ในทางทัศนศาสตร์สมการการเลี้ยวเบนของ Fraunhoferใช้ในการจำลองการเลี้ยวเบนของคลื่นเมื่อคลื่นระนาบตกกระทบวัตถุที่ทำให้เกิดการเลี้ยวเบน และรูปแบบการเลี้ยวเบนถูกมองเห็นที่ระยะทางไกลพอสมควร (ระยะทางที่ตรงตามเงื่อนไขของ Fraunhofer ) จากวัตถุ (ในบริเวณไกล) และเมื่อมองเห็นที่ระนาบโฟกัสของเลนส์ สร้างภาพ [ ^{1 ] [ 2 ] ในทางตรงกันข้าม รูปแบบการเลี้ยวเบนที่เกิดขึ้นใกล้กับวัตถุที่ทำให้ เกิด}การเลี้ยวเบน (และใน บริเวณ ใกล้ ) จะได้รับจากสมการ การเลี้ยวเบนของ Fresnel

สมการนี้ได้รับการตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่โจเซฟ ฟอน ฟราวน์โฮเฟอร์^{[ 3 ]}แม้ว่าเขาจะไม่ได้มีส่วนร่วมในการพัฒนาทฤษฎีนี้จริง ๆ ก็ตาม

บทความนี้อธิบายถึงการประยุกต์ใช้สมการฟราวน์โฮเฟอร์ และแสดงรูปแบบการเลี้ยวเบนของฟราวน์โฮเฟอร์สำหรับขนาดรูรับแสงต่างๆ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์โดยละเอียดของการเลี้ยวเบนของฟราวน์โฮเฟอร์มีอยู่ในสมการการเลี้ยวเบนของฟราวน์โฮเฟอร์

เมื่อลำแสง ถูกสิ่งกีดขวาง บดบังบางส่วน แสงบางส่วนจะกระจัดกระจายไปรอบๆ วัตถุ มักจะเห็นแถบแสงและเงาที่ขอบเงา – ปรากฏการณ์นี้เป็นผลมาจากการเลี้ยว เบน ^{[ 4 ]}ผลกระทบเหล่านี้สามารถจำลองได้โดยใช้หลักการของ Huygens–Fresnel โดย Huygens ตั้งสมมติฐานว่าทุกจุดบนหน้าคลื่นทำหน้าที่เป็นแหล่งกำเนิดของคลื่นย่อยทรงกลม และผลรวมของคลื่นย่อยเหล่านี้จะกำหนดรูปร่างของคลื่นที่เกิดขึ้นในเวลาต่อมา ในขณะที่Fresnelได้พัฒนาสมการโดยใช้คลื่นย่อยของ Huygens ร่วมกับหลักการซ้อนทับของคลื่น ซึ่งจำลองผลกระทบของการเลี้ยวเบนเหล่านี้ได้ค่อนข้างดี

โดยทั่วไปแล้ว การคำนวณแอมพลิจูดของคลื่นที่ได้จากผลรวมของคลื่นย่อย (ผลรวมของคลื่นก็คือคลื่นชนิดหนึ่ง) นั้นไม่ใช่เรื่องง่าย เพราะแต่ละคลื่นย่อยมี แอ มพลิจูด เฟสและทิศทางการสั่น ( โพลาไรเซชัน ) ที่แตกต่างกัน เนื่องจากเกี่ยวข้องกับการบวกคลื่นจำนวนมากที่มีแอมพลิจูด เฟส และโพลาไรเซชันที่แตกต่างกัน เมื่อคลื่นแสงสองคลื่นซึ่งเป็นสนามแม่เหล็กไฟฟ้าถูกบวกเข้าด้วยกัน ( ผลรวมเวกเตอร์ ) แอมพลิจูดของผลรวมคลื่นจะขึ้นอยู่กับแอมพลิจูด เฟส และแม้แต่โพลาไรเซชันของคลื่นแต่ละคลื่น ในทิศทางหนึ่งที่สนามคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าถูกฉาย (หรือพิจารณาสถานการณ์ที่คลื่นสองคลื่นมีโพลาไรเซชันเดียวกัน) คลื่นสองคลื่นที่มีแอมพลิจูด (ที่ฉาย) เท่ากันและมีเฟสตรงกัน จะให้แอมพลิจูดของผลรวมคลื่นเป็นสองเท่าของแอมพลิจูดของคลื่นแต่ละคลื่น ในขณะที่คลื่นสองคลื่นที่มีแอมพลิจูดเท่ากันแต่มีเฟสตรงข้ามกัน จะให้แอมพลิจูดของคลื่นเป็นศูนย์ เนื่องจากคลื่นทั้งสองหักล้างกัน โดยทั่วไป จะต้องแก้ปริพันธ์สองมิติเหนือตัวแปรเชิงซ้อน และในหลายกรณี จะไม่มีวิธีแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์^{[ 5 ]}

