คลื่นสสารเป็นส่วนสำคัญของทฤษฎีกลศาสตร์ควอน ตัม โดยเป็นครึ่งหนึ่งของทฤษฎีทวิภาวะของคลื่นและอนุภาคในทุกระดับที่สามารถทำการวัดได้สสารจะแสดง พฤติกรรมคล้าย คลื่นตัวอย่างเช่น ลำแสงอิเล็กตรอนสามารถเกิดการเลี้ยวเบนได้เช่นเดียวกับลำแสงหรือคลื่นน้ำ

แนวคิดที่ว่าสสารมีพฤติกรรมคล้ายคลื่นนั้นถูกเสนอโดยนักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศส หลุย ส์ เด อบรอยล์ ( Louis de Broglie )ในปี ค.ศ. 1924 ดังนั้นคลื่นสสารจึงเป็นที่รู้จักกันในชื่อ คลื่นเดอ บ รอย ล์ ( de Broglie waves )

ความยาวคลื่นเดอ บรอยล์คือความยาวคลื่นλ ที่ เกี่ยวข้อง กับอนุภาคที่มีโมเมนตัมpผ่านค่าคงที่ของพลังค์ h : $${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}.}$$

พฤติกรรมคล้ายคลื่นของสสารได้รับการพิสูจน์แล้วจากการทดลอง โดยครั้งแรกเกิดขึ้นกับอิเล็กตรอนในปี 1927 (โดยเดวิสสันและเจอร์เมอร์และจอร์จ ทอมสัน ต่างคนต่างทำการทดลอง ) และต่อมากับอนุภาคพื้นฐาน อื่นๆ อะตอมที่เป็นกลางและโมเลกุล

คลื่นสสารมีความสัมพันธ์ด้านความเร็วที่ซับซ้อนกว่าวัตถุที่เป็นของแข็ง และยังแตกต่างจากคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (แสง) อีกด้วย คลื่นสสารรวมกลุ่มถูกนำมาใช้ในการจำลองปรากฏการณ์ในฟิสิกส์ของของแข็ง ในขณะที่คลื่นสสารนิ่งถูกนำมาใช้ในเคมีระดับโมเลกุล

แนวคิดเรื่องคลื่นสสารถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษาวัสดุ โดยใช้ประโยชน์จากความยาวคลื่นและลักษณะการปฏิสัมพันธ์ที่แตกต่างกันของอิเล็กตรอน นิวตรอน และอะตอม เพื่อเทคโนโลยีกล้องจุลทรรศน์และการเลี้ยวเบนขั้นสูง

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 เชื่อกันว่าแสงประกอบด้วยคลื่นของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าซึ่งแพร่กระจายตามสมการของแม็กซ์เวลล์ในขณะที่สสารเชื่อกันว่าประกอบด้วยอนุภาคเฉพาะที่ (ดูประวัติของทฤษฎีทวิภาวะของคลื่นและอนุภาค ) ในปี ค.ศ. 1900 การแบ่งแยกนี้ถูกตั้งคำถาม เมื่อ แม็กซ์ พลังค์ได้ทำการวิจัยทฤษฎีการแผ่รังสีของวัตถุดำและเสนอว่าพลังงานความร้อนของอะตอมที่สั่นนั้นถูกแบ่งออกเป็นส่วนย่อยๆ หรือควอนตา^{[ 1 ]}อัลเบิร์ต ไอน์ สไต น์ ได้ขยายการวิจัยของพลังค์ในหลายๆ ด้าน รวมถึงการเชื่อมโยงกับปรากฏการณ์โฟโตอิเล็ก ทริก และเสนอในปี ค.ศ. 1905 ว่าแสงยังแพร่กระจายและถูกดูดซับในรูปของควอนตา^{[ 2 ]ซึ่ง} ปัจจุบันเรียกว่าโฟตอน ควอนตัมเหล่านี้จะมีพลังงานที่กำหนดโดยความสัมพันธ์ของพลังค์-ไอน์สไตน์ : และเวกเตอร์โมเมนตัม โดย ที่ν ( อักษรกรีกตัวเล็ก nu ) และλ ( อักษรกรีกตัวเล็ก lambda ) แทนความถี่และความยาวคลื่นของแสงตามลำดับc คือความเร็วของแสงและh คือ ค่าคงที่ของพลังค์ [ 3 ^{]ตามธรรมเนียม}สมัยใหม่ ความถี่จะใช้สัญลักษณ์f ดัง เช่นที่ใช้ในส่วนที่เหลือของบทความนี้ สมมติฐานของไอน์สไตน์ได้รับการตรวจสอบโดยการทดลอง^{[ 2 ] : 89} โดยKT ComptonและOW Richardson ^{[ 4 ]}และโดย AL Hughes ^{[ 5 ]}ในปี 1912 จากนั้นจึงรวมถึงการวัดค่าคงที่ของพลังค์ อย่างละเอียดมากขึ้น ในปี 1916 โดยRobert Millikan ^{[ 6 ]}$${\displaystyle E=h\nu }$$${\displaystyle \mathbf {p} }$$${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|=p={\frac {E}{c}}={\frac {h}{\lambda }},}$$

เมื่อผมคิดค้นแนวคิดพื้นฐานแรกเริ่มของกลศาสตร์คลื่นในช่วงปี 1923–1924 ผมได้รับแรงบันดาลใจจากเป้าหมายที่จะทำการสังเคราะห์ทางฟิสิกส์ที่แท้จริง ซึ่งใช้ได้กับอนุภาคทั้งหมด เกี่ยวกับการอยู่ร่วมกันของคลื่นและลักษณะของอนุภาค ซึ่งไอน์สไตน์ได้นำเสนอไว้สำหรับโฟตอนในทฤษฎีควอนตัมของแสงของเขาในปี 1905

เดอ บรอยล์ในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกปี 1924 ของเขา^{[ 8 ]}เสนอว่าเช่นเดียวกับแสงที่มีคุณสมบัติทั้งแบบคลื่นและแบบอนุภาคอิเล็กตรอน ก็มีคุณสมบัติแบบคลื่นเช่น _กันวิทยานิพนธ์ของเขาเริ่มต้นจากสมมติฐานที่ว่า "พลังงานแต่ละส่วนที่มี_มวลm0ที่เหมาะสม สามารถเชื่อมโยง กับปรากฏการณ์เป็นคาบของความถี่_ν0 ได้โดยพบว่า: hν0 = m0c2ความถี่_ν0จะต้องวัดในกรอบอ้างอิงของแพ็กเก็ตพลังงาน สมมติฐานนี้เป็นพื้นฐานของทฤษฎีของเรา" ^{[ 9 ] [ 8 ] : 8} _[ ^{10 ]} [ ^{11 ] [ 12 ] [ 13 ] ( ความถี่}นี้ยังเป็นที่รู้จักกันในชื่อความถี่ คอม ป์ตัน ⁾

เพื่อหาความยาวคลื่นที่เทียบเท่ากับวัตถุเคลื่อนที่ เดอ บรอยล์^{[ 2 ] : 214} กำหนดให้พลังงานรวมจากทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษสำหรับวัตถุนั้นเท่ากับhν : $${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=h\nu }$$

