r ′ | , {\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}},} ψ ( r | r ′ ) = e i k r 4 π r e − i k ( r ′ ⋅ r ^ ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}e^{-ik(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {\hat {r}} )}}
สูตรสำหรับสนามในเขตไกล (บริเวณฟราวน์โฮเฟอร์) จะเป็นดังนี้ Ψ ( r ) ∝ e i k r 4 π r ∬ a p e r t u r e E i n c ( x ′ , y ′ ) e − i k ( r ′ ⋅ r ^ ) d x ′ d y ′ . {\displaystyle \Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limits _{\mathrm {aperture} }\!\!E_{\mathrm {inc} }(x',y')e^{-ik(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {\hat {r}} )}\,dx'\,dy'.}
ทีนี้ เนื่องจาก และ นิพจน์สำหรับสนามบริเวณฟราวน์โฮเฟอร์จากช่องเปิดระนาบจึงกลายเป็น r ′ = x ′ x ^ + y ′ y ^ {\displaystyle \mathbf {r} '=x'\mathbf {\hat {x}} +y'\mathbf {\hat {y}} } r ^ = sin θ cos ϕ x ^ + sin θ sin ϕ y ^ + cos θ z ^ , {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \phi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta ~\sin \phi ~\mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}} ,} Ψ ( r ) ∝ e i k r 4 π r ∬ a p e r t u r e E i n c ( x ′ , y ′ ) e − i k sin θ ( cos ϕ x ′ + sin ϕ y ′ ) d x ′ d y ′ . {\displaystyle \Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limits _{\mathrm {aperture} }\!\!E_{\mathrm {inc} }(x',y')e^{-ik\sin \theta (\cos \phi x'+\sin \phi y')}\,dx'\,dy'.}
เมื่อกำหนด ให้ฟิลด์ บริเวณ ฟราวน์โฮเฟอร์ของช่องเปิดระนาบมีรูปแบบเป็นการแปลงฟูริเยร์ k x = k sin θ cos ϕ {\displaystyle k_{x}=k\sin \theta \cos \phi } k y = k sin θ sin ϕ , {\displaystyle k_{y}=k\sin \theta \sin \phi \,,} Ψ ( r ) ∝ e i k r 4 π r ∬ a p e r t u r e E i n c ( x ′ , y ′ ) e − i ( k x x ′ + k y y ′ ) d x ′ d y ′ , {\displaystyle \Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limits _{\mathrm {aperture} }\!\!E_{\mathrm {inc} }(x',y')e^{-i(k_{x}x'+k_{y}y')}\,dx'\,dy',}
ในบริเวณสนามไกล / บริเวณฟราวน์โฮเฟอร์ สิ่งนี้จะกลายเป็นการแปลงฟูริเยร์ เชิงพื้นที่ของ การกระจายรูรับแสง หลักการของฮุยเกนส์เมื่อนำไปใช้กับรูรับแสงจะกล่าวอย่างง่าย ๆ ว่ารูปแบบการเลี้ยวเบนของสนามไกล คือการแปลงฟูริเยร์เชิงพื้นที่ของรูปร่างรูรับแสง และนี่เป็นผลพลอยได้โดยตรงจากการใช้การประมาณรังสีขนาน ซึ่งเหมือนกับการแยกส่วนคลื่นระนาบของสนามระนาบรูรับแสง (ดูทัศนศาสตร์ฟูริเยร์ ) ในสนามไกล ซึ่งr มีค่าคงที่โดยพื้นฐานแล้ว สมการ: จะเทียบเท่ากับการทำการแปลงฟูริเยร์ บนช่องว่างในสิ่งกีดขวาง[ 2 ] Ψ = ∫ s l i t i r λ Ψ ′ e − i k r d s l i t {\displaystyle \Psi =\int _{\mathrm {slit} }{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,d\mathrm {slit} }
ดูเพิ่มเติม 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &={\frac {i\Psi '}{z\lambda }}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ik\left[z+{\frac {\left(xx'\right)^{2}+y^{\prime 2}}{2z}}\right]}\,dy'\,dx'\\&={\frac {i\Psi ^{\prime }}{z\lambda }}e^{-ikz}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{-ik\left[{\frac {\left(xx'\right)^{2}}{2z}}\right]}\,dx^{\prime }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ik\left[{\frac {y^{\prime 2}}{2z}}\right]}\,dy'\\&=\Psi ^{\prime }{\sqrt {\frac {i}{z\lambda }}}e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikxx'}{z}}e^{\frac {-ikx^{\prime 2}}{2z}}\,dx'\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd79cf3a40895f3ebabb7dee02ba60f66e8ee3)
![{\displaystyle \Psi =aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}=aC\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {ka\sin \theta }{2}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79356554dbbba3ea663d9f2fa6d6aba14867908)
![{\displaystyle I(\theta )=I_{0}{\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta \right)\right]}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e0810dc7aa8ca2487a4f2244139665f0f1d4ea)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\left({\frac {1-e^{iNkd\sin \theta }}{1-e^{ikd\sin \theta }}}\right)\\[1ex]&=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}\left({\frac {e^{-iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{e^{-ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}}\right)\left({\frac {e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}}\right)\\[1ex]&=aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\frac {e^{-iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{iNkd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{2i}}{\frac {e^{-ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}-e^{ikd{\frac {\sin \theta }{2}}}}{2i}}}\left(e^{i(N-1)kd{\frac {\sin \theta }{2}}}\right)\\[1ex]&=aC{\frac {\sin \left({\frac {ka\sin \theta }{2}}\right)}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {\sin \left({\frac {Nkd\sin \theta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {kd\sin \theta }{2}}\right)}}e^{i\left(N-1\right)kd{\frac {\sin \theta }{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7477cf078ea2140bba1611474083e5460b9e2b29)
![{\displaystyle I\left(\theta \right)=I_{0}\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta \right)\right]^{2}\cdot \left[{\frac {\sin \left({\frac {N\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}{\sin \left({\frac {\pi d}{\lambda }}\sin \theta \right)}}\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817c1f8594184fc46dc4a12c31e54b59e644c4f8)
