กล้องจุลทรรศน์แบบสแกนนิงทันเนลลิ่ง ( STM ) เป็น กล้องจุลทรรศน์แบบสแกนนิงโพรบชนิดหนึ่งที่ใช้สำหรับการสร้างภาพพื้น ผิว ใน ระดับ อะตอมการพัฒนาในปี 1981 ทำให้ผู้คิดค้นGerd BinnigและHeinrich Rohrerซึ่งขณะนั้นทำงานอยู่ที่IBM Zürich ได้รับ รางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ในปี 1986 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} STM ตรวจจับพื้นผิวโดยใช้ ปลาย นำไฟฟ้า ที่คมมาก ซึ่งสามารถแยกแยะคุณลักษณะที่มีขนาดเล็กกว่า 0.1  นาโนเมตร ด้วย ความละเอียดเชิงลึก0.01 นาโนเมตร (10  pm ) ^{[ 4 ]}ซึ่งหมายความว่าสามารถสร้างภาพและจัดการอะตอมแต่ละตัวได้อย่างสม่ำเสมอ กล้องจุลทรรศน์แบบสแกนนิงทันเนลลิ่งส่วนใหญ่สร้างขึ้นเพื่อใช้ในสุญญากาศสูงมากที่อุณหภูมิใกล้ศูนย์สัมบูรณ์แต่ก็มีแบบต่างๆ สำหรับการศึกษาในอากาศ น้ำ และสภาพแวดล้อมอื่นๆ และสำหรับอุณหภูมิที่สูงกว่า 1000 °C ^{[ 5 ] [ 6 ]}

STM ใช้หลักการของควอนตัมทunnelingเมื่อนำปลายหัววัดเข้าใกล้พื้นผิวที่จะตรวจสอบมาก แรงดัน ไบแอสที่ใช้ระหว่างทั้งสองจะทำให้อิเล็กตรอนสามารถทะลุผ่านสุญญากาศที่คั่นระหว่างกันได้กระแสท unneling ที่เกิดขึ้น จะเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งปลายหัววัด แรงดันที่ใช้ และความหนาแน่นสถานะเฉพาะที่ (LDOS) ของตัวอย่าง ข้อมูลจะถูกเก็บรวบรวมโดยการตรวจสอบกระแสขณะที่ปลายหัววัดสแกนไปทั่วพื้นผิว และมักจะแสดงในรูปแบบภาพ^{[ 5 ]}

เทคนิคการปรับปรุงที่เรียกว่าการสแกนอุโมงค์สเปกโทรสโกปีประกอบด้วยการรักษาปลายให้อยู่ในตำแหน่งคงที่เหนือพื้นผิว ปรับเปลี่ยนแรงดันไบแอส และบันทึกการเปลี่ยนแปลงของกระแสที่เกิดขึ้น การใช้เทคนิคนี้สามารถสร้างความหนาแน่นเฉพาะที่ของสถานะอิเล็กตรอนขึ้นใหม่ได้^{[ 7 ]}บางครั้งจะดำเนินการในสนามแม่เหล็กสูงและในที่ที่มีสิ่งเจือปนเพื่ออนุมานคุณสมบัติและปฏิสัมพันธ์ของอิเล็กตรอนในวัสดุที่ศึกษา ตัวอย่างเช่น จากการ สร้างภาพการรบกวนของอนุภาคเสมือน

กล้องจุลทรรศน์แบบสแกนอุโมงค์อาจเป็นเทคนิคที่ท้าทาย เนื่องจากต้องใช้พื้นผิวที่สะอาดและเสถียรมาก ปลายแหลมการแยกการสั่นสะเทือน ที่ดีเยี่ยม และอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ที่ซับซ้อน อย่างไรก็ตาม นักเล่นงานอดิเรกหลายคนสร้างกล้องจุลทรรศน์ของตนเอง^{[ 8 ]}

ปลายหัววัดจะถูกนำมาใกล้ตัวอย่างด้วยกลไกการกำหนดตำแหน่งแบบหยาบ ซึ่งโดยปกติจะตรวจสอบด้วยสายตา ในระยะใกล้ การควบคุมตำแหน่งของปลายหัววัดอย่างละเอียดเมื่อเทียบกับพื้นผิวของตัวอย่างจะทำได้โดยใช้ ท่อสแกนเนอร์ แบบเพียโซอิ เล็กท ริก ซึ่งความยาวสามารถเปลี่ยนแปลงได้ด้วยแรงดันควบคุม แรงดัน ไบแอส จะถูกใช้ระหว่างตัวอย่างและปลายหัววัด และสแกนเนอร์จะค่อยๆ ยืดออกจนกระทั่งปลายหัววัดเริ่มได้รับกระแสอุโมงค์ ระยะห่างระหว่างปลายหัววัดและตัวอย่างwจะถูกรักษาไว้ที่ช่วง 4–7  Å (0.4–0.7  nm ) ซึ่งสูงกว่าความสูงที่ปลายหัววัดจะประสบกับแรงผลัก( w < 3 Å) เล็กน้อย แต่ยังคงอยู่ในบริเวณที่มีแรงดึงดูด(3 < w < 10 Å) ^{[ 5 ]}กระแสอุโมงค์ซึ่งอยู่ในช่วงย่อยนาโนแอมแปร์จะถูกขยายให้ใกล้กับสแกนเนอร์มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เมื่อการอุโมงค์เกิดขึ้นแล้ว แรงดันไบแอสของตัวอย่างและตำแหน่งของปลายหัววัดเมื่อเทียบกับตัวอย่างจะถูกปรับเปลี่ยนตามความต้องการของการทดลอง

เมื่อปลายหัววัดเคลื่อนที่ไปตามพื้นผิวใน เมทริกซ์ x – y แบบไม่ต่อเนื่อง การเปลี่ยนแปลงความสูงของพื้นผิวและจำนวนประชากรของสถานะอิเล็กตรอนจะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงของกระแสอุโมงค์ ภาพดิจิทัลของพื้นผิวจะถูกสร้างขึ้นในสองวิธี วิธีแรกคือในโหมดความสูงคงที่การเปลี่ยนแปลงของกระแสอุโมงค์จะถูกแมปโดยตรง ในขณะที่วิธีที่สองคือโหมดกระแสคงที่แรงดันไฟฟ้าที่ควบคุมความสูง ( z ) ของปลายหัววัดจะถูกบันทึกไว้ในขณะที่กระแสอุโมงค์ถูกรักษาไว้ที่ระดับที่กำหนดไว้ล่วงหน้า^{[ 5 ]}