(ฟิสิกส์สมัยใหม่ไม่ใช้รูปแบบของพลังงานรวมนี้อีกต่อไปแล้วความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานและโมเมนตัมพิสูจน์แล้วว่ามีประโยชน์มากกว่า) เดอ บรอยล์ ระบุว่าความเร็วของอนุภาค นั้นเท่ากับความเร็วกลุ่ม คลื่น ในสุญญากาศ: ${\displaystyle v}$$${\displaystyle v_{\text{g}}\equiv {\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {d\nu }{d(1/\lambda )}}}$$

(นิยามสมัยใหม่ของความเร็วกลุ่มใช้ความถี่เชิงมุมωและเลขคลื่นk ) โดยการนำอนุพันธ์ไปใช้กับสมการพลังงานและระบุโมเมนตัมสัมพัทธภาพ : $${\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

จากนั้น เมื่อรวมเข้าด้วยกัน เดอ บรอยล์จึงได้สูตรสำหรับความสัมพันธ์ระหว่างความยาวคลื่น λ ที่เกี่ยวข้องกับอิเล็กตรอนและขนาดของโมเมนตัมp ผ่านค่า คงที่ ^ของพลังค์ h : [ ^{14 ]}$${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}.}$$

จากแนวคิดของเดอ บรอยล์ นักฟิสิกส์ปีเตอร์ เดบายได้แสดงความคิดเห็นอย่างไม่ตั้งใจว่า หากอนุภาคมีพฤติกรรมเหมือนคลื่น อนุภาคเหล่านั้นควรจะสอดคล้องกับสมการคลื่นบางอย่าง แรงบันดาลใจจากข้อสังเกตของเดบาย ทำให้เออร์วิน ชโรดิงเกอร์ตัดสินใจที่จะค้นหาสมการคลื่นสามมิติที่เหมาะสมสำหรับอิเล็กตรอน เขาได้รับแรงบันดาลใจจากความคล้ายคลึงกันระหว่างกลศาสตร์และทัศนศาสตร์ของวิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน (ดู ความคล้ายคลึงกันระหว่างทัศนศาสตร์และกลศาสตร์ของแฮมิลตัน ) ซึ่งเข้ารหัสอยู่ในข้อสังเกตที่ว่าขีดจำกัดความยาวคลื่นเป็นศูนย์ของทัศนศาสตร์นั้นคล้ายกับระบบกลไก – วิถีของรังสีแสงกลายเป็นเส้นทางที่คมชัดซึ่งเป็นไปตามหลักการของแฟร์มาต์ซึ่งเป็นความคล้ายคลึงกับหลักการของการกระทำน้อยที่สุด^{[ 15 ]}

ในปี พ.ศ. 2469 ชโรดิงเกอร์ได้ตีพิมพ์สมการคลื่นซึ่งปัจจุบันใช้ชื่อของเขา^{[ 16 ]} – สมการคลื่นสสารที่เทียบเคียงได้กับสมการของแม็กซ์เวลล์ – และใช้มันเพื่อหาค่าสเปกตรัมพลังงานของไฮโดรเจนความถี่ของคำตอบของสมการชโรดิงเกอร์แบบไม่สัมพัทธภาพจะแตกต่างจากคลื่นเดอ บรอยล์ด้วยความถี่คอมป์ตันเนื่องจากพลังงานที่สอดคล้องกับมวลนิ่งของอนุภาคไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของสมการชโรดิงเกอร์แบบไม่สัมพัทธภาพ สมการชโรดิงเกอร์อธิบายวิวัฒนาการของฟังก์ชันคลื่น ตามเวลา ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่กำหนดจำนวนเชิงซ้อนให้กับแต่ละจุดในอวกาศ ชโรดิงเกอร์พยายามตีความค่ากำลังสองของฟังก์ชันคลื่นเป็นความหนาแน่นของประจุ อย่างไรก็ตาม วิธีการนี้ไม่ประสบความสำเร็จ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}แม็กซ์ บอร์นเสนอว่าค่ากำลังสองของฟังก์ชันคลื่นเป็นความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ซึ่งเป็น ข้อเสนอที่ประสบความสำเร็จและปัจจุบันรู้จักกันในชื่อกฎของบอร์น^{[ 17 ]}

ในปีถัดมาคือปี 1927 ซี.จี. ดาร์วิน (หลานชายของชาร์ลส์ ดาร์วิน นักชีววิทยาชื่อดัง ) ได้สำรวจสมการของชโรดิงเกอร์ในสถานการณ์จำลองหลายแบบ^{[ 20 ]}สำหรับอิเล็กตรอนที่ไม่ถูกผูกมัดในพื้นที่ว่าง เขาได้คำนวณการแพร่กระจายของคลื่น โดยสมมติว่าแพ็กเก็ตคลื่นเกาส์เซียน เริ่มต้น ดาร์วินแสดงให้เห็นว่าเมื่อเวลาผ่านไป ตำแหน่งของแพ็กเก็ตที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วจะเป็น โดยที่คือความไม่แน่นอนในตำแหน่งเริ่มต้น ความไม่แน่นอนของตำแหน่งนี้สร้างความไม่แน่นอนในความเร็ว (พจน์ที่สองเพิ่มเติมในรากที่สอง) ซึ่งสอดคล้องกับความสัมพันธ์ความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์กแพ็กเก็ตคลื่นจะแผ่กระจายออกไปดังแสดงในรูป ${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle x_{0}+vt\pm {\sqrt {\sigma ^{2}+\left({\frac {ht}{2\pi \sigma m}}\right)^{2}}},}$$${\displaystyle \sigma }$

ในปี พ.ศ. 2460 คลื่นสสารได้รับการยืนยันจากการทดลองเป็นครั้งแรกใน การทดลองการเลี้ยวเบนของ George Paget Thomsonและ Alexander Reid ^{[ 21 ]}และการทดลอง Davisson–Germer ^{[ 22 ] [ 23 ]}ซึ่งทั้งสองการทดลองนี้ใช้กับอิเล็กตรอน^{[ 24 ] [ 25 ] : 56}

กล้องอิเล็กตรอนดิฟแฟรกชันรุ่นดั้งเดิม สร้างและใช้งานโดย จี.พี. ทอมสัน ผู้ได้รับรางวัลโนเบล และอเล็กซานเดอร์ รีด นักศึกษาของเขา ในปี 1925

ตัวอย่างภาพถ่ายการเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอนต้นฉบับจากห้องปฏิบัติการของ GP Thomson บันทึกไว้ระหว่างปี 1925–1927

สมมติฐานของเดอ บรอยล์และการมีอยู่ของคลื่นสสารได้รับการยืนยันสำหรับอนุภาคพื้นฐานอื่นๆ อะตอมที่เป็นกลาง และแม้กระทั่งโมเลกุล^{[ 26 ]}