สมการการเลี้ยวเบนของ Fraunhofer เป็นเวอร์ชันที่ง่ายกว่าของสูตรการเลี้ยวเบนของ Kirchhoffและสามารถใช้ในการจำลองการเลี้ยวเบนของแสงได้เมื่อทั้งแหล่งกำเนิดแสงและระนาบการมองเห็น (ระนาบการสังเกตที่สังเกตคลื่นเลี้ยวเบน) อยู่ห่างจากรูรับแสงที่เลี้ยวเบนอย่างไม่มีที่สิ้นสุด^{[ 6 ]}เมื่อแหล่งกำเนิดแสงอยู่ห่างจากรูรับแสงที่เลี้ยวเบนมากพอ แสงที่ตกกระทบรูรับแสงจะเป็นคลื่นระนาบ โดยแท้จริง ดังนั้นเฟสของแสงที่แต่ละจุดบนรูรับแสงจึงเหมือนกัน ที่ระนาบการสังเกตที่อยู่ห่างจากรูรับแสงมากพอ เฟสของคลื่นที่มาจากแต่ละจุดบนรูรับแสงจะแปรผันเชิงเส้นกับตำแหน่งของจุดบนรูรับแสง ทำให้การคำนวณผลรวมของคลื่นที่จุดสังเกตบนระนาบการสังเกตค่อนข้างตรงไปตรงมาในหลายกรณี แม้แต่แอมพลิจูดของคลื่นทุติยภูมิที่มาจากรูรับแสงที่จุดสังเกตก็สามารถถือว่าเหมือนกันหรือคงที่สำหรับการคำนวณคลื่นเลี้ยวเบนแบบง่ายในกรณีนี้ การเลี้ยวเบนในข้อกำหนดทางเรขาคณิตดังกล่าวเรียกว่าการเลี้ยวเบนแบบฟราวน์โฮเฟอร์และเงื่อนไขที่การเลี้ยวเบนแบบฟราวน์โฮเฟอร์ใช้ได้เรียกว่าเงื่อนไขฟราวน์โฮเฟอร์ดังแสดงในกรอบด้านขวา^{[ 7 ]}คลื่นที่เลี้ยวเบนมักเรียกว่าสนามไกลหากอย่างน้อยเป็นไปตามเงื่อนไขฟราวน์โฮเฟอร์บางส่วน โดยที่ระยะห่างระหว่างช่องเปิดและระนาบการสังเกต คือ${\displaystyle L}$${\displaystyle L\gg {\frac {W^{2}}{\แลมบ์ดา }}}$

ตัวอย่างเช่น หากรูวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 0.5 มม. ถูกส่องสว่างด้วยแสงเลเซอร์ที่มีความยาวคลื่น 0.6 ไมโครเมตร การเลี้ยวเบนแบบฟราวน์โฮเฟอร์จะเกิดขึ้นหากระยะการมองมากกว่า 1000 มม.

การได้มาซึ่งเงื่อนไข Fraunhofer ในที่นี้ขึ้นอยู่กับเรขาคณิตที่อธิบายไว้ในกล่องด้านขวา^{[ 8 ]}เส้นทางคลื่นเลี้ยวเบนr ₂สามารถแสดงได้ในรูปของเส้นทางคลื่นเลี้ยวเบนอีกเส้นหนึ่งr ₁และระยะทางbระหว่างจุดเลี้ยวเบนสองจุดโดยใช้กฎของโคไซน์

$${\displaystyle {r_{2}}={\left(r_{1}^{2}+b^{2}-2b{r_{1}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\right)}^{\frac {1}{2}}={r_{1}}{\left(1+{\frac {b^{2}}{r_{1}^{2}}}-2{\frac {b}{r_{1}}}\sin \theta \right)}^{\frac {1}{2}}.}$$