ในโหมดกระแสคงที่ วงจรป้อนกลับอิเล็กทรอนิกส์จะปรับความสูงโดยใช้แรงดันไฟฟ้ากับกลไกควบคุมความสูงแบบเพียโซอิเล็กทริก หากกระแสอุโมงค์ต่ำกว่าระดับที่ตั้งไว้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง ปลายหัววัดจะเคลื่อนเข้าหาตัวอย่าง และในทางกลับกัน โหมดนี้ค่อนข้างช้า เนื่องจากวงจรอิเล็กทรอนิกส์จำเป็นต้องตรวจสอบกระแสอุโมงค์และปรับความสูงในวงจรป้อนกลับ ณ จุดวัดแต่ละจุดบนพื้นผิว เมื่อพื้นผิวเรียบระดับอะตอม แรงดันไฟฟ้าที่ใช้กับตัว สแกน zส่วนใหญ่จะสะท้อนถึงการเปลี่ยนแปลงของความหนาแน่นประจุในบริเวณนั้น แต่เมื่อพบขั้นอะตอม หรือเมื่อพื้นผิวโค้งงอเนื่องจากการสร้างใหม่ความสูงของตัวสแกนก็ต้องเปลี่ยนแปลงไปด้วยเนื่องจากลักษณะทางภูมิประเทศโดยรวม ภาพที่เกิดจาก แรงดันไฟฟ้าของตัวสแกน zที่จำเป็นในการรักษากระแสอุโมงค์ให้คงที่ขณะที่ปลายหัววัดสแกนพื้นผิว จึงประกอบด้วยข้อมูลทั้งทางภูมิประเทศและความหนาแน่นของอิเล็กตรอน ในบางกรณีอาจไม่ชัดเจนว่าการเปลี่ยนแปลงความสูงเกิดจากสาเหตุใดสาเหตุหนึ่ง

ในโหมดความสูงคงที่ แรงดันไฟฟ้าของตัวสแกนแกน zจะคงที่ขณะที่ตัวสแกนแกว่งไปมาบนพื้นผิว และกระแสอุโมงค์ซึ่งขึ้นอยู่กับระยะทางแบบเอกซ์โปเนนเชียลจะถูกบันทึกไว้ โหมดการทำงานนี้เร็วกว่า แต่บนพื้นผิวที่ขรุขระ ซึ่งอาจมีโมเลกุลขนาดใหญ่เกาะอยู่ หรือมีสันและร่อง ปลายหัววัดอาจเสี่ยงต่อการชนได้

การสแกนแบบแรสเตอร์ของปลายหัววัดจะมีขนาดตั้งแต่ 128×128 ถึง 1024×1024 (หรือมากกว่านั้น) เมทริกซ์ และสำหรับแต่ละจุดในแรสเตอร์จะได้ค่าเพียงค่าเดียว ดังนั้นภาพที่ได้จาก STM จึงเป็นภาพขาวดำและจะมีการเพิ่มสีในขั้นตอนหลังการประมวลผลเพื่อเน้นคุณลักษณะที่สำคัญให้เห็นได้ชัดเจนยิ่งขึ้น

นอกจากการสแกนทั่วทั้งตัวอย่างแล้ว ข้อมูลเกี่ยวกับโครงสร้างอิเล็กตรอน ณ ตำแหน่งที่กำหนดในตัวอย่างยังสามารถได้มาจากการกวาดแรงดันไบแอส (พร้อมกับการปรับกระแสสลับเล็กน้อยเพื่อวัดอนุพันธ์โดยตรง) และการวัดการเปลี่ยนแปลงกระแส ณ ตำแหน่งเฉพาะ^{[ 4 ]}การวัดประเภทนี้เรียกว่าการสแกนอุโมงค์สเปกโทรสโกปี (STS) และโดยทั่วไปจะส่งผลให้ได้กราฟความหนาแน่นของสถานะ เฉพาะที่ ตามฟังก์ชันของพลังงานอิเล็กตรอนภายในตัวอย่าง ข้อดีของ STM เหนือการวัดความหนาแน่นของสถานะแบบอื่นคือความสามารถในการวัดเฉพาะที่ได้อย่างแม่นยำ นี่คือวิธีที่สามารถเปรียบเทียบความหนาแน่นของสถานะ ณ ตำแหน่ง สิ่งเจือปนกับความหนาแน่นของสถานะรอบสิ่งเจือปนและที่อื่น ๆ บนพื้นผิวได้^{[ 9 ]}

ส่วนประกอบหลักของกล้องจุลทรรศน์แบบสแกนอุโมงค์ ได้แก่ ปลายสแกน ความสูงที่ควบคุมด้วยระบบเพียโซอิเล็กทริก ( แกน z ) และด้านข้าง ( แกน xและy ) และกลไกการเข้าใกล้ตัวอย่างกับปลายสแกนแบบหยาบ กล้องจุลทรรศน์ถูกควบคุมด้วยอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์เฉพาะและคอมพิวเตอร์ ระบบได้รับการรองรับบนระบบแยกการสั่นสะเทือน^{[ 5 ]}

ปลายมักทำจากทังสเตนหรือ ลวด แพลทินัม-อิริเดียมแม้ว่าจะใช้ทองคำ ด้วยเช่นกัน ^{[ 4 ]}ปลายทังสเตนมักทำโดยการกัดด้วยไฟฟ้าเคมี และปลายแพลทินัม-อิริเดียมทำโดยการตัดเฉือนเชิงกลความละเอียดของภาพถูกจำกัดด้วยรัศมีของความโค้งของปลายสแกน บางครั้งสิ่งแปลกปลอมของภาพเกิดขึ้นหากปลายมีมากกว่าหนึ่งจุดยอดที่ปลาย ส่วนใหญ่ จะสังเกตเห็น ภาพปลายคู่ซึ่งเป็นสถานการณ์ที่จุดยอดทั้งสองมีส่วนร่วมในการทะลุผ่านอย่างเท่าเทียมกัน^{[ 4 ]}แม้ว่าจะมีกระบวนการหลายอย่างในการสร้างปลายที่คมและใช้งานได้ แต่การทดสอบคุณภาพขั้นสุดท้ายของปลายจะทำได้ก็ต่อเมื่อมันทะลุผ่านในสุญญากาศเท่านั้น บางครั้งปลายสามารถปรับสภาพได้โดยการใช้แรงดันไฟฟ้าสูงเมื่ออยู่ในช่วงการทะลุผ่านแล้ว หรือโดยการทำให้มันรับอะตอมหรือโมเลกุลจากพื้นผิว

ในการออกแบบสมัยใหม่ส่วนใหญ่ สแกนเนอร์เป็นท่อกลวงของวัสดุเพียโซอิเล็กทริกแบบโพลาไรซ์ในแนวรัศมีที่มีพื้นผิวเคลือบโลหะ พื้นผิวด้านนอกถูกแบ่งออกเป็นสี่ส่วนยาวเพื่อทำหน้าที่เป็น อิเล็กโทรดสำหรับการเคลื่อนที่ในแกน xและyโดยใช้แรงดันเบี่ยงเบนสองขั้วที่ด้านตรงข้าม วัสดุของท่อเป็น เซรามิก ตะกั่วเซอร์โคเนตไททาเนตที่มีค่าคงที่เพียโซอิเล็กทริกประมาณ 5 นาโนเมตรต่อโวลต์ ปลายหัววัดติดตั้งอยู่ที่กึ่งกลางของท่อ เนื่องจากมีการรบกวนระหว่างอิเล็กโทรดและความไม่เป็นเชิงเส้นโดยธรรมชาติ การเคลื่อนที่จึงได้รับการปรับเทียบและใช้แรงดันไฟฟ้าที่จำเป็นสำหรับ การเคลื่อนที่ในแกน x , yและz อย่างอิสระ ตามตารางการปรับเทียบ^{[ 5 ]}