รูปแบบการรบกวนของคลื่นอิเล็กตรอนครั้งแรกที่แสดงให้เห็นถึงความเป็นคู่ของคลื่นและอนุภาค โดยตรงนั้น ใช้อิเล็กตรอนไบปริซึม^{[ 27 ] [ 28 ]} (โดยพื้นฐานแล้วคือลวดที่วางไว้ในกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอน) และวัดอิเล็กตรอนเดี่ยวที่สร้างรูปแบบการเลี้ยวเบน สำเนาที่ใกล้เคียงของการทดลองช่องคู่ ที่มีชื่อเสียง ^{[ 29 ] : 260} โดยใช้อิเล็กตรอนผ่านช่องเปิดทางกายภาพทำให้ได้ภาพยนตร์ที่แสดง^{[ 30 ]}

ในปี พ.ศ. 2460 ที่ Bell Labs คลินตัน เดวิสสันและเลสเตอร์ เจอร์เมอร์ได้ยิงอิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่ช้าๆไปที่เป้าหมายนิกเกิลผลึก[ 22 ^{] [ 23 ]ความเข้ม}ของอิเล็กตรอนที่เลี้ยวเบนถูกวัด และพบว่ามีความขึ้นอยู่กับมุมคล้ายกับรูปแบบการเลี้ยวเบน ที่ แบร็กทำนายไว้สำหรับรังสีเอกซ์ในเวลาเดียวกัน จอร์จ พาเก็ต ทอมสัน และอเล็กซานเดอร์ รีด ที่มหาวิทยาลัยอะเบอร์ดีน ได้ยิงอิเล็กตรอนไปที่แผ่นฟอยล์เซลลูลอยด์บางๆ และต่อมาเป็นฟิล์มโลหะ โดยสังเกตเห็นวงแหวนที่สามารถตีความได้ในทำนองเดียวกัน^{[ 21 ]} (อเล็กซานเดอร์ รีด ซึ่งเป็นนักศึกษาปริญญาโทของทอมสัน ได้ทำการทดลองครั้งแรก แต่เขาเสียชีวิตไม่นานหลังจากนั้นจากอุบัติเหตุรถจักรยานยนต์^{[ 31 ]}และไม่ค่อยมีใครกล่าวถึง) ก่อนที่จะมีการยอมรับสมมติฐานของเดอ บรอยล์ การเลี้ยวเบนเป็นคุณสมบัติที่คิดว่าแสดงออกมาเฉพาะในคลื่นเท่านั้น ดังนั้น การมีอยู่ของ ผลกระทบ การเลี้ยวเบน ใดๆ โดยสสารจึงแสดงให้เห็นถึงธรรมชาติของสสารที่มีลักษณะคล้ายคลื่น^{[ 32 ]}การตีความคลื่นสสารได้รับการวางรากฐานที่มั่นคงในปี พ.ศ. 2461 โดยHans Bethe [ ^{33 ]}ผู้ซึ่งแก้สมการ Schrödinger [ ^{16 ] ซึ่งแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้สามารถอธิบายผลการทดลอง ได้ อย่างไร แนวทางของเขา นั้น}คล้ายคลึงกับสิ่งที่ใช้ในแนวทางการเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอน สมัยใหม่ ^{[ 34 ] [ 35 ]}

นี่เป็นผลลัพธ์ที่สำคัญยิ่งในการพัฒนาของกลศาสตร์ควอนตัมเช่นเดียวกับปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริกที่แสดงให้เห็นถึงธรรมชาติของอนุภาคของแสง การทดลองเหล่านี้ก็แสดงให้เห็นถึงธรรมชาติของคลื่นของสสาร

นิวตรอนผลิตขึ้นในเครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์ด้วยพลังงานจลน์ประมาณ1 MeVเกิดการถ่ายเทความร้อนจนถึงระดับประมาณ0.025 eVเมื่อพวกมันกระเจิงจากอะตอมเบา ความยาวคลื่นเดอ บรอยล์ที่เกิดขึ้น (ประมาณ180  pm ) ตรงกับระยะห่างระหว่างอะตอม และนิวตรอนจะกระเจิงอย่างรุนแรงจากอะตอมไฮโดรเจน ดังนั้น คลื่นสสารนิวตรอนจึงถูกนำมาใช้ในผลึกศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับวัสดุชีวภาพ^{[ 36 ]}นิวตรอนถูกค้นพบในช่วงต้นทศวรรษ 1930 และมีการสังเกตการเลี้ยวเบนของนิวตรอนในปี 1936 ^{[ 37 ]}ในปี 1944 Ernest O. Wollanซึ่งมีพื้นฐานด้านการกระเจิงของรังสีเอกซ์จากงานวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขา^{[ 38 ]}ภายใต้Arthur Comptonได้ตระหนักถึงศักยภาพในการประยุกต์ใช้นิวตรอนความร้อนจากเครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์ X-10 ที่เพิ่งเริ่มใช้งาน ในผลึกศาสตร์ร่วมกับClifford G. Shullพวกเขาได้พัฒนา^{[ 39 ]}การเลี้ยวเบนของนิวตรอนตลอดทศวรรษ 1940 ในทศวรรษ 1970 เครื่องวัดการรบกวนของนิวตรอนได้แสดงให้เห็นถึงการทำงานของแรงโน้มถ่วงที่เกี่ยวข้องกับความเป็นคู่ของคลื่นและอนุภาค^{[ 40 ]}การทดลองช่องคู่ดำเนินการโดยใช้นิวตรอนในปี พ.ศ. 2531 ^{[ 41 ]}

การรบกวนของคลื่นสสารอะตอมถูกสังเกตครั้งแรกโดยImmanuel EstermannและOtto Sternในปี 1930 เมื่อลำแสง Na เกิดการเลี้ยวเบนจากพื้นผิวของ NaCl ^{[ 42 ]}ความยาวคลื่นเดอ บรอยล์ที่สั้นของอะตอมขัดขวางความก้าวหน้าเป็นเวลาหลายปี จนกระทั่งความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีสองประการได้จุดประกายความสนใจอีกครั้ง ได้แก่ไมโครลิโทกราฟีที่ช่วยให้สามารถสร้างอุปกรณ์ขนาดเล็กที่มีความแม่นยำ และการทำความเย็นด้วยเลเซอร์ที่ช่วยให้อะตอมเคลื่อนที่ช้าลง ทำให้ความยาวคลื่นเดอ บรอยล์เพิ่มขึ้น^{[ 43 ]}การทดลองช่องคู่บนอะตอมได้ดำเนินการในปี 1991 ^{[ 44 ]}

ความก้าวหน้าในการทำความเย็นด้วยเลเซอร์ทำให้สามารถทำความเย็นอะตอมที่เป็นกลางลงไปจนถึงอุณหภูมิระดับนาโนเคลวินได้ ที่อุณหภูมิเหล่านี้ ความยาวคลื่นเดอ บรอยล์จะอยู่ในช่วงไมโครเมตร การใช้การเลี้ยวเบนของแบร็กก์ของอะตอมและเทคนิคการแทรกสอดของแรมซีย์ ทำให้สามารถวัดความยาวคลื่นเดอ บรอยล์ของ อะตอม โซเดียม เย็น ได้อย่างชัดเจนและพบว่าสอดคล้องกับอุณหภูมิที่วัดได้ด้วยวิธีอื่น^{[ 45 ]}