สามารถขยายความได้โดยการคำนวณอนุกรม เทย์เลอร์ อันดับสอง ของนิพจน์เทียบกับ ${\displaystyle {\frac {b}{r_{1}}}}$$${\displaystyle {r_{2}}={r_{1}}\left(1-{\frac {b}{r_{1}}}\sin \theta +{\frac {b^{2}}{2r_{1}^{2}}}\cos ^{2}\theta +\cdots \right)={r_{1}}-b\sin \theta +{\frac {b^{2}}{2r_{1}}}\cos ^{2}\theta +\cdots ~.}$$

ความแตกต่างของเฟสระหว่างคลื่นที่แพร่กระจายไปตามเส้นทางr ₂และr ₁คือ โดยที่เลขคลื่นคือ λ ซึ่งเป็นความยาวคลื่นของแสง $${\displaystyle k{r_{2}}-k{r_{1}}=-kb\sin \theta +k{\frac {b^{2}}{2r_{1}}}\cos ^{2}\theta +\cdots .}$$

ถ้าเป็นเช่นนั้น ความแตกต่างของเฟสคือความหมายทางเรขาคณิตจากนิพจน์นี้คือ เส้นทางr ₂และr ₁ขนานกันโดยประมาณ เนื่องจากอาจมีระนาบการเลี้ยวเบน-การสังเกต เส้นทางคลื่นเลี้ยวเบนที่มีมุมเทียบกับเส้นตรงที่ขนานกับแกนแสงใกล้เคียงกับ 0 เงื่อนไขการประมาณนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อีกเป็น โดยที่Lคือระยะห่างระหว่างระนาบสองระนาบตามแกนแสง เนื่องจากความจริงที่ว่าคลื่นตกกระทบบนระนาบการเลี้ยวเบนเป็นคลื่นระนาบอย่างมีประสิทธิภาพหากโดยที่Lคือระยะห่างระหว่างระนาบการเลี้ยวเบนและแหล่งกำเนิดคลื่นจุด เป็นไปตามเงื่อนไข Fraunhofer คือโดยที่Lคือระยะทางที่เล็กกว่าของระยะทางสองระยะ ระยะหนึ่งอยู่ระหว่างระนาบการเลี้ยวเบนและระนาบการสังเกต และอีกระยะหนึ่งอยู่ระหว่างระนาบการเลี้ยวเบนและแหล่งกำเนิดคลื่นจุด ${\displaystyle k{\frac {b^{2}}{2{r_{1}}}}\cos ^{2}\theta =\pi {\frac {b^{2}}{\lambda r_{1}}}\cos ^{2}\theta \ll \pi }$${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda r_{1}}}\cos ^{2}\theta \ll 1}$${\displaystyle kr_{2}-kr_{1}\ประมาณ -kb\sin \theta }$${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L}$${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L}$${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\lambda }}\ll L}$

ในระยะไกล เส้นทางการแพร่กระจายของเวฟเล็ตจากทุกจุดบนรูรับแสงไปยังจุดสังเกตจะขนานกันโดยประมาณ และเลนส์บวก (เลนส์โฟกัส) จะโฟกัสรังสีขนานไปยังเลนส์ที่จุดบนระนาบโฟกัส (ตำแหน่งจุดโฟกัสบนระนาบโฟกัสขึ้นอยู่กับมุมของรังสีขนานกับแกนแสง) ดังนั้น หากวางเลนส์บวกที่มีความยาวโฟกัสยาวเพียงพอ(เพื่อให้ความแตกต่างระหว่างทิศทางของสนามไฟฟ้าสำหรับเวฟเล็ตสามารถละเลยได้ที่จุดโฟกัส) ไว้หลังรูรับแสง เลนส์จะสร้างรูปแบบการเลี้ยวเบนของ Fraunhofer ของรูรับแสงบนระนาบโฟกัสของมันเมื่อรังสีขนานมาบรรจบกันที่จุดโฟกัส^{[ 9 ]}

ในแต่ละตัวอย่างเหล่านี้ ช่องรับแสงจะถูกส่องสว่างด้วยคลื่นระนาบเอกสีที่ตกกระทบในแนวตั้งฉาก

ความกว้างของช่องแคบคือWรูปแบบการเลี้ยวเบนของ Fraunhofer แสดงอยู่ในภาพพร้อมกับกราฟแสดงความเข้มเทียบกับมุมθ ^{[ 10 ]}รูปแบบนี้มีความเข้มสูงสุดที่θ = 0 และมีจุดสูงสุดหลายจุดที่มีความ เข้มลดลง แสงที่เลี้ยวเบนส่วนใหญ่จะอยู่ระหว่างจุดต่ำสุดแรก มุมαที่รองรับจุดต่ำสุดทั้งสองนี้กำหนดโดย: ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle \alpha \approx {\frac {2\lambda }{W}}}$$