เนื่องจากกระแสอุโมงค์มีความไวต่อการแยกตัวของอิเล็กโทรดอย่างมาก การแยกการสั่นสะเทือนที่เหมาะสมหรือตัวเครื่อง STM ที่แข็งแรงจึงเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการได้ผลลัพธ์ที่ใช้งานได้ ใน STM เครื่องแรกของ Binnig และ Rohrer ได้ใช้ การลอยตัวด้วยแม่เหล็กเพื่อป้องกันไม่ให้ STM สั่นสะเทือน ปัจจุบันมักใช้ระบบ สปริงเชิงกลหรือ สปริงแก๊ส^{[ 5 ]}นอกจากนี้ บางครั้งยังมีการนำกลไกการลดการสั่นสะเทือนโดยใช้กระแสไหลวนมาใช้ กล้องจุลทรรศน์ที่ออกแบบมาสำหรับการสแกนระยะยาวในสเปกโทรสโกปีแบบสแกนอุโมงค์ต้องการความเสถียรอย่างมากและสร้างขึ้นในห้องเก็บเสียงซึ่งเป็นห้องคอนกรีตเฉพาะที่มีการแยกเสียงและแม่เหล็กไฟฟ้า และลอยอยู่บนอุปกรณ์แยกการสั่นสะเทือนภายในห้องปฏิบัติการ

การรักษาตำแหน่งปลายหัววัดให้สัมพันธ์กับตัวอย่าง การสแกนตัวอย่าง และการเก็บข้อมูลนั้นถูกควบคุมด้วยคอมพิวเตอร์ซอฟต์แวร์เฉพาะสำหรับกล้องจุลทรรศน์แบบสแกนโพ รบ ใช้สำหรับการประมวลผลภาพรวมถึงการวัดเชิงปริมาณด้วย^{[ 10 ]}

กล้องจุลทรรศน์แบบสแกนอุโมงค์บางชนิดสามารถบันทึกภาพได้ในอัตราเฟรมสูง^{[ 11 ] [ 12 ]}วิดีโอที่สร้างจากภาพดังกล่าวสามารถแสดงการแพร่กระจาย บนพื้นผิว ^{[ 13 ]}หรือติดตามการดูดซับและปฏิกิริยาบนพื้นผิว ในกล้องจุลทรรศน์อัตราวิดีโอ สามารถทำอัตราเฟรมได้ถึง 80 Hz โดยมีระบบป้อนกลับที่ทำงานได้อย่างสมบูรณ์ซึ่งปรับความสูงของปลายหัววัด^{[ 14 ]}

การทะลุผ่านควอนตัมของอิเล็กตรอนเป็นแนวคิดการทำงานของ STM ที่เกิดขึ้นจากกลศาสตร์ควอนตัมในทางคลาสสิก อนุภาคที่ชนกับสิ่งกีดขวางที่ไม่สามารถทะลุผ่านได้จะไม่สามารถผ่านไปได้ หากสิ่งกีดขวางนั้นถูกอธิบายด้วยศักยภาพที่กระทำไปตาม ทิศทาง zซึ่งอิเล็กตรอนที่มีมวลm _e จะ ได้รับพลังงานศักยภาพU ( z ) วิถีการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนจะเป็นแบบกำหนดได้ และผลรวมEของพลังงานจลน์และพลังงานศักยภาพของมันจะคงที่ตลอดเวลา:

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m_{\text{e}}}}+U(z)}$

อิเล็กตรอนจะมีโมเมนตัมp ที่กำหนดไว้และไม่เป็นศูนย์ เฉพาะในบริเวณที่พลังงานเริ่มต้นEมากกว่าU ( z ) เท่านั้น อย่างไรก็ตาม ในฟิสิกส์ควอนตัม อิเล็กตรอนสามารถผ่านบริเวณที่ถูกห้ามในทางคลาสสิกได้ ซึ่งเรียกว่าการทะลุผ่าน^{[ 5 ]}

แบบจำลองที่ง่ายที่สุดของการทะลุผ่านระหว่างตัวอย่างและปลายของกล้องจุลทรรศน์แบบสแกนอุโมงค์คือแบบจำลองของ กำแพง ศักย์รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า^{[ 15 ] [ 5 ]}อิเล็กตรอนที่มีพลังงานEตกกระทบกำแพงพลังงานที่มีความสูงUในบริเวณของพื้นที่ที่มีความกว้างwพฤติกรรมของอิเล็กตรอนเมื่อมีศักย์U ( z ) โดยสมมติกรณีหนึ่งมิติ จะถูกอธิบายโดยฟังก์ชันคลื่น ที่สอดคล้องกับสมการชโรดิงเกอร์${\displaystyle \psi (z)}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}{\frac {\บางส่วน ^{2}\psi (z)}{\บางส่วน z^{2}}}+U(z)\,\psi (z)=E\,\psi (z),}$

โดยที่ħคือค่าคงที่ของพลังค์แบบลดทอน z คือตำแหน่ง และmeคือมวลของอิเล็กตรอน_ในบริเวณศักย์เป็นศูนย์ที่ด้านทั้งสองของกำแพงกั้น ฟังก์ชันคลื่นจะมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle \psi _{L}(z)=e^{ikz}+r\,e^{-ikz}}$สำหรับz < 0,

${\displaystyle \psi _{R}(z)=t\,e^{ikz}}$สำหรับz > w ,

โดยที่. ภายในกำแพงกั้น ซึ่งE < Uฟังก์ชันคลื่นจะเป็นผลรวมของสองเทอม โดยแต่ละเทอมจะสลายตัวจากด้านหนึ่งของกำแพงกั้น: ${\displaystyle k={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}E}}}$

${\displaystyle \psi _{B}(z)=\xi e^{-\kappa z}+\zeta e^{\kappa z}}$สำหรับ 0 < z < w ,

ที่ไหน. ${\displaystyle \kappa ={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}(UE)}}}$

สัมประสิทธิ์rและtเป็นตัววัดว่าคลื่นอิเล็กตรอนที่ตกกระทบนั้นสะท้อนหรือส่งผ่านสิ่งกีดขวางไปมากน้อยเพียงใด กล่าวคือ มีเพียงกระแสของอนุภาคที่ตกกระทบเพียงบางส่วนเท่านั้นที่ส่งผ่านได้ ดังที่เห็นได้จากนิพจน์ กระแสความน่าจะเป็น${\displaystyle j_{i}=\hbar k/m_{\text{e}}}$${\displaystyle j_{t}=|t|^{2}\,j_{i}}$

${\displaystyle j_{t}=-i{\frac {\hbar }{2m_{\text{e}}}}\left\{\psi _{R}^{*}{\frac {\partial }{\partial z}}\psi _{R}-\psi _{R}{\frac {\partial }{\partial z}}\psi _{R}^{*}\right\},}$