การทดลองล่าสุดยืนยันความสัมพันธ์สำหรับโมเลกุลและแม้แต่โมเลกุลขนาดใหญ่ที่อาจสันนิษฐานได้ว่ามีขนาดใหญ่เกินกว่าจะเกิดผลทางกลศาสตร์ควอนตัมได้ ในปี 1999 ทีมวิจัยในเวียนนาได้สาธิตการเลี้ยวเบนสำหรับโมเลกุลที่มีขนาดใหญ่เท่ากับฟูลเลอรีน [ ^{46 ] นัก} _{วิจัยคำนวณความยาวคลื่นเดอ บรอยล์ของความเร็ว C 60}ที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุดเป็น14.5  น . การทดลองล่าสุดพิสูจน์ให้เห็นถึงธรรมชาติเชิงควอนตัมของโมเลกุลที่ประกอบด้วยอะตอม 810 อะตอมและมีมวล10 123  Da . ^{[ 47 ]}ณ ปี 2019 สิ่งนี้ได้ถูกผลักดันไปยังโมเลกุลของ25,000  Da . ^{[ 48 ]}​

ในการทดลองเหล่านี้ การก่อตัวของรูปแบบการรบกวนดังกล่าวสามารถบันทึกได้แบบเรียลไทม์และด้วยความไวระดับโมเลกุลเดี่ยว^{[ 49 ]} โมเลกุลขนาดใหญ่มีความซับซ้อนมากอยู่แล้ว ทำให้สามารถเข้าถึงแง่มุมบางอย่างของอินเทอร์เฟซควอนตัม-คลาสสิกได้ กล่าวคือกลไกการลดความสอดคล้อง บางอย่าง ^{[ 50 ] [ 51 ]}

คลื่นสสารได้รับการตรวจพบในโมเลกุลแวนเดอร์วาลส์ [ ^{52 ]}เมซอนโร [ ^{53 ] [ 54 ] และ}คอน^เดนเซตโบส-ไอน์สไตน์^{[ 53 ]}

คลื่นมีแนวคิดเรื่อง ความเร็วที่ซับซ้อนกว่าวัตถุที่เป็นของแข็ง แนวทางที่ง่ายที่สุดคือการมุ่งเน้นไปที่คำอธิบายในแง่ของคลื่นสสารระนาบสำหรับอนุภาคอิสระนั่นคือฟังก์ชันคลื่นที่อธิบายโดย โดย ที่คือตำแหน่งในพื้นที่จริง คือเวกเตอร์คลื่นในหน่วยเมตรผกผันωคือความถี่เชิงมุมที่มีหน่วยเป็นเวลาผกผัน และคือเวลา (ในที่นี้ใช้คำจำกัดความทางฟิสิกส์สำหรับเวกเตอร์คลื่น ซึ่งเท่ากับเวกเตอร์คลื่นที่ใช้ในผลึกศาสตร์ดูที่เวกเตอร์คลื่น ) สมการของเดอ บรอยล์เชื่อมโยงความยาวคลื่นλกับขนาดของโมเมนตัมและความถี่fกับพลังงานรวมEของอนุภาคอิสระดังที่เขียนไว้ข้างต้น: ^{[ 55 ]} โดยที่hคือค่าคงที่ของพลังค์ สมการยังสามารถเขียนได้ดังนี้ โดย ที่ħ = h /2 πคือค่าคงที่ของพลังค์ที่ลดลง สมการที่สองยังเรียกว่าความสัมพันธ์ของพลังค์-ไอน์สไตน์ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t},}$$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle t}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle |\mathbf {p} |=p}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda ={\frac {2\pi }{|\mathbf {k} |}}={\frac {h}{p}}\\&f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {E}{h}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \\&E=\hbar \omega .\\\end{aligned}}}$$

ในสมมติฐานของเดอ บรอยล์ ความเร็วของอนุภาคเท่ากับความเร็วกลุ่มของคลื่นสสาร^{[ 2 ] : 214} ในตัวกลางไอโซโทรปิกหรือสุญญากาศความเร็วกลุ่มของคลื่นถูกกำหนดโดย: ความสัมพันธ์ระหว่างความถี่เชิงมุมและเวกเตอร์คลื่นเรียกว่าความสัมพันธ์การกระจายตัวสำหรับกรณีที่ไม่ใช่สัมพัทธภาพจะเป็นดังนี้: โดยที่ คือมวลนิ่ง การใช้อนุพันธ์จะให้ ความเร็วกลุ่มของคลื่นสสาร (ที่ไม่ใช่สัมพัทธภาพ) : สำหรับการเปรียบเทียบ ความเร็วกลุ่มของแสงที่มีการกระจายตัวคือความเร็ว แสง$${\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\partial \omega (\mathbf {k} )}{\partial \mathbf {k} }}}$$$${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,,}$$${\displaystyle m_{0}}$$${\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m_{0}}}\,.}$$${\displaystyle \omega (k)=ck}$${\displaystyle c}$

อีกทางเลือกหนึ่งคือ การใช้ความสัมพันธ์การกระจายตัว เชิงสัมพัทธภาพ สำหรับคลื่นสสาร รูปแบบเชิงสัมพัทธ ภาพ นี้เกี่ยวข้องกับความเร็วเฟส ดังที่ได้กล่าวไว้ด้านล่าง $${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )={\sqrt {k^{2}c^{2}+\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}\right)^{2}}}\,,}$$$${\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\mathbf {k} c^{2}}{\omega }}\,.}$$

สำหรับตัวกลางที่ไม่เป็นไอโซโทรปิก เราจะใช้ รูปแบบ พลังงาน-โมเมนตัมแทน: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {g} }&={\frac {\partial \omega }{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (\mathbf {p} /\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial \mathbf {p} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}\right)\\&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}}\\&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{E}}.\end{aligned}}}$$

แต่ (ดูด้านล่าง) เนื่องจากความเร็วเฟสคือดังนั้น โดย ที่คือความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลของอนุภาค ซึ่งเหมือนกับความเร็วกลุ่ม ${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }=E/\mathbf {p} =c^{2}/\mathbf {v} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {g} }&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{E}}\\&={\frac {c^{2}}{\mathbf {v} _{\mathrm {p} }}}\\&=\mathbf {v} ,\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {v} }$

ความเร็วเฟสในตัวกลางไอโซโทรปิกถูกกำหนดดังนี้: โดยใช้ความเร็วกลุ่มสัมพัทธภาพข้างต้น: ^{[ 2 ] : 215} สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าตามที่รายงานโดย RW Ditchburn ในปี 1948 และ JL Synge ในปี 1952 คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ายังปฏิบัติตามเช่นกัน เนื่องจากทั้งและเนื่องจากสำหรับคลื่นสสารจึงสรุปได้ว่าแต่มีเพียงความเร็วกลุ่มเท่านั้นที่บรรจุข้อมูล ความเร็วเฟส เหนือแสงจึงไม่ละเมิดทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ เนื่องจากไม่ได้บรรจุข้อมูล $${\displaystyle \mathbf {v_{p}} ={\frac {\omega }{\mathbf {k} }}}$$$${\displaystyle \mathbf {v_{p}} ={\frac {c^{2}}{\mathbf {v_{g}} }}}$$${\displaystyle \mathbf {v_{p}} \cdot \mathbf {v_{g}} =c^{2}}$${\displaystyle \mathbf {v_{p}} \cdot \mathbf {v_{g}} =c^{2}}$${\displaystyle |\mathbf {v_{p}} |=c}$${\displaystyle |\mathbf {v_{g}} |=c}$${\displaystyle |\mathbf {v_{g}} |<c}$${\displaystyle |\mathbf {v_{p}} |>c}$