ดังนั้น ยิ่งรูรับแสงเล็กเท่าไร มุมαที่เกิดจากแถบการเลี้ยวเบนก็จะยิ่งใหญ่ขึ้นเท่านั้น ขนาดของแถบตรงกลางที่ระยะzจะกำหนดโดย

$${\displaystyle d_{f}={\frac {2\แลมบ์ดา z}{W}}}$$

ตัวอย่างเช่น เมื่อแสงที่มีความยาวคลื่น 0.6 ไมโครเมตร ส่องผ่านช่องแคบที่มีความกว้าง 0.5 มิลลิเมตร และมองจากระยะห่าง 1000 มิลลิเมตร ความกว้างของแถบตรงกลางในรูปแบบการเลี้ยวเบนจะมีค่าเท่ากับ 2.4 มิลลิเมตร

แถบการแทรกสอดขยายไปถึงอนันต์ในทิศทางแกนyเนื่องจากช่องและแหล่งกำเนิดแสงก็ขยายไปถึงอนันต์เช่นกัน

ถ้าW < λความเข้มของแสงที่เลี้ยวเบนจะไม่ลดลงเป็นศูนย์ และถ้าλ > 0 คลื่นที่เลี้ยวเบนจะเป็นทรงกระบอก ${\displaystyle D\ll \lambda }$

เราสามารถหาค่ามุมที่เกิดค่าต่ำสุดแรกในแสงที่เลี้ยวเบนได้โดยใช้เหตุผลดังต่อไปนี้ พิจารณาแสงที่เลี้ยวเบนที่มุมθโดยที่ระยะCDเท่ากับความยาวคลื่นของแสงที่ส่องสว่าง ความกว้างของช่องแคบคือระยะACส่วนประกอบของคลื่นย่อยที่ปล่อยออกมาจากจุด A ซึ่งเคลื่อนที่ไปใน ทิศทาง θจะมีเฟสตรงข้ามกับคลื่นจากจุดBที่อยู่ตรงกลางของช่องแคบ ดังนั้นผลรวมสุทธิที่มุมθจากคลื่นทั้งสองนี้จึงเป็นศูนย์ หลักการเดียวกันนี้ใช้ได้กับจุดที่อยู่ต่ำกว่าAและBและอื่นๆ ต่อไป ดังนั้นแอมพลิจูดของคลื่นทั้งหมดที่เคลื่อนที่ไปในทิศทางθจึงเป็นศูนย์ เราจึงได้ว่า:

$${\displaystyle \theta _{\text{min}}\approx {\frac {CD}{AC}}={\frac {\lambda }{W}}.}$$

มุมที่จุดต่ำสุดแรกทั้งสองด้านของจุดศูนย์กลางทำกับมุมนั้น จะเป็นดังที่แสดงไว้ข้างต้น:

$${\displaystyle \alpha =2\theta _{\text{min}}={\frac {2\lambda }{W}}.}$$

ไม่มีเหตุผลเชิงตรรกะใดที่ง่ายพอที่จะช่วยให้เราหาค่าสูงสุดของรูปแบบการเลี้ยวเบนได้

เราสามารถพัฒนาการแสดงออกสำหรับสนามไกลของอาร์เรย์ต่อเนื่องของแหล่งกำเนิดจุดที่มีแอมพลิจูดสม่ำเสมอและเฟสเดียวกัน ให้อาร์เรย์ที่มีความยาวaขนานกับแกน y โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดดังแสดงในรูปทางด้านขวา จากนั้นสนาม เชิงอนุพันธ์ คือ: ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle dE={\frac {A}{r_{1}}}e^{i\omega [t-(r_{1}/c)]}dy={\frac {A}{r_{1}}}e^{i(\omega t-\beta r_{1})}dy}$$

ที่ไหนอย่างไรก็ตามและการบูรณาการจาก ถึง${\displaystyle \beta =\omega /c=2\pi /\lambda }$${\displaystyle r_{1}=ry\sin \theta }$${\displaystyle -a/2}$${\displaystyle a/2}$

$${\displaystyle E\simeq A'\int _{-a/2}^{a/2}e^{i\beta y\sin \theta }dy}$$ ที่ไหน. ${\displaystyle A'={\frac {Ae^{i(\omega t-\beta r)}}{r}}}$