ซึ่งประเมินค่าได้เป็น. สัมประสิทธิ์การส่งผ่านได้มาจากเงื่อนไขความต่อเนื่องของฟังก์ชันคลื่นทั้งสามส่วนและอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้นที่z = 0 และz = w (การคำนวณโดยละเอียดอยู่ในบทความกำแพงศักย์สี่เหลี่ยมผืนผ้า ) ซึ่งจะได้โดยที่. นิพจน์นี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อีกดังนี้: ${\displaystyle j_{t}={\tfrac {\hbar k}{m_{\text{e}}}}\vert t\vert ^{2}}$${\displaystyle |t|^{2}={\big [}1+{\tfrac {1}{4}}\varepsilon ^{-1}(1-\varepsilon )^{-1}\sinh ^{2}\kappa w{\big ]}^{-1},}$${\displaystyle \varepsilon =E/U}$

ในการทดลอง STM ความสูงของกำแพงกั้นโดยทั่วไปจะมีค่าประมาณฟังก์ชันงาน พื้นผิว W ของวัสดุ ซึ่งสำหรับโลหะส่วนใหญ่จะมีค่าอยู่ระหว่าง 4 ถึง 6 eV ^{[ 15 ]}ฟังก์ชันงานคือพลังงานขั้นต่ำที่จำเป็นในการนำอิเล็กตรอนจากระดับที่ถูกครอบครอง ซึ่งระดับสูงสุดคือระดับเฟอร์มิ (สำหรับโลหะที่T = 0 K) ไปยังระดับสุญญากาศอิเล็กตรอนสามารถทะลุผ่านระหว่างโลหะสองชนิดได้เฉพาะจากสถานะที่ถูกครอบครองด้านหนึ่งไปยังสถานะที่ว่างอยู่ของอีกด้านหนึ่งของกำแพงกั้นเท่านั้น หากไม่มีไบแอส พลังงานเฟอร์มิจะเท่ากัน และจะไม่มีการทะลุผ่าน ไบแอสจะทำให้พลังงานอิเล็กตรอนในอิเล็กโทรดตัวหนึ่งสูงขึ้น และอิเล็กตรอนที่ไม่มีคู่ที่พลังงานเดียวกันในอีกด้านหนึ่งจะทะลุผ่าน ในการทดลอง จะใช้แรงดันไบแอสเพียงเศษส่วนของ 1 V ดังนั้น จึงมีค่าประมาณ 10 ถึง 12 nm ⁻¹ในขณะที่wมีค่าเพียงไม่กี่ส่วนสิบของนาโนเมตร กำแพงกั้นจะลดทอนลงอย่างมาก นิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นของการส่งผ่านจะลดลงเหลือกระแสอุโมงค์จากระดับเดียวจึงเป็น^{[ 15 ]}${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle |t|^{2}=16\,\varepsilon (1-\varepsilon )\,e^{-2\kappa w}.}$

${\displaystyle j_{t}=\left[{\frac {4k\kappa }{k^{2}+\kappa ^{2}}}\right]^{2}\,{\frac {\hbar k}{m_{\text{e}}}}\,e^{-2\kappa w},}$

โดยที่เวกเตอร์คลื่นทั้งสอง ขึ้นอยู่กับพลังงานระดับEและ${\displaystyle k={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}E}},}$${\displaystyle \kappa ={\tfrac {1}{\hbar }}{\sqrt {2m_{\text{e}}(UE)}}}.}$

กระแสอุโมงค์ขึ้นอยู่กับระยะห่างระหว่างตัวอย่างและปลายในลักษณะเลขชี้กำลัง โดยทั่วไปจะลดลงหนึ่งอันดับเมื่อระยะห่างเพิ่มขึ้น 1 Å (0.1 nm) ^{[ 5 ]}ด้วยเหตุนี้ แม้ว่าการอุโมงค์จะเกิดขึ้นจากปลายที่ไม่คมอย่างสมบูรณ์แบบ แต่ส่วนประกอบหลักของกระแสจะมาจากอะตอมหรือวงโคจรที่ยื่นออกมามากที่สุด^{[ 15 ]}

เนื่องจากข้อจำกัดที่ว่าการทะลุผ่านจากระดับพลังงานที่ถูกครอบครองด้านหนึ่งของสิ่งกีดขวางนั้นต้องการระดับพลังงานว่างที่มีพลังงานเดียวกันอีกด้านหนึ่งของสิ่งกีดขวาง การทะลุผ่านจึงเกิดขึ้นส่วนใหญ่กับอิเล็กตรอนที่อยู่ใกล้ระดับเฟอร์มิ กระแสการทะลุผ่านสามารถสัมพันธ์กับความหนาแน่นของสถานะที่พร้อมใช้งานหรือเต็มในตัวอย่าง กระแสเนื่องจากแรงดันไฟฟ้าที่ใช้V (สมมติว่าการทะลุผ่านเกิดขึ้นจากตัวอย่างไปยังปลาย) ขึ้นอยู่กับสองปัจจัย: 1) จำนวนอิเล็กตรอนระหว่างระดับเฟอร์มิE _FและE _F  −  eVในตัวอย่าง และ 2) จำนวนอิเล็กตรอนที่มีสถานะว่างที่สอดคล้องกันเพื่อทะลุผ่านไปยังอีกด้านหนึ่งของสิ่งกีดขวางที่ปลาย^{[ 5 ]}ยิ่งความหนาแน่นของสถานะที่พร้อมใช้งานในบริเวณการทะลุผ่านสูงเท่าใด กระแสการทะลุผ่านก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ตามธรรมเนียมแล้วV ที่เป็นบวก หมายความว่าอิเล็กตรอนที่ปลายทะลุผ่านไปยังสถานะว่างในตัวอย่าง สำหรับไบแอสที่เป็นลบ อิเล็กตรอนจะทะลุผ่านออกจากสถานะที่ถูกครอบครองในตัวอย่างไปยังปลาย^{[ 5 ]}

สำหรับอคติเล็กน้อยและอุณหภูมิใกล้ศูนย์สัมบูรณ์ จำนวนอิเล็กตรอนในปริมาตรที่กำหนด (ความเข้มข้นของอิเล็กตรอน) ที่พร้อมสำหรับการทะลุผ่านคือผลคูณของความหนาแน่นของสถานะอิเล็กตรอนρ ( E _F ) และช่วงพลังงานระหว่างระดับเฟอร์มิสองระดับeV ^{[ 5} ] ครึ่งหนึ่งของอิเล็กตรอนเหล่านี้จะเคลื่อนที่ออกไปจากสิ่งกีดขวาง อีกครึ่งหนึ่งจะแสดงถึงกระแสไฟฟ้า ที่กระทบกับสิ่งกีดขวาง ซึ่งกำหนดโดยผลคูณของความ ^{เข้มข้น}ของอิเล็กตรอน ประจุ และความเร็วv ( I _i  =  nev ) ^{[ 5 ]}

${\displaystyle I_{i}={\tfrac {1}{2}}e^{2}v\,\rho (E_{\text{F}})\,V.}$

กระแสไฟฟ้าที่ทะลุผ่านจะมีสัดส่วนเล็กน้อยเมื่อเทียบกับกระแสไฟฟ้าที่กระทบ สัดส่วนนี้ถูกกำหนดโดยความน่าจะเป็นในการส่งผ่าน^T [ 5 ^{] ดังนั้น} \