สำหรับสื่อที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันแล้ว $${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{\mathbf {k} }}={\frac {E/\hbar }{\mathbf {p} /\hbar }}={\frac {E}{\mathbf {p} }}.}$$

การใช้ ความสัมพันธ์ เชิงสัมพัทธภาพสำหรับพลังงานและโมเมนตัมทำให้ ได้ ตัวแปรที่สามารถตีความได้ว่าเป็นความเร็วของอนุภาคหรือความเร็วกลุ่มของคลื่นสสารที่สอดคล้องกัน—ทั้งสองอย่างเหมือนกัน เนื่องจากความเร็วของอนุภาคสำหรับอนุภาคใดๆ ที่มีมวลไม่เป็นศูนย์ (ตามทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ) ความเร็วเฟสของคลื่นสสารจึงมากกว่าc เสมอ กล่าว คือ ซึ่งจะเข้าใกล้cเมื่อความเร็วของอนุภาคเป็นเชิงสัมพัทธ ภาพ ความเร็วเฟส ที่เร็วกว่าแสงไม่ขัดกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ เช่นเดียวกับกรณีข้างต้นสำหรับตัวกลางที่ไม่เป็นไอโซโทรปิก ดูบทความเรื่องการกระจายตัว (ทัศนศาสตร์)สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม $${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }={\frac {E}{\mathbf {p} }}={\frac {mc^{2}}{m\mathbf {v} }}={\frac {\gamma m_{0}c^{2}}{\gamma m_{0}\mathbf {v} }}={\frac {c^{2}}{\mathbf {v} }}.}$$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle |\mathbf {v} |<c}$$${\displaystyle |\mathbf {v} _{\mathrm {p} }|>c,}$$

การใช้สูตรสองสูตรจาก ทฤษฎีสั มพัทธภาพพิเศษสูตรหนึ่งสำหรับพลังงานมวลสัมพัทธภาพ และอีกสูตรหนึ่งสำหรับโมเมนตัมสัมพัทธภาพ ทำให้สามารถเขียนสมการสำหรับความยาวคลื่นและความถี่ของเดอ บรอยล์ได้ดังนี้ โดย ที่ คือความเร็วคือปัจจัยลอเรนซ์และคือความเร็วแสงในสุญญากาศ^{[ 56 ] [ 57 ]}ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเมื่อความเร็วของอนุภาคเข้าใกล้ศูนย์ (หยุดนิ่ง) ความยาวคลื่นของเดอ บรอยล์จะเข้าใกล้ค่าอนันต์ $${\displaystyle {\begin{aligned}E&=mc^{2}=\gamma m_{0}c^{2}\\[1ex]\mathbf {p} &=m\mathbf {v} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda =\,\,{\frac {h}{\gamma m_{0}v}}\,=\,{\frac {h}{m_{0}v}}\,\,\,{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\\[2.38ex]&f={\frac {\gamma \,m_{0}c^{2}}{h}}={\frac {m_{0}c^{2}}{h{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}},\end{aligned}}}$$${\displaystyle v=|\mathbf {v} |}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle c}$

เมื่อใช้เวกเตอร์สี่ตัว ความสัมพันธ์ของเดอ บรอยล์จะก่อให้เกิดสมการเดียว ซึ่ง ไม่ขึ้นกับ กรอบอ้างอิง ในทำนองเดียวกัน ความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วกลุ่ม/อนุภาคและความเร็วเฟสจะแสดงในรูปแบบที่ไม่ขึ้นกับกรอบอ้างอิงโดย: โดยที่ $${\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} ,}$$$${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega _{0}}{c^{2}}}\right)\mathbf {U} ,}$$

• โมเมนตัมสี่${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\mathbf {p} }\right)}$
• เวกเตอร์คลื่นสี่ลูก${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\mathbf {k} }\right)}$
• ความเร็วสี่ระดับ${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,{\mathbf {u} })=\gamma (c,v_{\mathrm {g} }{\hat {\mathbf {u} }})}$

ส่วนก่อนหน้านี้กล่าวถึงเฉพาะอนุภาคอิสระซึ่งฟังก์ชันคลื่นเป็นคลื่นระนาบ แต่ยังมีคลื่นสสารประเภทอื่นอีกจำนวนมาก ซึ่งสามารถแบ่งออกได้เป็นสามประเภทใหญ่ๆ ได้แก่ คลื่นสสารอนุภาคเดี่ยว คลื่นสสารรวม และคลื่นนิ่ง

คำอธิบายทั่วไปของคลื่นสสารที่สอดคล้องกับอนุภาคประเภทเดียว (เช่น อิเล็กตรอนหรือนิวตรอนเพียงตัวเดียว) จะมีรูปแบบคล้ายกับ ที่ตอนนี้มีพจน์เชิงพื้นที่เพิ่มเติมอยู่ข้างหน้า และพลังงานถูกเขียนโดยทั่วไปมากขึ้นเป็นฟังก์ชันของเวกเตอร์คลื่น พจน์ต่างๆ ที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้ยังคงใช้ได้ แม้ว่าพลังงานจะไม่เป็นสัดส่วนกับกำลังสองของเวกเตอร์คลื่นเสมอไป วิธีการทั่วไปคือการกำหนดมวลที่มีประสิทธิภาพซึ่งโดยทั่วไปเป็นเทนเซอร์ที่กำหนดโดย ดังนั้นในกรณีง่ายๆ ที่ทุกทิศทางเหมือนกัน รูปแบบจะคล้ายกับคลื่นอิสระข้างต้นโดยทั่วไปความเร็วกลุ่มจะถูกแทนที่ด้วยกระแสความน่าจะเป็น^{[ 58 ]} โดยที่คือตัวดำเนินการเดลต้าหรือเกรเดียนต์โมเมนตัมจะถูกอธิบายโดยใช้ตัวดำเนินการโมเมนตัมจลน์ [ ^{58 ]} ความยาวคลื่นยังคงถูกอธิบายว่าเป็นส่วนกลับของขนาดของเวกเตอร์คลื่น แม้ว่าการวัดจะซับซ้อนกว่า มีหลายกรณีที่ใช้วิธีการนี้เพื่ออธิบายคลื่นสสารอนุภาคเดี่ยว ^:$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} ,\mathbf {k} )\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -iE(\mathbf {k} )t/\hbar )}$$${\displaystyle u(\mathbf {r} ,\mathbf {k} )}$${\displaystyle m_{ij}^{*}}$$${\displaystyle {m_{ij}^{*}}^{-1}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}}$$$${\displaystyle E(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}}{2m^{*}}}}$$$${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} )={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}(\mathbf {r} )\mathbf {\nabla } \psi (\mathbf {r} )-\psi (\mathbf {r} )\mathbf {\nabla } \psi ^{*}(\mathbf {r} )\right)}$$${\displaystyle \nabla }$$${\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla }$$