เมื่อรวมเข้าด้วยกันแล้วเราจะได้ $${\displaystyle E={\frac {2A'}{\beta \sin \theta }}\sin \left({\frac {\beta a}{2}}\sin \theta \right)}$$

โดยกำหนดให้ความยาวของอาร์เรย์เป็นเรเดียนคือ^{[ 12 ]}${\displaystyle \psi ^{'}=\beta a\sin \theta =\alpha _{r}\sin \theta }$${\displaystyle a_{r}=\beta a=2\pi a/\lambda }$$${\displaystyle E=A'a{\frac {\sin(\psi ^{'}/2)}{\psi ^{'}/2}}}$$

รูปแบบของรูปแบบการเลี้ยวเบนที่เกิดจากช่องเปิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแสดงอยู่ในรูปทางด้านขวา (หรือด้านบน ในรูปแบบแท็บเล็ต) ^{[ 13 ]}มีจุดสูงสุดกึ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าตรงกลาง พร้อมด้วยแถบแนวนอนและแนวตั้งหลายแถบ มิติของแถบตรงกลางมีความสัมพันธ์กับมิติของช่องด้วยความสัมพันธ์เดียวกันกับช่องเดี่ยว ดังนั้นมิติที่ใหญ่กว่าในภาพเลี้ยวเบนจึงสอดคล้องกับมิติที่เล็กกว่าในช่อง ระยะห่างของแถบยังแปรผกผันกับมิติของช่องด้วย

หากลำแสงส่องสว่างไม่ครอบคลุมความยาวแนวตั้งทั้งหมดของช่องแคบ ระยะห่างของแถบการเลี้ยวเบนแนวตั้งจะถูกกำหนดโดยขนาดของลำแสงส่องสว่าง การตรวจสอบอย่างละเอียดของรูปแบบการเลี้ยวเบนของช่องแคบคู่ด้านล่างแสดงให้เห็นว่ามีแถบการเลี้ยวเบนแนวนอนที่ละเอียดมากอยู่เหนือและใต้จุดหลัก เช่นเดียวกับแถบการเลี้ยวเบนแนวนอนที่เห็นได้ชัดเจนกว่า

รูปแบบการเลี้ยวเบนที่เกิดจากช่องเปิดทรงกลมแสดงอยู่ในรูปทางด้านขวา^{[ 14 ]}ซึ่งเรียกว่ารูปแบบการเลี้ยวเบนของ Airyจะเห็นได้ว่าแสงส่วนใหญ่จะอยู่ในวงกลมตรงกลาง มุมที่รองรับโดยวงกลมนี้ ซึ่งเรียกว่าวงกลม Airy คือ

$${\displaystyle \alpha \approx {\frac {1.22\lambda }{W}}}$$ โดยที่Wคือเส้นผ่านศูนย์กลางของช่องเปิด

ค่า Airy disk อาจเป็นพารามิเตอร์สำคัญที่จำกัดความสามารถของระบบถ่ายภาพในการแยกแยะวัตถุที่อยู่ใกล้กันได้

รูปแบบการเลี้ยวเบนที่ได้จากรูรับแสงที่มี โปรไฟล์ แบบเกาส์เซียนเช่น สไลด์ภาพถ่ายที่ มี การส่งผ่านแสงแบบเกาส์เซียน ก็เป็นฟังก์ชันเกาส์เซียน เช่น กัน รูปแบบของฟังก์ชันแสดงไว้ทางด้านขวา (ด้านบน สำหรับแท็บเล็ต) และจะเห็นได้ว่า ต่างจากรูปแบบการเลี้ยวเบนที่เกิดจากรูรับแสงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือวงกลม ที่ไม่มีวงแหวนรอง^{[ 15 ]}เทคนิคนี้สามารถใช้ในกระบวนการที่เรียกว่าapodization — รูรับแสงถูกปิดด้วยตัวกรองเกาส์เซียนทำให้ได้รูปแบบการเลี้ยวเบนที่ไม่มีวงแหวนรอง

โปรไฟล์เอาต์พุตของลำแสงเลเซอร์โหมดเดียวอาจมี โปรไฟล์ความเข้ม แบบเกาส์เซียนและสมการการเลี้ยวเบนสามารถใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าโปรไฟล์นั้นยังคงอยู่ไม่ว่าจะแพร่กระจายไปไกลแค่ไหนจากแหล่งกำเนิดก็ตาม^{[ 16 ]}