${\displaystyle I_{t}={\tfrac {1}{2}}e^{2}v\,\rho (E_{\text{F}})\,V\,T.}$

ในแบบจำลองที่ง่ายที่สุดของกำแพงศักย์รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ค่าสัมประสิทธิ์ความน่าจะเป็นในการส่งผ่านT เท่ากับ | t | ²

แบบจำลองที่อิงตามฟังก์ชันคลื่นที่สมจริงยิ่งขึ้นสำหรับอิเล็กโทรดทั้งสองได้รับการคิดค้นโดยJohn Bardeenในการศึกษาจุดเชื่อมต่อโลหะ-ฉนวน-โลหะ^{[ 16 ]}แบบจำลองของเขาใช้ชุดฟังก์ชันคลื่นตั้งฉากสองชุดแยกกันสำหรับอิเล็กโทรดทั้งสองและตรวจสอบวิวัฒนาการตามเวลาเมื่อระบบอยู่ใกล้กัน^{[ 5 ] [ 15 ]}วิธีการใหม่ของ Bardeen ซึ่งชาญฉลาดในตัวเอง^{[ 5 ]}แก้ปัญหาการรบกวนที่ขึ้นอยู่กับเวลาซึ่งการรบกวนเกิดขึ้นจากปฏิสัมพันธ์ของระบบย่อยทั้งสองแทนที่จะเป็นศักยภาพภายนอกของทฤษฎีการรบกวน Rayleigh–Schrödingerมาตรฐาน

ฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนแต่ละตัวในตัวอย่าง (S) และปลายหัววัด (T) จะสลายตัวไปในสุญญากาศหลังจากกระทบกับกำแพงศักย์บนพื้นผิว ซึ่งมีขนาดโดยประมาณเท่ากับฟังก์ชันงานของพื้นผิว ฟังก์ชันคลื่นเหล่านี้เป็นคำตอบของสมการชโรดิงเจอร์สองสมการแยกกันสำหรับอิเล็กตรอนในศักย์U _SและU _Tเมื่อแยกตัวแปรที่ขึ้นอยู่กับเวลาของสถานะที่มีพลังงานที่ทราบค่าออกไปแล้ว ฟังก์ชันคลื่นจะมีรูปแบบทั่วไปดังต่อไป นี้${\displaystyle E_{\mu }^{\text{S}}}$${\displaystyle E_{\nu }^{\text{T}}}$

${\displaystyle \psi _{\mu }^{\text{S}}(t)=\psi _{\mu }^{\text{S}}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}E_{\mu }^{\text{S}}t\right),}$

${\displaystyle \psi _{\nu }^{\text{T}}(t)=\psi _{\nu }^{\text{T}}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}E_{\nu }^{\text{T}}t\right).}$

หากระบบทั้งสองอยู่ใกล้กันมากขึ้น แต่ยังคงแยกจากกันด้วยบริเวณสุญญากาศบาง ๆ ศักยภาพที่กระทำต่ออิเล็กตรอนในระบบรวมคือU _T + U _Sโดยที่ศักยภาพแต่ละอย่างถูกจำกัดในเชิงพื้นที่เฉพาะด้านของสิ่งกีดขวางเท่านั้น เนื่องจากส่วนหางของฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กโทรดหนึ่งอยู่ในช่วงศักยภาพของอีกอิเล็กโทรดหนึ่ง จึงมีความน่าจะเป็นจำกัดที่สถานะใด ๆ จะวิวัฒนาการไปเป็นสถานะของอิเล็กโทรดอีกอิเล็กโทรดหนึ่งเมื่อเวลาผ่านไป^{[ 5 ]}อนาคตของสถานะμ ของตัวอย่าง สามารถเขียนได้เป็นการรวมเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์ที่ขึ้นอยู่กับเวลาของและทั้งหมด: ${\displaystyle \psi _{\mu }^{\text{S}}(t)}$${\displaystyle \psi _{\nu }^{\text{T}}(t)}$

${\displaystyle \psi (t)=\psi _{\mu }^{\text{S}}(t)+\sum _{\nu }c_{\nu }(t)\psi _{\nu }^{\text{T}}(t)}$

โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้น[ ^{5 ] เมื่อ}ฟังก์ชันคลื่นใหม่ถูกแทรกเข้าไปในสมการชโรดิงเกอร์สำหรับศักยภาพU _T + U _Sสมการที่ได้จะถูกฉายไปยังแต่ละส่วนที่แยกจากกัน(นั่นคือ สมการจะถูกคูณด้วย a และรวมเข้าด้วยกันตลอดปริมาตรทั้งหมด) เพื่อแยกสัมประสิทธิ์ ทั้งหมดออกมา สัมประสิทธิ์ ทั้งหมดถือว่าเกือบตั้งฉากกับทั้งหมด(การทับซ้อนของพวกมันเป็นเศษส่วนเล็กน้อยของฟังก์ชันคลื่นทั้งหมด) และเก็บเฉพาะปริมาณอันดับแรกไว้เท่านั้น ดังนั้น วิวัฒนาการของสัมประสิทธิ์ตามเวลาจึงกำหนดโดย ${\displaystyle c_{\nu }(0)=0}$${\displaystyle \psi _{\nu }^{\text{T}}}$${\displaystyle {\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}}$${\displaystyle c_{\nu }.}$${\displaystyle \psi _{\mu }^{\text{S}}}$${\displaystyle \psi _{\nu }^{\text{T}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}c_{\nu }(t)=-{\frac {i}{\hbar }}\int \psi _{\mu }^{\text{S}}\,U_{\text{T}}\,{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}(E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}})t\right].}$

เนื่องจากศักยภาพU _Tเป็นศูนย์ที่ระยะห่างไม่กี่เท่าของเส้นผ่านศูนย์กลางอะตอมจากพื้นผิวของอิเล็กโทรด การอินทิเกรตเหนือz ​​จึงสามารถทำได้จากจุดz ₀ที่อยู่ภายในกำแพงกั้นและเข้าไปในปริมาตรของปลายอิเล็กโทรด ( z  >  z ₀ )

หากกำหนดองค์ประกอบเมทริกซ์อุโมงค์เป็นดังนี้

${\displaystyle M_{\mu \nu }=\int _{z>z_{0}}\psi _{\mu }^{\text{S}}\,U_{\text{T}}\,{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z,}$

ความน่าจะเป็นที่สถานะ μของตัวอย่าง จะเปลี่ยนแปลง ไปเป็นสถานะν ของปลายเข็ม ตามเวลาtคือ

${\displaystyle |c_{\nu }(t)|^{2}=|M_{\mu \nu }|^{2}{\frac {4\sin ^{2}{\big [}{\tfrac {1}{2\hbar }}(E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}})t{\big ]}}{(E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}})^{2}}}.}$