• คลื่น Blochซึ่งเป็นพื้นฐานของโครงสร้างแถบ ส่วนใหญ่ ตามที่อธิบายไว้ในAshcroft และ Merminและยังใช้เพื่ออธิบายการเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอนพลังงานสูงโดยของแข็ง^{[ 59 ] [ 35 ]}
• คลื่นที่มีโมเมนตัมเชิงมุมเช่นลำแสงอิเล็กตรอนวน^{[ 60 ]}
• คลื่นเอวาเนสเซนต์ (Evanescent waves ) คือคลื่นที่มีส่วนประกอบของเวกเตอร์คลื่นในทิศทางหนึ่งเป็นจำนวนเชิงซ้อน ปรากฏการณ์นี้พบได้ทั่วไปเมื่อคลื่นสสารสะท้อน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการเลี้ยวเบนแบบตกกระทบเฉียง (grazing-incidence diffraction )

คลื่นสสารประเภทอื่นๆ เกี่ยวข้องกับอนุภาคมากกว่าหนึ่งอนุภาค จึงเรียกว่าคลื่นรวม และมักเป็นอนุภาคเสมือนคลื่นเหล่านี้จำนวนมากเกิดขึ้นในของแข็ง – ดูAshcroft และ Merminตัวอย่างเช่น:

• ในของแข็งอนุภาคอิเล็กตรอนเสมือนคืออิเล็กตรอนที่รวมปฏิสัมพันธ์กับอิเล็กตรอนอื่น ๆ ในของแข็งไว้ด้วย อนุภาคอิเล็กตรอนเสมือนมีประจุและสปินเหมือนกับอิเล็กตรอน "ปกติ" ( อนุภาคพื้นฐาน ) และเช่นเดียวกับอิเล็กตรอนปกติ มันเป็นเฟอร์มิออนอย่างไรก็ตามมวลยังผล ของมัน สามารถแตกต่างจากมวลของอิเล็กตรอนปกติได้อย่างมาก^{[ 61 ]}สนามไฟฟ้าของมันก็ถูกปรับเปลี่ยนเช่นกัน อันเป็นผลมาจากการกำบังสนามไฟฟ้า
• โฮลเป็นอนุภาคเสมือนที่สามารถคิดได้ว่าเป็นช่องว่างของอิเล็กตรอนในสถานะหนึ่ง โดยทั่วไปมักใช้ในบริบทของสถานะว่างในแถบวาเลนซ์ของสารกึ่งตัวนำ^{[ 61 ]}โฮลมีประจุตรงข้ามกับอิเล็กตรอน
• โพลารอนเป็นอนุภาคเสมือนที่อิเล็กตรอนมีปฏิสัมพันธ์กับโพลาไรเซชันของอะตอมที่อยู่ใกล้เคียง
• เอ็กซิตอนคือ คู่ของอิเล็กตรอนและโฮลที่ยึดติดกัน
• คู่คูเปอร์คืออิเล็กตรอนสองตัวที่ยึดติดกัน ทำให้พวกมันมีพฤติกรรมเหมือนคลื่นสสารเดียว

กลุ่มที่สามคือคลื่นสสารซึ่งมีเวกเตอร์คลื่น ความยาวคลื่น และเปลี่ยนแปลงตามเวลา แต่มีความเร็วกลุ่มหรือฟลักซ์ความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ แบบที่ง่ายที่สุดของคลื่นเหล่านี้ คล้ายกับสัญลักษณ์ข้างต้น จะ เกิดขึ้นเป็นส่วนหนึ่งของอนุภาคในกล่องและกรณีอื่นๆ เช่น ในวงแหวนสิ่งนี้สามารถ และควรขยายไปยังกรณีอื่นๆ อีกมากมาย ตัวอย่างเช่น ในงานยุคแรก เดอ บรอยล์ ใช้แนวคิดที่ว่าคลื่นสสารอิเล็กตรอนต้องต่อเนื่องในวงแหวนเพื่อเชื่อมโยงกับเงื่อนไขของบอร์-ซอมเมอร์เฟลด์ในแนวทางแรกๆ ของกลศาสตร์ควอนตัม^{[ 62 ]}ในแง่นั้นวงโคจรอะตอมรอบอะตอม และวงโคจรโมเลกุล ก็ เป็นคลื่นสสารอิเล็กตรอน เช่นกัน ^{[ 63 ] [ 64 ] [ 65 ]}$${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$$

ชโรดิงเกอร์ใช้การเปรียบเทียบเชิงออปติก-กลศาสตร์ของแฮมิลตันเพื่อพัฒนากลศาสตร์คลื่นสำหรับอนุภาคย่อยอะตอม^{[ 66 ] : xi} ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาคลื่นของสมการชโรดิงเกอร์จึงมีคุณสมบัติร่วมกันหลายประการกับผลลัพธ์ของออปติกคลื่น แสง โดยเฉพาะอย่างยิ่งสูตรการเลี้ยวเบนของเคิร์ชฮอฟฟ์ใช้ได้ดีกับออปติกอิเล็กตรอน^{[ 29 ] : 745} และสำหรับ ออป ติกอะตอม^{[ 67 ]}การประมาณนี้ใช้ได้ดีตราบใดที่สนามไฟฟ้าเปลี่ยนแปลงช้ากว่าความยาวคลื่นเดอ บรอยล์ อุปกรณ์ระดับมหภาคเป็นไปตามเงื่อนไขนี้อิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่ช้าในของแข็งไม่เป็น ไปตามเงื่อนไขนี้

นอกเหนือจากสมการการเคลื่อนที่แล้ว แง่มุมอื่นๆ ของทัศนศาสตร์คลื่นสสารยังแตกต่างจากกรณีทัศนศาสตร์แสงที่สอดคล้องกันอีกด้วย

ความไวของคลื่นสสารต่อสภาวะแวดล้อม ตัวอย่างมากมายของการเลี้ยวเบน ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (แสง) เกิดขึ้นในอากาศภายใต้สภาวะแวดล้อมต่างๆ เห็นได้ชัดว่าแสงที่มองเห็นได้มีปฏิสัมพันธ์กับโมเลกุลของอากาศอย่างอ่อน ในทางตรงกันข้าม อนุภาคที่มีปฏิสัมพันธ์อย่างรุนแรง เช่น อิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่ช้าและโมเลกุล ต้องการสุญญากาศ คุณสมบัติของคลื่นสสารจะจางหายไปอย่างรวดเร็วเมื่อสัมผัสกับความดันก๊าซต่ำ^{[ 68 ]}ด้วยอุปกรณ์พิเศษ อิเล็กตรอนความเร็วสูงสามารถใช้ศึกษาของเหลวและก๊าซได้นิวตรอน ซึ่งเป็นข้อยกเว้นที่สำคัญ มีปฏิสัมพันธ์โดยการชนกับนิวเคลียสเป็นหลัก ดังนั้นจึงเดินทางได้หลายร้อยฟุตในอากาศ^{[ 69 ]}