ในการทดลองช่องคู่ ช่องทั้งสองจะถูกส่องสว่างด้วย ลำแสงเดียวหากความกว้างของช่องมีขนาดเล็กพอ (น้อยกว่าความยาวคลื่นของแสง) ช่องจะทำให้แสงเลี้ยวเบนเป็นคลื่นทรงกระบอก คลื่นทรงกระบอกทั้งสองนี้จะซ้อนทับกัน และแอมพลิจูด และด้วยเหตุนี้ ความเข้ม ณ จุดใดๆ บนคลื่นที่รวมกันจะขึ้นอยู่กับทั้งขนาดและเฟสของคลื่นทั้งสอง^{[ 17 ]}แถบเหล่านี้มักเรียกว่าแถบของยัง (Young's fringes )

ระยะห่างเชิงมุมของแถบแสงกำหนดโดย $${\displaystyle \theta _{\text{f}}=\lambda /d.}$$

ระยะห่างของแถบแสงที่ระยะzจากช่องแคบจะกำหนดโดย^{[ 18 ]} โดยที่dคือระยะห่างระหว่างช่องแคบ $${\displaystyle w_{\text{f}}=z\theta _{f}=z\lambda /d,}$$

ริ้วแสงในภาพได้มาจากการใช้แสงสีเหลืองจากหลอดไฟโซเดียม (ความยาวคลื่น = 589 นาโนเมตร) โดยใช้ช่องแคบที่มีระยะห่าง 0.25 มิลลิเมตร และฉายลงบนระนาบภาพของกล้อง ดิจิทัล โดยตรง

สามารถสังเกตเห็นแถบการแทรกสอดแบบช่องคู่ได้โดยการตัดช่องสองช่องบนแผ่นกระดาษแข็ง ส่องแสงเลเซอร์ไปยังแถบการแทรกสอด และสังเกตแสงที่เลี้ยวเบนที่ระยะห่าง 1 เมตร หากระยะห่างระหว่างช่องคือ 0.5 มิลลิเมตร และความยาวคลื่นของเลเซอร์คือ 600 นาโนเมตร ระยะห่างของแถบการแทรกสอดที่มองเห็นจากระยะ 1 เมตรจะเป็น 1.2 มิลลิเมตร

ความแตกต่างของเฟสระหว่างคลื่นทั้งสองนั้นถูกกำหนดโดยความแตกต่างของระยะทางที่คลื่นทั้งสองเคลื่อนที่ไป

หากระยะการมองเห็นมีขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับระยะห่างระหว่างช่อง ( สนามไกล ) สามารถหาความแตกต่างของเฟสได้โดยใช้เรขาคณิตที่แสดงในรูป ความแตกต่างของระยะทางระหว่างคลื่นสองลูกที่เดินทางทำมุมθจะกำหนดโดย $${\displaystyle d\sin \theta \approx d\theta .}$$

เมื่อคลื่นทั้งสองอยู่ในเฟสเดียวกัน กล่าวคือ ผลต่างระยะทางเท่ากับจำนวนเต็มของความยาวคลื่น ผลรวมของแอมพลิจูดและความเข้มรวมจะมีค่าสูงสุด และเมื่อคลื่นทั้งสองอยู่ในเฟสตรงข้ามกัน กล่าวคือ ผลต่างระยะทางเท่ากับครึ่งความยาวคลื่น หนึ่งความยาวคลื่นครึ่ง เป็นต้น คลื่นทั้งสองจะหักล้างกัน และความเข้มรวมจะเป็นศูนย์ ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าการแทรกสอด

แถบการแทรกสอดจะมีค่าสูงสุดที่มุม ซึ่งλคือความยาวคลื่นของแสง ระยะห่างเชิงมุมของแถบการแทรกสอดจะกำหนดโดย $${\displaystyle d\theta _{n}=n\lambda ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$$${\displaystyle \theta _{\text{f}}\approx \lambda /d.}$$

เมื่อระยะห่างระหว่างช่องแคบกับระนาบการมองเห็นคือzระยะห่างของแถบการแทรกสอดจะเท่ากับzθและเหมือนกับข้างต้น: $${\displaystyle w=z\แลมบ์ดา /d.}$$

ตะแกรง (grating) ถูกนิยามไว้ใน Born และ Wolf ว่า "การจัดเรียงใดๆ ที่ทำให้คลื่นตกกระทบมีการเปลี่ยนแปลงเป็นระยะๆ ของแอมพลิจูดหรือเฟส หรือทั้งสองอย่าง"

ตะแกรงที่มีองค์ประกอบแยกกันด้วยSจะเลี้ยวเบนลำแสงตกกระทบปกติเป็นชุดของลำแสงที่มุมθ _nที่กำหนดโดย: ^{[ 19 ]}

$${\displaystyle ~\sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}},\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

นี่คือสิ่งที่เรียกว่าสมการของตะแกรงเลี้ยวเบนยิ่งระยะห่างของตะแกรงเลี้ยวเบนละเอียดมากเท่าใด การแยกเชิงมุมของลำแสงที่เลี้ยวเบนก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

ถ้าแสงตกกระทบทำมุมθ ₀สมการของตะแกรงจะเป็นดังนี้: $${\displaystyle \sin \theta _{n}={\frac {n\lambda }{S}}+\sin \theta _{0},\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

โครงสร้างโดยละเอียดของลวดลายที่ซ้ำกันจะเป็นตัวกำหนดรูปร่างของลำแสงที่เลี้ยวเบนแต่ละลำ รวมถึงความเข้มสัมพัทธ์ของลำแสงเหล่านั้น ในขณะที่ระยะห่างของตะแกรงจะเป็นตัวกำหนดมุมของลำแสงที่เลี้ยวเบนเสมอ

ภาพทางด้านขวาแสดงลำแสงเลเซอร์ที่เลี้ยวเบนผ่านตะแกรงออกเป็นลำแสงn = 0 และ ±1 มุมของลำแสงอันดับแรกอยู่ที่ประมาณ 20° หากเราสมมติว่าความยาวคลื่นของลำแสงเลเซอร์คือ 600 นาโนเมตร เราสามารถอนุมานได้ว่าระยะห่างระหว่างตะแกรงอยู่ที่ประมาณ 1.8 ไมโครเมตร

ตะแกรงเลี้ยวเบนอย่างง่ายประกอบด้วยช่องแคบหลายช่องเรียงกันบนแผ่นตะแกรง หากแสงที่เดินทางทำมุมθจากแต่ละช่องแคบมีระยะทางต่างกันหนึ่งความยาวคลื่นเมื่อเทียบกับช่องแคบที่อยู่ติดกัน คลื่นทั้งหมดเหล่านี้จะรวมกัน ทำให้ได้ความเข้มสูงสุดของแสงเลี้ยวเบนเมื่อ:

$${\displaystyle W\sin \theta =n\lambda ,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$$

นี่คือความสัมพันธ์เดียวกันกับที่กล่าวไว้ข้างต้น

• สมการการเลี้ยวเบนของฟราวน์โฮเฟอร์
• การเลี้ยวเบน
• หลักการของฮุยเกนส์-เฟรสเนล
• สูตรการเลี้ยวเบนของ Kirchhoff
• การเลี้ยวเบนของเฟรสเนล
• แผ่นดิสก์อากาศ
• ทัศนศาสตร์ฟูริเยร์

• กู๊ดแมน, โจเซฟ ดับเบิลยู. (1996). บทนำสู่ทัศนศาสตร์ฟูริเยร์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). สิงคโปร์: บริษัท แมคกรอว์-ฮิลล์ จำกัด. หน้า 73. ISBN 0-07-024254-2.
• บอร์น, แม็กซ์ ; วูล์ฟ, เอมิล (1999). หลักการทางทัศนศาสตร์: ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของการแพร่กระจาย การแทรกสอด และการเลี้ยวเบนของแสง (ฉบับที่ 7). เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-0-521-64222-4. OCLC  40200160 .
• เฮชต์, ยูจีน (2002). ทัศนศาสตร์ (ฉบับที่ 4). เรดดิง, แมสซาชูเซตส์: แอดดิสัน-เวสลีย์. ISBN 0-321-18878-0. OCLC  47126713 .
• Jenkins, FA; White, HE (1957). พื้นฐานของทัศนศาสตร์ (ฉบับที่ 3). นิวยอร์ก: McGraw Hill.

• การเลี้ยวเบนของฟราวน์โฮเฟอร์บนScienceWorld
• การเลี้ยวเบนแบบฟราวน์โฮเฟอร์บนไฮเปอร์ฟิสิกส์