ในระบบที่มีอิเล็กตรอนจำนวนมากกระทบกับสิ่งกีดขวาง ความน่าจะเป็นนี้จะให้สัดส่วนของอิเล็กตรอนที่ทะลุผ่านได้สำเร็จ หากในเวลาtเศษส่วนนี้คือในเวลาต่อมาt  + dt เศษส่วนทั้งหมดของอิเล็กตรอนที่ทะลุผ่านก็จะเป็นกระแสของอิเล็กตรอนที่ทะลุผ่านในแต่ละช่วงเวลาจึงเป็นสัดส่วนกับหารด้วย ซึ่งเป็นอนุพันธ์เทียบกับเวลาของ^{[ 15 ]}${\displaystyle |c_{\nu }(t)|^{2},}$${\displaystyle |c_{\nu }(t+\mathrm {d} t)|^{2}}$${\displaystyle |c_{\nu }(t+\mathrm {d} t)|^{2}-|c_{\nu }(t)|^{2}}$${\displaystyle \mathrm {d} t,}$${\displaystyle |c_{\nu }(t)|^{2},}$

${\displaystyle \Gamma _{\mu \to \nu }\ {\overset {\text{def}}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}|c_{\nu }(t)|^{2}={\frac {2\pi }{\hbar }}|M_{\mu \nu }|^{2}{\frac {\sin {\big [}(E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}}){\tfrac {t}{\hbar }}{\big ]}}{\pi (E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}})}}.}$

ช่วงเวลาของการวัดใน STM นั้นใหญ่กว่า ช่วงเวลา เฟมโตวินาที ทั่วไป ของกระบวนการอิเล็กตรอนในวัสดุหลายลำดับ และมีขนาดใหญ่ ส่วนที่เป็นเศษส่วนของสูตรเป็นฟังก์ชันที่แกว่งอย่างรวดเร็วซึ่งลดลงอย่างรวดเร็วเมื่อห่างจากจุดสูงสุดตรงกลางโดยที่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง กระบวนการอุโมงค์ที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุดคือกระบวนการยืดหยุ่น ซึ่งพลังงานของอิเล็กตรอนจะถูกอนุรักษ์ไว้ เศษส่วนดังที่เขียนไว้ข้างต้นเป็นการแสดงถึงฟังก์ชันเดลต้าดังนั้น ${\displaystyle t/\hbar }$${\displaystyle (E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}})}$${\displaystyle E_{\mu }^{\text{S}}=E_{\nu }^{\text{T}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\mu \to \nu }={\frac {2\pi }{\hbar }}|M_{\mu \nu }|^{2}\delta (E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}}).}$

ระบบของแข็งมักถูกอธิบายในแง่ของระดับพลังงานต่อเนื่องมากกว่าระดับพลังงานที่ไม่ต่อเนื่อง คำนี้สามารถคิดได้ว่าเป็นความหนาแน่นของสถานะของปลายที่ระดับพลังงานที่กำหนด ${\displaystyle \delta (E_{\mu }^{\text{S}}-E_{\nu }^{\text{T}})}$${\displaystyle E_{\mu }^{\text{S}},}$

${\displaystyle \Gamma _{\mu \to \nu }={\frac {2\pi }{\hbar }}|M_{\mu \nu }|^{2}\rho _{\text{T}}(E_{\mu }^{\text{S}}).}$

จำนวนระดับพลังงานในตัวอย่างระหว่างพลังงานและคือเมื่อถูกครอบครอง ระดับเหล่านี้จะมีสปินเสื่อมสภาพ (ยกเว้นในวัสดุพิเศษบางประเภท) และมีประจุของสปินใดสปินหนึ่ง เมื่อตัวอย่างได้รับแรงดันไบแอสการทะลุผ่านจะเกิดขึ้นได้เฉพาะระหว่างสถานะที่มีการครอบครองไม่เท่ากัน ซึ่งกำหนดสำหรับแต่ละอิเล็กโทรดโดยการกระจายแบบเฟอร์มิ-ดิแรกนั่นคือ เมื่อสถานะใดสถานะหนึ่งถูกครอบครอง แต่ไม่ใช่ทั้งสองสถานะ นั่นจะเป็นสำหรับพลังงานทั้งหมดที่ไม่เป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น อิเล็กตรอนจะทะลุผ่านจากระดับพลังงานในตัวอย่างไปยังระดับพลังงานในปลาย ( ) อิเล็กตรอนที่ในตัวอย่างจะพบสถานะว่างในปลายที่( ) และจะเป็นเช่นเดียวกันสำหรับพลังงานทั้งหมดที่อยู่ระหว่างนั้น ดังนั้นกระแสการทะลุผ่านจึงเป็นผลรวมของส่วนประกอบเล็กๆ น้อยๆ เหนือพลังงานทั้งหมดเหล่านี้ของผลคูณของปัจจัยสามประการ ได้แก่แสดงถึงอิเล็กตรอนที่มีอยู่สำหรับอิเล็กตรอนที่ได้รับอนุญาตให้ทะลุผ่าน และปัจจัยความน่าจะเป็นสำหรับอิเล็กตรอนที่จะทะลุผ่านจริง ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon +\mathrm {d} \varepsilon }$${\displaystyle \rho _{\text{S}}(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon .}$${\displaystyle 2e\cdot \rho _{\text{S}}(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon }$${\displaystyle V,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle f(E_{\text{F}}-eV+\varepsilon )-f(E_{\text{F}}+\varepsilon )}$${\displaystyle E_{\text{F}}-eV}$${\displaystyle E_{\text{F}}}$${\displaystyle \varepsilon =0}$${\displaystyle E_{\text{F}}}$${\displaystyle E_{\text{F}}+eV}$${\displaystyle \varepsilon =eV}$${\displaystyle 2e\cdot \rho _{\text{S}}(E_{\text{F}}-eV+\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon }$${\displaystyle f(E_{\text{F}}-eV+\varepsilon )-f(E_{\text{F}}+\varepsilon )}$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle I_{t}={\frac {4\pi e}{\hbar }}\int _{-\infty }^{+\infty }[f(E_{\text{F}}-eV+\varepsilon )-f(E_{\text{F}}+\varepsilon )]\,\rho _{\text{S}}(E_{\text{F}}-eV+\varepsilon )\,\rho _{\text{T}}(E_{\text{F}}+\varepsilon )\,|M|^{2}\,d\varepsilon .}$

โดยทั่วไป การทดลองจะดำเนินการที่อุณหภูมิฮีเลียมเหลว (ประมาณ 4 K) ซึ่งระดับเฟอร์มิของประชากรอิเล็กตรอนมีความกว้างน้อยกว่า 1 มิลลิอิเล็กตรอนโวลต์ พลังงานที่อนุญาตจะมีเฉพาะพลังงานระหว่างระดับเฟอร์มิแบบขั้นบันไดสองระดับเท่านั้น และปริมาณอินทิกรัลจะกลายเป็น

${\displaystyle I_{t}={\frac {4\pi e}{\hbar }}\int _{0}^{eV}\rho _{\text{S}}(E_{\text{F}}-eV+\varepsilon )\,\rho _{\text{T}}(E_{\text{F}}+\varepsilon )\,|M|^{2}\,d\varepsilon .}$

เมื่อค่าไบแอสมีขนาดเล็ก ก็สามารถสันนิษฐานได้อย่างสมเหตุสมผลว่าฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอน และด้วยเหตุนี้ องค์ประกอบเมทริกซ์การอุโมงค์ จึงไม่เปลี่ยนแปลงอย่างมีนัยสำคัญในช่วงพลังงานแคบๆ ในกรณีนี้ กระแสอุโมงค์จึงเป็นเพียงผลรวมของความหนาแน่นสถานะของพื้นผิวตัวอย่างและปลายหัววัด:

${\displaystyle I_{t}\propto \int _{0}^{eV}\rho _{\text{S}}(E_{\text{F}}-eV+\varepsilon )\,\rho _{\text{T}}(E_{\text{F}}+\varepsilon )\,d\varepsilon .}$

ความสัมพันธ์ระหว่างกระแสอุโมงค์กับระยะห่างระหว่างอิเล็กโทรดทั้งสองนั้น ปรากฏอยู่ในองค์ประกอบเมทริกซ์อุโมงค์

${\displaystyle M_{\mu \nu }=\int _{z>z_{0}}\psi _{\mu }^{\text{S}}\,U_{\text{T}}\,{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.}$

สูตรนี้สามารถแปลงได้เพื่อให้ไม่มีการพึ่งพาศักยภาพอย่างชัดเจนอีกต่อไป ขั้นแรกนำส่วนนั้นออกจากสมการชโรดิงเกอร์สำหรับปลาย และใช้เงื่อนไขการอุโมงค์แบบยืดหยุ่นเพื่อให้ ${\displaystyle U_{\text{T}}\,{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}}$

${\displaystyle M_{\mu \nu }=\int _{z>z_{0}}\left({\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}E_{\mu }\psi _{\mu }^{\text{S}}+\psi _{\mu }^{\text{S}}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.}$

ตอนนี้ปรากฏอยู่ในสมการชโรดิงเกอร์สำหรับตัวอย่างและเท่ากับพลังงานจลน์บวกกับตัวดำเนินการศักย์ที่กระทำต่ออย่างไรก็ตาม ส่วนของศักย์ที่มีU _Sอยู่ที่ด้านปลายของสิ่งกีดขวางเกือบเป็นศูนย์ สิ่งที่เหลืออยู่คือ ${\displaystyle E_{\mu }\,{\psi _{\mu }^{\text{S}}}}$${\displaystyle \psi _{\mu }^{\text{S}}.}$

${\displaystyle M_{\mu \nu }=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{z>z_{0}}\left({\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}{\psi _{\mu }^{\text{S}}}-{\psi _{\mu }^{\text{S}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z,}$

สามารถอินทิเกรตเทียบกับz ได้ เนื่องจากตัวอินทิกรัลในวงเล็บเท่ากับ${\displaystyle \partial _{z}\left({\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}\,\partial _{z}\psi _{\mu }^{\text{S}}-{\psi _{\mu }^{\text{S}}}\,\partial _{z}{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}\right).}$

องค์ประกอบเมทริกซ์การอุโมงค์ของ Bardeen คือปริพันธ์ของฟังก์ชันคลื่นและเกรเดียนต์ของฟังก์ชันเหล่านั้นบนพื้นผิวที่คั่นระหว่างอิเล็กโทรดระนาบทั้งสอง:

${\displaystyle M_{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{z=z_{0}}\left({\psi _{\mu }^{\text{S}}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}-{\psi _{\nu }^{\text{T}}}^{*}{\frac {\partial }{\partial z}}{\psi _{\mu }^{\text{S}}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y.}$

การพึ่งพาแบบเลขชี้กำลังของกระแสอุโมงค์ต่อระยะห่างระหว่างอิเล็กโทรดนั้น มาจากฟังก์ชันคลื่นที่รั่วไหลผ่านขั้นศักย์ที่พื้นผิว และแสดงการลดลงแบบเลขชี้กำลังไปยังบริเวณที่ถูกห้ามในทางคลาสสิกภายนอกวัสดุ

องค์ประกอบเมทริกซ์การอุโมงค์แสดงให้เห็นถึงการพึ่งพาพลังงานอย่างเห็นได้ชัด ซึ่งทำให้การอุโมงค์จากปลายด้านบนของ ช่วง eVมีโอกาสเกิดขึ้นมากกว่าการอุโมงค์จากสถานะที่ด้านล่างเกือบหนึ่งอันดับ เมื่อตัวอย่างได้รับไบแอสเป็นบวก ระดับที่ว่างอยู่จะถูกตรวจสอบราวกับว่าความหนาแน่นของสถานะของปลายหัววัดกระจุกตัวอยู่ที่ระดับเฟอร์มิ ในทางกลับกัน เมื่อตัวอย่างได้รับไบแอสเป็นลบ สถานะอิเล็กตรอนที่ถูกครอบครองจะถูกตรวจสอบ แต่สเปกตรัมของสถานะอิเล็กตรอนของปลายหัววัดจะเด่นกว่า ในกรณีนี้ สิ่งสำคัญคือความหนาแน่นของสถานะของปลายหัววัดจะต้องแบนราบที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้^{[ 5 ]}

ผลลัพธ์ที่เหมือนกับของ Bardeen สามารถได้รับโดยการพิจารณาแนวทางอะเดียแบติกของอิเล็กโทรดทั้งสองและใช้ทฤษฎีการรบกวนแบบขึ้นอยู่กับเวลามาตรฐาน^{[ 15 ]}ซึ่งนำไปสู่กฎทองของ Fermiสำหรับความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนผ่านในรูปแบบที่กำหนดข้างต้น ${\displaystyle \Gamma _{\mu \to \nu }}$

แบบจำลองของ Bardeen ใช้สำหรับการทะลุผ่านระหว่างอิเล็กโทรดระนาบสองตัวและไม่สามารถอธิบายความละเอียดด้านข้างของกล้องจุลทรรศน์แบบสแกนอุโมงค์ได้ Tersoff และ Hamann ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}ใช้ทฤษฎีของ Bardeen และจำลองปลายเป็นจุดเรขาคณิตที่ไม่มีโครงสร้าง^{[ 5 ]}ซึ่งช่วยให้พวกเขาสามารถแยกคุณสมบัติของปลาย—ซึ่งยากต่อการสร้างแบบจำลอง—ออกจากคุณสมบัติของพื้นผิวตัวอย่าง ผลลัพธ์หลักคือกระแสการทะลุผ่านเป็นสัดส่วนกับความหนาแน่นของสถานะเฉพาะที่ของตัวอย่างที่ระดับ Fermi ซึ่งพิจารณาที่ตำแหน่งของศูนย์กลางความโค้งของปลายที่มีสมมาตรทรงกลม ( แบบจำลองปลายคลื่น s ) ด้วยการทำให้ง่ายขึ้นเช่นนี้ แบบจำลองของพวกเขาพิสูจน์แล้วว่ามีคุณค่าสำหรับการตีความภาพของคุณลักษณะพื้นผิวที่ใหญ่กว่านาโนเมตร แม้ว่าจะทำนายความขรุขระระดับอะตอมที่น้อยกว่าพิโคเมตรก็ตาม ซึ่งต่ำกว่าขีดจำกัดการตรวจจับของกล้องจุลทรรศน์และต่ำกว่าค่าที่สังเกตได้จริงในการทดลอง