การกระจาย ตัว คลื่นแสงที่มีความถี่ทุกระดับเดินทางด้วย ความเร็วแสงเท่ากันในขณะที่ความเร็วของคลื่นสสารแปรผันอย่างมากตามความถี่ ความสัมพันธ์ระหว่างความถี่ (แปรผันตรงกับพลังงาน) และเลขคลื่นหรือความเร็ว (แปรผันตรงกับโมเมนตัม) เรียกว่าความสัมพันธ์การกระจายตัวคลื่นแสงในสุญญากาศมีความสัมพันธ์การกระจายตัวเชิงเส้นระหว่างความถี่: สำหรับคลื่นสสาร ความสัมพันธ์จะไม่เป็นเชิงเส้น: ความสัมพันธ์การกระจายตัวของคลื่นสสาร แบบไม่สัมพัทธภาพนี้กล่าวว่า ความถี่ในสุญญากาศแปรผันตามเลขคลื่น ( ) ในสองส่วน: ส่วนคงที่เนื่องจากความถี่เดอ บรอยล์ของมวลนิ่ง ( ) และส่วนกำลังสองเนื่องจากพลังงานจลน์ พจน์กำลังสองทำให้กลุ่มคลื่นสสารกระจาย ตัวอย่างรวดเร็ว${\displaystyle \omega =ck}$$${\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.}$$${\displaystyle k=1/\lambda }$${\displaystyle \hbar \omega _{0}=m_{0}c^{2}}$

ความสอดคล้องการมองเห็นคุณลักษณะการเลี้ยวเบนโดยใช้แนวทางทฤษฎีทางแสงขึ้นอยู่กับความสอดคล้อง^{ของลำแสง [} 29 ^{] ซึ่ง}ในระดับควอนตัมเทียบเท่ากับแนวทางเมทริกซ์ความหนาแน่น^{[ 70 ] [ 71 ]}เช่นเดียวกับแสง ความสอดคล้องตามขวาง (ข้ามทิศทางการแพร่กระจาย) สามารถเพิ่มขึ้นได้โดยการปรับลำแสงระบบอิเล็กตรอนออปติกใช้แรงดันไฟฟ้าสูงที่เสถียรเพื่อให้พลังงานกระจายตัวแคบร่วมกับเลนส์ปรับลำแสง (ขนาน) และแหล่งกำเนิดเส้นใยปลายแหลมเพื่อให้ได้ความสอดคล้องที่ดี^{[ 72 ]}เนื่องจากแสงที่ความถี่ทั้งหมดเดินทางด้วยความเร็วเท่ากัน ความสอดคล้องตามยาวและความสอดคล้องตามเวลาจึงเชื่อมโยงกัน ในคลื่นสสาร สิ่งเหล่านี้เป็นอิสระต่อกัน ตัวอย่างเช่น สำหรับอะตอม การเลือกความเร็ว (พลังงาน) ควบคุมความสอดคล้องตามยาว และการพัลส์หรือการตัดควบคุมความสอดคล้องตามเวลา^{[ 67 ] : 154}

คลื่นสสารที่ขึ้นรูปด้วยแสง การจัดการสสารด้วยแสงมีบทบาทสำคัญในทัศนศาสตร์ของคลื่นสสาร: "คลื่นแสงสามารถทำหน้าที่เป็นโครงสร้างหักเห สะท้อน และดูดซับสำหรับคลื่นสสาร เช่นเดียวกับที่แก้วมีปฏิสัมพันธ์กับคลื่นแสง" ^{[ 73 ]}การถ่ายโอนโมเมนตัมของแสงเลเซอร์สามารถทำให้อนุภาคสสารเย็นลงและเปลี่ยนแปลงสถานะการกระตุ้นภายในของอะตอมได้^{[ 74 ]}

การทดลองหลายอนุภาค แม้ว่าสมการคลื่นแสงและสสารในพื้นที่ว่างของอนุภาคเดี่ยวจะเหมือนกัน แต่ระบบหลายอนุภาค เช่น การทดลอง แบบบังเอิญนั้นไม่เหมือน กัน ^{[ 75 ]}

ส่วนย่อยต่อไปนี้มีลิงก์ไปยังหน้าเว็บที่อธิบายถึงการประยุกต์ใช้คลื่นสสารเป็นเครื่องมือตรวจสอบวัสดุหรือคุณสมบัติควอนตัม พื้นฐาน ในกรณีส่วนใหญ่ การประยุกต์ใช้เหล่านี้เกี่ยวข้องกับวิธีการสร้างคลื่นสสารเคลื่อนที่ซึ่งเริ่มต้นมีรูปแบบที่เรียบง่ายจากนั้นจึงใช้คลื่นเหล่านี้ในการตรวจสอบวัสดุ ${\displaystyle \exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t)}$

ดังแสดงในตารางด้านล่างมวล ของคลื่นสสาร มีช่วงกว้างถึง 6 อันดับของขนาดและพลังงานกว้างถึง 9 อันดับ แต่ความยาวคลื่นทั้งหมดอยู่ใน ช่วง พิโคเมตรซึ่งเทียบได้กับระยะห่างระหว่างอะตอม ( เส้นผ่านศูนย์กลางของอะตอมมีช่วงตั้งแต่ 62 ถึง 520 พิโคเมตร และความยาวโดยทั่วไปของพันธะเดี่ยวคาร์บอน-คาร์บอนคือ 154 พิโคเมตร) การเข้าถึงความยาวคลื่นที่ยาวขึ้นต้องใช้เทคนิคพิเศษ เช่นการทำความเย็นด้วยเลเซอร์เพื่อเข้าถึงพลังงานที่ต่ำกว่า ความยาวคลื่นที่สั้นกว่าทำให้การสังเกตผลกระทบของการเลี้ยวเบนทำได้ยากขึ้น^{[ 43 ]}ดังนั้น การใช้งานจำนวนมากจึงมุ่งเน้นไปที่โครงสร้างของวัสดุควบคู่ไปกับการใช้งานของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า โดยเฉพาะรังสีเอกซ์แตกต่างจากแสง อนุภาคคลื่นสสารอาจมีมวลประจุไฟฟ้าโมเมนต์แม่เหล็กและโครงสร้างภายใน ซึ่งนำเสนอความท้าทายและโอกาสใหม่ๆ

รูปแบบ การเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอนเกิดขึ้นเมื่ออิเล็กตรอนพลังงานสูงสะท้อนหรือทะลุผ่านของแข็งที่มีระเบียบ การวิเคราะห์รูปแบบเหล่านี้จะนำไปสู่แบบจำลองการจัดเรียงอะตอมในของแข็ง

มีการใช้เลนส์เหล่านี้สำหรับการสร้างภาพตั้งแต่ระดับไมครอนไปจนถึงระดับอะตอมโดยใช้กล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอนทั้งในโหมดการส่งผ่าน โหมดการสแกนและสำหรับพื้นผิวที่พลังงานต่ำ

การวัดพลังงานที่อิเล็กตรอนสูญเสียไปในสเปกโทรสโกปีการสูญเสียพลังงานของอิเล็กตรอนให้ข้อมูลเกี่ยวกับเคมีและโครงสร้างอิเล็กตรอนของวัสดุ ลำแสงอิเล็กตรอนยังก่อให้เกิดรังสีเอกซ์ลักษณะเฉพาะในสเปกโทรสโกปีการกระจายพลังงานซึ่งสามารถให้ข้อมูลเกี่ยวกับองค์ประกอบทางเคมีในระดับนาโนได้

ปรากฏการณ์ควอนตัมทunnelingอธิบายว่าอิเล็กตรอนหลุดออกจากโลหะในสนามไฟฟ้าสถิตได้อย่างไรที่พลังงานต่ำกว่าที่ทฤษฎีคลาสสิกคาดการณ์ไว้ กล่าวคือ คลื่นสสารทะลุผ่านกำแพงฟังก์ชันงานในโลหะ

กล้องจุลทรรศน์แบบสแกนนิงทันเนลลิ่งใช้หลักการของควอนตัมทันเนลลิ่งในการสร้างภาพชั้นอะตอมบนสุดของพื้นผิวของแข็ง

โฮโลแกรมอิเล็กตรอน ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่คล้ายคลึงกับ โฮโลแกรมเชิงแสง แต่ใช้คลื่นสสารอิเล็กตรอนในการตรวจสอบสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กในฟิล์มบาง

การเลี้ยวเบนของนิวตรอนช่วยเสริมการเลี้ยวเบนของรังสีเอกซ์เนื่องจากมีค่าภาคตัดขวางการกระเจิงและความไวต่อสนามแม่เหล็ก ที่แตกต่างกัน

การกระเจิงของนิวตรอนในมุมเล็กช่วยให้สามารถศึกษาโครงสร้างของระบบที่ไม่เป็นระเบียบ ซึ่งมีความไวต่อธาตุเบา ไอโซโทป และโมเมนต์แม่เหล็ก

การวัดการสะท้อนแสงนิวตรอน (Neutron reflectometry)เป็นเทคนิคการเลี้ยวเบนของนิวตรอนสำหรับการวัดโครงสร้างของฟิล์มบาง

เครื่องวัดการแทรกสอดของอะตอมคล้ายกับเครื่องวัดการแทรกสอดเชิงแสงวัดความแตกต่างของเฟสระหว่างคลื่นสสารอะตอมตามเส้นทางต่างๆ

ทัศนศาสตร์อะตอมเลียนแบบอุปกรณ์ทัศนศาสตร์แสงหลายชนิด รวมถึงกระจกและแผ่นโฟกัสอะตอม

กล้องจุลทรรศน์ฮีเลียมแบบสแกนใช้คลื่นอะตอมของฮีเลียมในการสร้างภาพโครงสร้างของของแข็งโดยไม่ทำลายตัวอย่าง

การสะท้อนเชิงควอนตัมใช้พฤติกรรมของคลื่นสสารเพื่ออธิบายการสะท้อนของอะตอมในมุมเฉียง ซึ่งเป็นพื้นฐานของกระจก อะตอม บางชนิด

การวัด การลดทอนความสอดคล้องทางควอนตัมอาศัยการแทรกสอดของคลื่นอะตอม Rb

การซ้อนทับควอนตัมที่เปิดเผยโดยการรบกวนของคลื่นสสารจากโมเลกุลขนาดใหญ่ตรวจสอบขีดจำกัดของความเป็นคู่ของคลื่นและอนุภาคและความเป็นมหภาคควอนตัม^{[ 84 ] [ 85 ]}

เครื่องวัดการรบกวนของคลื่นสสารสร้างโครงสร้างนาโนบนลำแสงโมเลกุลที่สามารถอ่านได้ด้วยความแม่นยำระดับนาโนเมตร ดังนั้นจึงสามารถใช้สำหรับการวัดแรงที่มีความไวสูง ซึ่งสามารถอนุมานคุณสมบัติมากมายของโมเลกุลที่ซับซ้อนแต่ละชนิดได้^{[ 86 ]}

• ภาวะทวิลักษณ์ของคลื่นและอนุภาค
• แบบจำลองโบร์
• ความยาวคลื่นคอมป์ตัน
• คลื่นฟาราเดย์
• ปรากฏการณ์คาปิตสา-ดิแรก
• นาฬิกาคลื่นสสาร
• สมการชโรดิงเกอร์
• ความยาวคลื่นความร้อนของเดอ บรอยล์
• ทฤษฎีเดอ บรอยล์-โบห์ม
• เครื่องวัดการรบกวนของอะตอม

• L. de Broglie, Recherches sur la théorie des quanta (การวิจัยเกี่ยวกับทฤษฎีควอนตัม), วิทยานิพนธ์ (ปารีส), 1924; แอล. เดอ บรอกลี, แอน. ฟิสิกส์ (ปารีส) 3 , 22 (1925). แปลภาษาอังกฤษโดย AF Kracklauer
• บรอกลี, หลุยส์ เดอ, ธรรมชาติของคลื่นของอิเล็กตรอนปาฐกถาโนเบล ครั้งที่ 12, 1929
• ทิปเลอร์, พอล เอ. และ ราล์ฟ เอ. ลูเวลลิน (2003). ฟิสิกส์สมัยใหม่ . ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 4. นิวยอร์ก; ดับเบิลยูเอช ฟรีแมน แอนด์ โค. ISBN 0-7167-4345-0หน้า 203–4, 222–3, 236.
• Zumdahl, Steven S. (2005). หลักการทางเคมี (ฉบับที่ 5). บอสตัน: Houghton Mifflin. ISBN 978-0-618-37206-5.
• Cronin, Alexander D.; Schmiedmayer, Jörg; Pritchard, David E. (28 กรกฎาคม 2552). "ทัศนศาสตร์และการแทรกสอดด้วยอะตอมและโมเลกุล" (PDF) . บทวิจารณ์ฟิสิกส์สมัยใหม่ . 81 (3): 1051– 1129. arXiv : 0712.3703 . Bibcode : 2009RvMP...81.1051C . doi : 10.1103/RevModPhys.81.1051 . hdl : 1721.1/52372 . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อวันที่ 19 กรกฎาคม 2554 – ผ่าน Atomwave.
• "บทความทางวิทยาศาสตร์ที่มอบให้แก่แม็กซ์ บอร์น เนื่องในโอกาสเกษียณอายุจากตำแหน่งศาสตราจารย์ด้านปรัชญาธรรมชาติแห่งมหาวิทยาลัยเอดินบะระ"ปี 1953 (โอลิเวอร์และบอยด์)

• โบว์ลีย์, โรเจอร์. "คลื่นเดอ บรอกลี" . หกสิบสัญลักษณ์ . สำนักพิมพ์เบรดี้ ฮารานสำหรับมหาวิทยาลัยนอตติงแฮม .