ในการทดลองที่มีความละเอียดระดับต่ำกว่านาโนเมตร การซ้อนทับกันของสถานะปลายหัววัดและพื้นผิวตัวอย่างจะมีความสำคัญเสมอ จนถึงขั้นอาจทำให้เกิดการกลับด้านของความขรุขระของอะตอมที่สังเกตได้ภายในการสแกนเดียวกัน ผลกระทบดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยการสร้างแบบจำลองสถานะอิเล็กตรอนของพื้นผิวและปลายหัววัด รวมถึงวิธีการที่อิเล็กโทรดทั้งสองมีปฏิสัมพันธ์กันจากหลักการ พื้นฐานเท่านั้น

• 
  เกาะเงินที่มีความหนาเพียงอะตอมเดียวเติบโตบนระเบียงของพื้นผิว (111) ของแพลเลเดียม ขนาดภาพ 250 นาโนเมตร x 250 นาโนเมตร
• 
  แถบการสร้างใหม่ลักษณะเฉพาะบนพื้นผิว (100) ของทองคำมี  ความกว้าง 1.44 นาโนเมตร^{[ 20 ]}และประกอบด้วยแถวอะตอมหกแถวที่วางอยู่บนแถวห้าแถวของผลึกขนาดใหญ่ ขนาดภาพประมาณ 10 นาโนเมตรคูณ 10 นาโนเมตร
• 
  ส่วนหนึ่งของ ท่อนาโนคาร์บอน ผนังเดี่ยว ที่มีความยาว 7 นาโนเมตร
• 
  อะตอมบนพื้นผิวของผลึกซิลิคอนคาร์ไบด์ (SiC) เรียงตัวกันเป็นโครงสร้างตาข่ายหกเหลี่ยมและมีระยะห่างกัน 0.3 นาโนเมตร
• 
  การใช้กล้องจุลทรรศน์แรงอะตอมแบบสแกนด้วยแรงอะตอม (STM) ในการดัดแปลงโมเลกุล PTCDA บนกราไฟต์เพื่อสลักโลโก้ของศูนย์นาโนวิทยา (CeNS) เมืองมิวนิก

สิ่งประดิษฐ์ก่อนหน้านี้ที่คล้ายกับของ Binnig และ Rohrer คือTopografinerของ R. Young, J. Ward และ F. Scire จากNISTซึ่งอาศัยการปล่อยสนาม^{[ 21 ]}อย่างไรก็ตาม คณะกรรมการโนเบลยกย่อง Young ว่าเป็นบุคคลที่ตระหนักว่าน่าจะสามารถบรรลุความละเอียดที่ดีขึ้นได้โดยใช้ผลของอุโมงค์^{[ 22 ]}

เทคนิคกล้องจุลทรรศน์อื่นๆ อีกมากมายได้รับการพัฒนาขึ้นโดยอาศัย STM ซึ่งรวมถึงกล้องจุลทรรศน์แบบสแกนโฟตอน (PSTM) ซึ่งใช้ปลายแสงในการส่งผ่านโฟตอน^{[ 4 ]}การวัดศักย์ไฟฟ้าแบบสแกนอุโมงค์ (STP) ซึ่งวัดศักย์ไฟฟ้าทั่วพื้นผิว^{[ 4 ]}กล้องจุลทรรศน์แบบสแกนอุโมงค์แบบโพลาไรซ์สปิน (SPSTM) ซึ่งใช้ ปลาย เฟอร์โร แมกเนติก ในการส่งผ่านอิเล็กตรอนแบบโพลาไรซ์สปินเข้าไปในตัวอย่างแม่เหล็ก^{[ 23 ]}กล้องจุลทรรศน์แบบสแกนอุโมงค์หลายปลายซึ่งช่วยให้สามารถทำการวัดทางไฟฟ้าในระดับนาโนได้ และกล้องจุลทรรศน์แรงอะตอม (AFM) ซึ่ง วัด แรงที่เกิดจากปฏิสัมพันธ์ระหว่างปลายและตัวอย่าง

STM สามารถใช้ในการจัดการอะตอมและเปลี่ยนแปลงลักษณะพื้นผิวของตัวอย่างได้ สิ่งนี้น่าสนใจด้วยเหตุผลหลายประการ ประการแรก STM มีระบบกำหนดตำแหน่งที่แม่นยำระดับอะตอม ซึ่งช่วยให้สามารถจัดการในระดับอะตอมได้อย่างแม่นยำมาก ยิ่งไปกว่านั้น หลังจากที่พื้นผิวถูกปรับเปลี่ยนโดยปลายหัววัดแล้ว เครื่องมือเดียวกันนี้ยังสามารถใช้ในการถ่ายภาพโครงสร้างที่เกิดขึ้นได้ นักวิจัย ของ IBMได้พัฒนาวิธีการจัดการอะตอมซีนอน ที่ดูดซับอยู่บน พื้นผิว ของ นิกเกล^{[ 4 ]}เทคนิคนี้ถูกนำมาใช้เพื่อสร้างคอก อิเล็กตรอน ด้วยอะตอมที่ดูดซับจำนวนเล็กน้อยและสังเกตการแกว่งของ Friedelในความหนาแน่นของอิเล็กตรอนบนพื้นผิวของสารตั้งต้น นอกจากการปรับเปลี่ยนพื้นผิวของตัวอย่างแล้ว ยังสามารถใช้ STM ในการส่งอิเล็กตรอนเข้าไปในชั้นของโฟโตเรซิสต์ลำแสงอิเล็กตรอนบนตัวอย่าง เพื่อทำการพิมพ์หินได้ซึ่งมีข้อดีคือสามารถควบคุมการเปิดรับแสงได้มากกว่า การ พิมพ์ หิน ด้วยลำแสงอิเล็กตรอน แบบดั้งเดิม อีกหนึ่งการประยุกต์ใช้ STM ในทางปฏิบัติคือการตกตะกอนอะตอมของโลหะ (ทองคำ เงิน ทังสเตน ฯลฯ) ด้วยรูปแบบที่ต้องการ (ที่ตั้งโปรแกรมไว้ล่วงหน้า) ซึ่งสามารถใช้เป็นหน้าสัมผัสกับอุปกรณ์นาโน หรือใช้เป็นอุปกรณ์นาโนเองก็ได้

เว็บไซต์ Wikibooks มีหนังสือเกี่ยวกับหัวข้อนี้ คือ " คู่มือโอเพนซอร์สเกี่ยวกับนาโนวิทยาและนาโนเทคโนโลยี"

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับกล้องจุลทรรศน์แบบสแกนนิงทันเนลลิ่ง

• ภาพจากกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอนที่บันทึกขณะใช้งานกล้องจุลทรรศน์แบบอุโมงค์สแกน
• การทำงานภายในของ STM - คำอธิบายแบบภาพเคลื่อนไหว WeCanFigureThisOut.org
• สร้าง STM อย่างง่ายด้วยต้นทุนวัสดุน้อยกว่า 100 ดอลลาร์สหรัฐฯ (ไม่รวมออสซิลโลสโคป)
• ภาพเคลื่อนไหวและคำอธิบายเกี่ยวกับกล้องจุลทรรศน์ประเภทต่างๆ รวมถึงกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอน (มหาวิทยาลัยปารีสใต้)
• ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี และคณิตศาสตร์ (STM) ในภาษาที่เข้าใจง่าย (มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด)